專題17 平行四邊形與多邊形（6大考點(diǎn)）（解析版）

第五部分四邊形

專題17平行四邊形與多邊形（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一平行四邊形的判定

核心考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)

核心考點(diǎn)三平行四邊形中的折疊問題

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題

核心考點(diǎn)五平行四邊形的綜合性問題

核心考點(diǎn)六多邊形及其性質(zhì)

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核心考點(diǎn)一平行四邊形的判定

例1（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）1.如圖，在?ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE＝3，連接

DE，過點(diǎn)C作CF∥DE，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的長(zhǎng)，再判定四邊形DEFC是平行

四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得EF的長(zhǎng)，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．

【詳解】解：∵在?ABCD中，AB＝8，

∴CD＝AB＝8，AB∥CD，

∵AE＝3，

∴BE＝AB﹣AE＝5，

∵CF∥DE，

∴四邊形DEFC是平行四邊形，

∴DC＝EF＝8，

第1頁共109頁.

∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及判定，能夠熟練運(yùn)用平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．

例2（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四

邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為___________（寫一個(gè)即可）．

【答案】AB∥DC(答案不唯一)

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件解答即可．

【詳解】解：∵AB=DC，

再加AB∥DC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

故答案為：AB∥DC(答案不唯一)

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BEAC，DFAC，

垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且BEDF，ABDBDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【答案】見解析

【分析】結(jié)合已知條件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS證得ABE≌CDF，則其對(duì)應(yīng)

邊相等：ABCD；最后根據(jù)“對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．

【詳解】證明：ABDBDC，

AB∥CD．

BAEDCF．

在ABE與CDF中，

第2頁共109頁.

BAEDCF

AEBCFD90．

BEDF

ABE≌CDF(AAS)．

ABCD．

四邊形ABCD是平行四邊形．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的

判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

平行四邊形的判定定理：

1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

特別說明：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四

邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.

（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).

【變式1】（2021·河北邯鄲·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且AE＝

CF．求證：DE＝BF．以下是排亂的證明過程：

①∵AE＝CF，∴BE＝FD；

②∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD；

③∴DE＝BF，

④∴四邊形EBFD是平行四邊形．

證明步驟正確的順序是（）

第3頁共109頁.

A．①→②→③→④B．①→④→②→③C．②→①→④→③D．②→④→①→③

【答案】C

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，AB∥CD，再證BE＝FD，得四邊形EBFD是平行四邊形，即可

得出結(jié)論．

【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵AE＝CF，

∴BE＝FD，

∴四邊形EBFD是平行四邊形，

∴DE＝BF，

則證明步驟正確的順序是②→①→④→③，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

【變式2】（2021·山東青島·一模）如圖，將矩形ABCD沿BE，DF折疊，使點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A',C分別落

在對(duì)角線BD上，連接EF，交BD于點(diǎn)O．若AB＝6，AD＝8，則OE的長(zhǎng)度是（）

A．5B．10C．25D．210

【答案】B

【分析】首先通過ASA證明ABE≌△CDF，得AE＝CF，可得四邊形BFDE是平行四邊形，在RtABD中，

由勾股定理得：BD＝10，得△OD＝5，在RtA'DE中，由勾股定理得：A'E2+42＝（8﹣A'E）2，解△得：A'E＝

3，再利用勾股定理求OE即可．△

【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，

第4頁共109頁.

∴∠A＝∠C＝90°，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，

∴∠ABD＝∠CDB，

∵將矩形ABCD沿BE，DF折疊，使點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'，C′分別落在對(duì)角線BD上，

11

∴∠ABE＝∠EBD＝ABD，∠CDF＝∠FDB＝CDB，

22

∴∠ABE＝∠CDF，

在ABE與CDF中，

AC

△△

ABCD，

ABECDF

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF，

∴AD﹣AE＝BC﹣CF，

∴DE＝BF，

∵AD∥BC，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∴OD＝OB，

在RtABD中，由勾股定理得：BD＝AB2AD2628210，

△1

∴OD＝BD5，

2

由折疊性質(zhì)可得：A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，

∴∠EA'D＝90°，A'D＝BD﹣A'B＝10﹣6＝4，

∴OA'＝OD﹣A'D＝5﹣4＝1，

由折疊性質(zhì)得：AE＝A'E，

∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣A'E＝8﹣A'E，

在RtA'DE中，由勾股定理得：

∴A'E△2+42＝（8﹣A'E）2，

解得：A'E＝3，

在RtA'OE中，由勾股定理得：OE＝OA2AE2123210．

故選：△B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

第5頁共109頁.

勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．

k

【變式3】（2022·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)y（k＞0）的圖象與直線AB交于點(diǎn)A(2，4)，

x

直線AB與x軸交于點(diǎn)B(4，0)，過點(diǎn)B作x軸的垂線BC，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，在平面內(nèi)存在點(diǎn)D，

使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是_____．

【答案】（2，2）或（2，6）或（6，-2）

8

【分析】由圖象過點(diǎn)A求出反比例函數(shù)解析式y(tǒng)，進(jìn)而求出點(diǎn)C坐標(biāo)（4，2），利用中點(diǎn)公式求點(diǎn)D

x

的坐標(biāo)．

k

【詳解】解：∵反比例函數(shù)y（k＞0）的圖象與直線AB交于點(diǎn)A(2，4)

x

∴k=2×4=8

8

∴反比例函數(shù)解析式為y

x

∵點(diǎn)B(4，0)，BC⊥x軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C

∴當(dāng)x=4時(shí)，y=2

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2）

令點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）

244x

①當(dāng)AB，CD為對(duì)角線時(shí)

402y

x2

解得

y2

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）

244x

②當(dāng)AC，BD為對(duì)角線時(shí)

420y

x2

解得

y6

第6頁共109頁.

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，6）

2x44

③當(dāng)AD，BC為對(duì)角線時(shí)

4y02

x6

解得

y2

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，-2）

綜上可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）或（2，6）或（6，-2）

故答案為：（2，2）或（2，6）或（6，-2）.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，求兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式分情況求構(gòu)成

平行四邊形的點(diǎn)坐標(biāo)．

【變式4】（2022·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考一模）如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊ABC沿射線BC平移得到DEF，點(diǎn)M，

N分別為AC，DF的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，連接PA，PC．當(dāng)△APC為直角三角形時(shí)，BE_____．

【答案】4或8

【分析】分∠APC=90°和∠ACP=90°兩種情形求解即可．

【詳解】如圖1，當(dāng)∠APC=90°時(shí)，

∵AM=MC，AC=4，

∴PM是APC斜邊上的中線，

∴AM=CM△=PM=2，

∴PN=2，

∴MN=4，

第7頁共109頁.

故將ABC向右平移4個(gè)單位即可，

∴BE△=4；

如圖2，當(dāng)∠ACP=90°時(shí)，

∵ABC是等邊三角形，AM=MC，

∴∠△BMC=90°，

∴∠BMC=∠ACP，

∴BM∥CP，

∵ABC是等邊三角形，DEF是等邊三角形，M，N分別是AC，DF的中點(diǎn)，

∴∠△ACB=∠DFE=60°，C△M=NF，

∴MC∥NF，

∴四邊形MCFN是平行四邊形，

∴MP∥BC，

∴四邊形BCPM是平行四邊形，

∴PM=4，

∴PN=4，

∴MN=8，

故將ABC向右平移8個(gè)單位即可，

∴BE△=8；

故答案為：4或8．

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平移的基本規(guī)律，

熟練掌握平移的基本特點(diǎn)，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)均在正方形ABCD內(nèi)

部，且BEEFFD2，EF90．

①求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

第8頁共109頁.

②求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；

（2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H均在正方形ABCD內(nèi)部，且BEEFFGGHHD2，

EFGH90，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

【答案】（1）見解析；（2）10（3）26

【分析】（1）①連接BF,DE,BD交EF于點(diǎn)O，證明DFO≌BEO(AAS)，則OFOE,ODOB，即可得

證；

②根據(jù)勾股定理以及全等三角形的性質(zhì)得出BD，即可求解；

（2）連接FH,BF,BD,BG,BD交FG于點(diǎn)K，過點(diǎn)B作BMGF交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證明BKDK，

勾股定理求得BK，進(jìn)而即可求解．

【詳解】（1）①證明：如圖，連接BF,DE,BD交EF于點(diǎn)O

∵DOFBOE，DFOBEO90,DFBE，

∴DFO≌BEO(AAS)，

∴OFOE,ODOB，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

②∵DFEFBE2，OFOE1,OFOBEO90，

第9頁共109頁.

∴OBOD22125，

∴BD2OB25，

∴四邊形ABCD是正方形，

2

∴BCBD10；

2

（2）連接FH,BF,BD,BG,BD交FG于點(diǎn)K，過點(diǎn)B作BMGF交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖，

∴EFB,FGH,EFG是等腰直角三角形，

∴EFBGFH45，

∵EFG90，

∴EFBEFGGFH180，

∴B,F,H三點(diǎn)共線，

同理可得D,G,E三點(diǎn)共線，

∵DHBE，BH∥DE，

∴四邊形BEDH是平行四邊形，

∴BH∥DE,BHDE，

∵BFFH,BGDG，

∴BFDG，

∵BFKDGK，BKFDKG，

∴BKF≌DKG(AAS)，

∴FKKG1,BKDK，

∵M(jìn)BEFBFM90，

∴四邊形BEFM是矩形，

第10頁共109頁.

∵BEEF，

∴四邊形BEFM是正方形，

∴BMFM2，MKMFFK3，

∴BKBM2MK22232=13，

∴BD13，

∵四邊形ABCD是正方形，

2

∴BCBD26．

2

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定

理，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)

例1（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，

∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）

A．100°B．80°C．70°D．60°

【答案】B

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠GEF的度數(shù)，依據(jù)平

行線的性質(zhì)，即可得到∠EGC的度數(shù)．

【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ABDC，

∴∠AEG=∠EGC，

∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，

∴∠GEF=30°，

∴∠GEA=80°，

∴∠EGC=80°．

第11頁共109頁.

故選：B．

【點(diǎn)睛】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．

例2（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中，CAAB，若B50，則CAD的度數(shù)是

______．

【答案】40##40度

【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行可得AD∥BC，利用平行線的性質(zhì)可得CADACB，因此利用直角

三角形兩個(gè)銳角互余求出ACB即可．

【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴CADACB，

∵CAAB，

∴BAC90，

∵B50，

∴ACB90B40，

∴CADACB40，

故答案為：40．

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，難度較小，解題的關(guān)鍵是能夠

綜合運(yùn)用上述知識(shí)．

例3（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，

(1)求證：△ABD≌△CDB；

(2)尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；

(3)連接BE，若DBE25，求AEB的度數(shù)．

【答案】(1)見解析

第12頁共109頁.

(2)見解析

(3)50°

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出ABCD,ADBC，可利用“SSS”證明三角形全等；

（2）根據(jù)垂直平分線的作法即可解答；

（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BEDE，由等腰三角形的性質(zhì)可得DBEBDE，再根據(jù)三角形外角

的性質(zhì)求解即可．

【詳解】（1）四邊形ABCD是平行四邊形，

ABCD,ADCB，

BDDB，

△ABD≌△CDB(SSS)

（2）如圖，EF即為所求；

（3）BD的垂直平分線為EF，

BEDE，

DBEBDE，

QDBE25，

DBEBDE25，

AEBBDEDBE50．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

第13頁共109頁.

1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；

2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；

3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；

4．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心；

特別說明：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角

相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.

（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.

（3）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三

邊的不等關(guān)系來解決.

【變式1】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在YABCD中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E．若BC4，

C105，BDC45，則AE的長(zhǎng)為（）．

13

A．B．13C．23D．223

2

【答案】B

【分析】過點(diǎn)A作AHBD于點(diǎn)H，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可知ABDBDC45，

BDA180CBDC30，求出BD長(zhǎng)度，再跟據(jù)平行四邊形面積公式，列出方程解答即可．

【詳解】

如圖過點(diǎn)A作AHBD于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，C105，BDC45，

第14頁共109頁.

∴BDA180CBDC30，ABDBDC45，

∴BAHABD45，

∴BHAH，

∵ADBC4，

AH2

1DH23

∴BHAHAD2，tanBDA3，

2

3

∴BDBHHD223，

∵SABCDBCAESABDSBCD2SABD，

1

∴4AE2AHBD443，

2

443

∴AE13；

4

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形及其對(duì)角線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，平行四邊形的面積等知識(shí)點(diǎn)，熟

練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·安徽合肥·合肥38中?？寄M預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，

過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，接EF、CF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

1

A．∠DCF＝∠BCDB．∠DFE＝3∠AEF

2

C．EF＝CFD．SBEC＝2SCEF

△△

【答案】D

【分析】分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AEF≌△DMF，得出對(duì)應(yīng)線段之

間關(guān)系進(jìn)而得出答案．

【詳解】解：∵F是AD的中點(diǎn)，

∴AF＝FD，

∵在?ABCD中，AD＝2AB，

∴AF＝FD＝CD，

第15頁共109頁.

∴∠DFC＝∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC＝∠FCB，

∴∠DCF＝∠BCF，

1

∴∠DCF＝∠BCD，故此選項(xiàng)A正確；

2

設(shè)∠FEC＝x，則∠FCE＝x，

∴∠DCF＝∠DFC＝90°?x，

∴∠EFC＝180°?2x，

∴∠EFD＝90°?x＋180°?2x＝270°?3x，

∵∠AEF＝90°?x，

∴∠DFE＝3∠AEF，故此選項(xiàng)B正確；

延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A＝∠MDF，

∵F為AD中點(diǎn)，

∴AF＝FD，

在△AEF和△DFM中，

AFDM

AFFD，

AFEDFM

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴EF＝MF，∠AEF＝∠M，

∵CE⊥AB，

第16頁共109頁.

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠ECD＝90°，

∵EF＝MF，

∴CF＝MF，即CF＝EF，故選項(xiàng)C正確；

∵EF＝MF，

∴SEFC＝SCFM，

△△

∵M(jìn)C＞BE，

∴SBEC＜2SEFC

△△

故SBEC＝2SCEF錯(cuò)誤；故選項(xiàng)D不成立；

△△

故選D

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△AEF≌△DMF是

解題關(guān)鍵．

【變式3】（2022·遼寧營(yíng)口·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，BD2AB，以A為

1

圓心，AO長(zhǎng)為半徑作弧，交OB于點(diǎn)G，分別以O(shè)，G為圓心，大于OC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，

2

作射線AM交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，EO2，BG1，則AC_____．

【答案】45

【分析】利用基本作圖可判斷得AM垂直平分OG，所以EGOG2，AEBAEO90，則

BO5，BE3，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OBOD，OCOA，由BD2AB，所以ABBO5，然

后利用勾股定理可先計(jì)算出AE，再計(jì)算出OA，從而得到AC的長(zhǎng)．

【詳解】解：由作法得AM垂直平分OG，

∴EGOG2，AEBAEO90，

∵BG1，

∴BO5，BE3，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

第17頁共109頁.

∴OBOD，OCOA，

∵BD2AB，

∴ABBO5，

在Rt△ABE中，AE52324，

在Rt△AOE中，OA=22+42=25，

∴AC2OA45．

故答案為：45．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了平行四邊形的性

質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是得到AM垂直平分OG．

【變式4】（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，E、F分別是YABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，AF與DE

222

相交于點(diǎn)P，BF與CE相交于點(diǎn)Q，若SAPD14cm，SBQC26cm，SABCD200cm，則陰影部分的面

積為________cm2．

【答案】60

2

【分析】連接E、F兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作EMDC于點(diǎn)M，求解SDEC100cm，證明SEFCSBCF，可得SEFQSBCQ，

2

同理：SEFDSADF，可得SEFPSADP，可得S四邊形EFPQ142640cm，從而可得答案．

【詳解】解：連接E、F兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作EMDC于點(diǎn)M，

1

∵SDCEM，SDCEM200cm2，

DEC2ABCD

2

∴SDEC100cm，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

第18頁共109頁.

∴EFC的FC邊上的高與△BCF的FC邊上的高相等，

∴SEFCSBCF，

∴SEFQSBCQ，

同理：SEFDSADF，

∴SEFPSADP，

22

∵SAPD14cm，SBQC26cm，

2

∴S四邊形EFPQ142640cm，

2

故陰影部分的面積為SDECS四邊形EPFQ1004060cm．

故答案為：60．

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握“同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等”是解本

題的關(guān)鍵．

【變式5】（2023·湖南衡陽·?？家荒＃┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，ADAO，

點(diǎn)E為OA的中點(diǎn)，

(1)若DECD，CD6，AD=25，求DE的長(zhǎng)．

(2)證明：CD2DE．

【答案】(1)3

(2)詳見解析

11

【分析】（1）根據(jù)題意可得OEAOAD5，OCAOAD25，再根據(jù)勾股定理求解即可；

22

（2）取AD的中點(diǎn)F，連接OF，通過證明ADE≌AOF和中位線定理，即可求證．

【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OAOC，

∵點(diǎn)E為OA中點(diǎn)，ADAO，AD25，

第19頁共109頁.

11

∴OEAOAD5，OCAOAD25，

22

∴CEOEOC35，

∵DECD，CD6，

∴DECE2CD23；

（2）證明：取AD的中點(diǎn)F，連接OF，

∵ADAO，點(diǎn)E為OA中點(diǎn)，

∴AEAF，

在VADE和AOF中，

ADAO

EADEAO，

AEAF

∴ADE≌AOFSAS，

∴DEOF，

∵OAOC，AFDF，

∴CD2OF，

∴CD2DE．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行四

邊形對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分．

核心考點(diǎn)三平行四邊形中的折疊問題

例1（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在E處．若

156，242，則A的度數(shù)為()

第20頁共109頁.

A．108B．109C．110D．111

【答案】C

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出ABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出ABE156，根據(jù)折疊

1

得出ABDABE28，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠A的度數(shù)即可．

2

【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴ABCD，

ABE156，

根據(jù)折疊可知，ABDEBD，

11

∴ABDABE5628，

22

242，

∴A180ABD2110，故C正確．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊性質(zhì)，根據(jù)已知條

件求出ABD28是解題的關(guān)鍵．

例2（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD，使得AD與BC重合，得到折痕EF，

把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM．連接MF，

若MFBM，AB6cm，則AD的長(zhǎng)是____________cm．

第21頁共109頁.

【答案】53

【分析】根據(jù)直角三角形的中線定理，先證明四邊形AOAM是平行四邊形，再證明AOM是等邊三角形，

分別根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)求出AM和DM，從而得到答案．

【詳解】解：如下圖所示，設(shè)AE交BM于點(diǎn)O，連接AO，

∵點(diǎn)E是中點(diǎn)，

∴在RtABM和RtABM中，AOOMOB,OAOBOM,

∴OAEOBE,OBAOAB，

∵OBEOBA，

∴OAEOAB，

∵OAEAOE90,OABOAM90，

∴AOEOAM，

∴AO//AM，

∵AM//OA

∴四邊形AOAM是平行四邊形，

∴AMOA

∴AMAOOM,

∴AOM是等邊三角形，

∴AMOOMA60

AB

∴tanAMOtan60

AM

∴AM23，

∵M(jìn)FBM，OMA60，

∴AMF30，

第22頁共109頁.

∴DMF18015030，

1

∵DFAB3，

2

DF

∴MD33，

tan30

∴ADAMMD53，

故答案為：53．

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊、直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明AOM是等邊三角形

以及熟練掌握直角三角形中的三角函數(shù)．

例3（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，

在YABCD中，BEAD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并

加以證明；

獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將YABCD沿著BF（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，

點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，連接DC'并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將YABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，使

A'BCD于點(diǎn)H，折痕交AD于點(diǎn)M，連接A'M，交CD于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問題：若此YABCD的

面積為20，邊長(zhǎng)AB5，BC25，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積．請(qǐng)你思考此問題，直接

寫出結(jié)果．

22

【答案】（1）EFBF；見解析；（2）AGBG，見解析；（3）．

3

【分析】（1）如圖，分別延長(zhǎng)AD，BF相交于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD//BC，根據(jù)平行線的

性質(zhì)可得PDFC，PFBC，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FPFB，

1

根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得EFBP，即可得EFBF；

2

1

（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

2

第23頁共109頁.

∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得

1

DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=AB，可得AG=BG；

2

（3）如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，

∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)A'BCD可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進(jìn)而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)可得A′H、NH的長(zhǎng)，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長(zhǎng)，

根據(jù)S陰=SA′MB-SA′NH即可得答案．

△△

【詳解】（1）EFBF．

如圖，分別延長(zhǎng)AD，BF相交于點(diǎn)P，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，

∴PDFC，PFBC,

∵F為CD的中點(diǎn)，

∴DFCF，

PFBC

在△PDF和△BCF中，PDFC，

DFCF

∴△PDF≌△BCF，

∴FPFB，即F為BP的中點(diǎn)，

1

∴BFBP，

2

∵BEAD，

∴BEP90，

1

∴EFBP，

2

∴EFBF．

第24頁共109頁.

（2）AGBG．

∵將YABCD沿著BF所在直線折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，

1

∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，'，

2FCFC

∵F為CD的中點(diǎn)，

1

∴FCFDCD，

2

∴FC'FD，

∴∠FDC′=∠FC′D，

∵CFC'=∠FDC′+∠FC′D，

1

∴FC'DCFC'，

2

∴∠FC′D=∠C′FB，

∴DG//FB，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴DC//AB，DC=AB，

∴四邊形DGBF為平行四邊形，

∴BGDF，

1

∴BGAB，

2

∴AGBG．

（3）如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，

∵YABCD的面積為20，邊長(zhǎng)AB5，A'BCD于點(diǎn)H，

∴BH=50÷5=4，

第25頁共109頁.

∴CH=BC2BH22，A′H=A′B-BH=1，

∵將YABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，

∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，

∵A'BCD于點(diǎn)H，AB//CD，

∴A'BAB，

∴∠MBH=45°，

∴△MBQ是等腰直角三角形，

∴MQ=BQ，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，

∴∠A′=∠C，

∵∠A′HN=∠CHB，

∴△A′NH∽△CBH，

CHBH24

∴，即，

A'HNH1NH

解得：NH=2，

∵A'BCD，MQ⊥A′B，

∴NH//MQ，

∴△A′NH∽△A′MQ，

A'HNH12

∴，即，

A'QMQ5MQMQ

10

解得：MQ=，

3

11110122

∴S陰=SA′MB-SA′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．

222323

△△

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定

第26頁共109頁.

與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．

（1）折疊的性質(zhì)

①重疊部分全等

②折痕是對(duì)稱軸，對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.

（2）對(duì)稱的定義（折疊是對(duì)稱的一種特殊情況）

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，

這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的特性是相同的，對(duì)應(yīng)

點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離都是相等的.

（3）認(rèn)真識(shí)別折疊前后的圖形是解題的關(guān)鍵.

【重點(diǎn)聚焦】

（1）折疊問題通常涉及平行四邊形的性質(zhì)和判定、折疊的性質(zhì)、對(duì)角線的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

（2）“利用折疊的性質(zhì)得到等邊等角“和”識(shí)別折疊前后的圖形“是解決折疊問題的關(guān)鍵.

（3）審題時(shí)，應(yīng)養(yǎng)成良好的做題習(xí)慣：把已知條件的等邊關(guān)系、等角關(guān)系、角的度數(shù)等內(nèi)容均在圖形做好

標(biāo)記.

【變式1】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）在探究折疊問題時(shí)，小華進(jìn)行了如下操作：如圖，F(xiàn)為直角梯形ABCD

邊AB的中點(diǎn)，將直角梯形紙片ABCD分別沿著EF，DE所在的直線對(duì)折，點(diǎn)B，C恰好與點(diǎn)G重合，點(diǎn)D，

G，F(xiàn)在同一直線上，若四邊形BCDF為平行四邊形，且AD6，則四邊形BEGF的面積是（）

33

A．63B．33C．23D．

2

【答案】A

第27頁共109頁.

【分析】先由折疊性質(zhì)和點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)得出AF與DF的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理求得AF與DF，再平行

四邊形的面積公式求得BCDF的面積，進(jìn)而求得四邊形BEGF的面積．

【詳解】】解：由折疊性質(zhì)得BE=GE=CE，BF=GF，CD=DG，

∵四邊形BCDF為平行四邊形，

∴CD=BF，DF=BC，

∵AF=BF，

∴AF=BF=FG=DG，

∴2AF=DF，

在RtADF中，DF2-AF2=AD2，即4AF2-AF2=62，

∴AF=23，

∴BF=23，

∴S?BCDF＝BF?AD＝123，

∵DG=FG，

∴SEDG=SEFG，

△△

由折疊性質(zhì)知SCDE=SEDG=SRFG=SBEF，

△△△△

1

∴SBEGF＝S?BCDF＝．

四邊形263

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積計(jì)

算，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵在應(yīng)用勾股定理求出AF的長(zhǎng)度．

【變式2】（2022·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得點(diǎn)B落在

CD上的點(diǎn)Q處，折痕為AP．再將PCQ，ADQ分別沿PQ，AQ折疊，此時(shí)點(diǎn)C，D落在AP上的同一

AB

點(diǎn)R處．當(dāng)AD＝CP時(shí)，則的值△為（△）

QR

A．3B．23C．2D．2

第28頁共109頁.

【答案】A

【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，

∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性質(zhì)可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可證AD∥BC，由平行線的性

質(zhì)可得∠DAB=90°，由平行四邊形和折疊的性質(zhì)可得AR=PR，由直角三角形的性質(zhì)可得AP=2PB=2QR，

AB=3PB，即可求解．

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，

∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，

∵∠QRA+∠QRP=180°，

∴∠D+∠C=180°，

∴AD∥BC，

∴∠B+∠DAB=180°，

∵∠DQR+∠CQR=180°，

∴∠DQA+∠CQP=90°，

∴∠AQP=90°，

∴∠B=∠AQP=90°，

∴∠DAB=90°，

∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°，

由折疊的性質(zhì)可得：AD=AR，CP=PR，

∵四邊形APCD是平行四邊形，

∴AD=PC，

∴AR=PR，

又∵∠AQP=90°，

1

∴QR=AP，

2

∵∠PAB=30°，∠B=90°，

∴AP=2PB，AB=3PB，

∴PB=QR，

AB

∴3，

QR

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本

第29頁共109頁.

題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，將ACD沿著AC所在的直線折疊

得到△ACE，AE交BC于點(diǎn)F，連接BE，若ABC60，ACB45，AC23，則BE的長(zhǎng)是______．

【答案】2

【分析】利用折疊的性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，得到EFC90，分別解Rt△AFC，Rt△EFC，Rt△EFB，

即可得解．

【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，ABC60，

∴DABC60,BCD18060120，ADBC，

∵ACB45，

∴ACD1204575，

∵將ACD沿著AC所在的直線折疊得到△ACE，

∴ACEACD75,CECD,AECD60,AEAD，

∴ECF754530，

∴EFC180603090，

∴AFC180EFC90，

∵ACB45，AC23，

2

∴AFCFAC6，

2

3

∴EFCFtan3062，

3

∵BCADAE,AFCF，

∴BCCFAEAF，即：BFEF2，

∴BE2EF2；

故答案為：2．

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握平行四邊形和折疊的性質(zhì)，

第30頁共109頁.

得到BCAE，是解決本題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠A＝45，AB33，點(diǎn)E為AD

邊上一動(dòng)點(diǎn)．將ABE沿直線BE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，再將BEA′沿直線A′B折疊，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

E′．當(dāng)點(diǎn)E′在BC△上方，且BE′與平行四邊形ABCD的一邊垂直時(shí)，△A′E′的長(zhǎng)為______．

【答案】6或2

【分析】分兩種情況討論：當(dāng)BE’⊥AB時(shí)，當(dāng)BE’⊥AD，垂足為點(diǎn)H時(shí)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及直角

三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

【詳解】如圖1，當(dāng)BE’⊥AB時(shí)，過過點(diǎn)E作EH⊥AB，

∵BE’⊥AB，

∴∠ABE’=90°，

∵將ABE沿直線BE折疊，再將BEA′沿直線A′B折疊，

∴∠A△BE=∠A’BE=∠A’BE’=30°，△

設(shè)HE=x，

∴RtBHE中，BH3HE3x，

∵Rt△AEH中，∠A＝45，

∴AH△=HE，

∴AB=x3x33，

解得：x3，

第31頁共109頁.

∴EH3，

∴A'E'AE'2EH6，

如圖2，當(dāng)BE’⊥AD，垂足為點(diǎn)H時(shí)，

∵BE’⊥AD，

∴∠AHB=90°，

∵RtABH中，∠A＝45，

△22

∴AH=HB=AB33，

22

∵將ABE沿直線BE折疊，再將BEA′沿直線A′B折疊，

∴∠A△BE=∠A’BE=∠A’BE’=15°，△

∴∠HBE=30°，

33262

∴RtBHE中，HEBH33，

3322

△262

∴A'E'AEAHEH332；

22

故答案為：6或2．

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換-折疊問題，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)；熟練掌握翻折變換和

直角三角形的性質(zhì)，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．

【變式5】（2020·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB10，AD16，A60，P

是射線AD上一點(diǎn)，連接PB，沿PB將APB折疊，得APB．

（1）如圖所示，當(dāng)DPA10時(shí)，APB_______度；

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（2）如圖所示，當(dāng)PABC時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)度；

（3）當(dāng)點(diǎn)P為AD中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F是邊AB上不與點(diǎn)A、B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將APF沿PF折疊，得到APF，

連接BA，求BAF周長(zhǎng)的最小值．

【答案】（1）85；（2）535；（3）2221

【分析】（1）求出APA，利用翻折不變性解決問題即可．

（2）如圖2中，作BH⊥AD于H．根據(jù)30度角所對(duì)