專題15 圖形的相似綜合（6大考點(diǎn)）（原卷版）

第四部分三角形

專題15圖形的相似綜合（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一比例線段

核心考點(diǎn)二相似三角形的判定

核心考點(diǎn)三相似三角形的性質(zhì)

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

核心考點(diǎn)五位似圖形

核心考點(diǎn)六相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

新題速遞

核心考點(diǎn)一比例線段

例1（2022·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）

的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺(jué)美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，

那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（）（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：21.414，31.732，52.236）

A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m

51

例2（2021·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）我們把寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們

2

以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已

知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長(zhǎng)度為51，則該矩形的周長(zhǎng)為__________________．

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例3（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）在四邊形ABCD中，BAD的平分線AF交BC于F，延長(zhǎng)AB到E

使BEFC，G是AF的中點(diǎn)，GE交BC于O，連接GD．

(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，如圖，求證：①GEGD；②BOGDGOFC．

(2)當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，如圖，（1）中的結(jié)論都成立，請(qǐng)給出結(jié)論②的證明．

知識(shí)點(diǎn)、線段的比與成比例線段

線段的比兩條線段長(zhǎng)度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時(shí)必須統(tǒng)一單位）．

ac

四條線段a、b、c、d中，如果，那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例

成比例線段bd

線段，簡(jiǎn)稱比例線段．

知識(shí)點(diǎn)、比例的性質(zhì)

ac

基本性質(zhì)adbc

bd

合比的性質(zhì)acabcd

bdbd

等比性質(zhì)acmacm

kbdn0k

bdnbdn

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知識(shí)點(diǎn)、黃金分割

ACBC

若線段AB上一點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC與BC（AC>BC），如果，

ABAC

黃金分割

51

這時(shí)稱點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值稱為黃金比，它的值為0.618．

2

知識(shí)點(diǎn)、平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

圖形：

幾何語(yǔ)言：

定理

∵l1∥l2∥l3，

ABDEABDEBCEF

∴，，

BCEFACDFACDF

平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

圖形：幾何語(yǔ)言：

推論ADAE

∵DE∥BC，∴，

DBEC

ADAEBDCE

，

ABACABAC

【變式1】（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）如圖，已知P、Q是邊AB的三等分點(diǎn)，△ABC的面積為27，現(xiàn)從

AB邊一點(diǎn)D，沿平行BC的方向剪下一個(gè)面積為7的三角形，則點(diǎn)D在（）

A．線段AP上B．線段PQ上，且靠近P點(diǎn)

C．線段PQ上，且靠近Q點(diǎn)D．線段BQ上

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【變式2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）ABCD被分別平行于兩邊的四條線段EJ、FI、LG、KH分割成

9個(gè)小平行四邊形，面積分別為S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD．若知道S1-9中的n個(gè)，就一定能算

出平行四邊形ABCD的面積，則n的最小值是（）．

A．2B．3C．4D．6

【變式3】（2022·統(tǒng)考一模）已知線段a51，b51，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于______．

51

【變式4】（2022·福建莆田·?？家荒＃┪覀儼褜捙c長(zhǎng)的比為黃金比（）的矩形稱為黃金矩形，如圖，

2

在黃金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝4，∠ABC的平分線交AD邊于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為_____．

【變式5】（2020·福建南平·統(tǒng)考一模）在△ABC中，AB＝12，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在AB上，若AE＝6，

ADAE

EC＝4，．

DBEC

（1）求AD的長(zhǎng)；

DBEC

（2）試問(wèn)能成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

ABAC

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核心考點(diǎn)二相似三角形的判定

k

例1（2020·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∠ABO＝

x

90°，過(guò)AO邊的三等分點(diǎn)M、N分別作x軸的平△行線交AB于點(diǎn)P、Q．若四邊形MNQP的面積為3，則k

的值為（）

A．9B．12C．15D．18

例2（2021·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，試添加一

個(gè)條件：_____，使得VADE與ABC相似．（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）

例3（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，ABC90，E是邊AC上一點(diǎn)，且BEBC，

過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：△ADE∽△ABC．

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知識(shí)點(diǎn)、相似三角形的判定

平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原

預(yù)備定理

三角形相似．

有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．

判定1

兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．

判定2

三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似

判定3

若一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比

例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．

直角三角形

的特殊判定

第6頁(yè)共31頁(yè).

【變式1】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AG平分BAC，點(diǎn)D在邊AB上，線段CD與AG

交于點(diǎn)E，且ACDB，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）

A．△ACD∽△ABCB．ADE∽ACG

C．△ACE∽△ABGD．△ADE∽△CGE

【變式2】（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，C45，將ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，

使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在CA的延長(zhǎng)線上，得到ABC，連接AA，交BC于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①ACA90；

②AABC；③ABCAAC；④△AOC∽△BOA．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【變式3】（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝_____．

【變式4】（2021·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形紙片ABCD中，將AB沿BM翻折，使點(diǎn)A落在BC上

的點(diǎn)N處，BM為折痕，連接MN；再將CD沿CE翻折，使點(diǎn)D恰好落在MN上的點(diǎn)F處，CE為折痕，

連接EF并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)P，若AD=8，AB=5，則線段PE的長(zhǎng)等于____．

第7頁(yè)共31頁(yè).

【變式5】（2022·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖，在ABC中，ACB90，CD是邊AB上的中線，EF垂直

平分CD，分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DE，DF．

(1)求證：△OCE∽△OFD．

(2)當(dāng)AE7，BF24時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．

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核心考點(diǎn)三相似三角形的性質(zhì)

例1（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB

＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為()

4443

A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6

3334

例2（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知F是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，F(xiàn)D∥BC，F(xiàn)E∥AB，若BDFE

11

的面積為2，BDBA，BEBC，則ABC的面積是________．

34

例315．（2020·山東濟(jì)南·中考真題）在等腰ABC中，AC＝BC，VADE是直角三角形，∠DAE＝90°，

1

∠ADE＝∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD△的中點(diǎn)，連接CF．

2

（1）當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)．

①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是．線段BE與線段CF

的數(shù)量關(guān)系是；

②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予

證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

第9頁(yè)共31頁(yè).

學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，探究出以下解決問(wèn)題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題；

思路二：取DE的△中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全

等或相似有關(guān)知識(shí)來(lái)解快問(wèn)題．

（2）當(dāng)∠CAB＝30°時(shí)，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由．

知識(shí)點(diǎn)、相似三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。

相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。

∽，則

由比例性質(zhì)可得：

性質(zhì)2

類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比。

第10頁(yè)共31頁(yè).

相似三角形的面積比等于相似比的平方。

∽，則分別作出與的高

11

BCADkBCkAD

S

和，則△ABC22=k2

S11

△ABCBCADBCAD

22

性質(zhì)3

要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的。

如果把兩個(gè)相似多邊形分成若干個(gè)相似的三角形，我們還可以得到：

相似多邊形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線之比等于相似比。

性質(zhì)4

要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段。

【變式1】（2022·廣東佛山·佛山市南海區(qū)石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考三模）如圖，在ABC中，AB4，AC3，BC5.

將ABC沿著點(diǎn)A到點(diǎn)C的方向平移到DEF的位置，圖中陰影部分面積為4，則平移的距離為（）

A．36B．6C．36D．26

k

【變式2】（2022·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，雙曲線y（x0）經(jīng)過(guò)RtOAB斜邊OB的中點(diǎn)D，

x

與直角邊AB交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DEOA于點(diǎn)E，連接OC，若△OBC的面積是6，則k的值為（）

A．3B．4C．5D．6

第11頁(yè)共31頁(yè).

【變式3】（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知ABC，P是邊BC上一點(diǎn)，PAB、△PAC的重心分別為G1、

S

AG1G2

G2，那么的值為________．

SABC

【變式4】（2022·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)P從A出

發(fā)沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，作如圖的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BQ的最小值為_____．

【變式5】（2022·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，AD為ABC的中線，動(dòng)

點(diǎn)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，分別沿AB，BC方向做勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度都是1cm/s．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)

B時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．

(1)當(dāng)t_____時(shí)PBQ為等邊三角形

(2)當(dāng)PBQ與△ABD相似時(shí)，求出t的值

(3)設(shè)四邊形APQC的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t為何值時(shí)，四邊形的面積S有最小值，

并求出最小值

第12頁(yè)共31頁(yè).

核心考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例1（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖①，在矩形ABCD中，H為CD邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)

A出發(fā)沿折線AHHCCB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都

是1cm/s，若點(diǎn)M、N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，AMN的面積為Scm2，已知S與t之間函數(shù)圖

象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的是（）

①當(dāng)0t6時(shí)，AMN是等邊三角形．

②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得△ADM為等腰三角形的點(diǎn)M一共有3個(gè)．

3

③當(dāng)0t6時(shí)，St2．

4

④當(dāng)t93時(shí)，ADH∽ABM．

⑤當(dāng)9t933時(shí)，S3t933．

A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤

例2（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)M、N分別是邊AD、

BC的中點(diǎn)，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)M出發(fā)，沿MA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，

動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形頂點(diǎn)時(shí)，

兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，過(guò)點(diǎn)B作EF的垂線，垂足為H．在這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)

是_____．

第13頁(yè)共31頁(yè).

例3（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，ACB90，BC4，點(diǎn)D在AC上，CD3，

連接DB，ADDB，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D，C重合），過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線，與AB相

交于點(diǎn)Q，連接DQ，設(shè)APx，PDQ與△ABD重疊部分的面積為S．

(1)求AC的長(zhǎng)；

(2)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．

幾何內(nèi)容就是每年中考數(shù)學(xué)熱門考查對(duì)象，在中考數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)高的分值，考查范圍一般包括三角形、

四邊形、圓相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容等等，其中與三角形相關(guān)的相似三角形更是其中的重難點(diǎn)，它是歷年中考數(shù)學(xué)

的熱點(diǎn)內(nèi)容。

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是中考數(shù)學(xué)試題熱門考點(diǎn)，在很多地方中考試卷里，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是必考題型。在很多動(dòng)點(diǎn)

問(wèn)題當(dāng)中，還會(huì)考查到很多數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合、分類討論思想、函數(shù)與方程等等都會(huì)考查到。

相似三角形作為中考數(shù)學(xué)中的一塊非常重要的知識(shí)內(nèi)容，一般會(huì)考查到以下三個(gè)方面內(nèi)容：

1、考查相似三角形的判定定理；

2、考查利用相似三角形的性質(zhì)去解決具體問(wèn)題；

3、考查與相似三角形有關(guān)的綜合內(nèi)容。

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【變式1】（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，ABC中，A90,ABAC1,BFBC，點(diǎn)D從點(diǎn)A

出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AB作勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BF以每秒2個(gè)單位

的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，連接DE,EC,CD．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，CDE

的面積為y，則下列圖象中能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

A．B．C．D．

【變式2】（2022·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的

頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0，A12,0，B8,6，C0,6．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

邊OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．作AGPQ

于點(diǎn)G，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AG的最大值為（）

18536

A．B．35C．D．8

55

【變式3】（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，AB8cm,AC16cm，點(diǎn)P從A出發(fā)，以2cm/s

的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C出發(fā)，以3cm/s的速度向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．

第15頁(yè)共31頁(yè).

（1）用含t的代數(shù)式表示：AQ=_______；

（2）當(dāng)以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t________

【變式4】（2021·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，C90，AC2，BC3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出

發(fā)，沿AB方向以每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒3

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)PBQ是直角三角形時(shí)，t的值為_______．

【變式5】（2022·寧夏銀川·?？既＃┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為

6,0、6,8，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從O、B同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)

A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作NPBC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．

(1)用含x的代數(shù)式表示P的坐標(biāo)．

(2)設(shè)四邊形OMPC的面積是y，求y的最小值，求出此時(shí)x的值．

(3)是否存在x的值，使以P、A、M為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由．

第16頁(yè)共31頁(yè).

核心考點(diǎn)五位似圖形

例1（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC與DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為2:3．若ABC

的周長(zhǎng)為4，則DEF的周長(zhǎng)是（）

A．4B．6C．9D．16

例2（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC和DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若

OA:AD2:3，則ABC與DEF的周長(zhǎng)比是_________．

例3（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，

把小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，矩形OABC的4個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，連接對(duì)角

線OB．

（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)O為位似中心，把OAB縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似

1

圖形與OAB的相似比等于；

2

（2）將OAB以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到OA1B1，作出OA1B1，并求出線段OB旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所

形成扇形的周長(zhǎng)．

第17頁(yè)共31頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)、位似圖形

兩個(gè)相似圖形，如果對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行或在同一直線上，像這樣的

定義

兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．

性質(zhì)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于相似比．

（1）確定位似中心；

畫位似圖形（2）連結(jié)原圖形中關(guān)鍵點(diǎn)與位似中心的線段（或延長(zhǎng)線）；

的步驟（3）按相似比進(jìn)行取點(diǎn)；

（4）順次連接各點(diǎn)，所得的圖形就是所求的圖形。

【變式1】（2021·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考一模）如圖，ABO縮小后變?yōu)椤鰽BO，其中A、B的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)A、B、A、B均在圖中格點(diǎn)上，若線段AB上有一點(diǎn)P(m,n)，則點(diǎn)P在AB上

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

mnmn

A．,nB．m,C．,D．m,n

2222

1

【變式2】（2022·內(nèi)蒙古包頭·校考三模）如圖，直線yx1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，BOC與

2

BOC是以點(diǎn)A為位似中心的位似圖形，且相似比為1∶3，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

333

A．(8,3)B．4,C．4,或2,D．(8,3)或(4,3)

222

第18頁(yè)共31頁(yè).

【變式3】（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,3，若以原點(diǎn)O為

位似中心，畫ABC的位似圖形ABC，使ABC與ABC的相似比等于2:1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________．

【變式4】（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，已知ABC和△EDC是以點(diǎn)C為位似中心的位似圖形，且點(diǎn)

C與點(diǎn)D在直線AB同側(cè)ABC和△EDC的周長(zhǎng)之比為1:2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2，0)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4，

3)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為______．

【變式5】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

A(4,8),B(4,4),C(10,4)，△A1B1C1與ABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1,B1,C1，其中B1的坐

標(biāo)是(2,2)．

(1)△A1B1C1和ABC的相似比是；

(2)請(qǐng)畫出△A1B1C1；

(3)BC邊上有一點(diǎn)M(a,b)，在B1C1邊上與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是；

(4)△A1B1C1的面積是．

第19頁(yè)共31頁(yè).

核心考點(diǎn)六相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

例1（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測(cè)距離的方法

步驟：

第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；

第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測(cè)物體在一條直線上；

第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時(shí)看到被測(cè)物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距

離，參照被測(cè)物體的大小，估算橫向距離的長(zhǎng)度；

第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長(zhǎng)度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測(cè)物體離觀測(cè)，點(diǎn)

的距離值．

如圖是用“跳眼法”估測(cè)前方一輛汽車到觀測(cè)點(diǎn)距離的示意圖，該汽車的長(zhǎng)度大約為4米，則汽車到觀測(cè)點(diǎn)的

距離約為（）

A．40米B．60米C．80米D．100米

例2（2021·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）學(xué)習(xí)投影后，小華利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來(lái)測(cè)量一路燈的高度．如

圖，身高1.7m的小明從路燈燈泡A的正下方點(diǎn)B處，沿著平直的道路走8m到達(dá)點(diǎn)D處，測(cè)得影子DE長(zhǎng)

是2m，則路燈燈泡A離地面的高度AB為_______________m．

第20頁(yè)共31頁(yè).

例3（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇

北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)A處測(cè)得阿育

王塔最高點(diǎn)C的仰角CAE45，再沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至B處測(cè)得最高點(diǎn)C的仰角CBE53，

AB10m；小亮在點(diǎn)G處豎立標(biāo)桿FG，小亮的所在位置點(diǎn)D、標(biāo)桿頂F、最高點(diǎn)C在一條直線上，F(xiàn)G1.5m，

GD2m．（注：結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin530.799，cos530.602，tan531.327）

(1)求阿育王塔的高度CE；

(2)求小亮與阿育王塔之間的距離ED．

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，相似三角形之所以重要，不僅僅因?yàn)樗墙鉀Q線段的數(shù)量關(guān)系、線段的長(zhǎng)度、圖形的面

積等有關(guān)問(wèn)題的重要工具；它還能解決我們生活中的實(shí)際問(wèn)題。

類型一，測(cè)量不可以到達(dá)對(duì)岸的河的寬度。

類型二，測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度。

類型三，利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似形求解問(wèn)題。

類型四，測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度。

類型五：與三角形、四邊形、圓、函數(shù)等綜合考查；

對(duì)于相似形的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出相似三角形，

進(jìn)而利用對(duì)應(yīng)邊成比例列方程解題。

【變式1】（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一棵大樹AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，

量得CD6米，BC21米，CD與地面成30°角，且此時(shí)測(cè)得1米桿的影長(zhǎng)為3米，則大樹的高度為（）

A．(93)米B．33米C．（3033）米D．（103）米

第21頁(yè)共31頁(yè).

【變式2】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，九年級(jí)（1）班課外活動(dòng)小組利用平面鏡測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，

在觀測(cè)員與旗桿AB之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記E，當(dāng)觀測(cè)到旗桿頂端在鏡子中的像

與鏡子上的標(biāo)記重合時(shí)，測(cè)得觀測(cè)員的眼睛到地面的高度CD為1.6m，觀測(cè)員到標(biāo)記E的距離CE為2m，

旗桿底部到標(biāo)記E的距離AE為16m，則旗桿AB的高度約是（）

A．22.5mB．20mC．14.4mD．12.8m

【變式3】（2022·江蘇鹽城·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）?？寄M預(yù)測(cè)）如

圖，為了測(cè)量旗桿的高度，某綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了以下方案：用2.5m長(zhǎng)的竹竿做測(cè)量工具，移動(dòng)竹竿，保

持竹竿與旗桿平行，使竹竿、旗桿的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)．此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距5m、與

旗桿相距20m，則旗桿的高度為_____m．

【變式4】（2022·貴州畢節(jié)·二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵樹，

小華站在離南岸20m的點(diǎn)P處看北岸，在兩棵樹之間的空隙中，恰好看見一條龍舟的龍頭和龍尾（假設(shè)龍

頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內(nèi)），已知龍舟的長(zhǎng)為18.5m，若龍舟行駛在河的中心，且龍舟與

河岸平行，則河寬為_______m．

第22頁(yè)共31頁(yè).

【變式5】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，至今仍有借

鑒意義．如圖1，身高1.5m的小王晚上在路燈燈柱AH下散步，他想通過(guò)測(cè)量自己的影長(zhǎng)來(lái)估計(jì)路燈的高度，

具體做法如下：先從路燈底部A向東走20步到M處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作好記號(hào)后，繼

續(xù)沿剛才自己的影子走4步恰好到達(dá)點(diǎn)P處，此時(shí)影子的端點(diǎn)在點(diǎn)Q處，已知小王和燈柱的底端在同一水

平線上，小王的步間距保持一致．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出路燈O和影子端點(diǎn)Q的位置．

(2)估計(jì)路燈AO的高，并求影長(zhǎng)PQ的步數(shù)．

(3)無(wú)論點(diǎn)光源還是視線，其本質(zhì)是相同的，日常生活中我們也可以直接利用視線解決問(wèn)題．如圖2，小明

同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且

邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．測(cè)得DF0.5m，EF0.3m，CD10m，小明眼睛到地面的距離為1.5m，則

樹高AB為______m．

第23頁(yè)共31頁(yè).

【新題速遞】

1．（2022秋·四川遂寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線l3，l4，l2，l1上，若直

線l4∥l3∥l2∥l1且間距相等，AB4，BC3，則tan的值為（）

3115

A．B．C．5D．

83215

1

2．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考期末）如圖，在YABCD中，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DECD，BE交AD

2

于點(diǎn)F，則DEF和ABF的面積比為（）

A．1:4B．1:2C．1:3D．2:3

3．（2023·四川宜賓·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，ABE和CDE是以點(diǎn)E為位似中心的位似圖形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

1，0，若點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)分別是3，4、2，2、3，1．則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）

A．4，2B．4，1C．5，2D．5，1

4．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，ABBD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB,AD上任意點(diǎn)（不

與端點(diǎn)重合），且AEDF，連接BF,DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H，下列結(jié)論：①△AED≌△DFB；

②BGE的大小為定值；③CG與BD一定不垂直；④若AF2DF，則BG6GF，其中正確的結(jié)論有（）

第24頁(yè)共31頁(yè).

A．①②B．①②④C．③④D．①③④

5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ABC中，BAC30，ACB90，且VABC∽VABC，連接CC，

將CC沿CB方向平移至EB，連接BE，若CC6，則BE的長(zhǎng)為（）

A．1B．2C．3D．2

6．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，邊AC，AB上的中線BE，

CD相交于點(diǎn)F，若AC6，BC4，則BF（）

105413

A．B．C．D．13

323

7．（2023秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)嗎，AEEF，

則下列結(jié)論正確的有（）

1

①BAE30；②CE2ABCF；③CFCD；④ABE∽AEF

4

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

第25頁(yè)共31頁(yè).

8．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，ABBC，對(duì)角線AC平分BAD，BAD120，

P為線段AC上一點(diǎn)，PD∥AB，連接BP并延長(zhǎng)交CD于E，連接AE．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．BED120B．PAPCPBPE

C．△BPC△DEPD．ABEDCA

y2xy

9．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則__________．

x7x

10．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB6，BC8，點(diǎn)E在邊AD上，CE與

BD相交于點(diǎn)F．若AE2，則BF的長(zhǎng)的________．

11．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師布置任務(wù)如下：讓小明AB站在B點(diǎn)

處去觀測(cè)10m外的位于D點(diǎn)處的一棵大樹CD，所用工具為一個(gè)平面鏡P和必要的長(zhǎng)度測(cè)量工具（點(diǎn)B，

P，D在同一條直線上）．已知小明眼睛距地面1.6m，大樹高6.4m，當(dāng)小明與平面鏡相距______m時(shí)，恰好

能從平面鏡里觀測(cè)到大樹的頂端．

12．（2023·廣東河源·校聯(lián)考一模）如圖，ABC與△AED都是等腰三角形，ABCAED120，點(diǎn)P

為AC邊上一點(diǎn)，且PAm，PB與BA所夾銳角為PBA，點(diǎn)E為PB上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)E自點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至

點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)D所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)_____．（用含β與m的式子表示）

第26頁(yè)共31頁(yè).

13．（2022秋·山西大同·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，D是AB的中點(diǎn)，連接CD，

4

過(guò)點(diǎn)B作CD