專(zhuān)題14 思想方法專(zhuān)題：線(xiàn)段與角計(jì)算中的思想方法壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專(zhuān)題14思想方法專(zhuān)題：線(xiàn)段與角計(jì)算中的思想方法壓軸題四種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】....................................................................................................................................................1

【考點(diǎn)一分類(lèi)討論思想在線(xiàn)段的計(jì)算中的應(yīng)用】..................................................................................................1

【考點(diǎn)二分類(lèi)討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】......................................................................................................4

【考點(diǎn)三整體思想及從特殊到一般的思想解決線(xiàn)段和差問(wèn)題】.........................................................................8

【考點(diǎn)四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】...........................................................................12

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】.............................................................................................................................................17

【典型例題】

【考點(diǎn)一分類(lèi)討論思想在線(xiàn)段的計(jì)算中的應(yīng)用】

例題：（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有AB、CD兩根木條，長(zhǎng)度分別為24cm、18cm，將它們的一

端重合且放在同一條直線(xiàn)上，此時(shí)AB、CD兩根木條中點(diǎn)之間的距離為cm．

【答案】3或21

【分析】假設(shè)端點(diǎn)B和端點(diǎn)D重合，分兩種情況如圖：①BC不在A(yíng)B上時(shí)，MNBMBN，②BC在A(yíng)B

上時(shí)，MNBMBN，分別代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

【詳解】解：假設(shè)端點(diǎn)B和端點(diǎn)D重合

如圖，

設(shè)較長(zhǎng)的木條為AB24cm，較短的木條為BC18cm，

∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，

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∴BM12cm，BN9cm，

①如圖1，BC不在A(yíng)B上時(shí)，MNBMBN12921（cm），

②如圖2，BC在A(yíng)B上時(shí)，MNBMBN1293（cm），

綜上所述，兩根木條的中點(diǎn)間的距離是21cm或3cm，

故答案為：3或21．

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線(xiàn)段的中點(diǎn)定義，解題的關(guān)鍵是在于要分情況討論，作出

圖形更形象直觀(guān)．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線(xiàn)段AB6cm，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直線(xiàn)AB上的

一點(diǎn)，且CD2cm，則線(xiàn)段BD的長(zhǎng)是（）

A．1cmB．5cmC．1cm或5cmD．4cm或5cm

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由于點(diǎn)D的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．

【詳解】解：∵線(xiàn)段AB6cm，C為AB的中點(diǎn)，

∴當(dāng)點(diǎn)D如圖1所示時(shí)，

1

ACBCAB3cm，

2

BDBCCD325cm；

當(dāng)點(diǎn)D如圖2所示時(shí)，

BDBCCD321cm

∴線(xiàn)段BD的長(zhǎng)為1cm或5cm.

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．

2．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，有兩根木條，一根AB長(zhǎng)為80cm，另一根CD長(zhǎng)為130cm，

在它們的中點(diǎn)處各有一個(gè)小圓孔M、N（圓孔直徑忽略不計(jì)，M、N抽象成兩個(gè)點(diǎn)），將它們的一端重合，

放置在同一條直線(xiàn)上，此時(shí)兩根木條的小圓孔之間的距離MN是．

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【答案】25cm或105cm

【分析】分兩種情況畫(huà)出圖形求解即可．

【詳解】解：（1）當(dāng)A、C（或B、D）重合，且剩余兩端點(diǎn)在重合點(diǎn)同側(cè)時(shí)，

11

MNCNAMCDAB

22

654025（厘米）；

（2）當(dāng)B、C（或A、C）重合，且剩余兩端點(diǎn)在重合點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，

11

MNCNBMCDAB

22

6540105（厘米）．

所以?xún)筛緱l的小圓孔之間的距離MN是25cm或105cm．

故答案為：25cm或105cm．

【點(diǎn)睛】此題考查了兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，正確畫(huà)圖很重要，本題滲透了分類(lèi)討論的思想，體現(xiàn)了思維的

嚴(yán)密性，在今后解決類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)，要防止漏解．

3．（2023秋·江西吉安·七年級(jí)?？计谀┰谕恢本€(xiàn)上有A,B,C,D不重合的四個(gè)點(diǎn)，AB8,BC3,CD5，

則AD的長(zhǎng)為．

【答案】6或10或16

【分析】由于沒(méi)有圖形，故A,B,C,D四點(diǎn)相對(duì)位置不確定，分：點(diǎn)C在B的左側(cè)、右側(cè)，點(diǎn)D在C的左

側(cè)、右側(cè)等，不同情況畫(huà)圖分別求解即可．

【詳解】解：I．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時(shí)，如圖：

AB8，BC3，CD5，

ADABBCCD8356，

II．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，如圖：

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ADABBCCD83516，

III．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時(shí)，如圖：

ADABBCCD8350，點(diǎn)A、D重合，不合題意，

IV．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，如圖：

ADABBCCD83510，點(diǎn)A、D重合，不合題意，

綜上所述：AD的長(zhǎng)為6或10或16

故答案為：6或10或16．

【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類(lèi)討論、利用線(xiàn)段之間的和

差關(guān)系得到AD的長(zhǎng)度．

【考點(diǎn)二分類(lèi)討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】

例題：（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知AOB80，BOC20，OP平分BOC，則AOP等于．

【答案】70或90

【分析】分兩種情況：利用角平分線(xiàn)的定義即可求解．

【詳解】解：當(dāng)如圖所示時(shí)：

OP平分BOC，AOB80，BOC20，

1

AOPAOBBOC70，

2

當(dāng)如圖所示時(shí)：

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OP平分BOC，AOB80，BOC20，

1

AOPAOBBOC90．

2

故答案為：70或90.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握角平分線(xiàn)的定義，利用分類(lèi)討論解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AOB18，AOC3AOB，則BOC的度數(shù)是．

【答案】36或72

【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)OB在A(yíng)OC的內(nèi)部時(shí)；②當(dāng)OB在A(yíng)OC的外部時(shí)，分別求解即可得到

答案．

【詳解】解：①如圖，當(dāng)OB在A(yíng)OC的內(nèi)部時(shí)，

AOB18，AOC3AOB，

AOC54，

BOCAOCAOB541836；

②如圖，當(dāng)OB在A(yíng)OC的外部時(shí)，

AOB18，AOC3AOB，

AOC54，

BOCAOCAOB541872；

綜上可知，BOC的度數(shù)為36或72，

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故答案為：36或72．

【點(diǎn)睛】本題考查了角度的和差計(jì)算，利用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．

2．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)校考期中）已知AOB80，OC平分AOB，射線(xiàn)OM與OC所形成的

角度是10，那么AOM的度數(shù)是

【答案】30或50/50或30

【分析】分兩種情況：射線(xiàn)OM在OC的上方和射線(xiàn)OM在OC的下方，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和角的和差分

別計(jì)算即可．

【詳解】解：如圖1，

∵AOB80，OC平分AOB，

11

∴AOCBOCAOB8040，

22

∵射線(xiàn)OM與OC所形成的角度是10，

∴COM10，

∴AOMAOCCOM401030；

如圖2，

∵AOB80，OC平分AOB，

11

∴AOCBOCAOB8040，

22

∵射線(xiàn)OM與OC所形成的角度是10，

∴COM10，

∴AOMAOCCOM401050；

綜上可知AOM的度數(shù)是30或50．

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故答案為：30或50．

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線(xiàn)的定義和角的和差計(jì)算，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．

3．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)?？计谥校┮阎渚€(xiàn)OC是AOB的三等分線(xiàn)，射線(xiàn)OD為AOB的平

分線(xiàn)，若AOC40，則COD．

【答案】20或10

12

【分析】根據(jù)三等分線(xiàn)的定義可得AOCAOB或AOCAOB，畫(huà)出圖形，進(jìn)行分類(lèi)討論即可．

33

【詳解】解：∵射線(xiàn)OC是AOB的三等分線(xiàn)，

12

∴AOCAOB或AOCAOB，

33

1

當(dāng)AOCAOB時(shí)，如圖：

3

1

∵AOC40，AOCAOB，

3

∴AOB120，

∵射線(xiàn)OD為AOB的平分線(xiàn)，

1

∴AODAOB60，

2

∴CODAODAOC20；

2

當(dāng)AOCAOB時(shí)，如圖：

3

2

∵AOC40，AOCAOB，

3

∴AOB60，

∵射線(xiàn)OD為AOB的平分線(xiàn)，

1

∴AODAOB30，

2

∴CODAODAOC10；

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故答案為：20或10．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的三等分線(xiàn)和角平分線(xiàn)，解題的關(guān)鍵是掌握角的三等分線(xiàn)有兩條．

【考點(diǎn)三整體思想及從特殊到一般的思想解決線(xiàn)段和差問(wèn)題】

例題：（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線(xiàn)段AB，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分

別是線(xiàn)段AC，BC的中點(diǎn)．

①若ACBC4，則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度是_________；

②若ACa，BCb，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；

（2）在（1）中，把點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)改為：點(diǎn)C是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，ACa，BCb．其它條件不

變，則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）

1111

【答案】（1）①4，②ab，（2）ab或ba或ab

2222

11

【分析】（1）①根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義可得MCAC2,NCBC2，即可求解；

22

1a1b

②MCAC,NCBC，即可求解；

2222

（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論即可：當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊

時(shí)．

【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段AC，BC的中點(diǎn)，ACBC4，

11

∴MCAC2,NCBC2，

22

∴MNMCNC224，

故答案為：4；

②∵點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段AC，BC的中點(diǎn)，ACBC4，

1a1b

∴MCAC,NCBC，

2222

1

∴MNMCNCab；

2

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上時(shí)，

1

由（1）可得：MNMCNCab；

2

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當(dāng)點(diǎn)C在A(yíng)左邊時(shí)，

，

∵點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段AC，BC的中點(diǎn)，ACa，BCb，

1a1b

∴MCAC,NCBC，

2222

1

∴MNNCMCba；

2

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右邊時(shí)，

∵點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段AC，BC的中點(diǎn)，ACa，BCb，

1a1b

∴MCAC,NCBC，

2222

1

∴MNMCNCab；

2

111

綜上：MNab或ba或ab．

222

111

故答案為：ab或ba或ab．

222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，線(xiàn)段的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，具有分

類(lèi)討論的思想．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．

2

(1)若線(xiàn)段AC15，BCAC，則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為

5

(2)若B為線(xiàn)段AC上任一點(diǎn)，滿(mǎn)足ACBCm，其它條件不變，求MN的長(zhǎng)；

(3)若原題中改為點(diǎn)B在直線(xiàn)AC上，滿(mǎn)足ACa，BCb，ab，其它條件不變，求MN的長(zhǎng)．

9

【答案】(1)

2

1

(2)m

2

1

(3)ba

2

1151

【分析】（1）先求出BC6，再由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，可得CMAC，CNBC3，

222

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再由MNCMCN，即可求解；

11

（2）由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，可得CMAC，CNBC，再由MNCMCN，即可求

22

解；

（3）分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

即可求解．

2

【詳解】（1）解：AC15，BCAC，

5

BC6，

又點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

1151

CMAC，CNBC3，

222

159

MNCMCN3；

22

9

故答案為：；

2

（2）解：點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

11

CMAC，CNBC，

22

1111

MNCMCNACBCACBCm；

2222

（3）解：當(dāng)點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上時(shí)，

點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

11

CMAC，CNBC，

22

1111

MNCMCNACBC(ACBC)(ab)；

2222

當(dāng)點(diǎn)B在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

11

CMAC，CNBC，

22

1111

MNCMCNACBC(ACBC)(ab)；

2222

當(dāng)點(diǎn)B在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

11

CMAC，CNBC，

22

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1111

MNCNCMBCACBCACba．

2222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線(xiàn)段中點(diǎn)的計(jì)算，根據(jù)題意，準(zhǔn)確得到線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

2．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)校考期中）（1）如圖1，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，M，N

分別是AC，BC的中點(diǎn),若AB12，AC8，求MN的長(zhǎng)．

（2）設(shè)AB=a，C是線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．

①如圖2，當(dāng)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)是___________；

11

②如圖3，若M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AMAC，BNBC，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段MN的長(zhǎng)．

33

12

【答案】（1）6（2）①a②a

23

【分析】（1）由AB12,AC8，得BCABAC4，根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，即得

11

CMAC4，CNBC2，故MNCMCN6；

22

11111

（2）①由M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，知CMAC,CNBC，即得MNACBCAB，

22222

1

故MNa；

2

1122222

②由AMAC,BNBC，知CMAC,CNBC，即得MNCMCNACBCAB,故

3333333

2

MNa；

3

【詳解】解：（1）AB12,AC8

BCABAC4

M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)

11

CMAC4,CNBC2

22

MNCMCN6

故答案為：6

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（2）①M(fèi)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)

11

CMAC,CNBC

22

111

MNACBCAB

222

ABa

1

MNa

2

1

故答案為：a

2

11

②A(yíng)MAC,BNBC

33

22

CMAC,CNBC

33

222

MNCMCNACBCAB

333

ABa

2

MNa

3

2

故答案為：a

3

【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段的中點(diǎn)、線(xiàn)段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段中點(diǎn)的定義及線(xiàn)段和差運(yùn)算．

【考點(diǎn)四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】

例題：（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)課堂例題）已知：如圖，OC在A(yíng)OB的內(nèi)部，OM平分

AOBAOB180，ON平分BOC．

(1)當(dāng)AOC90，BOC60時(shí)，MON___________；

(2)當(dāng)AOC80，BOC60時(shí)，MON___________；

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(3)當(dāng)AOC80，BOC50時(shí)，MON___________；

(4)猜想：不論AOC和BOC的度數(shù)是多少，MON的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．

【答案】(1)45

(2)40

(3)40

(4)AOC

【分析】（1）（2）（3）利用角平分線(xiàn)的定義求得AOM和NOC的度數(shù)，再求得MOC，進(jìn)一步計(jì)算即

可求解；

（4）由（1）（2）（3）可得出結(jié)論；

【詳解】（1）解：∵AOC90，BOC60，

∴AOB9060150，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMAOB75，

2

∴MOC907515，

又∵ON平分BOC，

1

∴NOCBOC30，

2

∴MONMOCNOC153045，

故答案為：45；

（2）解：∵AOC80，BOC60，

∴AOB8060140，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMAOB70，

2

∴MOC807010，

又∵ON平分BOC，

1

∴NOCBOC30，

2

∴MONMOCNOC103040，

故答案為：40；

（3）解：∵AOC80，BOC50，

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∴AOB8050130，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMAOB65，

2

∴MOC806515，

又∵ON平分BOC，

1

∴NOCBOC25，

2

∴MONMOCNOC152540，

故答案為：40；

1

（4）解：由以上（1）（2）（3）得出結(jié)論MONAOC，

2

即不論AOC和BOC的度數(shù)是多少，MON的度數(shù)總等于A(yíng)OC的度數(shù)的一半．

故答案為：AOC．

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線(xiàn)的定義、角的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線(xiàn)定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)

化求解．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·重慶開(kāi)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在

點(diǎn)O處．射線(xiàn)OC平分MOB．

(1)如圖1，若AOM40，求CON的度數(shù)；

(2)在圖1中，若AOM，直接寫(xiě)出CON的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；

(3)將圖1中的直角三角板OMN繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，當(dāng)AOC3BON時(shí)，求AOM的度

數(shù)．

【答案】(1)20°

1

(2)CON

2

(3)144°

【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

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（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)BOCx，依次表示出COMx，AOM1802x，BON902x，AOC180x，

最后根據(jù)AOC3BON列方程即可得到結(jié)論．

【詳解】（1）因?yàn)镺為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，且AOM40，MON90

所以BOM140°，BON50

因?yàn)樯渚€(xiàn)OC平分MOB

1

所以BOCBOM70

2

因?yàn)镃ONBOCBON

所以CON705020

（2）因?yàn)镺為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，且AOM，MON90

所以BOM180，BON90

因?yàn)樯渚€(xiàn)OC平分MOB

11

所以BOCBOM90°

22

因?yàn)镃ONBOCBON

11

所以CON90°90°

22

（3）設(shè)BOCx，則COMx，AOM1802x，BON902x

因?yàn)锳OCAOMCOM

所以AOC1802xx180x

因?yàn)锳OC3BON

所以180x3902x解得x18

因?yàn)锳OM1802x

所以AOM180218144.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線(xiàn)的定義，余角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用余角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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2．（2023春·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考期末）解答下列問(wèn)題

如圖1，射線(xiàn)OC在A(yíng)OB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：AOB，AOC和BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)

是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱(chēng)射線(xiàn)OC是AOB的“巧分線(xiàn)”．

(1)一個(gè)角的平分線(xiàn)這個(gè)角的“巧分線(xiàn)”，（填“是”或“不是”）．

(2)如圖2，若MPN60，且射線(xiàn)PQ是MPN的“巧分線(xiàn)”，則MPQ（表示出所有可能的結(jié)果探索

新知）．

(3)如圖3，若MPN，且射線(xiàn)PQ是MPN的“巧分線(xiàn)”，則MPQ（用含α的代數(shù)式表示出所有可能

的結(jié)果）．

【答案】(1)是

(2)30°，20°或40°

112

(3)或或

233

【分析】（1）根據(jù)“巧分線(xiàn)”定義，一個(gè)角的平分線(xiàn)將一個(gè)角均分成兩個(gè)等角，大角是這兩個(gè)角的兩倍即可解

答；

(2)根據(jù)“巧分線(xiàn)”定義，分MPN2MPQ1、NPQ22MPQ2、MPQ32NPQ3三種情況求解即可；

(3)根據(jù)“巧分線(xiàn)”定義，分MPN2MPQ1、NPQ22MPQ2、MPQ32NPQ3三種情況求解即可．

【詳解】（1）解：如圖1：∵OC平分AOB，

∴AOB2AOC2BOC,

∴根據(jù)巧分線(xiàn)定義可得OC是這個(gè)角的“巧分線(xiàn)”．

故答案為：是．

11

（2）解：如圖3：①當(dāng)MPN2MPQ時(shí)，則MPQMPN6030；

1122

②當(dāng)NPQ22MPQ2，則MPNMPQ2NPQ23MPQ260，解得：MPQ220；

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3

③當(dāng)MPQ2NPQ，則MPNMPQNPQMPQ60，解得：MPQ40．

3333233

綜上，MPQ可以為30，20，40．

11

（3）解：如圖3：①當(dāng)MPN2MPQ時(shí)，則MPQMPN；

11222

1

②當(dāng)NPQ2MPQ，則MPNMPQNPQ3MPQ，解得：MPQ；

2222223

32

③當(dāng)MPQ2NPQ，則MPNMPQNPQMPQ，解得：MPQ．

33332333

12

綜上，MPQ可以為，，．

233

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的計(jì)算、角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意、理解“巧分線(xiàn)”的定義是解

題的關(guān)鍵．

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1．（2023秋·河北廊坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線(xiàn)段AB16cm，點(diǎn)C是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，BC6cm，若M

是AC的中點(diǎn)，則線(xiàn)段MB的長(zhǎng)度為（）

A．5cmB．11cmC．5cm或11cmD．以上都不對(duì)

【答案】C

【分析】分點(diǎn)C在B點(diǎn)的左邊和B點(diǎn)的右邊兩種情況，分別畫(huà)出圖形，結(jié)合線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)即可求解．

【詳解】解：點(diǎn)C在B點(diǎn)的右邊時(shí)，如圖所示，

∵AB16，BC6

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∴ACABBC22，

∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，

1

∴CMAC11，

2

∴BMCMBC1165，

點(diǎn)C在B點(diǎn)的左邊時(shí)，如圖所示，

∵AB16，BC6

∴ACABBC10，

∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，

1

∴CMAC5，

2

∴BMCMBC5611，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段的和差關(guān)系，線(xiàn)段的中點(diǎn)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

2．（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）已知AOB30，OD平分AOB，BOC50，則DOC的度數(shù)為（）

A．20B．35

C．20或80D．35或65

【答案】D

【分析】分兩種情況畫(huà)出圖形，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義結(jié)合圖形求出DOC的度數(shù)即可．

【詳解】解：當(dāng)AOB在BOC的外部時(shí)，如圖所示：

∵AOB30，OD平分AOB，

1

∴BODAOB15，

2

∵BOC50，

∴DOCBODBOC65；

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當(dāng)AOB在BOC的內(nèi)部時(shí)，如圖所示：

∵AOB30，OD平分AOB，

1

∴BODAOB15，

2

∵BOC50，

∴DOCBODBOC35；

綜上分析可知，DOC的度數(shù)為35或65，故D正確．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考出了角平分線(xiàn)的定義，幾何圖形中角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，注意

分類(lèi)討論．

3．（2023秋·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在A(yíng)OB的內(nèi)部作射線(xiàn)OC，射線(xiàn)OC把AOB分成兩個(gè)角，分

11

別為AOC和BOC，若AOCAOB或BOCAOB，則稱(chēng)射線(xiàn)OC為AOB的三等分線(xiàn)．若

33

AOB60，射線(xiàn)OC為AOB的三等分線(xiàn)，則AOC的度數(shù)為（）

A．20B．40C．20或40D．20或30

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得出AOC20或BOC20，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出AOC40，綜合即

可得出答案．

【詳解】解：∵AOB60，射線(xiàn)OC為AOB的三等分線(xiàn)．

11

∴AOCAOB20或BOCAOB20，

33

∴AOCAOBBOC602040，

∴AOC的度數(shù)為20或40．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解題意，分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．

二、填空題

4．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知線(xiàn)段AB4，在直線(xiàn)AB上作線(xiàn)段BC，使得BC2，若D是線(xiàn)段AC的

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中點(diǎn)，則線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為．

【答案】1或3

【分析】根據(jù)題意可分為兩種情況，①點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，可計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再由D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，

即可得出答案；②BC在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，可計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再由D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，即可得出答

案．

【詳解】解：根據(jù)題意分兩種情況，

①如圖1，

∵AB4，BC2，

∴ACABBC2，

∵D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，

11

∴ADAC21；

22

②如圖2，

∵AB4，BC2，

∴ACABBC6，

∵D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，

11

∴ADAC63．

22

∴線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為1或3．

故答案為：1或3．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，正確理解題目并進(jìn)行分情況進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．

5．（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若線(xiàn)段AB18cm，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的三

等分點(diǎn)，則線(xiàn)段的BD長(zhǎng)為．

【答案】15cm或12cm

【分析】根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義和線(xiàn)段三等分點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論．

【詳解】解：C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，AB18cm，

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11

ACBCAB189(cm)，

22

點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的三等分點(diǎn)，

1

①當(dāng)ADAC時(shí)，如圖，

3

2

BDBCCDBCAC9615(cm)；

3

2

②當(dāng)ADAC時(shí)，如圖，

3

1

BDBCCDBCAC9312(cm)．

3

所以線(xiàn)段BD的長(zhǎng)為15cm或12cm．

故答案為：15cm或12cm．

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，分類(lèi)討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

6．（2022秋·河北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成1:2兩個(gè)部分的射線(xiàn)，叫

做這個(gè)角的三分線(xiàn)，一個(gè)角的三分線(xiàn)有兩條．如圖1，AOB2BOC，則OB是AOC的一條三分線(xiàn)．

（1）如圖1，若AOC57，則BOC；

（2）如圖2，若AOB120，OC，OD是AOB的兩條三分線(xiàn)，且BOCAOC．

①則COD；

②若以點(diǎn)O為中心，將COD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n（0n90）得到COD，當(dāng)OA恰好是COD的三分線(xiàn)時(shí)，

n的值為．

160200

【答案】19/19度40/40度或

33

【分析】（1）根據(jù)三分線(xiàn)的定義計(jì)算即可；

（2）①根據(jù)三分線(xiàn)的定義計(jì)算即可；

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②根據(jù)三分線(xiàn)的定義可得BOCCODAOD40，由旋轉(zhuǎn)得CODCOD40，然后分兩種情

況：當(dāng)OA是COD的三分線(xiàn)，且AODAOC時(shí)；當(dāng)OA是COD的三分線(xiàn)，且AODAOC

時(shí)，分別求出COC和DOD的值即可．

【詳解】（1）解：∵AOC57，則OB是AOC的一條三分線(xiàn)．

∵AOB2BOC

1

∴BOCAOC19,

3

故答案為：19

（2）①∵OC，OD是AOB的兩條三分線(xiàn)，AOB120，

1

∴CODAOB40，

3

故答案為：40；

②∵AOB120，OC，OD是AOB的兩條三分線(xiàn)，

∴BOCCODAOD30，

由旋轉(zhuǎn)得：CODCOD30，

分兩種情況：

140

當(dāng)OA是COD的三分線(xiàn)，且AODAOC時(shí)，可得AOCCOD，

33

4080

∴DOC40，

33

80200200

∴COC40，即n；

333

140

當(dāng)OA是COD的三分線(xiàn)，且AODAOC時(shí)，可得AODCOD，

33

40160160

∴DOD40，即n；

333

160200

故答案為：或．

33

【點(diǎn)睛】本題屬于新定義類(lèi)型的問(wèn)題，主要考查了角的計(jì)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握角的三分線(xiàn)的定義，

解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用，分類(lèi)時(shí)不能重復(fù)，也不能遺漏．

三、解答題

7．（2023春·云南楚雄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，B,C是線(xiàn)段AD上的兩點(diǎn)，且AB:BC:CD2:3:4,M是AD

的中點(diǎn)，若MC1．

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(1)求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)度．

1

(2)若N是線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，滿(mǎn)足CNDB，求線(xiàn)段DN的長(zhǎng)度．

7

【答案】(1)18

(2)6或10

1

【分析】（1）設(shè)AB2x，則BC3x,CD4x，則AD9x，根據(jù)中點(diǎn)可得MDAD，根據(jù)MCMDCD，

2

列出方程求解即可；

（2）先求出DB14，CN2．再分以下種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段CD上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段CB上時(shí)．

【詳解】（1）解：設(shè)AB2x，則BC3x,CD4x．

AD2x3x4x9x.

M是AD的中點(diǎn)，

19

MDADx．

22

91

MCMDCDx4xx，

22

1

由題意得x1，

2

解得x2，

AD9x18．

341

（2）解：由（1）可知DB1814,CNDB，

2347

1

CN142．

7

分以下兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段CD上時(shí)，DNCDCN826；

②當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段CB上時(shí)，DNCDCN8210．

綜上所述，線(xiàn)段DN的長(zhǎng)度為6或10．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，線(xiàn)段之間的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形和題目所給數(shù)量

關(guān)系，得出AD18．

8．（2021秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，COD90，OE是

AOD的平分線(xiàn)．

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(1)如圖1，若COE55，求BOD的度數(shù)；

(2)如圖2，OF是BOC的平分線(xiàn)，求EOF的度數(shù)；

(3)在（2）的條件下，OP是BOD的一條三等分線(xiàn)，若AOCDOFEOF，求FOP的度數(shù)．

【答案】(1)110

(2)45

(3)35或55

【分析】（1）由互余得DOE度數(shù)，進(jìn)而由角平分線(xiàn)得到AOD度數(shù)，根據(jù)BOD180AOD可得BOD度

數(shù)；

111

（2）由角平分線(xiàn)得出AOEAOD(AOC90)，BOF(BOD90)，繼而由

222

EOF180AOEBOF得出結(jié)論．

1

（3）DOF45BOD，結(jié)合已知AOCDOFEOF和AOCBOD90可求BOD60，

2

再由FOPDOFDOP，再根據(jù)OP是BOD的一條三等分線(xiàn)，分兩種情況來(lái)討論，即可解答．

【詳解】（1）解：COD90，COE55，

DOECODCOE35，

OE是AOD的平分線(xiàn)，

AOD2DOE70，

BOD180AOD18070110；

答：BOD的度數(shù)為110．

（2）解：OE是AOD的平分線(xiàn)．

11

AOEAOD(AOC90)，

22

OF是BOC的平分線(xiàn)，

11

BOFCOFBOC(BOD90)，

22

1

EOF180AOEBOF180(AOCBOD)90

2

AOCBOD1809090，

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EOF45，

答：EOF的度數(shù)為45．

（3）解：由（2）得EOF45

AOCDOFEOF45，

DOF45AOC，

11

又DOFCODCOF90(BOD90)45BOD，

22

1

45AOC45BOD，

2

1

AOCBOD，

2

AOCBOD90，

AOC30，BOD60，

DOF453015，

1

當(dāng)DOPBOD，

3

DOP20，

FOPDOFDOP152035；