專(zhuān)題14 思想方法專(zhuān)題：線(xiàn)段與角計(jì)算中的思想方法壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專(zhuān)題14思想方法專(zhuān)題：線(xiàn)段與角計(jì)算中的思想方法壓軸題四種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】....................................................................................................................................................1

【考點(diǎn)一分類(lèi)討論思想在線(xiàn)段的計(jì)算中的應(yīng)用】..................................................................................................1

【考點(diǎn)二分類(lèi)討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】......................................................................................................2

【考點(diǎn)三整體思想及從特殊到一般的思想解決線(xiàn)段和差問(wèn)題】.........................................................................2

【考點(diǎn)四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】.............................................................................3

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】...............................................................................................................................................5

【典型例題】

【考點(diǎn)一分類(lèi)討論思想在線(xiàn)段的計(jì)算中的應(yīng)用】

例題：（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有AB、CD兩根木條，長(zhǎng)度分別為24cm、18cm，將它們的一

端重合且放在同一條直線(xiàn)上，此時(shí)AB、CD兩根木條中點(diǎn)之間的距離為cm．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線(xiàn)段AB6cm，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直線(xiàn)AB上的

一點(diǎn)，且CD2cm，則線(xiàn)段BD的長(zhǎng)是（）

A．1cmB．5cmC．1cm或5cmD．4cm或5cm

2．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，有兩根木條，一根AB長(zhǎng)為80cm，另一根CD長(zhǎng)為130cm，

在它們的中點(diǎn)處各有一個(gè)小圓孔M、N（圓孔直徑忽略不計(jì)，M、N抽象成兩個(gè)點(diǎn)），將它們的一端重合，

放置在同一條直線(xiàn)上，此時(shí)兩根木條的小圓孔之間的距離MN是．

3．（2023秋·江西吉安·七年級(jí)?？计谀┰谕恢本€(xiàn)上有A,B,C,D不重合的四個(gè)點(diǎn)，AB8,BC3,CD5，

則AD的長(zhǎng)為．

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【考點(diǎn)二分類(lèi)討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】

例題：（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知AOB80，BOC20，OP平分BOC，則AOP等于．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AOB18，AOC3AOB，則BOC的度數(shù)是．

2．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)?？计谥校┮阎狝OB80，OC平分AOB，射線(xiàn)OM與OC所形成的

角度是10，那么AOM的度數(shù)是

3．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)?？计谥校┮阎渚€(xiàn)OC是AOB的三等分線(xiàn)，射線(xiàn)OD為AOB的平

分線(xiàn)，若AOC40，則COD．

【考點(diǎn)三整體思想及從特殊到一般的思想解決線(xiàn)段和差問(wèn)題】

例題：（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線(xiàn)段AB，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分

別是線(xiàn)段AC，BC的中點(diǎn)．

①若ACBC4，則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度是_________；

②若ACa，BCb，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；

（2）在（1）中，把點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)改為：點(diǎn)C是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，ACa，BCb．其它條件不

變，則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）

【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．

2

(1)若線(xiàn)段AC15，BCAC，則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為

5

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(2)若B為線(xiàn)段AC上任一點(diǎn)，滿(mǎn)足ACBCm，其它條件不變，求MN的長(zhǎng)；

(3)若原題中改為點(diǎn)B在直線(xiàn)AC上，滿(mǎn)足ACa，BCb，ab，其它條件不變，求MN的長(zhǎng)．

2．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校?）如圖1，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，M，N

分別是AC，BC的中點(diǎn),若AB12，AC8，求MN的長(zhǎng)．

（2）設(shè)AB=a，C是線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．

①如圖2，當(dāng)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)是___________；

11

②如圖3，若M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AMAC，BNBC，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段MN的長(zhǎng)．

33

【考點(diǎn)四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】

例題：（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)課堂例題）已知：如圖，OC在AOB的內(nèi)部，OM平分

AOBAOB180，ON平分BOC．

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(1)當(dāng)AOC90，BOC60時(shí)，MON___________；

(2)當(dāng)AOC80，BOC60時(shí)，MON___________；

(3)當(dāng)AOC80，BOC50時(shí)，MON___________；

(4)猜想：不論AOC和BOC的度數(shù)是多少，MON的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·重慶開(kāi)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在

點(diǎn)O處．射線(xiàn)OC平分MOB．

(1)如圖1，若AOM40，求CON的度數(shù)；

(2)在圖1中，若AOM，直接寫(xiě)出CON的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；

(3)將圖1中的直角三角板OMN繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，當(dāng)AOC3BON時(shí)，求AOM的度

數(shù)．

2．（2023春·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考期末）解答下列問(wèn)題

如圖1，射線(xiàn)OC在AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：AOB，AOC和BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)

是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱(chēng)射線(xiàn)OC是AOB的“巧分線(xiàn)”．

(1)一個(gè)角的平分線(xiàn)這個(gè)角的“巧分線(xiàn)”，（填“是”或“不是”）．

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(2)如圖2，若MPN60，且射線(xiàn)PQ是MPN的“巧分線(xiàn)”，則MPQ（表示出所有可能的結(jié)果探索

新知）．

(3)如圖3，若MPN，且射線(xiàn)PQ是MPN的“巧分線(xiàn)”，則MPQ（用含α的代數(shù)式表示出所有可能

的結(jié)果）．

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1．（2023秋·河北廊坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線(xiàn)段AB16cm，點(diǎn)C是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，BC6cm，若M

是AC的中點(diǎn)，則線(xiàn)段MB的長(zhǎng)度為（）

A．5cmB．11cmC．5cm或11cmD．以上都不對(duì)

2．（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）已知AOB30，OD平分AOB，BOC50，則DOC的度數(shù)為（）

A．20B．35

C．20或80D．35或65

3．（2023秋·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在AOB的內(nèi)部作射線(xiàn)OC，射線(xiàn)OC把AOB分成兩個(gè)角，分

11

別為AOC和BOC，若AOCAOB或BOCAOB，則稱(chēng)射線(xiàn)OC為AOB的三等分線(xiàn)．若

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AOB60，射線(xiàn)OC為AOB的三等分線(xiàn)，則AOC的度數(shù)為（）

A．20B．40C．20或40D．20或30

二、填空題

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4．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知線(xiàn)段AB4，在直線(xiàn)AB上作線(xiàn)段BC，使得BC2，若D是線(xiàn)段AC的

中點(diǎn)，則線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為．

5．（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若線(xiàn)段AB18cm，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的三

等分點(diǎn)，則線(xiàn)段的BD長(zhǎng)為．

6．（2022秋·河北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成1:2兩個(gè)部分的射線(xiàn)，叫

做這個(gè)角的三分線(xiàn)，一個(gè)角的三分線(xiàn)有兩條．如圖1，AOB2BOC，則OB是AOC的一條三分線(xiàn)．

（1）如圖1，若AOC57，則BOC；

（2）如圖2，若AOB120，OC，OD是AOB的兩條三分線(xiàn)，且BOCAOC．

①則COD；

②若以點(diǎn)O為中心，將COD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n（0n90）得到COD，當(dāng)OA恰好是COD的三分線(xiàn)時(shí)，

n的值為．

三、解答題

7．（2023春·云南楚雄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，B,C是線(xiàn)段AD上的兩點(diǎn)，且AB:BC:CD2:3:4,M是AD

的中點(diǎn)，若MC1．

(1)求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)度．

1

(2)若N是線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，滿(mǎn)足CNDB，求線(xiàn)段DN的長(zhǎng)度．

7

8．（2021秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，COD90，OE是

AOD的平分線(xiàn)．

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(1)如圖1，若COE55，求BOD的度數(shù)；

(2)如圖2，OF是BOC的平分線(xiàn)，求EOF的度數(shù)；

(3)在（2）的條件下，OP是BOD的一條三等分線(xiàn)，若AOCDOFEOF，求FOP的度數(shù)．

9．（2022秋·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線(xiàn)段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道問(wèn)題產(chǎn)生了探究的興趣：

如圖1，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB＝12，AC＝8，求MN的長(zhǎng)．

(1)根據(jù)題意，小明求得MN＝___________；

(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始

深入探究．

設(shè)AB＝a，C是線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．

①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN＝______________；

11

②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AMAC，BNBC，求MN的長(zhǎng)；

33

11

③若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即AMAC，BNBC，則MN＝___________；

nn

10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）操作與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師將一副三角板按圖1所示的

位置擺放，分別在∠AOC，∠BOD的內(nèi)部作射線(xiàn)OM，ON，然后提出如下問(wèn)題：先添加一個(gè)適當(dāng)條件，再

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求∠MON的度數(shù)．

(1)特例探究：“興趣小組”的同學(xué)添加了：“若OM，ON分別平分∠AOC，∠BOD”，畫(huà)出如圖