河南省中考數(shù)學一輪復習考點針對訓練課件一元二次方程2

第一部分考點探究教材梳理第二章方程與不等式第3節(jié)一元二次方程目錄CONTENTS010203考點梳理·教材運用重難擊破·典例剖析本節(jié)易錯題回看版本導航人教北師華師九上第二十一章P1－P26九上第二章P30－P58九上第二十二章P17－P46

考點1

一元二次方程及其解法1.一元二次方程的概念只含有

一

?個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

2

?，這樣的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）.一

2

·?

?特別提醒·判斷一個方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個標準：1.一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是整式；2.一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個未知數(shù)；3.一元二次方程是二次方程，即方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2.2.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是

降次

?，主要方法如下：（1）直接開平方法：對于形如x2＝m或（ax＋n）2＝m（a≠0，m≥0）的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的整式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用直接開平方法求解.（2）因式分解法：將方程右邊化為0后，方程的左邊可以提出含有未知數(shù)的公因式，形如x（ax＋b）＝0或（ax＋b）（cx＋d）＝0，并令兩個因式的值分別為0求解.降次

1.（人教九上P9習題2改編）觀察下列方程：①x2＋10x＋9＝0，②x－2y＋1＝0，③2x＋3＝0，④x（x＋4）＝2x＋8，⑤x2＋2y－10＝0，⑥mx2－3x＝x2－mx＋2，回答下列問題：（1）一定是一元二次方程的有

①④

?（填寫序號）；（2）可能是一元二次方程的是

⑥

?（填寫序號），若使其一定是一元二次方程，則需滿足的條件是

m≠1

?；①④

⑥

m≠1

（3）用合適的方法解（1）中所得一元二次方程.解：（3）①x2＋10x＋9＝0，

x2＋10x＋52＝－9＋52，

（x＋5）2＝16，

x＋5＝±4，

x1＝－1，x2＝－9.（配方法）④x（x＋4）＝2x＋8，

x（x＋4）＝2（x＋4），

x（x＋4）－2（x＋4）＝0，

（x－2）（x＋4）＝0，

x1＝2，x2＝－4.（因式分解法）

b2－4ac

兩個不相等

兩個相等

沒有

2.（2023·河南省實驗四模T7）若關于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0有實數(shù)根，則m的值可以是（

C

）A.4B.3C.2D.1C考點3

一元二次方程的實際應用（6年1考，2020·T8）1.實際問題常見類型增長率問題增長率＝×100％基礎量×（1＋增長率）n＝增長后量；基礎量×（1－降低率）n＝降低后量[其中，n為增長（降低）的次數(shù)]銷售問題利潤＝售價－成本（進價）利潤率＝×100％面積問題折紙盒問題?

?S陰影＝（a－2x）·（b－2x）修通道問題?

?S陰影＝（a－x）·（b－x）建窗戶問題?

?S陰影＝（a－3x）·（b－2x）2.一般步驟：審、設、列、解、驗、答.注意：檢驗時既要檢驗所求結果是否為所列方程的解，還要檢驗是否符合實際意義.3.根據(jù)題意列出方程：（1）（2023·解析與檢測上）某一芯片實現(xiàn)國產(chǎn)化后，經(jīng)過兩次降價，每塊芯片的單價由188元降為108元.若兩次降價的百分率相同，設每次降價的百分率為x，根據(jù)題意列方程為

188（1－x）2＝108

?；188（1－x）2＝108

（2）如圖，在寬為20m、長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪.要使草坪的面積為540m2，設道路的寬為xm，則可列方程為

（32－x）（20－x）＝540

?.（32－x）（20－x）＝540

命題點1

一元二次方程的解法【例1】一元二次方程x（x－2）＝x－2的解是（

D

）A.x1＝x2＝0B.x1＝x2＝1C.x1＝0，x2＝2D.x1＝1，x2＝2D·?

?易錯提醒·當一元二次方程等號的兩邊有相同的含有未知數(shù)的因式時，常用因式分解法解方程，此時不能將等號兩邊同時除以這個因式，這樣會出現(xiàn)漏解的情況.如例1中的方程，等號兩邊若同時除以x－2，則x＝2這個解就會遺漏致錯.【變式訓練】1.方程（x＋1）2＝9的根是

x1＝2，x2＝－4

?.

3.（2023·解析與檢測下）△ABC的兩邊長分別為2和3，第三邊的長是方程x2－8x＋15＝0的根，則△ABC的周長是

8

?.x1＝2，x2＝－4

8

命題點2

一元二次方程根的判別式【例2】（2023·河南T7）關于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情況是（

A

）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根A·?

?特別提醒·根據(jù)方程根的情況求字母參數(shù)取值范圍時的注意事項1.已知一元二次方程根的情況，求字母參數(shù)的取值范圍時，要注意：

（1）若二次項系數(shù)含有字母，則不要忽視二次項系數(shù)不為0的隱含條件；

（2）若一元二次方程有實數(shù)根（或有兩個實數(shù)根），則有兩個相等的實數(shù)根或有兩個不相等的實數(shù)根兩種情況，此時Δ≥0，注意不要漏寫等號.2.已知形如ax2＋bx＋c＝0的方程有實數(shù)根求字母參數(shù)的取值范圍時，由于這樣的方程不一定是一元二次方程，故要分a＝0和a≠0兩種情況討論.【變式訓練】4.（2022·河南T6）一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情況是（

A

）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.沒有實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根5.（2021·河南T7）若方程x2－2x＋m＝0沒有實數(shù)根，則m的值可以是（

D

）A.－1B.0C.1D.AD6.（2020·河南T7）定義運算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7，則方程1☆x＝0的根的情況為（

A

）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根A7.（2023·滁州二模）若關于x的方程kx2－x＋3＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（

B

）A.k≤12B.k≤C.k≤12且k≠0D.k≤且k≠0B命題點3

一元二次方程的實際應用【例3】（2020·河南T8）國家統(tǒng)計局統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，我國快遞業(yè)務收入逐年增加.2017年至2019年我國快遞業(yè)務收入由5000億元增加到7500億元.設我國2017年至2019年快遞業(yè)務收入的年平均增長率為x，則可列方程為（

C

）A.5000（1＋2x）＝7500B.5000×2（1＋x）＝7500C.5000（1＋x）2＝7500D.5000＋5000（1＋x）＋5000（1＋x）2＝7500C【變式訓練】8.（2023·南陽二模）《九章算術》勾股章有一問題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時繩索用盡，請問繩索有多長？若設繩索長度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（

C

）CA.82＋x2＝（x－3）2B.82＋（x＋3）2＝x2C.82＋（x－3）2＝x2D.x2＋（x－3）2＝829.（2023·洛陽模擬）如圖，有一張矩形紙片，長10cm，寬6cm，在它的四角各剪去一個同樣的小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體紙盒.若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長.設剪去的小正方形邊長是xcm，根據(jù)題意可列方程為（

D

）A.10×6－4×6x＝32B.10×6－4x2＝32C.（10－x）（6－x）＝32D.（10－2x）（6－2x）＝32D10.（2023·東營）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）.（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？解：（1）設矩形ABCD的邊AB＝xm，則邊BC＝70－2x＋2＝（72－2x）m.根據(jù)題意，得x（72－2x）＝640，化簡，得

x2－36x＋320＝0，解得

x1＝16，x2＝20.當x＝16時，72－2x＝72－32＝40；當x＝20時，72－2x＝72－40＝32.答：當羊圈的長為40m，寬為16m或長為