專(zhuān)題13 三角形（6大考點(diǎn)）（原卷版）

第四部分三角形

專(zhuān)題13三角形（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一三角形及邊角關(guān)系

核心考點(diǎn)二三角形中的重要線段

核心考點(diǎn)三等腰三角形

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四等邊三角形

核心考點(diǎn)五直角三角形

核心考點(diǎn)六等腰直角三角形

新題速遞

核心考點(diǎn)一三角形及邊角關(guān)系

例1（2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，其中

ACB90，ABC60，EFD90，DEF45，AB//DE，則AFD的度數(shù)是（）

A．15B．30C．45D．60

例2（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）三個(gè)數(shù)3，1a,12a在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個(gè)數(shù)

為邊長(zhǎng)能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍為_(kāi)_____

例3（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，

完成證明．

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三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，

已知：如圖，ABC,

求證：ABC180.

方法一

方法二

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作DE//BC.

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD//AB.

三角形是初中階段幾何圖形學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是中考必考內(nèi)容之一；三角形及邊角關(guān)系內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，

中考中一般會(huì)出在選擇題、填空題，解答題偶有出現(xiàn)，注意以下最基本的三角形邊角關(guān)系：

1.兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

2.2.三角形的內(nèi)角和為180°；

3.3.三角形外角和為360°；

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【變式1】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在ABC中，A60,ABC80，BD是ABC的高線，BE

是ABC的角平分線，則DBE的度數(shù)是（）

A．10B．12C．15D．18

【變式2】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，將ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到△ABC，D是AB的中點(diǎn)，連接BD，若BC2，ABC60，則線段BD的最大值為（）

A．3B．23C．3D．4

【變式3】（2022·廣東韶關(guān)·?？级＃┤鐖D，ABC中，C90，AC10，BC8，線段DE的兩個(gè)端

點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上滑動(dòng)，且DE6，若點(diǎn)△M，N分別是DE，AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為_(kāi)________．

【變式4】（2023·廣東佛山·校考一模）如圖，在四邊形ABCD中，ABCADC90，E為對(duì)角線AC的

中點(diǎn)，連接BE，ED，BD，若∠BAD52，則EBD_____°．

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【變式5】（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ABC和VADE中，ABAC，ADAE，且BACDAE，

且B，D，E在同一直線上，連接EC．

(1)求證：BDEC．

(2)若ACB55，求BEC的度數(shù)．

核心考點(diǎn)二三角形中的重要線段

例1（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，AC22，ACB120，D是邊AB的中點(diǎn)，

E是邊BC上一點(diǎn)，若DE平分ABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)為（）

521

A．B．C．2D．3

22

例2（2021·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB//CD，一塊含有30°角的直角三角尺頂點(diǎn)E位于直

線CD上，EG平分CEF，則1的度數(shù)為_(kāi)________°．

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例3（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱(chēng)為等高三角形．

例如：如圖①．在ABC和ABC中，AD,AD分別是BC和BC邊上的高線，且ADAD，則ABC和

ABC是等高三角形．

【性質(zhì)探究】

如圖①，用SABC，SABC分別表示ABC和ABC的面積．

11

則S△BCAD,S△BCAD，

ABC2ABC2

∵ADAD

∴S△ABC:S△ABCBC:BC．

【性質(zhì)應(yīng)用】

(1)如圖②，D是ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD3,DC4，則S△ABD:S△ADC__________；

(2)如圖③，在ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE:AB1:2，CD:BC1:3，S△ABC1，則

S△BEC__________，S△CDE_________；

(3)如圖③，在ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)，若BE:AB1:m，CD:BC1:n，SABCa，

則S△CDE__________．

三角形中的主要線段包括三角形的高線，中線和角平分線。

三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫(huà)垂線，從頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫做這個(gè)三角形的高線，簡(jiǎn)稱(chēng)

三角形的高。

在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做這個(gè)三角形的中線。一個(gè)三角形共有三條中線，這

三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心。

三角形中一個(gè)角的角平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，得到頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

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【變式1】（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在ABC中，小美同學(xué)按以下步驟作圖：①以點(diǎn)C為圓

1

心，以BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD；②分別以點(diǎn)B，D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑

2

畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E；③作射線CE交BD于點(diǎn)F，連接AF.若ABC的面積為10，則△ACF的面積為（）

A．2.5B．5C．7.5D．8

【變式2】（2022·重慶大渡口·重慶市第三十七中學(xué)校?？级＃┤鐖D，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相

交于點(diǎn)O，ACB的角平分線分別交AB、BD于M、N兩點(diǎn)．若BM22，則線段AC的長(zhǎng)為()

．．．．

A424B422C426D42

【變式3】（2022·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB2，AD4，點(diǎn)E在△ABD邊上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)線段CE的長(zhǎng)度為m，則m的取值范圍是______．

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【變式4】（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)?？既＃┰赗t△ABC中，BAC90，D是BC的中點(diǎn)，E是

AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AB8，四邊形ADBF的面積為40．則

AC______．

【變式5】（2022·浙江杭州·翠苑中學(xué)?？级＃┰趫D1，圖2，圖3中，AF，BE是ABC的中線，AF⊥BE，

垂足為P．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．

(1)①如圖1，當(dāng)ABE=45，c22時(shí)，a，b．

②如圖2，當(dāng)ABE30，c8時(shí)，a，b．

(2)觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明．

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核心考點(diǎn)三等腰三角形

例1（2022·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將ABC繞A

點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B△′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝△∠ACC′，

正確的有（）△

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

例2（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在RtABC中，ACB90，ACBC3，D為AB邊上一點(diǎn)，

且BDBC，連接CD，以點(diǎn)D為圓心，DC的長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E（異于點(diǎn)C），連接DE，則BE

的長(zhǎng)為_(kāi)__________．

例3（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖1，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分

別是邊AC，BC上的點(diǎn)，以CM，CN為鄰邊作矩△形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設(shè)CM=a，CN=b，若ab=8．

(1)判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)①當(dāng)a=b時(shí)，求∠ECF的度數(shù)；

②當(dāng)a≠b時(shí)，①中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由．

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知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)

1、等腰三角形

（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫

做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。

（2）性質(zhì)

①兩腰相等

②兩底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)等邊對(duì)等角）

③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱(chēng)為“三線合一”）

④等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對(duì)稱(chēng)軸。

證明題目中的寫(xiě)法：

①已知高線：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD

②已知中線：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

③已知角平分線：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD

（3）等腰三角形的構(gòu)造

（1）“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形

①如下左圖所示，OP評(píng)分∠AOB，CD∥OA，則△OCD是等腰三角形

②如下右圖所示，OP評(píng)分∠AOB，CD∥OB，則△OCD是等腰三角形

（2）“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形

如下左圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC，得出等腰三角形

（3）“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形

如下中圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，D是BC中點(diǎn)，則△ABC是等腰三角形

（4）“中點(diǎn)+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示

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(5)“平行+等腰”構(gòu)造等腰三角形

已知等腰△ABC，過(guò)腰或底上作腰或底的平行線

知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）

總結(jié)：

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【變式1】（2022·江蘇南京·南京大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，銳角三角形ABC中，直線l為BC的中

垂線，直線m為ABC的角平分線，l與m相交于P點(diǎn)．若A60，DACP=24°，則ABP的度數(shù)是（）

A．24B．30C．32D．36

【變式2】（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，BC2，BAC30，斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)

分別在相互垂直的射線OM和ON上滑動(dòng)，給定下列命題，其中正確命題的序號(hào)是（）．

①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，則OA23；

②C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；

③若AB平分CO，則ABCO；

3

④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為．

2

A．①③④B．②③④C．①④D．①②

【變式3】（2023·山東濟(jì)南·山東大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)E是正方形ABCD邊BC的中點(diǎn)，AD2，

連接AE，將ABE沿AE翻折，得到△AFE，延長(zhǎng)EF，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．則MN的

長(zhǎng)度為_(kāi)_____．

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【變式4】（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，?ABCD中，ABAD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，

連接CE、DE，且BCCE，若BCE40，則ADE______．

【變式5】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在YABCD中，BAD，ADC的平分線AF，DE分別與線段

BC交于點(diǎn)F，E，AF與DE交于點(diǎn)G．

(1)求證：AFDE，BFCE．

(2)若AD10，AB6，AF8，求DE的長(zhǎng)度．

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核心考點(diǎn)四等邊三角形

例1（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y3x3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸

交于點(diǎn)B，將AOB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖△AOB的位置，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A恰好落在直線AB上，連接BB，

則BB的長(zhǎng)度為（）

333

A．B．3C．2D．

22

例2（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x

軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長(zhǎng)的最小值是__________．

例3（2022·青海·統(tǒng)考中考真題）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的

底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱(chēng)為“手拉手”圖形.

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖1，若ABC和VADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：BDCE；

圖1

(2)解決問(wèn)題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90，點(diǎn)A，D，E在同

第13頁(yè)共31頁(yè).

一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的

數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

圖2

知識(shí)點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)與判定

等邊三角形

（1）定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。

（2）性質(zhì)：三條邊都相等，三個(gè)角都相等，每一個(gè)角都等于60°

（3）判定：

①三條邊都相等的三角形是做等邊三角形

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

（4）推論：在直角三角形中，銳角為30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

總結(jié)：

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1等腰三角形和等邊三角形對(duì)比

圖形等腰三角形等邊三角形

兩條邊都相等三條邊都相等

性

兩個(gè)角都相等三個(gè)角都相等，且都是60o

質(zhì)底邊上的中線、高和頂角的平分線互相每一邊上的中線、高和這一邊所對(duì)的角的

重合平分線互相重合

對(duì)稱(chēng)軸（1條）對(duì)稱(chēng)軸（3條）

②等腰三角形和等邊三角形的判定

圖形等腰三角形等邊三角形

三條邊都相等的三角形是等邊三角

從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形

判形

定

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角

從角看：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形

形

等邊三角形的判定方法：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形

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【變式1】（2022·廣東東莞·東莞市橫瀝中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，E為AC上運(yùn)動(dòng)，EFAB，

AB2，BC23，則BFBE的最小值為（）

A．22B．32C．3D．23

【變式2】（2022·重慶渝中·重慶市求精中學(xué)校校考一模）在等邊ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD，

將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到BAE，連接ED，若BC5，BD4.5，有下列結(jié)論：①AE∥BC；

②ADEBDC；③BDE是等邊三角形；④VADE的周長(zhǎng)是9.5，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【變式3】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD10，BD6，CD8，

將△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到△ACE，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)__________．

【變式4】（2023·山東泰安·新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，DAB60，E為AD

上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，且AECF1，設(shè)BEF的面積為y，AEx，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，則y與x的函數(shù)關(guān)

系式是__________．

第16頁(yè)共31頁(yè).

【變式5】（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)校考一模）如圖1，在等腰三角形ABC中，

A,ABAC,ADAE，連接BE．點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)．

(1)當(dāng)a120時(shí)，

①觀察猜想：圖1中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是，MNP的大小

為．

②探究證明：把VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，求證：

ABDACE．

③在②的條件下，如圖2，求證：△MPN是等邊三角形

(2)拓展延伸：當(dāng)a90時(shí)，ABAC10,，ADAE6時(shí)，把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3，

請(qǐng)直接寫(xiě)出△MNP面積的最大值．

核心考點(diǎn)五直角三角形

例1（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，

連接OE，ABC60，BD43，則OE（）

A．4B．23C．2D．3

第17頁(yè)共31頁(yè).

例2（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，點(diǎn)D，E分

別在AB，BC上，將△BDE沿直線DE翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B恰好落在AB上，連接CB，若CBBB，

則AD的長(zhǎng)為_(kāi)________．

例3（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在ABC中，ACB90，D為ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，DC，延長(zhǎng)DC

到點(diǎn)E，使得CEDC.

(1)如圖1，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使得CFBC，連接AF，EF，若AFEF，求證：BDAF；

(2)連接AE，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接CH，依題意補(bǔ)全圖2，若AB2AE2BD2，用等式表示線段CD

與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明．

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概念：直角三角形，指的是有一個(gè)角是直角的三角形；

性質(zhì)：

1、直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

2、在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余。

3、直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)，外接圓半徑

R=C/2）。該性質(zhì)稱(chēng)為直角三角形斜邊中線定理。

4、直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。

5、如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：

（1）（AD)2=BD·DC。

（2）（AB)2=BD·BC。

（3）（AC)2=CD·BC。

射影定理，又稱(chēng)“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊的射影的比例

中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理。

6、在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°。

1

【變式1】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖DAD是ABC的高，AB4，BAD60，tanCAD，則BC

2

的長(zhǎng)為（）．

A．31B．232C．231D．34

第19頁(yè)共31頁(yè).

【變式2】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，兩點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的AD和CD邊上，AB6，AD8，

BEF90，且BEEF，點(diǎn)M為BF的中點(diǎn)，則ME的長(zhǎng)為（）

93

A．B．25C．32D．10

22

【變式3】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，ACB90，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，連接CD．現(xiàn)

將ACD沿CD翻折使得點(diǎn)A落在AB邊的中點(diǎn)E處．若BC6，則BD__________．

【變式4】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，已知AGC90,C30,EAG150,DCAE．若

AG1,DG3，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_________．

【變式5】（2022·安徽合肥·?？级＃┤鐖D，在ABC中，ACB90，點(diǎn)E是邊AC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作

EFAB于點(diǎn)F．連接BE，點(diǎn)O是BE的中點(diǎn)，CO交AB于點(diǎn)D．

(1)若A30，求COF的度數(shù)；

(2)若AEF≌CBD，

①求證：DFDB；

EF

②求的值．

CD

第20頁(yè)共31頁(yè).

核心考點(diǎn)六等腰直角三角形

例1（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在直線yx1和x軸之間由小到大依次

畫(huà)出若干個(gè)等腰直角三角形（圖中所示的陰影部分），其中一條直角邊在x軸上，另一條直角邊與x軸垂直，

則第100個(gè)等腰直角三角形的面積是（）

A．298B．299C．2197D．2198

例2（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個(gè)含45°角的直角三角板

CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，DE＝12cm．當(dāng)點(diǎn)D沿DA方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E

同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AF方向滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D滑動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)____cm．

例3（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在ABC中，BAC90，ABAC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B、C

分別作l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．

(1)特例體驗(yàn)：

第21頁(yè)共31頁(yè).

如圖①，若直線lBC，ABAC2，分別求出線段BD、CE和DE的長(zhǎng)；

(2)規(guī)律探究：

①如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)045，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并

說(shuō)明理由；

②如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)4590，與線段BC相交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)偬骄€

段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

(3)嘗試應(yīng)用：

在圖③中，延長(zhǎng)線段BD交線段AC于點(diǎn)F，若CE3，DE1，求S△BFC．

等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它具有直角三角形所有的性質(zhì)，同時(shí)它也有它的特殊性：

（1）兩底角等于45°。

（2）兩腰相等。

（3）等腰直角三角形三邊比例為1:1:2

第22頁(yè)共31頁(yè).

【變式1】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖所示的是32的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．線

段AB，CD的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，線段AB，CD交于點(diǎn)O，則BOD的度數(shù)為（）

A．30B．45C．50D．60

【變式2】（2022·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC，直角EPF的頂點(diǎn)

P是BC的中點(diǎn)，將EPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列四個(gè)結(jié)論：

1

①AECF；②!PEF是等腰直角三角形；③EFAP；④S四邊形S△ABC．在EPF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，上

AEPF2

述四個(gè)結(jié)論始終正確的有（）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

【變式3】（2022·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在等腰ABC中，ABC90，D為

底邊AC中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DEDF，交AB于E，交BC于F．若AE12，F(xiàn)C5，EF長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【變式4】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）如圖一次函數(shù)yx3的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把

直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30交x軸于點(diǎn)C．則線段AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

第23頁(yè)共31頁(yè).

【變式5】（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？家荒＃?jù)圖回答下列各題．

【問(wèn)題：】如圖1，在Rt△ABC中，ABAC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到AE，連接EC，則線段BD，CE之間滿足的數(shù)量關(guān)系式為．

【探索：】如圖2，在Rt△ABC與Rt△ADE中，ABAC，ADAE，將VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC

邊上，請(qǐng)?zhí)剿骶€段AD，BD，CD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【應(yīng)用：】如圖3，在四邊形ABCD中，ABCACBADC45，若BD9，CD3，求AD的長(zhǎng)．

第24頁(yè)共31頁(yè).

【新題速遞】

1．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）如圖，已知CAD≌CBE，若A20，C60，則CEB的

度數(shù)為（）

A．80°B．90°C．100°D．110°

2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，ACB90,A30,BC4．將ABC繞頂點(diǎn)C旋

轉(zhuǎn)得到△ABC，若點(diǎn)O是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段OP的最大值等于（）

A．4B．6C．8D．10

3．（2023·遼寧阜新·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的邊長(zhǎng)分別為3，

4，H為線段DF的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）

A．12B．6C．72D．52

4．（2023·吉林長(zhǎng)春·校考一模）如圖，在RtABC中，B90，AB3，BC4，將ABC折疊，使點(diǎn)B恰

好落在邊AC上，與點(diǎn)B重合，AE為折痕，則EB的長(zhǎng)為（）

A．3cmB．2.5cmC．1.5cmD．1cm

第25頁(yè)共31頁(yè).

5．（2023·廣西河池·?？家荒＃┰诰匦蜛BCD中，過(guò)AC的中點(diǎn)O作EFAC，交BC于E，交AD于F，連

接AE、CF．若AB3，DCF30，則EF的長(zhǎng)為（）

A．2B．3C．23D．3

6．（2022·河南焦作·統(tǒng)考一模）如圖，OAB中，AOB60，OA4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為6，0，將OAB繞點(diǎn)

A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CAD，當(dāng)點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在OB上時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

A．53，53B．53，5C．7，5D．7，33

7．（2022·貴州遵義·三模）已知：如圖ABC中，BD為ABC的角平分線，且BDBC，E為BD延長(zhǎng)線上

的一點(diǎn)，BEBA，過(guò)E作EFAB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：其中正確的是（）

①ABD≌EBC；②BCEBCD180；③ADAEEC；④BABC2BF．

A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④

8．（2022·四川綿陽(yáng)·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在ABC中，B45，C75，AB4，D

為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E，DFAB于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為（）

A．3B．2C．5D．6

第26頁(yè)共31頁(yè).

9．（2023·廣西河池·校考一模）如圖，ab，交直線l于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ACl交直線b于點(diǎn)C，若

158，則2_____度．

10．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，C90，CAB60，按以下步驟作圖：①分別以

1

A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑做弧，兩弧相交于點(diǎn)P和Q．②作直線PQ交AB于點(diǎn)D，交BC于

2

點(diǎn)E，連接AE．若CE4，則AE__．

11．（2022·浙江杭州·翠苑中學(xué)校考二模）如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，在AD上

取一點(diǎn)E，連結(jié)CE，使得AECE，若ECD20，則B_____．

12．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，M，N是AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)（0OMON），AOB45，

OMa，MN4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足PMN是等腰三角形，則