專題28 截長補短模型（原卷版）

模塊二常見模型專練

專題28截長補短模型

例1（2021年·四川廣安·中考真題）在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補短”的方法來解決幾條線段之間的和差問

題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，BADBCD90，ABAD，若AC5cm，求四邊

形ABCD的面積．

解：延長線段CB到E，使得BECD，連接AE，我們可以證明BAE≌DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AEAC5，EABCAD，則EACEABBACDACBACBAD90，得

S四邊形ABCDSABCSADCSABCSABESAEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面

積．

(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．

(2)如圖2，在ABC中，ACB90，且ACBC4，求線段AB的最小值．

(3)如圖3，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，且BOC60；AC+BD=10，則AD是否

為定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此時平行四邊形ABCD的面積．

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例2（2021年·湖北襄陽·中考真題）如圖，四邊形ABCD是O內(nèi)正方形，P是圓上一點（點P與點A，

B，C，D不重合），連接PA，PB，PC．

(1)若點P是弧AD上一點，

①∠BPC度數(shù)為___________；

②求證：PAPC2PB；小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補短法，請按小明思路完

成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）．證明：在PC的延長線上截取點E．使CEPA，連接BE．

(2)探究當點P分別在AB，BC，CD上，求PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不需要證明．

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模型截長補短

截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。截長

就是在一條線上截取成兩段，補短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊。

如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在

EF=AB+CD，可以考慮截長補短法。

截長法：如圖②，在EF上截取EG=AB，再證明

GF=CD即可。

補短法：如圖③，延長AB至H點，使BH=CD，

再證明AH=EF即可。

模型分析

截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長，指在長線段中截取一段等于已知線段；補短，

指將短線段延長，延長部分等于已知線段。

該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證

明過程。

概述圖：

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【變式1】（2021秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期中）【閱讀】在證明線段和差問題時，經(jīng)常采用截長補短法，再

利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系．截長法：將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段

相等．補短法：延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線段

相等．

【應(yīng)用】把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，CADCBD90，組成一個四邊形ACBD，以D為頂

點作MDN，交邊AC、BC于M、N．

(1)若ACD30，MDN60，證明：AMBNMN；經(jīng)過思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補

短法，延長CB到點E，使BEAM，連接DE，先證明DAM≌DBE，再證明△MDN≌△EDN，即可

求得結(jié)論．按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程；

(2)當ACDMDN90時，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫出你的結(jié)論，不用證

明）

(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖③，其余條件不變，則AM、MN、BN

之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．

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【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）在“教、學(xué)、練、評一體化”學(xué)習(xí)活動手冊中，全等三角形專題

復(fù)習(xí)課，學(xué)習(xí)過七種作輔助線的方法，其中有“截長補短”作輔助線的方法．

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等．

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法．

請用這兩種方法分別解決下列問題：

已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任一點，求證：AB－AC＞PB－PC

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【變式3】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：學(xué)完垂徑定理后，小紅對弧的中點與弦的關(guān)系再次

做了研究，如圖甲，O中，點C是劣弧AB的中點，D點在BC弧之間，過點C作CEAD，垂足為點E，

小紅在電腦上用幾何畫板的度量功能度量了線段ED、DB、AE的長度如下表所示，小紅發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)量關(guān)

系，這個關(guān)系是______（用ED、DB、AE的式子表示）

EDDBAE

1.372.233.60

1.512.073.58

1.631.933.56

1.911.603.51

（2）探索結(jié)論：

怎么完成（1）中關(guān)系的證明呢？小紅根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗想到了“截長補短”中的“截長”思想，如圖乙，在線段AE

上截取點F，使得FEDE，連接CF、CD．小紅試圖構(gòu)造關(guān)于AF、DB所在的三角形，通過全等完成證

明，請接著小紅的想法完成證明．

（3）結(jié)論應(yīng)用：

如圖丙，等邊三角形ABC內(nèi)接于O，點D在O上，連接BD、CD，過點C作CEAD，垂足為點E，

若BD31，CBD45，求O的半徑．

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【變式4】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加

方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短

邊相等，從而解決問題．

(1)如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的

數(shù)量關(guān)系．

解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證

得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)

系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是______；

【拓展延伸】

(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、

DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3，兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離

PQ的長為______cm．

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【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：

“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系．截長，即在長線段上截

取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補短，即延長其中一條短線段，

使延長部分等于另一條線段，再證明延長后的線段等于長線段．

依據(jù)上述材料，解答下列問題：

如圖，在等邊ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為邊作等邊DEF，連

接CF．

(1)如圖，若點D在邊BC上，試說明CECFCD；（提示：在線段CD上截取CGCE，連接EG．）

(2)如圖，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

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2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）問題：如圖1，O中，AB是直徑，ACBC，點D是劣弧BC上任

ADBD

一點（不與點B、C重合），求證：為定值．

CD

思路：和差倍半問題，可采用截長補短法，先證明ACE≌BCD．按思路完成下列證明過程．

證明：在AD上截取點E，使AEBD，連接CE．

運用：如圖2，在平面直角坐標系中，O1與x軸相切于點A3,0，與y軸相交于B、C兩點，且BC8，

連接AB、O1B．

(1)OB的長為___________．

(2)如圖3，過A、B兩點作O2與y軸的負半軸交于點M，與O1B的延長線交于點N，連接AM、MN，當O2

的大小變化時，問BMBN的值是否變化，為什么?如果不變，請求出BMBN的值．

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3．（2022秋·北京·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊△ABC中，點P是BC邊上一點，∠BAP＝（30°＜＜

60°），作點B關(guān)于直線AP的對稱點D，連接DC并延長交直線AP于點E，連接BE．

（1）依題意補全圖形，并直接寫出∠AEB的度數(shù)；

（2）用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)……

②通過截長補短，利用60°角構(gòu)造等邊三角形，進而構(gòu)造出全等三角形，從而達到轉(zhuǎn)移邊的目的．

請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程．

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4．（2021秋·湖南永州·九年級?？茧A段練習(xí)）【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的

添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另

一短邊相等，從而解決問題．

（1）如圖1，ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，BDC120，探索線段DA、DB、DC之

間的數(shù)量關(guān)系．

解題思路：延長DC到點E，使CEBD，連接AE，根據(jù)BACBDC180，可證ABDACE，易

證得ABD≌ACE，得出ADE是等邊三角形，所以ADDE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)

量關(guān)系．

根據(jù)上述解題思路，請寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是______，并寫出證明過程；

【拓展延伸】

（2）如圖2，在RtABC中，BAC90，ABAC，若點D是邊BC下方一點，BDC90，探索線段

DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

（3）如圖3，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距

離PQ的平方為多少？

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5．（2022秋·河北石家莊·八年級?？计谀鹃喿x理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添

加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一

長邊相等，從而解決問題．

（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，連結(jié)DA、DB、DC，且BDC120，探

索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．

解題思路：延長DC到點E，使CEBD，連接AE，根據(jù)BACBDC180，則ABDACD180，

因為ACDACE180可證ABDACE，易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所

以ADDE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC

之間的數(shù)量關(guān)系是；

【拓展延伸】

（2）如圖②，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC．若點D是邊BC下方一點，BDC=90，探索線

段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

（3）如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30所對直角邊等于斜邊一半，

則PQ的長為_____________cm．（結(jié)果無需化簡）

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6．（2021秋·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第70中校考期末）閱讀下面文字并填空：

數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在ABC中，AD平分BAC，B2C．求證：

ABBDAC．

李老師給出了如下簡要分析：“要證ABBDAC就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法，方法一：‘截

長法’如圖2，在AC上截取AEAB，連接DE，只要證BD__________即可，這就將證明線段和差問題

__________為證明線段相等問題，只要證出__________≌△__________，得出BAED及

BD_________，再證出_____________________，進而得出EDEC，則結(jié)論成立．此種證法的基

礎(chǔ)是‘已知AD平分BAC，將△ABD沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處’成為可能．

方法二：“補短法”如圖3，延長AB至點F，使BFBD．只要證AFAC即可．此時先證__________C，

再證出_________≌△_________，則結(jié)論成立．”

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法．

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7．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）閱讀材料并完成習(xí)題：

在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD

中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．

解：延長線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形

ABCD=SABC+SADC=SABC+SABE=SAEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積．

△△△△△

（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．

（2）請你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題．

如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．

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8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題

化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式

使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．

（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間

的數(shù)量關(guān)系．

解題思路：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，

根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，

所以AD=DE，從而解決問題．

根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是___________；

（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC=90°，探索三條線段DA、

DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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9．（2021秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：

截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種常見輔助線的做法．在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣

泛的應(yīng)用．截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等．補

短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部分等于另一條線段．

請用截長法解決問題（1）

（1）已知：如圖1等腰直角三角形ABC中，DB=90°，AD是角平分線，交BC邊于點D．求證：

ACABBD．

請用補短法解決問題（2）

（2）如圖2，已知，如圖2，在ABC中，B2C，AD是ABC的角平分線．求證：ACABBD．

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10．（2022秋·八年級課時練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，小白遇到這樣一個問題：

如圖1，在等腰RtABC中，BAC90，ABAC，ADAE，求證ABEACD；

在此問題的基礎(chǔ)上，老師補充：

過點A作AF⊥BE于點G交BC于點F，過F作FPCD交BE于點P，交CD于點H，試探究線段BP，F(xiàn)P，

AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

小白通過研究發(fā)現(xiàn)，AFB與HFC有某種數(shù)量關(guān)系；

小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步推理，可以得出

結(jié)論．

閱讀上面材料，請回答下面問題：

（1）求證ABEACD；

（2）猜想AFB與HFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）探究線段BP，F(xiàn)P，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

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11．（2021秋·江蘇無錫·八年級宜興市實驗中學(xué)?？计谥校境醪教剿鳌?/p>

截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長

邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問

題．

（1）如圖1，ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間

的數(shù)量關(guān)系；△

【靈活運用】

（2）如圖2，ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為BC邊上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE

＝60°．求證：△CD＋CE＝CA；

【延伸拓展】

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若點E在CB的延長線上，點F在

CD的延長線上，滿足EF＝BE＋FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．

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12．（2023秋·山西呂梁·九年級?？茧A段練習(xí)）綜合與實踐

問題情境：已知在等邊ABC中，P是邊AC上的一個定點．M是BC上的一個動點，以PM為邊在PM的

右側(cè)作等邊PMN，連接CN．

猜想證明：

(1)如圖1，當點M在BC邊上時，過點P作PH∥AB交BC于點H，試猜想CP，CN，CM之間的數(shù)量關(guān)系．并

說明理由．

(2)問題解決：如圖2，當點M在CB的延長線上時，已知CP＝5，CM＝12．請直接寫出CN的長．

(3)如圖3，當點M在BC的延長線上時，（1）中的猜想是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，

請寫出正確的猜想并說明理由．

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13．（2023秋·河南南陽·八年級?？计谀締栴}初探】

（1）如圖1，在ABC中，BAC90，ABAC，點D是BC上一點，連結(jié)AD，以AD為一邊作VADE，

使DAE=90，ADAE，連結(jié)BE，猜想BE和CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【類比再探】

（2）如圖2，在ABC中，BAC90，ABAC，點M是AB上一點，點D是BC上一點，連結(jié)MD，

以MD為一邊作MDE，使DME90，MDME，連結(jié)BE，則EBD______（直接寫出答案，不寫

過程）；

【方法遷移】

（3）如圖3，在ABC是等邊三角形，點D是BC上一點，連結(jié)AD，以AD為一邊作等邊三角形ADE，

連結(jié)BE，則BD，BE，BC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？答案：____________（直接寫出答案，不寫過程）；

【拓展創(chuàng)新】

（4）如圖4，ABC是等邊三角形，點M是AB上一點，點D是BC上一點，連結(jié)

MD，以MD為一邊作等邊三角形MDE，連結(jié)BE．猜想EBD的度數(shù)，并說明理由．

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14．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，ABC和△ABD分別位于AB兩側(cè)，

點E為AD中點，連接BE，CE．

(1)如圖1，若BACABD90，AC3，ABBD4，求CE的長；

(2)如圖2，連接CD交AB于點F，在CF上取一點G使得FGAF，若ACAD，BDBF，BDF60，

猜想BC與BE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3，ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，若AB4，BD2，請直接寫出當2CEAE取最大值

時△ACE的面積．

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15．（2022秋·廣西貴港·八年級?？计谀┰谒倪呅蜛BCD