河南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練課件一元二次方程2

第一部分考點(diǎn)探究教材梳理第二章方程與不等式第3節(jié)一元二次方程目錄CONTENTS010203考點(diǎn)梳理·教材運(yùn)用重難擊破·典例剖析本節(jié)易錯(cuò)題回看版本導(dǎo)航人教北師華師九上第二十一章P1－P26九上第二章P30－P58九上第二十二章P17－P46

考點(diǎn)1

一元二次方程及其解法1.一元二次方程的概念只含有

一

?個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

2

?，這樣的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）.一

2

·?

?特別提醒·判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：1.一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是整式；2.一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個(gè)未知數(shù)；3.一元二次方程是二次方程，即方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2.2.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是

降次

?，主要方法如下：（1）直接開(kāi)平方法：對(duì)于形如x2＝m或（ax＋n）2＝m（a≠0，m≥0）的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的整式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用直接開(kāi)平方法求解.（2）因式分解法：將方程右邊化為0后，方程的左邊可以提出含有未知數(shù)的公因式，形如x（ax＋b）＝0或（ax＋b）（cx＋d）＝0，并令兩個(gè)因式的值分別為0求解.降次

1.（人教九上P9習(xí)題2改編）觀察下列方程：①x2＋10x＋9＝0，②x－2y＋1＝0，③2x＋3＝0，④x（x＋4）＝2x＋8，⑤x2＋2y－10＝0，⑥mx2－3x＝x2－mx＋2，回答下列問(wèn)題：（1）一定是一元二次方程的有

①④

?（填寫(xiě)序號(hào)）；（2）可能是一元二次方程的是

⑥

?（填寫(xiě)序號(hào)），若使其一定是一元二次方程，則需滿足的條件是

m≠1

?；①④

⑥

m≠1

（3）用合適的方法解（1）中所得一元二次方程.解：（3）①x2＋10x＋9＝0，

x2＋10x＋52＝－9＋52，

（x＋5）2＝16，

x＋5＝±4，

x1＝－1，x2＝－9.（配方法）④x（x＋4）＝2x＋8，

x（x＋4）＝2（x＋4），

x（x＋4）－2（x＋4）＝0，

（x－2）（x＋4）＝0，

x1＝2，x2＝－4.（因式分解法）

b2－4ac

兩個(gè)不相等

兩個(gè)相等

沒(méi)有

2.（2023·河南省實(shí)驗(yàn)四模T7）若關(guān)于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則m的值可以是（

C

）A.4B.3C.2D.1C考點(diǎn)3

一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用（6年1考，2020·T8）1.實(shí)際問(wèn)題常見(jiàn)類型增長(zhǎng)率問(wèn)題增長(zhǎng)率＝×100％基礎(chǔ)量×（1＋增長(zhǎng)率）n＝增長(zhǎng)后量；基礎(chǔ)量×（1－降低率）n＝降低后量[其中，n為增長(zhǎng)（降低）的次數(shù)]銷售問(wèn)題利潤(rùn)＝售價(jià)－成本（進(jìn)價(jià)）利潤(rùn)率＝×100％面積問(wèn)題折紙盒問(wèn)題?

?S陰影＝（a－2x）·（b－2x）修通道問(wèn)題?

?S陰影＝（a－x）·（b－x）建窗戶問(wèn)題?

?S陰影＝（a－3x）·（b－2x）2.一般步驟：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答.注意：檢驗(yàn)時(shí)既要檢驗(yàn)所求結(jié)果是否為所列方程的解，還要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義.3.根據(jù)題意列出方程：（1）（2023·解析與檢測(cè)上）某一芯片實(shí)現(xiàn)國(guó)產(chǎn)化后，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每塊芯片的單價(jià)由188元降為108元.若兩次降價(jià)的百分率相同，設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意列方程為

188（1－x）2＝108

?；188（1－x）2＝108

（2）如圖，在寬為20m、長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪.要使草坪的面積為540m2，設(shè)道路的寬為xm，則可列方程為

（32－x）（20－x）＝540

?.（32－x）（20－x）＝540

命題點(diǎn)1

一元二次方程的解法【例1】一元二次方程x（x－2）＝x－2的解是（

D

）A.x1＝x2＝0B.x1＝x2＝1C.x1＝0，x2＝2D.x1＝1，x2＝2D·?

?易錯(cuò)提醒·當(dāng)一元二次方程等號(hào)的兩邊有相同的含有未知數(shù)的因式時(shí)，常用因式分解法解方程，此時(shí)不能將等號(hào)兩邊同時(shí)除以這個(gè)因式，這樣會(huì)出現(xiàn)漏解的情況.如例1中的方程，等號(hào)兩邊若同時(shí)除以x－2，則x＝2這個(gè)解就會(huì)遺漏致錯(cuò).【變式訓(xùn)練】1.方程（x＋1）2＝9的根是

x1＝2，x2＝－4

?.

3.（2023·解析與檢測(cè)下）△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為2和3，第三邊的長(zhǎng)是方程x2－8x＋15＝0的根，則△ABC的周長(zhǎng)是

8

?.x1＝2，x2＝－4

8

命題點(diǎn)2

一元二次方程根的判別式【例2】（2023·河南T7）關(guān)于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情況是（

A

）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根A·?

?特別提醒·根據(jù)方程根的情況求字母參數(shù)取值范圍時(shí)的注意事項(xiàng)1.已知一元二次方程根的情況，求字母參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意：

（1）若二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，則不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0的隱含條件；

（2）若一元二次方程有實(shí)數(shù)根（或有兩個(gè)實(shí)數(shù)根），則有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根兩種情況，此時(shí)Δ≥0，注意不要漏寫(xiě)等號(hào).2.已知形如ax2＋bx＋c＝0的方程有實(shí)數(shù)根求字母參數(shù)的取值范圍時(shí)，由于這樣的方程不一定是一元二次方程，故要分a＝0和a≠0兩種情況討論.【變式訓(xùn)練】4.（2022·河南T6）一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情況是（

A

）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.沒(méi)有實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根5.（2021·河南T7）若方程x2－2x＋m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m的值可以是（

D

）A.－1B.0C.1D.AD6.（2020·河南T7）定義運(yùn)算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7，則方程1☆x＝0的根的情況為（

A

）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根A7.（2023·滁州二模）若關(guān)于x的方程kx2－x＋3＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

B

）A.k≤12B.k≤C.k≤12且k≠0D.k≤且k≠0B命題點(diǎn)3

一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用【例3】（2020·河南T8）國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加.2017年至2019年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入由5000億元增加到7500億元.設(shè)我國(guó)2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（

C

）A.5000（1＋2x）＝7500B.5000×2（1＋x）＝7500C.5000（1＋x）2＝7500D.5000＋5000（1＋x）＋5000（1＋x）2＝7500C【變式訓(xùn)練】8.（2023·南陽(yáng)二模）《九章算術(shù)》勾股章有一問(wèn)題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時(shí)繩索用盡，請(qǐng)問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？若設(shè)繩索長(zhǎng)度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（

C

）CA.82＋x2＝（x－3）2B.82＋（x＋3）2＝x2C.82＋（x－3）2＝x2D.x2＋（x－3）2＝829.（2023·洛陽(yáng)模擬）如圖，有一張矩形紙片，長(zhǎng)10cm，寬6cm，在它的四角各剪去一個(gè)同樣的小正方形，然后折疊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒.若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長(zhǎng).設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xcm，根據(jù)題意可列方程為（

D

）A.10×6－4×6x＝32B.10×6－4x2＝32C.（10－x）（6－x）＝32D.（10－2x）（6－2x）＝32D10.（2023·東營(yíng)）如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(mén)（建在EF處，另用其他材料）.（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640m2的羊圈？解：（1）設(shè)矩形ABCD的邊AB＝xm，則邊BC＝70－2x＋2＝（72－2x）m.根據(jù)題意，得x（72－2x）＝640，化簡(jiǎn)，得

x2－36x＋320＝0，解得

x1＝16，x2＝20.當(dāng)x＝16時(shí)，72－2x＝72－32＝40；當(dāng)x＝20時(shí)，72－2x＝72－40＝32.答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為40m，寬為16m或長(zhǎng)為