專題19 圓的基本概念及其性質(zhì)（5大考點(diǎn)）（原卷版）

第五部分圓

專題19圓的基本概念及其性質(zhì)（5大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一圓周角、圓心角相關(guān)問(wèn)題

核心考點(diǎn)二垂徑定理及其推論

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

核心考點(diǎn)四正多邊形與圓相關(guān)的計(jì)算

核心考點(diǎn)五圓的基本性質(zhì)綜合題

新題速遞

核心考點(diǎn)一圓周角、圓心角相關(guān)問(wèn)題

例1（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形．若BCD121，則BOD

的度數(shù)為（）

A．138°B．121°C．118°D．112°

例2（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB、AC是O的弦，過(guò)點(diǎn)A的切線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

若BAD35，則C___________°．

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例3（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，DFAB交BC于

點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF,CF．

(1)求證：ACAF；

(2)若⊙O的半徑為3，CAF30，求AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．

知識(shí)點(diǎn)、圓周角

1．頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）

2．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦

相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．

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【變式1】（2023·山東·統(tǒng)考一模）．如圖，在ABC中，AC4，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓與邊AB相

切于點(diǎn)D，與AC，BC分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，點(diǎn)H是優(yōu)弧EF上一點(diǎn)，EHF70，則BDF的度數(shù)是（）

A．35B．40C．55D．60

【變式2】（2022·陜西西安·一模）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)M是O內(nèi)的一定點(diǎn)，PQ是O內(nèi)過(guò)點(diǎn)M

的一條弦，連接AM，AP，AQ，若O的半徑為4，AM5，則APAQ的最大值為_(kāi)____．

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【變式3】（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知AB為O的直徑，過(guò)O上點(diǎn)C的切線交AB的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E，ADEC于點(diǎn)D．且交O于點(diǎn)F，連接BC，CF，AC．

(1)求證：BCCF；

(2)若AD3，DE4，求BE的長(zhǎng)．

核心考點(diǎn)二垂徑定理及其推論

例1（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了

一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所

示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖（2）是過(guò)球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已

知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，

AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（）

A．10cmB．15cmC．20cmD．24cm

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例2（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）O的直徑CD10，AB是O的弦，ABCD，垂足為M，

OM:OC3:5，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

例3（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，O的直徑AB垂直于弦DC于點(diǎn)F，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線

上，CP與O相切于點(diǎn)C．

(1)求證：PCBPAD；

(2)若O的直徑為4，弦DC平分半徑OB，求：圖中陰影部分的面積．

1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

幾何語(yǔ)言：

垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：

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垂徑定理在基本圖形中的應(yīng)用：

2．其它正確結(jié)論：

⑴弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

⑵平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?/p>

⑶圓的兩條平行弦所夾的弧相等．

3．知二推三：①直徑或半徑；②垂直弦；③平分弦；④平分劣??；⑤平分優(yōu)弧．以上五個(gè)條件知二推三．

注意：在由①③推②④⑤時(shí)，要注意平分的弦非直徑．

4．常見(jiàn)輔助線做法：

⑴過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造RT△，用勾股，求長(zhǎng)度；

⑵有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．

【變式1】（2022·浙江杭州·?？级＃┤鐖D，O的半徑ODAB于點(diǎn)C，連接AO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E，

連接EC．若AB8，CD2，則tanOEC為（）

63132213

A．B．C．D．

1713313

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【變式2】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)P

與點(diǎn)A的連線交O于點(diǎn)F，已知AB10，CD8，AF6，則PF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【變式3】（2023·陜西西安·交大附中分校?？级＃┤鐖D，已知AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，

ODBC，垂足為D，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作O的切線與DO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．

(1)求證：BE；

(2)若O的半徑為4，OE6，求AD的長(zhǎng)．

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核心考點(diǎn)三圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

例1（2021·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C，D在以AB為直徑的半圓上，ADC120，點(diǎn)E

是AD上任意一點(diǎn)，連接BE，CE，則BEC的度數(shù)為（）

A．20°B．30°C．40°D．60°

例2（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于O，則AB的長(zhǎng)是________

（結(jié)果保留π）

例3（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AD是圓O的直徑，AD，BC的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CB交PA于點(diǎn)P，BAPDCE90．

(1)求證：PA是圓O的切線；

1

(2)連接AC，sinBAC，BC2，AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

3

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圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。

【變式1】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？既＃┤鐖D，在O中，AD是直徑，DAB31，點(diǎn)C

是圓上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），則ACB的度數(shù)為（）

A．31B．59C．31或59D．59或121

【變式2】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊AB上的一點(diǎn)，已知DEF45，EF

分別交邊AC，CD于點(diǎn)G，F(xiàn)，且滿足AGDF32，則EG的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【變式3】（2021·貴州·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為BC上的一點(diǎn)，連接DP，CP．

(1)求∠CPD的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．

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核心考點(diǎn)四正多邊形與圓相關(guān)的計(jì)算

例1（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細(xì)，所失彌少，割

之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣"，即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開(kāi)始，每

次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，……．邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形

的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng)．再根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比”來(lái)計(jì)算圓周率．設(shè)圓的半徑為R，圖

l

1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)l6R，則63．再利用圓的內(nèi)接正十二邊形來(lái)計(jì)算圓周率則圓周率約為

62R

（）

A．12sin15B．12cos15C．12sin30D．12cos30

例2（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙O是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓．現(xiàn)假

設(shè)可以隨意在圖中取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是_________．

例3（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過(guò)程，并回答

下列問(wèn)題，作法：如圖2，①作直徑AF；②以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N；③連接

AM,MN,NA．

(1)求ABC的度數(shù)．

(2)AMN是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)從點(diǎn)A開(kāi)始，以DN長(zhǎng)為半徑，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．

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知識(shí)點(diǎn)、正多邊形與圓

（一）正多邊形及有關(guān)概念

（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。

（2）正多邊形的畫法：把圓n等分（n3），順次連接各等分點(diǎn)，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這

個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。

（3）正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫作這個(gè)正多邊形的中心。

（4）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。

（5）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫作正多邊形的中心角。

（6）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。

（二）正多邊形的有關(guān)計(jì)算

n2180360

（1）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于180.

nn

360

（2）正n邊形的每個(gè)中心角都等于.

n

（3）正n邊形的其他計(jì)算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長(zhǎng)的一半組成的直角三角形中進(jìn)行，如圖所示，

2

18022a

設(shè)正n邊形的半徑為R,一邊ABa，邊心距OMr，則有BOM,Rr,正n邊

n2

形

1

的周長(zhǎng)lna,面積SnS2nSlr.

AOBBOM2

第11頁(yè)共22頁(yè).

【變式1】（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖，五邊形ABCDE是O的內(nèi)接正五邊形，AF是O的直徑，則

CDF的度數(shù)是（）

A．18B．36C．54D．72

【變式2】（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，有一個(gè)大小為的銳角COD頂點(diǎn)

3

在圓心O上，這個(gè)角繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，扇形COD與扇形AOB有重疊的概率為，求

10

___________．

【變式3】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【問(wèn)題提出】

正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？

【問(wèn)題探究】

如圖①，ABC是等邊三角形，半徑OAR，AOB是中心角，P是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到ABC各邊

、、

距離PF、PE、PD分別為h1h2h3，設(shè)ABC的邊長(zhǎng)是a，面積為S．過(guò)點(diǎn)O作OMAB．

11

∴OMRcosAOBRcos60，AMRsinAOBRsin60，AB2AM2Rsin60，

22

1

∴S3S3ABOM3R2sin60cos60，①

ABCAOB2

1

∵S又可以表示ahhh②

ABC2123

1

聯(lián)立①②得ahhh3R2sin60cos60

2123

1

∴2Rsin60hhh3R2sin60cos60

2123

第12頁(yè)共22頁(yè).

∴h1h2h33Rcos60

【問(wèn)題解決】

如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑OAR，AOB是中心角，P是五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，P到

五邊形ABCDE各邊距PH、PM、PN、PI、PL分別為h1、h2、h3、h4、h5，參照（1）的分析過(guò)程，探究

h1h2h3h4h5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系．

【性質(zhì)應(yīng)用】

（1）正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和h1h2h3h4h5h6_______．

（2）如圖③，正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和h1h2hn1hn______．

第13頁(yè)共22頁(yè).

核心考點(diǎn)五圓的基本性質(zhì)綜合題

例1（2021·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（0，﹣5），若在x軸

正半軸上有一點(diǎn)C，使∠ACB＝30°，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是（）

A．3342B．12C．6+33D．63

例2（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在等腰直角三角形ABC中，ACBC1，點(diǎn)P在以斜邊AB為直

徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_______．

例3（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在直徑AB上（點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)不

重合），OC＝3，點(diǎn)D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長(zhǎng)到E點(diǎn)，使BE＝BD．

(1)求證：BE是⊙O的切線；

(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．

第14頁(yè)共22頁(yè).

圓的基本性質(zhì)綜合題型，主要是要將圓相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)考查，包括圓心角、圓周角、垂徑定理、

切線長(zhǎng)定理等，關(guān)鍵在于明確題目考查的方向，靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題.

【變式1】（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）如圖，在ABC中，ABACBC4，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，連接CD，

ADC=45，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于E，PFCD于F，連接EF，則EF的最小值為（）

3311

A．26B．36C．326D．336

2222

【變式2】（2023·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，

ACB90，BC2，AC23，P是以斜邊AB為直徑的半圓上一動(dòng)點(diǎn)，M為PC的中點(diǎn)，連接BM，則

BM的最小值為_(kāi)_____

【變式3】（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于O，直徑AC與BD

交于E點(diǎn)，BD平分ADC．

(1)若ADBD，求證：DCDE；

AD5BD

(2)若=，求的值．

CD2AC

第15頁(yè)共22頁(yè).

【新題速遞】

1．（2022·臺(tái)灣·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C是⊙O的弦AB上一點(diǎn)．若AC6，BC2，AB的弦心距為3，

則OC的長(zhǎng)為（）

A．3B．4C．11D．13

2．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖，O的直徑AB與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若DEOB，AOC87，

則E等于（）

A．30B．29C．28D．27

3．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？家荒＃┤鐖D，PA、PB分別與O相切于A、B，P70，C為O上

一點(diǎn)，則ACB的度數(shù)為（）

A．110°B．120°C．125°D．130°

4．（2023·安徽合肥·一模）如圖，AB是O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC、AD．若BAC28，

則D的度數(shù)是（）

A．56B．58C．62D．72

第16頁(yè)共22頁(yè).

5．（2023·陜西西安·西北大學(xué)附中?？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，ACBC，ACB90，以點(diǎn)O為圓

心的量角器（半圓O）的直徑和AB重合，零刻度落在點(diǎn)A處（即從點(diǎn)A處開(kāi)始讀數(shù)），點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，

連接CD并延長(zhǎng)與半圓交于點(diǎn)P，若BDC72，則點(diǎn)P在量角器上的讀數(shù)為（）

A．36B．54C．64D．72

6．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，AB是O的直徑，C、D是O上的點(diǎn)，CDB20，

過(guò)點(diǎn)C作O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則E等于（）

A．70B．50C．40D．20

7．（2023·安徽淮北·校聯(lián)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB4，BC6，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連

接PA，PC，PD，若PAPD，則PC的最小值為（）

A．2134B．2103C．2D．4

8．（2023·河北衡水·?？级＃┤鐖D1，某校學(xué)生禮堂的平面示意圖為矩形ABCD，其寬AB20米，長(zhǎng)BC24

米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺(tái)攝像頭M進(jìn)行觀測(cè)，并且要

求能觀測(cè)到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)M出發(fā)的觀測(cè)角

AMB45．甲、乙二人給出了找點(diǎn)M的思路，以及MC的值，下面判斷正確的是()

第17頁(yè)共22頁(yè).

甲：如圖2，在矩形ABCD中取一點(diǎn)O，使得OAOBOM，M即為所求，此時(shí)CM10米；

乙：如圖3，在矩形ABCD中取一點(diǎn)O，使得OAOB，且AOB90，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，

交CD于點(diǎn)M1，M2，則M1，M2均滿足題意，此時(shí)MC8或12．

A．甲的思路不對(duì)，但是MC的值對(duì)B．乙的思路對(duì)，MC的值都對(duì)且完整

C．甲、乙求出的MC的值合在一起才完整D．甲的思路對(duì)，但是MC的值不對(duì)

9．（2022·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，O的半徑為2，OABC，CDA22.5，則弦BC

的長(zhǎng)為_(kāi)__________．

10．（2022·黑龍江綏化·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，ACBD于點(diǎn)E，若AB8，

CD6，則O的半徑為_(kāi)____．

11．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在半徑為5的O上，連接AB，BC，CD，AD．若

ABC108，則劣弧AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

12．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)

O重合，ABx軸，交y軸于點(diǎn)P．將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，

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點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

13．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是反比例函數(shù)

6

y(x0)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)P為圓心，3為半徑的圓與直線yx相交，交點(diǎn)為A、B，當(dāng)弦AB

x

的長(zhǎng)等于25時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

14．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖，D是等腰Rt△ABC的斜邊BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作△ABD的外

10

接圓，并將△ADC沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在△ABD的外接圓上，若cosADB，

10

AB310．①BE_____②△ABD的外接圓的面積為_(kāi)_________（結(jié)果保留）

15．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在ABC中，ADBC，垂足是D．

(1)作ABC的外接圓O（尺規(guī)作圖）；

(2)若AB8，AC6，AD5，求ABC的外接圓O半徑的長(zhǎng)．

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16．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，在