專題40 新定義問題（4大考點）（原卷版）

模塊三重難點題型專項訓(xùn)練

專題40新定義問題（4大考點）

考查類型一定義新運算

考查類型二新概念的理解與應(yīng)用

考查類型

考查類型三幾何新定義問題

考查類型四函數(shù)新定義問題

新題速遞

考點類型一定義新運算

1．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）對于實數(shù)a，b定義運算“”為abb2ab，例如3222322，則

關(guān)于x的方程(k3)xk1的根的情況，下列說法正?確的是（）

A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根

C．無實數(shù)根D．無法確定

2．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y[x]叫做高斯函數(shù)，其中x為任意實數(shù)，[x]表示不超過x的最

大整數(shù)．定義{x}x[x]，則下列說法正確的個數(shù)為()

①[4.1]4；

②{3.5}0.5；

③高斯函數(shù)y[x]中，當(dāng)y=3時，x的取值范圍是3x2；

④函數(shù)y{x}中，當(dāng)2.5x3.5時，0y1．

A．0B．1C．2D．3

3．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）定義一種運算；sin()sincoscossin，

sin()sincoscossin．例如：當(dāng)45，30時，

232162

sin4530，則sin15的值為_______．

22224

4．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）若把第n個位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限

個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1﹐y2，y3…yn其中yn是這個數(shù)列中第n

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0xn1xn1

個位置上的數(shù)，n1，2，…k且yn并規(guī)定x0xn，xn1x1．如果數(shù)列A只有四個數(shù)，且x1，

1xn1xn1

x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是__________．

5．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函

11

數(shù)圖象的“等值點”．例如，點(1,1)是函數(shù)yx的圖象的“等值點”．

22

（1）分別判斷函數(shù)yx2,yx2x的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標(biāo)；如果

不存在，說明理由；

3

（2）設(shè)函數(shù)y(x0),yxb的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作BCx軸，垂足為C．當(dāng)ABC

x

的面積為3時，求b的值；

2

（3）若函數(shù)yx2(xm)的圖象記為W1，將其沿直線xm翻折后的圖象記為W2．當(dāng)W1,W2兩部分組成

的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出m的取值范圍．

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一、新定義問題介紹

新定義的題目大概可分為兩個問題的綜合：模型化問題&變量問題

大部分問題都是兩者兼有之的，不過總會偏向某一方面。

二、新定義的結(jié)構(gòu)：“新定義”=定義條件+名稱與表述

題干——新定義——頂點選點/求值——單變量——多變量

解決這類問題的核心就是提取模型

提取模型就是把定義條件用我們已知的幾何基本模型

（有一些特殊的題提取出的模型可能是代數(shù)模型）運用所給的內(nèi)容聯(lián)系學(xué)過的內(nèi)容。進行提取分析。

而這就是所謂“提取模型”的含義

三、新定義的類型與作用

第一問：簡單，一般是給出點并選點，用于發(fā)現(xiàn)模型

第二問：偏難，一般是單變量問題（即只有一個變化圖形），用于驗證模型/初步實踐模型

第三問：很難，一般是多變量問題（很多圖形同時變化），用于應(yīng)用/實踐模型

或者

題干：得到模型，第一問：檢驗?zāi)Ｐ?，第二問：實踐模型，第三問：進一步實踐模型

或者：題干：，第一問：發(fā)現(xiàn)模型，第二問：驗證模型，第三問：實踐模型

四、解決思路：

第一問：題目一般會給出幾個特殊點，通過這些特殊點將能夠發(fā)現(xiàn)某些關(guān)系（點的軌跡是個圓？可行的點

在圓內(nèi)還是圓上還是圓外？），幫助構(gòu)建模型。

第二問：運用第一問構(gòu)建出來的模型，進行關(guān)系間的操作以求得范圍邊界（例如相切相交之類），并且以

此來驗證模型是否正確且完善（例如圓上能不能取，線段端點能不能取等等），用訂正后的模型再次訂正

這道題。

第三問：運用第二問完善得到的模型，通過對變量的處理以及幾何圖形的關(guān)系得到結(jié)果。

五、核心與主旨

核心：將題干中復(fù)雜的語言翻譯學(xué)生的便于操作的語言

主旨：沒有無緣無故的第一問，三問聯(lián)動處理，逐漸遞進，相互依存

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a2abab

1．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）定義新運算：對于任意實數(shù)a、b，都有a*b2．例如：

abbab

22

4*2，因為4＞2，所以4*2＝4﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x+x﹣6＝0的兩個根，則x1*x2的值為

（）

A．10或﹣10B．10C．﹣10D．3或﹣3

2．（2022·湖南永州·統(tǒng)考二模）定義運算：把123n縮寫為n！，n！叫做n的階乘，如3！1236，

4！123412．請你化簡1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（）

A．（n＋1）?。?B．n?。?

C．（n＋1）！D．（n＋1）！＋1

3．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考二模）定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為lgN，

其滿足運算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100

＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運算法則，計算（lg2)2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為_____

4．（2022·湖北十堰·校聯(lián)考一模）對有理數(shù)x，y定義運算：x※y＝ax+by，其中a，b是常數(shù)．如果2※(-1)=-4，

3※2>1，那么a，b的取值范圍為_________

5．（2023·重慶黔江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀以下材料：指數(shù)與對數(shù)之間有密切的聯(lián)系，它們之間可以互化．

x

對數(shù)的定義：一般地，若aN（a0且a1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，比如指

42

數(shù)式216可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4log216，對數(shù)式2log525，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式525．

我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

（）

logaMNlogaMlogaN（a0，a1，M0，N0），理由如下：

mn

設(shè)logaMm，logaNn，則Ma，Na，

mnmn

MNaaa，由對數(shù)的定義得mnlogaMN

又mnlogaMlogaN，

logaMNlogaMlogaN．

請解決以下問題：

(1)將指數(shù)式3481轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；

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M

(2)求證：loglogMlogN（a0，a1，M0，N0）；

aNaa

(3)拓展運用：計算log69log68log62．

2

6．（2022·湖北黃石·黃石十四中?？寄M預(yù)測）x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根，

若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：

(1)通過計算，判斷下列方程是否是“差根方程”：

①x2﹣4x﹣5＝0；

②2x2﹣23x+1＝0；

(2)已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

(3)若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．

考點類型二新概念的理解與應(yīng)用

1．（2021·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點Pm,n和點P'm,n'，若滿足m0

'

時，n'n4；m0時，n'n，則稱點P'm,n'是點Pm,n的限變點．例如：點P12,5的限變點是P12,1，

'2

點P22,3的限變點是P22,3．若點Pm,n在二次函數(shù)yx4x2的圖象上，則當(dāng)1≤m≤3時，

其限變點P'的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（）

A．2n'2B．1n'3

C．1n'2D．2n'3

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x

2．（2021·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）定義：若10N，則xlog10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記

為lgN，其滿足運算法則：lgMlgNlg(MN)(M0,N0)．例如：因為102100，所以2lg100，

亦即lg1002；lg4lg3lg12．根據(jù)上述定義和運算法則，計算(lg2)2lg2lg5lg5的結(jié)果為（）

A．5B．2C．1D．0

3．（2022·上海·統(tǒng)考中考真題）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相

等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的半

徑為_____．

4．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍

長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為______．

5．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍

22

成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax+2ax+c組成一個開口向

上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側(cè)），與y軸

的交點分別為G、H（0，﹣1）．

(1)求拋物線C2的解析式和點G的坐標(biāo)．

(2)點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線

段DM的長度的比值．

(3)如圖②，點E是點H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以

EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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1．（2022·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)?？既＃┬露x：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P（m，n）

和點P′（m，n′），若滿足m≥0時，n′=n-4；m＜0時，n′=-n，則稱點P′（m，n′）是點P（m，n）的限變點．例

如：點P1（2，5）的限變點是P1′（2，1），點P2（-2，3）的限變點是P2′（-2，-3）．若點P（m，n）在二

次函數(shù)y=-x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)-1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（）

A．2n2B．1n3C．1n2D．2n3

2．（2021·湖南長沙·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？家荒＃┒x：對于給定的一次函數(shù)yaxb（a、

axbx0

b為常數(shù)，且a0，把形如y的函數(shù)稱為一次函數(shù)yaxb的“相依函數(shù)”，已知一次函數(shù)

axbx0

yx1，若點P2,m在這個一次函數(shù)的“相依函數(shù)”圖象上，則m的值是（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）定義：如果三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么稱這個三角形為“倍

角三角形”．若ABC是“倍角三角形”，A90，BC4，則ABC的面積為____________．

4．（2022·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)yax2abxb叫做一次函數(shù)y

＝ax＋b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax＋b叫做二次函數(shù)yax2abxb的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，

且a0）．若一次函數(shù)y＝ax＋b的“滋生函數(shù)”是yax23xa1，那么二次函數(shù)yax23xa1的“本

源函數(shù)”是______．

2

5．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）定義：如果二次函數(shù)ya1xb1xc1，（a10，a1、b1、c1是常數(shù)）與

2

ya2xb2xc2a20，a2、b2、c2是常數(shù)）滿足a1a20，b1b2，c1c20，則這兩個函致互為“旋

轉(zhuǎn)函數(shù)．例如：求函數(shù)2的旋轉(zhuǎn)函數(shù)，由函數(shù)2可知，，，．根

”y2x3x1“”y2x3x1a12b13c11

據(jù)a1a20，b1b2，c1c20求出a2、b2、c2就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

請思考并解決下面問題：

(1)寫出函數(shù)yx24x3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

2023

(2)若函數(shù)y5x2m1xn與y5x2nx3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求mn的值；

(3)已知函數(shù)y2x1x3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關(guān)于原點的對稱

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點分別是A1、B1、C1，試求證：經(jīng)過點A1、B1、C1的二次函數(shù)與y2x1x3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

6．（2022·山東濟寧·校考二模）【定義】如圖1，A，B為直線l同側(cè)的兩點，過點A作關(guān)于直線l的對稱點A，

連接AB交直線l于點P，連接AP，則稱點P為點A，B關(guān)于直線l的“等角點”．

【運用】

3232

(1)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A2,1，B2,1兩點．C3,，D3,，E3,三

333

點中，點________是點A，B關(guān)于直線x3的等角點；

(2)已知：如圖3，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸上，O0,0，B4,2，矩形OABC的對角線相

交于點M，點N為點M和點B關(guān)于x軸的“等角點”．求MNB的面積．

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考點類型三幾何新定義問題

1．（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異

2

二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點A0,2，點C2,0，則互異二次函數(shù)yxmm與正方形OABC

有交點時m的最大值和最小值分別是（）

517517

A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1

22

2．（2020·山東濰坊·中考真題）定義表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3.函數(shù)

的圖象如圖所示，則方程的解為（）.

A．或B．或

C．或D．或

3．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距

離，在平面內(nèi)有一個正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點P,OP2，當(dāng)正方形繞著點O旋轉(zhuǎn)

時，則點P到正方形的最短距離d的取值范圍為__________．

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4．（2021·四川成都·統(tǒng)考中考真題）我們對一個三角形的頂點和邊都賦給一個特征值，并定義：從任意頂點

出發(fā)，沿順時針或逆時針方向依次將頂點和邊的特征值相乘，再把三個乘積相加，所得之和稱為此三角形

的順序旋轉(zhuǎn)和或逆序旋轉(zhuǎn)和如圖1，arcqbp是該三角形的順序旋轉(zhuǎn)和，apbqcr是該三角形的逆序

旋轉(zhuǎn)和．已知某三角形的特征值如圖2，若從1，2，3中任取一個數(shù)作為x，從1，2，3，4中任取一個數(shù)

作為y，則對任意正整數(shù)k，此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的概率是_________．

5．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．

例如：如圖①．在ABC和ABC中，AD,AD分別是BC和BC邊上的高線，且ADAD，則ABC和

ABC是等高三角形．

【性質(zhì)探究】

如圖①，用SABC，SABC分別表示ABC和ABC的面積．

11

則S△BCAD,S△BCAD，

ABC2ABC2

∵ADAD

∴S△ABC:S△ABCBC:BC．

【性質(zhì)應(yīng)用】

(1)如圖②，D是ABC的邊BC上的一點．若BD3,DC4，則S△ABD:S△ADC__________；

(2)如圖③，在ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE:AB1:2，CD:BC1:3，S△ABC1，則

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S△BEC__________，S△CDE_________；

(3)如圖③，在ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點，若BE:AB1:m，CD:BC1:n，SABCa，

則S△CDE__________．

1．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在

延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關(guān)于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：

①BCDABD；

②若ABAD,BCCD，則ACBD；

③若BCD2A，則BCCD；

④存在凹四邊形ABCD，有ABCD,ADBC．

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A．①②B．①②③C．①②④D．①③④

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2．（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校校考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在直線l上，以A為圓心，

OA為半徑的圓與y軸的另一個交點為E，給出如下定義：若線段OE，A和直線l上分別存在點B，點C

和點D，使得四邊形ABCD是矩形（點A,B,C,D順時針排列），則稱矩形ABCD為直線l的“理想矩形”．例

如，右圖中的矩形ABCD為直線l的“理想矩形”．若點A3,4，則直線ykx1k0的“理想矩形”的面積

為（）

A．12B．314C．42D．32

3．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考一模）定義：平面上一點P到圖形的最短距離為d．如圖，OP3，等邊三角形ABC

的邊長為23，點O為等邊三角形的中心，當(dāng)?shù)冗吶切蜛BC繞點O旋轉(zhuǎn)時，d的取值范圍是______．

4．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）新定義：在ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，如果DE上的所

有點都在ABC的內(nèi)部或邊上，那么DE稱為ABC的中內(nèi)?。阎赗tABC中，A90，ABAC22，

點D、E分別是邊AB、AC的中點，如果DE是ABC的中內(nèi)弧，那么DE長度的最大值等于_________．

5．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）【圖形定義】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

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【問題探究】

(1)如圖①，已知矩形ABCD是“等鄰邊四邊形”，則矩形ABCD___________（填“一定”或“不一定”）是正方

形；

(2)如圖②，在菱形ABCD中，ABC120，AB4，動點M、N分別在AD、CD上（不含端點），若

MBN60，試判斷四邊形BMDN是否為“等鄰邊四邊形”？如果是“等鄰邊四邊形”，請證明；如果不是，

請說明理由；此時，四邊形BMDN的周長的最小值為___________；

【嘗試應(yīng)用】

(3)現(xiàn)有一個平行四邊形材料ABCD，如圖③，在YABCD中，AB17，BC6，tanB4，點E在BC上，

且BE4，在YABCD邊AD上有一點P，使四邊形ABEP為“等鄰邊四邊形”，請直接寫出此時四邊形ABEP

的面積可能為的值___________．

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考點類型四函數(shù)新定義問題

ab(a2b)

1．（2020·山東濰坊·中考真題）若定義一種新運算：ab{例如：31312；

ab6(a2b)

545463．則函數(shù)y(x2)(x1)的圖象大致是（）

A．B．C．D．

a(ab)

2．（2021·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）定義：mina,b，若函數(shù)yminx1，x22x3，則該

b(ab)

函數(shù)的最大值為（）

A．0B．2C．3D．4

2

3．（2020·廣西貴港·中考真題）我們定義一種新函數(shù)：形如yaxbxc（a0，且b24a0）的函數(shù)

叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)yx22x3yx22x3的圖象（如圖所示），并寫出下列五

=|--|

個結(jié)論：①圖象與坐標(biāo)軸的交點為1,0，3,0和0,3；②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x1；③當(dāng)

1x1或x3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；④當(dāng)x=1或x3時，函數(shù)的最小值是0；⑤當(dāng)x1時，

函數(shù)的最大值是4．其中正確結(jié)論的個數(shù)是______

.

4．（2021·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：

y(x0)

若y{，則稱點Q為點P的“可控變點”．

y(x0)

例如：點（1，2）的“可控變點”為點（1，2），點（﹣1，3）的“可控變點”為點（﹣1，﹣3）．

（1）若點（﹣1，﹣2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的“可控變點”，則點M的坐標(biāo)為；

（2）若點P在函數(shù)yx216（5xa）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是16y16，

第14頁共24頁.

則實數(shù)a的取值范圍是．

a

5．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，Pa,b是第一象限內(nèi)一點，給出如下定義：k1

b

b

和k兩個值中的最大值叫做點P的“傾斜系數(shù)”k．

2a

(1)求點P6,2的“傾斜系數(shù)”k的值；

(2)①若點Pa,b的“傾斜系數(shù)”k2，請寫出a和b的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若點Pa,b的“傾斜系數(shù)”k2，且ab3，求OP的長；

(3)如圖，邊長為2的正方形ABCD沿直線AC：yx運動，Pa,b是正方形ABCD上任意一點，且點P的

“傾斜系數(shù)”k3，請直接寫出a的取值范圍．

第15頁共24頁.

1．（2022·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）定義：我們將某函數(shù)圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，從

而形成新圖象的過程稱為“非正變換”．已知拋物線y＝﹣x2﹣2x＋3的圖象如圖所示，則將其進行“非正變換”

后得到的圖象與直線y＝x＋m有四個交點時m的范圍是（）

13131111

A．m1B．m3C．m1D．m3

4444

22

2．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）定義：已知函數(shù)y1axbxc與二次函數(shù)y2cxbxa，其中a，b，c為

常數(shù)，且ac，ac0，則稱這兩個函數(shù)互為倒函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）

5

A．若2,0是yx22xc的倒函數(shù)圖像上的一點，則c

12

B．當(dāng)兩個互為倒函數(shù)的圖像的開口方向相反時，則它們與x軸均無交點

11

C．若二次函數(shù)y1圖像上存在一點m,n，則它的倒函數(shù)y2圖像上必存在一點,

mn

D．兩個互為倒函數(shù)的圖像必有兩個交點

3．（2021·四川樂山·統(tǒng)考三模）對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值y，都

滿足﹣M＜y＜M，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界

函數(shù)，其邊界值是1．

1

（1）判斷函數(shù)y＝（x＞0）是否為有界函數(shù)___（填“是”或“否”）；

x

3

（2）將函數(shù)y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，若≤t≤1則m

4

的取值范圍是___．

第16頁共24頁.

4．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P(x，y)和點Q(x，y′)，給出如下定義：若

y1,x0

y，則稱點Q是點P的限變點．例如(2，3)的限變點是(2，2)；(?5，?4)的限變點是(?5，4)．若

y,x0

點P(x，y)在二次函數(shù)y=x2?2x?8的圖像上（x軸下方），則其限變點Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是______．

5．（2022·江蘇淮安·淮陰中學(xué)新城校區(qū)校聯(lián)考二模）我們把函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點定義

為這個函數(shù)圖象上的“互反點”．例如在二次函數(shù)y=x2的圖象上，存在一點P﹣1，1，則P為二次函數(shù)y=x2

圖象上的“互反點”．

(1)分別判斷yx3、yx2x的圖象上是否存在“互反點”？如果存在，求出“互反點”的坐標(biāo)；如果不存

在，說明理由．

5

(2)如圖①，設(shè)函數(shù)yx0，yxb的圖象上的“互反點”分別為點A，B，過點B作BCx軸，垂足為

x

C．當(dāng)ABC的面積為5時，求b的值；

2

(3)如圖②，Qm，0為x軸上的動點，過Q作直線lx軸，若函數(shù)yx2xm的圖象記為W1，將W1

沿直線l翻折后的圖象記為W2，當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”時，直接寫出m的取值范

圍．

第17頁共24頁.

【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2023秋·山西運城·九年級?？计谀┒xmina,b,c為a，b，c中的最小值，例如：min5,3,11，

min8,5,55．如果min4,x24x,33，那么x的取值范圍是（）

A．1x3B．x1或x3C．1x3D．x1或x3

2．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍

點．若二次函數(shù)yx22xc（c為常數(shù)）在1x4的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（）

A．5c4B．0c1C．5c1D．0c4

1

3．（2022·浙江·九年級自主招生）定義：若點P(a,b)在函數(shù)y的圖象上，將以a為二次項系數(shù)，b為一次

x

111

項系數(shù)構(gòu)造的二次函數(shù)yax2bx稱為函數(shù)y的一個“派生函數(shù)”．例如：點2,在函數(shù)y的圖象上，

x2x

111

則函數(shù)y2x2x稱為函數(shù)y的一個“派生函數(shù)”．現(xiàn)給出以下兩個命題：（1）存在函數(shù)y的一個“派

2xx

1

生函數(shù)”，其圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)（2）函數(shù)y的所有“派生函數(shù)”的圖象都經(jīng)過同一點，下列判斷

x

正確的是（）

A．命題（1）是假命題，命題（2）是真命題B．命題（1）與命題（2）都是假命題

C．命題（1）是真命題，命題（2）是假命題D．命題（1）與命題（2）都是真命題

mnmn

4．（2022秋·重慶大渡口·九年級?？计谀┤舳x一種新運算：m@n，例如：

mn3mn

1@2121，4@34334．下列說法：

①7@916；

②若1@x2x1，則x=1或2；

5

③若2@34x5，則x0或x；

4

④yx1@x22x1與直線ym（m為常數(shù)）有1個交點，則1m3．

其中正確的個數(shù)是（）

A．4B．3C．2D．1

5．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）定義：如果一元二次方程ax2bxc（0a0）滿足abc＝0，

那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知ax2bxc（0a0）是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則

下列結(jié)論正確的是（）

第18頁共24頁.

A．a(chǎn)＝cB．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)c0D．a(chǎn)＝b＝c

ab3,ab

6．（2023秋·重慶江津·九年級統(tǒng)考期末）若定義一種新運算：a@b，例如：2@42433，

ab3,ab

2@12134，下列說法：①1@24；②若x@x25，則x3；③x@2x3的解為x2；④函

數(shù)yx21@1與x軸交于1,0和1,0．其中正確的個數(shù)是（）

A．4B．3C．2D．1

7．（2022秋·河北秦皇島·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我們定義一種新函數(shù)：形如

yax2bxca0,b24ac0的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)yx22x3的圖

像（如圖所示），并寫出下列結(jié)論：

①圖像與坐標(biāo)軸的交點為1,0，3,0和0,3；

②圖像具有對稱性，對稱軸是直線x1；

③當(dāng)1x1或x3時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；

④當(dāng)x=1或x3時，函數(shù)的最小值是0；

⑤當(dāng)x1時，函數(shù)的最大值是4；

⑥若點Pa,b在該圖像上，則當(dāng)b3時，可以找到4個不同的點P．

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．6B．5C．4D．3

2

8．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）定義：如果代數(shù)式Aa1xb1xc1（a10，a1、b1、c1是常數(shù)）與

2

Ba2xb2xc2（a20，a2、b2、c2是常數(shù)），滿足a1a20，b1b2，c1c20，則稱這兩個代數(shù)式

A與B互為“同心式”，下列四個結(jié)論：

（1）代數(shù)式：2x23x的“同心式”為2x23x；

2022

（2）若8mx2nx5與6nx24x5互為“同心式”，則mn的值為1；

（3）當(dāng)b1b20時，無論x取何值，“同心式”A與B的值始終互為相反數(shù)；

第19頁共24頁.

2

（4）若A、B互為“同心式”，A2B0有兩個相等的實數(shù)根，則b136a1c1．

其中，正確的結(jié)論有（）個．

A．1個B．2個C．3個D．4個

9．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得

的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為6的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時，

這個圓的半徑為________．

10．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得

的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為4的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時，

這個圓的半徑為_____．

11．（2022秋·浙江嘉興·九年級桐鄉(xiāng)市第七中學(xué)?？计谥校┰谥苯亲鴺?biāo)系xOy中，對于點Px,y和Qx,y，

yx0

給出如下定義：若y稱點Q為點P的“可控變點”，例如：點1,2的“可控變點”為點1,2，點

yx0

1,3的“可控變點”為點1,3．

（1）若點1,2是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的“可控變點”，則點M的坐標(biāo)為__________；

（2）若點P在函數(shù)yx2185xa的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標(biāo)y的取值范圍是18y18，

則實數(shù)a的取值范圍是__________．

12．（2022秋·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期中）定義：如果將一個三角形繞著它的一個角的頂點旋轉(zhuǎn)后，使這個

角的一邊與另一邊重疊，再將所旋轉(zhuǎn)后的三角形進行相似縮放，使重疊的兩條邊相互重合，我們稱這樣的

圖形變換為三角形轉(zhuǎn)似，這個三角形的頂點稱為轉(zhuǎn)似中心，所得的三角形稱為原三角形的轉(zhuǎn)似三角形．如

圖，在ABC中，AB4，AC6，BC5，△ABC是ABC以點A為轉(zhuǎn)似中心的順時針的一個轉(zhuǎn)似三角

形，那么以點A為轉(zhuǎn)似中心的逆時針的另一個轉(zhuǎn)似三角形△ABC（點B，C分別與B、C對應(yīng)），其中

BC邊的長為___________

13．（2021·江蘇泰州·?？家荒＃┒x新運算：[a，b，c]＝a（c＜a＜b），即[a，b，c]的取值為a，b，c的中

第20頁共24頁.

1

位數(shù)，例如，[1，2，3]＝2，[3，4，8]＝4，已知函數(shù)y＝[x+2，x2+1，﹣x+2]與直線y＝x+b有3個交點

2

時，則b的值為____．

14．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義：直線ykxb的伴隨點為(k,b)．例

如直線y3x的伴隨點為(3,0)．特別的，直線yb的伴隨點為(0,b)．如圖，平面上的三條直線

l1:y2x,l2:y4,l3:ykx(k1)兩兩相交且不交于同一點．三個交點分別為A，B，C，且l1,l2,l3各自的

伴隨點分別為A,B,C，若ABC與ABC相似，則k的值為________．

15．（2023秋·山東日照·九年級日照港中學(xué)校聯(lián)考期末）我們給出定義：如果兩個銳角的和為45，那么稱

BC2

這兩個角互為半余角．如圖，在ABC中，A，B互為半余角，且，則tanA______．

AC2

16．（2022春·廣西南寧·九年級?？茧A段練習(xí)）（1）【定義理解】如圖1，在ABC中，E是BC的中點，P

是AE的中點，就稱CP是ABC的“雙中線”，ACB90,AC3,AB5，則CP______．

（2）【類比探究】①如圖2，E是菱形ABCD一邊上的中點，P是BE上的中點，則稱AP是菱形ABCD的“雙

中線”，若AB4,BAD120，則AP______．

②如圖3，AP是矩形ABCD的“雙中線”，若AB4,BC6，求AP的長．

（3）【拓展應(yīng)用】如圖4，AP是平行四邊形ABCD的“雙中線”，若AB4,BC6，BAD120，求AP的

長．

第21頁共24頁.

17．（2023·廣東深圳·校考一模）【定義】在平面內(nèi)，把一個圖形上任意一點與另一個圖形上任意一點之間的

距離的最小值，稱為這兩個圖形之間的距離，即A，B分別是圖形M和圖形N上任意一點，當(dāng)AB的長最小

時，稱這個最小值為圖形M與圖形N之間的距離．

例如，如圖1，ABl1，線段AB的長度稱為點A與直線l2之間的距離，當(dāng)l2∥l1時，線段AB