專題28 截長補短模型（解析版）

模塊二常見模型專練

專題28截長補短模型

例1（2021年·四川廣安·中考真題）在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補短”的方法來解決幾條線段之間的和差問

題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，BADBCD90，ABAD，若AC5cm，求四邊

形ABCD的面積．

解：延長線段CB到E，使得BECD，連接AE，我們可以證明BAE≌DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AEAC5，EABCAD，則EACEABBACDACBACBAD90，得

S四邊形ABCDSABCSADCSABCSABESAEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面

積．

(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．

(2)如圖2，在ABC中，ACB90，且ACBC4，求線段AB的最小值．

(3)如圖3，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，且BOC60；AC+BD=10，則AD是否

為定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此時平行四邊形ABCD的面積．

【答案】(1)12.5

(2)22

5253

(3)不是，，

24

【分析】（1）根據(jù)題意，可以計算出等腰直角三角形AEC的面積，從而可以得到四邊形ABCD的面積；

（2）由勾股定理可得AB2(AC2)28，由配方法可求解；

第1頁共63頁.

2

525

（3）由平行四邊形的性質(zhì)可得BOCO5，ADBC，由勾股定理可求BC3BO，由配方

24

法可求BC的最小值，即可求解．

【詳解】（1）解：由題意可得，AEAC5，EAC90，

11

則EAC的面積AEAC5512.5(cm2)，

22

即四邊形ABCD的面積為12.5cm2，

故答案為：12.5；

（2）解：ACBC4，

BC4AC，

ACB90，

ABAC2BC2AC2(4AC)22(AC2)28，

當(dāng)AC2時，AB取最小值，最小值為22；

（3）解：如圖，過點B作BHAC于H，

四邊形ABCD是平行四邊形，

AOCO，BODO，ADBC，

AC+BD=10，

BOCO5，

CO5BO，

BOC60，BHAC，

OBH30，

13

HOBO，BH3HOBO，

22

3

CHCOHO5BO，

2

第2頁共63頁.

222

2233525，

BCBHCHBO5BO3BO

2224

555

當(dāng)BO時，BC有最小值，即AD的最小值為，

222

5

此時：BOBC，BOC60，

2

BOC是等邊三角形，

2

35253．

SABCD4SBOC4

424

5253

綜上可知，AD不是定值，AD的最小值為，此時平行四邊形ABCD的面積為．

24

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，靈活運

用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例2（2021年·湖北襄陽·中考真題）如圖，四邊形ABCD是O內(nèi)正方形，P是圓上一點（點P與點A，

B，C，D不重合），連接PA，PB，PC．

(1)若點P是弧AD上一點，

①∠BPC度數(shù)為___________；

②求證：PAPC2PB；小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補短法，請按小明思路完

成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）．證明：在PC的延長線上截取點E．使CEPA，連接BE．

(2)探究當(dāng)點P分別在AB，BC，CD上，求PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不需要證明．

【答案】(1)①45，②見解析

(2)PCPA2PB；PAPC2PB；PAPC2PB；證明見解析

【分析】（1）①理由正方形的性質(zhì)和圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半解答即可；

②在PC的延長線上截取點E．使CEPA，連接BE，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判

第3頁共63頁.

定與性質(zhì)解答即可；

（2）利用截長補短法，依題意畫出相應(yīng)圖形，按小明思路完成解答即可．

【詳解】（1）①解：BPC45，理由：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴ABBCCDDA，

∴BC的度數(shù)為90，

1

∴BPC9045，

2

故答案為：45；

②證明：在PC的延長線上截取點E，使CEPA．連接BE，如圖，

∵四邊形ABCD是O內(nèi)接正方形，

∴ABBC，

又∵點P在AD上，

∴四邊形ABCP為O內(nèi)接四邊形

∴PABBCE．

在PAB和ECB中，

PAEC

PABECB，

ABCB

∴PAB≌ECBSAS，

∴PBPE，ABPCBE，

∵ABPPBC90，

∴PBCCBE90，

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∴PBE90，

∴△PBE為等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PAPCCEPCPE2PB；

（2）當(dāng)點P在AB上時，PCPA2PB；

在PC上取點E，使CEPA，連接BE，如圖，

∵四邊形ABCD是O內(nèi)接正方形，

∴ABBC，

在PAB和ECB中，

PAEC

PABECB，

ABCB

∴PAB≌ECBSAS，

∴PBPE，ABPCBE，

∵ABEEBC90，

∴PBAABE90，

∴PBE90，

∴△PBE為等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PCPAPCECPE2PB；

當(dāng)點P在BC上時，PAPC2PB，

在PA上取點E，使AEPC，連接BE，如圖，

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∵四邊形ABCD是O內(nèi)接正方形，

∴ABBC，

在ABE和BCP中，

ABBC

BAEBCP，

AECP

∴ABE≌BCPSAS，

∴BEBP，ABECBP，

∵∠ABE∠CBE90，

∴CBECBP90，

∴EBP90，

∴△EBP為等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PAPCPAAEPE2PB；

當(dāng)點P在CD上時，PAPC2PB，理由：

在PA的延長線上截取點E，使AEPC，連接BE，如圖，

∵四邊形ABCD是O內(nèi)接正方形，

∴ABBC，

又∵點P在CD上，

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∴四邊形ABCP為O內(nèi)接四邊形

∴EABBCP．

在EAB和PCB中，

ABBC

EABPCB，

AECP

∴EAB≌PCBSAS，

∴BEBP，ABEPBC．

∵ABPPBC90，

∴ABPABE90，

∴EBP90．

∴△EBP為等腰直角三角形，

∴PE2PB，

∴PAPCPAAEPE2PB．

【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用截長補短法，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線解答

是解題的關(guān)鍵．

模型截長補短

截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。截長

就是在一條線上截取成兩段，補短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊。

如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在

EF=AB+CD，可以考慮截長補短法。

截長法：如圖②，在EF上截取EG=AB，再證明

GF=CD即可。

補短法：如圖③，延長AB至H點，使BH=CD，

再證明AH=EF即可。

第7頁共63頁.

模型分析

截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長，指在長線段中截取一段等于已知線段；補短，

指將短線段延長，延長部分等于已知線段。

該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證

明過程。

概述圖：

【變式1】（2021秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期中）【閱讀】在證明線段和差問題時，經(jīng)常采用截長補短法，

再利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系．截長法：將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩

段相等．補短法：延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線

段相等．

【應(yīng)用】把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，CADCBD90，組成一個四邊形ACBD，以D為頂

點作MDN，交邊AC、BC于M、N．

第8頁共63頁.

(1)若ACD30，MDN60，證明：AMBNMN；經(jīng)過思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補

短法，延長CB到點E，使BEAM，連接DE，先證明DAM≌DBE，再證明△MDN≌△EDN，即可

求得結(jié)論．按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程；

(2)當(dāng)ACDMDN90時，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫出你的結(jié)論，不用證

明）

(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖③，其余條件不變，則AM、MN、BN

之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．

【答案】(1)證明見解析

(2)AMBNMN

(3)BNAMMN，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意得AD=BD，延長CB到E，使BEAM，連接DE，利用全等三角形的判定得出

△DAM≌△DBESAS，△MDN≌△EDNSAS，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形即可證明；

（2）證明方法與（1）一致，證明即可；

（3）在CB截取BEAM，連接DE，利用全等三角形的判定得出△DAM≌△DBESAS，

△MDN≌△EDNSAS再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形即可得出結(jié)果．

（1）

證明：根據(jù)題意得：AD=BD，

延長CB到E，使BEAM，連接DE

∵ACBD90，

∴AEBD90，

在△DAM和DBE中

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AMBE

ADBE，

ADBD

∴△DAM≌△DBESAS，

∴BDEMDA，DMDE，

∵MDNADC60，

∴ADMNDC，

∴BDENDC，

∵NDCNDB60

∴BDENDBNDE60

∴MDNNDE，

在△MDN和△EDN中

DMDE

MDNNDE

DNDN

∴△MDN≌△EDNSAS，

∴MNNE，

∵NEBEBNAMBN，

∴AMBNMN．

（2）

由（1）中條件得∠ACD+∠MDN=90°，

證明方法同（1）類似，

∴AMBNMN；

（3）

BNAMMN，

證明：在CB截取BEAM，連接DE，

第10頁共63頁.

∵BCAD90，

∴BDAM90，

在△DAM和DBE中

AMDE

DAMDBE，

ADBD

∴△DAM≌△DBESAS，

∴BDEADM，DMDE，

∵CDAACD90，MDNACD90，

∴MDNCDA，

∴MDNADNCDAADN，

即MDACDN，

∴BDECDN，

∵ADCBDC

∴ADCCDNBDCBDE

即NDAEDC

∴NDAMDAEDCCDN

即MDNEDN，

在△MDN和△EDN中

DMDE

MDNNDE，

DNDN

第11頁共63頁.

∴△MDN≌△EDNSAS，

∴MNNE，

∵NEBNBEBNAM，

∴BNAMMN．

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，找出各角之間的關(guān)系是解

題關(guān)鍵．

【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）在“教、學(xué)、練、評一體化”學(xué)習(xí)活動手冊中，全等三角形專題

復(fù)習(xí)課，學(xué)習(xí)過七種作輔助線的方法，其中有“截長補短”作輔助線的方法．

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等．

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法．

請用這兩種方法分別解決下列問題：

已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任一點，求證：AB－AC＞PB－PC

【答案】見解析

【分析】截長法：在AB上截取AN=AC，連結(jié)PN，可證得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利

用三角形的三邊關(guān)系，即可求證；補短法：延長AC至M，使AM=AB，連結(jié)PM，證明△ABP≌△AMP，

可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三邊關(guān)系，即可求證．

【詳解】解：截長法：在AB上截取AN=AC，連結(jié)PN，

第12頁共63頁.

在△APN和△APC中

∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，

∴△APN≌△APC，

∴PC=PN，

∵△BPN中有PB－PN＜BN，

即PB－PC＜AB－AC；

補短法：延長AC至M，使AM=AB，連結(jié)PM，

在△ABP和△AMP中，

∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，

∴△ABP≌△AMP，

∴PB=PM，

又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，

即AB－AC＞PB－PC．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，理解截長補短法是解題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：學(xué)完垂徑定理后，小紅對弧的中點與弦的關(guān)系再

次做了研究，如圖甲，O中，點C是劣弧AB的中點，D點在BC弧之間，過點C作CEAD，垂足為點

E，小紅在電腦上用幾何畫板的度量功能度量了線段ED、DB、AE的長度如下表所示，小紅發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)

量關(guān)系，這個關(guān)系是______（用ED、DB、AE的式子表示）

第13頁共63頁.

EDDBAE

1.372.233.60

1.512.073.58

1.631.933.56

1.911.603.51

（2）探索結(jié)論：

怎么完成（1）中關(guān)系的證明呢？小紅根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗想到了“截長補短”中的“截長”思想，如圖乙，在線段AE

上截取點F，使得FEDE，連接CF、CD．小紅試圖構(gòu)造關(guān)于AF、DB所在的三角形，通過全等完成證

明，請接著小紅的想法完成證明．

（3）結(jié)論應(yīng)用：

如圖丙，等邊三角形ABC內(nèi)接于O，點D在O上，連接BD、CD，過點C作CEAD，垂足為點E，

若BD31，CBD45，求O的半徑．

第14頁共63頁.

【答案】（1）AE=DE+BD；

（2）證明見解析；

（3）2．

【分析】（1）由AE、DE、BD的取值可得結(jié)論AE=DE+BD；

（2）如圖1，在線段AE上取一點F，使得EF=DE，連接CD、BC、CF、AC，先證明AFCCBACAE，

BCDBADCABCAE，從而得出BCDAFC，進而證明△BCD≌△AFC得AFBD，即可

證明結(jié)論成立；

（3）如圖2，作直徑AF，連接CF，由等邊三角形ABC內(nèi)接于O，得ABCADCF60，ACBC，

進而得CEDEtanADCDEtan603DE，AE=CE，從而求得DE=1，AE=3，最后求得AF22，

即可求得O的半徑．

【詳解】（1）解：由表格可得：當(dāng)AE=3.60，DE=1.37，BD=2.23時，有3.60=1.37+2.23，即AE=DE+BD；

當(dāng)AE=3.58，DE=1.51，BD=2.07時，有3.58=1.51+2.07，即AE=DE+BD；

當(dāng)AE=3.56，DE=1.63，BD=1.93時，有3.56=1.63+1.93，即AE=DE+BD；

當(dāng)AE=3.51，DE=1.91，BD=1.60時，有3.56=1.91+1.60，即AE=DE+BD；

因此，線段ED、DB、AE的關(guān)系為AE=DE+BD，

故答案為AE=DE+BD；

（2）證明：如圖1，在線段AE上取一點F，使得EF=DE，連接CD、BC、CF、AC，

CEAD，EF=DE，

CF=CD，

CFECDE，

ACFCFECAECDECAECBACAE，

O中，點C是劣弧AB的中點，

第15頁共63頁.

ACBC，

ACBC，

CABCBA，

CAFCABCAE，

BCDBADCABCAE，

BCDCAF，

BCD≌ACF，

AFBD，

AE=AF+EF=DE+BD；

（3）解：如圖2，作直徑AF，連接CF，

等邊三角形ABC內(nèi)接于O，

ABCADCF60，ACBC，

CEAD，

CEDEtanADCDEtan603DE，

CEAD，CAECBD45，

第16頁共63頁.

ACE90CAE45CAE，

AE=CE，

CEAD，ACBC，BD31，

AECEDEBDDE313DE，

DE=1，AE=3，

AE3

AC6，

cosCAEcos45

AF是O的直徑，

ACF90，

AC6

AF22，

sinFsin60

1

O的半徑為AF2．

2

【點睛】本題主要考查了圓與等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形

的性質(zhì)，做輔助線構(gòu)造全等三角形及直角三角形是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添

加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一

短邊相等，從而解決問題．

(1)如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的

數(shù)量關(guān)系．

解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證

得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)

系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是______；

【拓展延伸】

(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、

DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

第17頁共63頁.

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3，兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離

PQ的長為______cm．

【答案】(1)DA=DB+DC

(2)2DA=DB+DC；理由見解析

(3)PQ26cm

【分析】（1）延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結(jié)合∠BDC=120°，

知∠ABD+∠ACD=180°，則∠ABD=∠ACE，證得△ABD?△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證明△ADE

是等邊三角形，等量代換可得結(jié)論；

（2）同理可證△ABD△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，由勾股定理得DA2AE2DE2，等量代換即

得結(jié)論；?

（3）由直角三角形的性質(zhì)可得QN的長，由勾股定理可得MQ的長，由（2）知2PQQNQM，由此可

求得PQ長．

（1）

（1）延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠BAC+∠BDC=180°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∴△ABD△ACE(SAS)，

∴AD=AE?，∠BAD=∠CAE，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

第18頁共63頁.

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，

（2）

2DA=DB+DC，

理由如下：延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，

∴∠ABD+∠ACD=180°

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，CE=BD，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴DA2AE2DE2，

2

∴2DA2DBDC，

∴2DADBDC，

（3）

如圖所示：連接PQ，

第19頁共63頁.

∵MN4cm，∠QMN=30°，

1

∴QNMN2cm，

2

根據(jù)勾股定理得QMMN2QN2422223cm，

由（2）知2PQQNQM，

QNQM223

∴PQ26cm，

22

【點睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，

熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：

“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系．截長，即在長線段上截

取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補短，即延長其中一條短線段，

使延長部分等于另一條線段，再證明延長后的線段等于長線段．

依據(jù)上述材料，解答下列問題：

如圖，在等邊ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為邊作等邊DEF，連

接CF．

(1)如圖，若點D在邊BC上，試說明CECFCD；（提示：在線段CD上截取CGCE，連接EG．）

(2)如圖，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

第20頁共63頁.

【答案】(1)證明見解析

(2)FC＝CD+CE

【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易證△CEG是等邊三角形，得出EG＝EC＝CG，證明△DEG≌△FEC

（SAS），得出DG＝CF，即可得出結(jié)論；

（2）過D作DGAB，交AC的延長線于點G，由平行線的性質(zhì)易證∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD

為等邊三角形，則DG＝CD＝CG，證明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．

（1）

證明：在CD上截取CG＝CE，如圖1所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ECG＝60°，

∴△CEG是等邊三角形，

∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴DE＝FE，∠DEF＝60°，

∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，

∴∠DEG＝∠FEC，

在△DEG和△FEC中，

第21頁共63頁.

DEFE

DEGFEC，

EGEC

∴△DEG≌△FEC（SAS），

∴DG＝CF，

∴CD＝CG+DG＝CE+CF，

∴CE+CF＝CD；

（2）

解：線段CE，CF與CD之間的等量關(guān)系是FC＝CD+CE；理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，

過D作DGAB，交AC的延長線于點G，如圖2所示：

∵GDAB，

∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，

∴∠GDC＝∠DGC＝60°，

∴△GCD為等邊三角形，

∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，

∵△EDF為等邊三角形，

∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，

∴∠EDG＝∠FDC，

在△EGD和△FCD中，

EDDF

EDGFDC，

DGCD

∴△EGD≌△FCD（SAS），

第22頁共63頁.

∴EG＝FC，

∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等及其性質(zhì)，三角形全等的判定，等邊三角形的性質(zhì)等知識，

作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．

2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）問題：如圖1，O中，AB是直徑，ACBC，點D是劣弧BC上任

ADBD

一點（不與點B、C重合），求證：為定值．

CD

思路：和差倍半問題，可采用截長補短法，先證明ACE≌BCD．按思路完成下列證明過程．

證明：在AD上截取點E，使AEBD，連接CE．

運用：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，O1與x軸相切于點A3,0，與y軸相交于B、C兩點，且BC8，

連接AB、O1B．

(1)OB的長為___________．

(2)如圖3，過A、B兩點作O2與y軸的負半軸交于點M，與O1B的延長線交于點N，連接AM、MN，當(dāng)O2

的大小變化時，問BMBN的值是否變化，為什么?如果不變，請求出BMBN的值．

【答案】(1)1

(2)不變，理由見解析

【分析】問題：在AD上截取AE=BD，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠CAD=∠CBD，然后證明

△ACE≌△BCD，然后根據(jù)角的等量代換得出∠ECD=90°，進而得出△ECD為等腰直角三角形，用ED表

示CD，因為ED=AD-BD最后即可得出結(jié)論；

（1）連接O1A，過O1作O1H⊥BC于點H，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出O1B的長度，根據(jù)切線的性質(zhì)得

第23頁共63頁.

出O1A⊥x軸，得到OH=5，進而即可得出結(jié)果；

（2）在圖2中先根據(jù)平行和O1A=O1B得出∠ABO1=∠ABO，然后在MB上取一點G，使MG=BN構(gòu)造全等，

證明△AMG≌△ANB，得到AG=AB，然后根據(jù)等腰三角形三線合一得出BG=2，再根據(jù)等量代換即可得到

結(jié)論．

【問題詳解】證明：如圖1，在AD上截AE=BD，

在△ACE和△BCD中，

ACBC

CAECBD，

AEBD

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴∠ACE=∠BCD，CE=CD，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ECD=90°，

∴△ECD是等腰直角三角形，

2

∴CD=ED，

2

∵ED=AD-AE=AD-BD，

ADBDADBD

∴=2，即為定值；

CDCD

【詳解】（1）解：如圖2，連接O1A，過O1作O1H⊥BC于點H，

∴CH=BH=4，O1H=3，O1A⊥x軸，

∴22，

O1B=O1HHB=5

∴O1A=O1B=5，

第24頁共63頁.

∴HO=5，

∴OB=HO-HB=5-4=1，

故答案為：1；

（2）解：BM-BN的值不變，

如圖2，

由（1）得，O1A⊥OA，

∵OB⊥AO，

∴O1A∥OB，

∴∠O1BA=∠OBA，

∵O1A=O1B，

∴∠O1BA=∠O1AB，

∴∠ABO1=∠ABO，

如圖3，在MB上取一點G，使MG=BN，連接AN，AG，

∵∠ABO1=∠ABO，∠ABO1=∠AMN，

∴∠ABO=∠AMN，

∵∠ABO=∠ANM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴AM=AN，

在AMG和ANB中，

△△

第25頁共63頁.

AMAN

AMGANB，

MGBN

∴△AMG≌△ANB（SAS），

∴AG=AB，

∵AO⊥BG，

∴BG=2BO=2，

∴BM-BN=BM-MG=BG=2，即BM-BN的值不變．

【點睛】本題考查圓的綜合題，同弧所對的圓周角相等，兩條半徑所形成的三角形是等腰三角形，等腰三

角形三線合一，垂徑定理是解本題的必備知識，利用“截長補短”法證明全等是解本題的關(guān)鍵．

3．（2022秋·北京·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊△ABC中，點P是BC邊上一點，∠BAP＝（30°＜

＜60°），作點B關(guān)于直線AP的對稱點D，連接DC并延長交直線AP于點E，連接BE．

（1）依題意補全圖形，并直接寫出∠AEB的度數(shù)；

（2）用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)……

②通過截長補短，利用60°角構(gòu)造等邊三角形，進而構(gòu)造出全等三角形，從而達到轉(zhuǎn)移邊的目的．

請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程．

【答案】（1）圖見解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，證明見解析

【分析】（1）依題意補全圖形，如圖所示：然后連接AD，先求出CAP60，然后根據(jù)軸對稱的性

質(zhì)得到∠PAD=∠BAP=，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出∠CAD=260，即可求出

1

∠ACD=∠ADC=180∠CAD=120，再由∠EAC∠AEC=∠ACD=120進行求解即可；

2

（2）如圖，在AE上截取EG＝BE，連接BG．先證明△BGE是等邊三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE

＝60°．再證明∠ABG＝∠CBE，即可證明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，則AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

第26頁共63頁.

【詳解】解：（1）依題意補全圖形，如圖所示：連接AD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵BAP，

∴CAP60，

∵B、D關(guān)于AP對稱，

∴∠PAD=∠BAP=，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，

∴∠CAD=∠PAD∠CAP=60=260，

1

∴∠ACD=∠ADC=180∠CAD=120，

2

∴∠EAC∠AEC=∠ACD=120，

∴AEC60

∴∠AEB＝60°．

（2）AE＝BE＋CE．

證明：如圖，在AE上截取EG＝BE，連接BG．

∵∠AEB＝60°，

∴△BGE是等邊三角形，

∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，

∴∠ABG＝∠CBE．

在△ABG和△CBE中，

第27頁共63頁.

AB＝CB，

ABG＝CBE，

BG＝BE，

∴△ABG≌△CBE（SAS），

∴AG＝CE，

∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵

4．（2021秋·湖南永州·九年級?？茧A段練習(xí)）【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線

的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與

另一短邊相等，從而解決問題．

（1）如圖1，ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，BDC120，探索線段DA、DB、DC之

間的數(shù)量關(guān)系．

解題思路：延長DC到點E，使CEBD，連接AE，根據(jù)BACBDC180，可證ABDACE，易

證得ABD≌ACE，得出ADE是等邊三角形，所以ADDE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)

量關(guān)系．

根據(jù)上述解題思路，請寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是______，并寫出證明過程；

【拓展延伸】

第28頁共63頁.

（2）如圖2，在RtABC中，BAC90，ABAC，若點D是邊BC下方一點，BDC90，探索線段

DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

（3）如圖3，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距

離PQ的平方為多少？

2

【答案】（1）DA=DC+BD，見解析；（2）2AD2DCBD；見解析；（3）23

【分析】（1）由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結(jié)合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由

∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證△ADE是等邊

三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．

（2）延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，先證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，據(jù)此可得

∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，繼而可得2AD2=（DC+BD）2；

1

（3）由直角三角形的性質(zhì)知QN=MN=1，MQ=22，利用（2）中的結(jié)論知

2MNQN3

2

2PQ2QNMQ，據(jù)此可得答案．

【詳解】解：（1）DA=DC+BD，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

第29頁共63頁.

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，

故答案為：DA=DC+BD；

2

（2）2AD2DCBD，如圖2，延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，

∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，

∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，CE=BD，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴DA2+AE2=DE2，

2

∴2AD2DCBD；

（3）如圖3，連接PQ，

∵MN=2，∠QMN=30°，∠MQN=90°，

第30頁共63頁.

1

∴QN=MN=1，

2

∴MQMN2QN222123，

2

由（2）知2PQ2QNMQ．

2

2

QNMQ13

∴PQ2=23．

22

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

5．（2022秋·河北石家莊·八年級?？计谀鹃喿x理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的

添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另

一長邊相等，從而解決問題．

（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，連結(jié)DA、DB、DC，且BDC120，探

索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．

解題思路：延長DC到點E，使CEBD，連接AE，根據(jù)BACBDC180，則ABDACD180，

因為ACDACE180可證ABDACE，易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所

以ADDE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC

之間的數(shù)量關(guān)系是；

【拓展延伸】

（2）如圖②，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC．若點D是邊BC下方一點，BDC=90，探索線

段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

（3）如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30所對直角邊等于斜邊一半，

則PQ的長為_____________cm．（結(jié)果無需化簡）

第31頁共63頁.

13

【答案】（1）DADBDC；（2）猜想：2ADDCDB證明見解析；（3）．

2

【分析】（1）由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結(jié)合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由

∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，證ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證ADE是等邊

三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．△△

（2）延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，先證ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，據(jù)此可得

∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，△繼而可得2DA2=（DB+DC）2；

1

（3）由直角三角形的性質(zhì)知QN=MN=1，MQ=22，利用（2）中的結(jié)論知

2MNQN3

2PQ=QN+QM=1+3，據(jù)此可得答案．

【詳解】解：（1）DA=DC+DB，理由：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，

故答案為：DA=DC+DB；

（2）2DA=DB+DC如圖2，延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，

第32頁共63頁.

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°∴∠ABD+∠ACD=180°，

∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，CE=BD，

在△ABD和△ACE中，

ABAC

ABDACE，

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴DA2+AE2=DE2，

∴2DA2=（DB+DC）2，

∴2DA=DB+DC；

（3）如圖3，連接PQ，

∵MN=2，∠QMN=30°，

1

∴QN=MN=1，

2

第33頁共63頁.

∴MQ=MN2QN222123，

由（2）知2PQ=QN+QM=1+3，

13

∴PQ=，

2

故答案為：13．

2

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形

的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

6．（2021秋·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第70中?？计谀╅喿x下面文字并填空：

數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在ABC中，AD平分BAC，B2C．求證：

ABBDAC．

李老師給出了如下簡要分析：“要證ABBDAC就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法，方法一：‘截

長法’如圖2，在AC上截取AEAB，連接DE，只要證BD__________即可，這就將證明線段和差問題

__________為證明線段相等問題，只要證出__________≌△__________，得出BAED及

BD_________，再證出_____________________，進而得出EDEC，則結(jié)論成立．此種證法的基

礎(chǔ)是‘已知AD平分BAC，將△ABD沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處’成為可能．

方法二：“補短法”如圖3，延長AB至點F，使BFBD．只要證AFAC即可．此時先證__________C，

再證出_________≌△_________，則結(jié)論成立．”

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法．

第34頁共63頁.

【答案】方法一：CE；轉(zhuǎn)化；ABD；AED；DE；EDC；C；方法二：F；AFD；ACD

【分析】方法一：在AC上截取AEAB，由SAS可證ABDAED可得BAED，BD=DE，根據(jù)等角

對等邊得到CE=DE，即可求證；

方法二：延長AB至點F，使BFBD，由AAS可證AFDACD，可得AC=AF，即可證明．

【詳解】方法一：在AC上截取AEAB，連接DE，如圖2

∵AD平分BAC，

∴BADDAC，

在ABD和AED中

AEAB

BADDAC，

ADAD

∴ABDAED，

∴BAED，BD=DE，

∵B2C，

∴AED2C

而AEDCEDC2C，

∴EDCC，

∴DE=CE，

∴AB+BD=AE+CE=AC，

故答案為：CE；轉(zhuǎn)化；ABD；AED；DE；EDC；C；

方法二：如圖3，延長AB至點F，使BFBD，

∴FBDF

∴ABDFBDF2F

∴ABD2C

∴FC

在AFD和ACD中

FADCAD

FC，

ADAD

∴AFDACD，

第35頁共63頁.

∴AC=AF，

∴AC=AB+BF=AB+BD，

故答案為：F；AFD；ACD．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于截長補短類輔助線，核心思想為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，

此類題的關(guān)鍵是要找到最長邊和最短邊，然后確定截取輔助線的方式．

7．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）閱讀材料并完成習(xí)題：

在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD

中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．

解：延長線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形

ABCD=SABC+SADC=SABC+SABE=SAEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積．

△△△△△

（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．

（2）請你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題．

如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．

【答案】（1）2；（2）4

【分析】（1）根據(jù)題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；

（2）延長MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，由（1）易證FGH≌FNK，