專題18 特殊的平行四邊形（8大考點(diǎn)）（原卷版）

第五部分四邊形

專題18特殊的平行四邊形（8大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定

核心考點(diǎn)二矩形的相關(guān)證明與計(jì)算

核心考點(diǎn)三菱形的性質(zhì)與判定

核心考點(diǎn)四菱形的相關(guān)證明與計(jì)算

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)五正方形的性質(zhì)與判定

核心考點(diǎn)六正方形的相關(guān)證明與計(jì)算

核心考點(diǎn)七中點(diǎn)四邊形

核心考點(diǎn)八三角形的中位線

新題速遞

核心考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定

例1（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG

的邊EF經(jīng)過點(diǎn)C，且點(diǎn)G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長(zhǎng)為（）

333

A．B．C．6D．3

22

例2（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB8，AD6，E，F(xiàn)分別為AB，AD

的中點(diǎn)，連接EF．如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角090，使EFAD，連接BE并延長(zhǎng)交

DF于點(diǎn)H，則∠BHD的度數(shù)為______，DH的長(zhǎng)為______．

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例3（2022·云南·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE與

CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF=90°

(1)求證：四邊形ABDF是矩形；

(2)若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．

1.矩形的性質(zhì)：

（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等且互相平分；

⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱

中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

2.矩形的判定：

①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）

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【變式1】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中ADCABC90，ADCD，DPAB

于點(diǎn)P，若四邊形ABCD的面積是9，則DP的長(zhǎng)是()

A．6B．4.5C．3D．2

【變式2】（2023·安徽淮北·校聯(lián)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB4，BC6，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一

點(diǎn)，連接PA，PC，PD，若PAPD，則PC的最小值為（）

A．2134B．2103C．2D．4

【變式3】（2022·黑龍江哈爾濱·?？级＃┤鐖D，矩形ABCD中，AB4,BC10，M為AD的中點(diǎn)，把矩

形沿著過點(diǎn)M的直線折疊，點(diǎn)A剛好落在邊BC上的點(diǎn)E處，則AE的長(zhǎng)為___________．

【變式4】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD4，點(diǎn)E、

F在邊AB、AD上，且AEAF1，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且EQF135，連接

PD、PQ，則PQPD的最小值為______．

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【變式5】（2022·云南文山·統(tǒng)考三模）如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E

是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)F，使EFBE，連接AF、CF，BF與AC交于點(diǎn)G，連接DG．

(1)求證：四邊形ADCF是矩形；

(2)若ACBF，AC3，tanABC2，求DG的長(zhǎng)．

核心考點(diǎn)二矩形的相關(guān)證明與計(jì)算

例1（2021·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰直角ABC中，C90，M、N分別為BC、AC

1

上的點(diǎn)，CNM50，P為MN上的點(diǎn)，且PCMN，BPC117，則ABP（）

2

A．22B．23C．25D．27

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例2（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD，AB1，BC2，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D

在y軸正半軸上．當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)O的

最大距離為__．

例3（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，YABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OC

的中點(diǎn)．

(1)求證：BEDF；

AC

(2)設(shè)k，當(dāng)k為何值時(shí)，四邊形DEBF是矩形？請(qǐng)說明理由．

BD

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【變式1】（2021·浙江寧波·?？既＃┤鐖D，在ABC中，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，EDBC于點(diǎn)D，四邊

形EDGF為矩形，若BCDG，ABC的面積為a，矩形EDGF的面積為b，則下列圖形中面積可以確定的

是（）

A．△BDE的面積B．四邊形ACGF的面積

C．梯形EDCH的面積D．△AEF的面積

【變式2】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，DE平分ADC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是

CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合）．點(diǎn)P為DE上一動(dòng)點(diǎn)，PEPD，將DPF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，角

的兩邊交射線DA于H，G兩點(diǎn)，有下列結(jié)論：①DHDE；②DPDG；③DGDF2DP；

④DPDEDHDC，其中一定正確的是（）

A．①②B．②③C．①④D．③④

【變式3】（2022·黑龍江哈爾濱·校考二模）已知矩形ABCD，點(diǎn)E在AD邊上，DEAE，連接BE，點(diǎn)G在

BC邊上，連接EG，BE平分AEG，若BG5GC，DE2CG，BE210，則ABE的面積是___________．

【變式4】（2022·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，C90，AC3cm，BC4cm，D是AB

上一點(diǎn)，DEAC于點(diǎn)E，DFBC于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為___________cm．

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【變式5】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E在AD上，連接BE，CE，

△ABE≌△DCE．在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E在AD上，連接BE，CE，ABE≌DCE．

△△

(1)如圖1，求證：四邊形ABCD為矩形；

(2)如圖2，連接AC交BE于點(diǎn)F，點(diǎn)G在CF上，AF2CG，連接BG，在不添加任何輔助線的情況下，

1

直接寫出圖中所有面積為四邊形ABCD面積的的三角形．

4

核心考點(diǎn)三菱形的性質(zhì)與判定

例1（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB2,ABC60，M是對(duì)角線BD上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CFBF，則MAMF的最小值為（）

A．1B．2C．3D．2

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例2（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，ABC60，對(duì)角線AC與BD交

于點(diǎn)O，E為OB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，連接EF，則EF的長(zhǎng)為_________．

例3（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．

(1)求BD的長(zhǎng)；

(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=3DF，

①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；

②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+3CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+3CF的最小值；如

果不是，請(qǐng)說明理由．

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1.菱形的性質(zhì)：

（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．

（2）菱形的性質(zhì)：

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．

（3）菱形的面積計(jì)算

1

①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=ab．（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）

2

2.菱形的判定：

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形．

③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．

【變式1】（2023·安徽淮北·校聯(lián)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，A60，點(diǎn)E，F(xiàn)在菱形ABCD

的邊上，從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿ABC和ADC的方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停

2

止，線段EF掃過區(qū)域的面積記為ycm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為xs，能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是

（）

A．B．C．D．

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k

【變式2】（2022·遼寧營(yíng)口·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖像與菱

x

形OABC的邊OC，AB分別交于點(diǎn)M、N，且OM2MC，OA6，COA60，則N的橫坐標(biāo)為（）

A．7B．63C．313D．313

【變式3】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于

2

點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DECD，交AC于點(diǎn)E，若AC6，tanACB，則DE的長(zhǎng)是______．

3

【變式4】（2022·江西萍鄉(xiāng)·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，BC10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BD

上，F(xiàn)EBD，EF4，將△DFE沿DB方向平移，使點(diǎn)F落在AB上，則△DFE平移的距離為________．

【變式5】（2023·四川巴中·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD∥BC，ABAD，對(duì)角線AC，BD

交于點(diǎn)O，AC平分BAD，過點(diǎn)C作CEAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若AD6，BD2，求OE的長(zhǎng)．

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核心考點(diǎn)四菱形的相關(guān)證明與計(jì)算

例1（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE

交對(duì)角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個(gè)菱形的面積為（）

A．16B．67C．127D．30

例2（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在OB上，

連接AE，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接OF，若AEBE，OE3，OA4，則線段OF的長(zhǎng)為___________．

例3（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，C90，

1

ADBABDBDC，DE交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EFBD，垂足為F，且EFEC．

2

（1）求證：四邊形ABED是菱形；

（2）若AD4，求BED的面積．

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【變式1】（2022·山東濟(jì)南·?？家荒＃┤鐖D，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，E、F分別是AB、AD上的點(diǎn)，連

接CE、CF、EF，AC與EF相交于點(diǎn)G，若BEAF2，BAD120，則FG的長(zhǎng)為（）

133

A．B．3C．2D．

22

【變式2】（2021·陜西·西安市第三中學(xué)校考三模）如圖，折疊菱形紙片ABCD，使得AD對(duì)應(yīng)邊過點(diǎn)C，

若B60，AB2，當(dāng)AEAB時(shí)，AE的長(zhǎng)是（）

A．23B．232C．5D．13

【變式3】（2023·山東東營(yíng)·校聯(lián)考一模）如圖，在菱形ABCD中，AB43，ABC60，點(diǎn)P是BD

上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是BC、CD上任意一點(diǎn)，且PMBC，垂足為M，連接PM、PN，則PMPN

的最小值為_____．

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【變式4】（2023·山東東營(yíng)·?？家荒＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，A60，M是AD邊上的一點(diǎn)，

1

且AMAD，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN所在直線翻折得到△AMN，連接AC，則AC長(zhǎng)

4

度的最小值是___________．

【變式5】（2023·廣東深圳·校考一模）如圖，已知ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DE∥AC交

AB于點(diǎn)E，作DF∥AB交AC于點(diǎn)F，連接AD．

(1)下列條件：

①D是BC邊的中點(diǎn)；

②AD是ABC的角平分線；

③點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于直線AD對(duì)稱．

請(qǐng)從中選擇一個(gè)能證明四邊形AEDF是菱形的條件，并寫出證明過程；

(2)若四邊形AEDF是菱形，且AE2，CF1，求BE的長(zhǎng)．

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核心考點(diǎn)五正方形的性質(zhì)與判定

例1（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B在y

k

軸上，若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖像過點(diǎn)C，則k的值為（）

x

A．4B．﹣4C．﹣3D．3

例2（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，

AEAF,EAF30，則AEB___________；若△AEF的面積等于1，則AB的值是___________．

例3（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，BE的垂直

平分線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，垂足為O，點(diǎn)F在DC上，且MF∥AD．

(1)求證：△ABE≌△FMN；

(2)若AB8，AE6，求ON的長(zhǎng)．

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1.正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；

②正方形的兩條對(duì)角線相等且互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．

④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．

2.正方形的判定：

正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．

【變式1】（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD中，將邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)BC，若

CCD90，CC2，則線段BC的長(zhǎng)度為（）

5

A．2B．C．6D．5

2

【變式2】（2022·河南周口·周口市第一初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，

A3B3C3C2，…照如圖所示的方式放置，點(diǎn)A1，A2，A3，…和點(diǎn)C1，C2，C3，…分別在直線kkxbk0

和x軸上，已知點(diǎn)B11,1，B23,2，則B3的坐標(biāo)是（）

A．12,9B．10,7C．8,5D．7,4

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【變式3】（2022·陜西西安·西安市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，AB3，E、M、N

分別是邊AD、AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且NM2，MONO，則CEEO的最小值是________．

【變式4】（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC邊上任意一

點(diǎn)（不與B、C重合），沿AE折疊正方形ABCD，使得點(diǎn)B落在B，連接DB，若點(diǎn)F為線段DB的中點(diǎn)，

則CF的最小值為__________．

【變式5】（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學(xué)校校考二模）如圖，已知正方形ABCD，AB＝8，點(diǎn)M為線段

DC上的動(dòng)點(diǎn)，射線AM交BD于E交射線BC于F，過點(diǎn)C作CQ⊥CE，交AF于點(diǎn)Q，

(1)求證：∠QCF＝∠QFC；

(2)證明：△CMQ是等腰三角形．

(3)取DM的中點(diǎn)H，連結(jié)HQ，若HQ＝5，求出BF的長(zhǎng)．

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核心考點(diǎn)六正方形的相關(guān)證明與計(jì)算

例1（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是對(duì)

角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DN＝x，AN+MN＝y(tǒng)，已知y與x之間的函數(shù)圖象如圖②所示，點(diǎn)E（a，25）是

圖象的最低點(diǎn)，那么a的值為（）

8244

A．B．22C．2D．5

333

例2（2022·山西·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長(zhǎng)線

上，且BEDF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過點(diǎn)A作ANEF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE5，

CN8，則線段AN的長(zhǎng)為_________

例3（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準(zhǔn)備在耕地A、B、C、D四個(gè)位

置安裝四個(gè)自動(dòng)噴酒裝置（如圖1所示），A、B、C、D四點(diǎn)恰好在邊長(zhǎng)為50米的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，

為了用水管將四個(gè)自動(dòng)噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)水管鋪設(shè)方案（各圖中實(shí)線為鋪設(shè)的水管）．

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方案一：如圖2所示，沿正方形ABCD的三邊鋪設(shè)水管；

方案二：如圖3所示，沿正方形ABCD的兩條對(duì)角線鋪設(shè)水管．

(1)請(qǐng)通過計(jì)算說明上述兩方案中哪個(gè)方案鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)度更短；

(2)小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂集原理”重新設(shè)計(jì)了一個(gè)方案（如圖4所示），

滿足AEBCFD120°，AEBECFDF，EF∥AD、請(qǐng)將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰

的方案中鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)度更短，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：21.4，31.7）

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【變式1】（2022·吉林長(zhǎng)春·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊OC、OA分別

在x軸和y軸上，OA5，點(diǎn)D是邊AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，將△OAD沿直線OD折疊后得到△OAD，

k

若反比例函數(shù)yk0的圖象經(jīng)過A點(diǎn)，則k的值為（）

x

A．9B．12C．18D．24

【變式2】（2020·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AEEF，

CF1，則AF的長(zhǎng)為（）

A．4B．5C．6D．7

【變式3】（2023·山東濟(jì)南·山東大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)E是正方形ABCD邊BC的中點(diǎn)，AD2，

連接AE，將ABE沿AE翻折，得到△AFE，延長(zhǎng)EF，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．則MN的

長(zhǎng)度為______．

第19頁共34頁.

【變式4】（2022·河南鄭州·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知Rt△ABC中，ABC90，以斜邊

AC為邊向外作正方形ACDE，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接OB．已知BC9，AB6，則OB________．

【變式5】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為215，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與

DE，DB分別交于點(diǎn)M，N．請(qǐng)你回答下列問題：

(1)求證：AFDE．

(2)直接寫出AM的長(zhǎng)．

(3)求DMN的面積．

第20頁共34頁.

核心考點(diǎn)七中點(diǎn)四邊形

例1（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，

DA邊上的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A．四邊形EFGH是矩形

B．四邊形EFGH的內(nèi)角和小于四邊形ABCD的內(nèi)角和

C．四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于四邊形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)度之和

1

D．四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD面積的

4

例2（2022·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．給

出以下判斷：

①AC垂直平分BD；

②四邊形ABCD的面積S＝AC?BD；

③順次連接四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)得到的四邊形可能是正方形；

④將△ABD沿直線BD對(duì)折，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接BE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，當(dāng)BF⊥CD時(shí)，四邊形ABCD

22

的內(nèi)切圓半徑為．其中正確的是_____．（寫出所有正確判斷的序號(hào)）

7

第21頁共34頁.

例3（2018·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)O，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，

CD，AD的中點(diǎn)，連接OE，EF，F(xiàn)G，GO，GE．

（1）證明：四邊形OEFG是平行四邊形；

（2）將△OGE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OMN，如圖2所示，連接GM，EN．

EN

①若OE=3，OG=1，求的值；

GM

②試在四邊形ABCD中添加一個(gè)條件，使GM，EN的長(zhǎng)在旋轉(zhuǎn)過程中始終相等．（不要求證明）

依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形

原四邊形對(duì)角線互相垂直的中點(diǎn)四邊形是矩形。

原四邊形對(duì)角線相等的中點(diǎn)四邊形是菱形。

原四邊形對(duì)角線互相垂直且相等的中點(diǎn)四邊形是正方形。

若考慮平行四邊形的中點(diǎn)四邊形，可根據(jù)特殊平行四邊形的判定分別得到(你能證明么)：

矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形

菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形

正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形

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【變式1】（2022·廣東佛山·校考一模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，

DA的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說法正確的是（）

A．不一定是平行四邊形B．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它為菱形

C．一定是軸對(duì)稱圖形D．不一定是中心對(duì)稱圖形

【變式2】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，已知點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、

DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH，我們把四邊形EFGH叫做四邊形ABCD的“中點(diǎn)四

邊形”．若四邊形ABCD是矩形，則矩形ABCD的“中點(diǎn)四邊形”一定是（）

A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形

【變式3】（2022·遼寧沈陽·沈陽市第七中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，ACBD，點(diǎn)E，F(xiàn)，

G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC6，BD8，則四邊形EFGH的面積是______．

【變式4】（2021·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃┧倪呅蜛BCD中，ACBD，順次連接它的各邊中點(diǎn)所得的四邊形

是________．

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【變式5】（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖1，在四邊形ABCD中，如果對(duì)角線AC和BD相交并且相等，

那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．

(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；

②若M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線AC、BD還

要滿足時(shí)，四邊形MNPQ是正方形．

(2)如圖2，已知ABC中，ABC90，AB4，BC3，D為平面內(nèi)一點(diǎn)．

①若四邊形ABCD是等角線四邊形，且ADBD，求四邊形ABCD的面積；

②設(shè)點(diǎn)E是以C為圓心，1為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，若四邊形ABED是等角線四邊形，則四邊形ABED的面積

的最大值為．

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核心考點(diǎn)八三角形的中位線

例1（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE=1，

∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（）

63

A．B．

22

62

C．23D．

2

例2（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片

ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B處，折痕AD交BC于點(diǎn)D；第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，

折痕MN交AB于點(diǎn)P．若BC12，則MPMN_____________．

例3（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，ABAD．

(1)求證：ACBD；

3

(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點(diǎn)，連接EF，EF，AO2，求BD的長(zhǎng)及四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

2

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要點(diǎn)一、三角形的中位線

1．定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.

特別說明：

（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角形

11

周長(zhǎng)的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.

24

（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.

要點(diǎn)二、中點(diǎn)三角形

定義：中點(diǎn)三角形就是把一個(gè)三角形的三邊中點(diǎn)順次連接起來的一個(gè)新三角形.

性質(zhì)：

（1）這個(gè)新三角形的各個(gè)邊長(zhǎng)分別是原來三角形三邊長(zhǎng)的一半且分別

平行，角的度數(shù)與原三角形分別相等，4個(gè)三角形都全等

（2）中點(diǎn)三角形周長(zhǎng)是原三角形的周長(zhǎng)一半。

（3）中點(diǎn)三角形面積是原三角形面積的四分之一。

補(bǔ)充：中點(diǎn)三角形與原三角形不僅相似，而且位似。

【變式1】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，EF∥DG∥AC，

H為AF與DG的交點(diǎn)．若AC6，則DH（）

A．2B．1C．0.5D．1.5

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【變式2】．（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，矩形ABCD中AB3，AD4，點(diǎn)E在邊AD上，AE：ED1:3，

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到B停止，過點(diǎn)E作EF垂直PE交射線BC于點(diǎn)F，如果M是線段EF的

中點(diǎn)，那么P在運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為（）

A．5B．5.5C．4D．4.5

【變式3】（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的O與x軸的正半軸交于點(diǎn)

3

A，點(diǎn)B是O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線yx3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則CDE面

4

積的最小值為________．

【變式4】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知矩形ABCD中，AB2AD8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中

點(diǎn)，點(diǎn)P為AD邊上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作與AB平行的直線交AF于點(diǎn)G，連接PE，點(diǎn)M是PE中點(diǎn)，連接MG，

則MG的最小值＝__________．

第27頁共34頁.

【變式5】（2022·安徽合肥·?？级＃┤鐖D，在ABC中，ACB90，點(diǎn)E是邊AC上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作

EFAB于點(diǎn)F．連接BE，點(diǎn)O是BE的中點(diǎn)，CO交AB于點(diǎn)D．

(1)若A30，求COF的度數(shù)；

(2)若AEF≌CBD，

①求證：DFDB；

EF

②求的值．

CD

第28頁共34頁.

【新題速遞】

1．（2023·陜西西安·交大附中分校?？既＃┤鐖D，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，PEBC，

PFCD，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)AP，EF，若AP5，則EF（）

52

A．5B．52C．2.5D．

2

2．（2022·廣東深圳·北大附中深圳南山分校?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線AC與BD相交

于點(diǎn)O，AB6，OA4，則AD的長(zhǎng)為（）

A．4B．8C．33D．27

3．（2023·黑龍江綏化·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB5，BC7，點(diǎn)E是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

把BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A恰好落在BCD的平分線上時(shí)，CA的長(zhǎng)為（）

A．3或42B．4或32C．3或4D．32或42

4．（2023·云南昆明·昆明八中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，有六根長(zhǎng)度相同的木條，小明先用四根木條制作了能夠

活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先將該活動(dòng)學(xué)具調(diào)成圖1所示菱形，測(cè)得B=60，對(duì)角線AC10cm，接著將該活動(dòng)

學(xué)具調(diào)成圖2所示正方形，最后用剩下的兩根木條搭成了如圖3所示的圖形，連接BE，則圖3中BCE的

面積為（）

A．503cm3B．50cm2C．253cm2D．25cm2

第29頁共34頁.

5．（2023·湖南衡陽·衡陽市華新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┫铝忻}中，是真命題的是（）

A．四條邊相等的四邊形是正方形

B．對(duì)角線相互垂直的四邊形是平行四邊形

C．對(duì)角線相等且相互平分的四邊形是矩形

D．對(duì)角線相等且相互垂直的四邊形是菱形

6．（2023·廣東·一模）在菱形ABCD中，M是邊AD的中點(diǎn)，ADCM，若AM2，則CM的長(zhǎng)為（）

A．3B．23C．32D．4

7．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，

點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點(diǎn)，連接EF，則△AEF的周長(zhǎng)為（）

A．6B．7C．8D．9

8．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB,BC上，點(diǎn)P是DF

的中點(diǎn)，連接AP,EP．若APAD,BEBF，則BEP的度數(shù)為（）

A．60B．65C．75D．80

9．（2022·山東濟(jì)南·校考模擬預(yù)測(cè)）矩形ABCD中，AB3，AD4，則C到BD的距離為___________．

10．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C上，

點(diǎn)D落在D￠處，CD交AE于點(diǎn)M．若AB6,BC9，則BF的長(zhǎng)為_______

第30頁共34頁.

11．（2021·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中校考二模）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，ADBC6，ABCD10．點(diǎn)E