人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第一章1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示課件

第1課時空間中點、直線和平面的向量表示第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系整體感知[學習目標]

1．能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量．(數(shù)學抽象)2．會求一個平面的法向量．(數(shù)學運算、邏輯推理)(教師用書)立體幾何研究的基本對象是點、直線、平面以及由它們組成的空間圖形，為了用空間向量解決幾何問題，首先必須把點、直線、平面用向量表示出來．那么，如何利用向量刻畫直線與平面的方向與位置？[討論交流]

問題1．空間點的位置向量、直線的方向向量、平面的法向量是如何定義的？問題2．空間一條直線的方向向量唯一嗎？它們有什么共同特征？問題3．空間直線和平面的向量表示式分別是什么？其依據(jù)是什么？問題4．求一個平面的法向量的一般步驟是什么？[自我感知]

經(jīng)過認真的預習，結合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構探究1空間中點的向量和直線的向量表示探究問題1

在空間中，如何確定一條直線？[提示]

兩點可以確定一條直線；直線上的一點及這條直線的方向也可以確定一條直線．

方向向量【教用·微提醒】

(1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個．

[學以致用]

1．已知點A(1，2，－1)，B(2，0，1)是直線l上的兩點．(1)求直線l的一個方向向量；(2)判斷點M(3，3，1)是否在直線l上．

探究2空間中平面的向量表示探究問題2向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是什么？[提示]

存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使得p＝xa＋yb.探究問題3如何用向量表示點P在平面ABC內的充要條件？

不共線

法向量【教用·微提醒】

(1)平面α的一個法向量垂直于平面α內的所有向量．(2)一個平面的法向量有無數(shù)多個，它們相互平行．【鏈接·教材例題】例1如圖1.4-7，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中點．以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面MCA1的法向量．

[母題探究]本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

如何確定平面的法向量？

[學以致用]

2．已知點A(1，2，3)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，則下列向量是平面ABC的一個法向量的是(

)A．(－1，3，－1)

B．(－1，－3，－1)C．(1，3，1)

D．(－1，3，1)√

3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A為原點，建立空間直角坐標系．

(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面A1BC的法向量．

應用遷移23題號411．若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(

)A．(3，2，1)

B．(1，3，2)C．(2，1，3)

D．(1，2，3)√

23題號41√2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α法向量的是(

)A．(0，－3，1)

B．(2，0，1)C．(－2，－3，1)

D．(－2，3，－1)D

[∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)，∴向量(－2，3，－1)與平面α的一個法向量平行，它也是平面的一個法向量．故選D．]23題號413．設直線l的方向向量為m＝(2，－1，z)，平面α的一個法向量為n＝(4，－2，－2)，若直線l∥平面α，則實數(shù)z的值為(

)A．－5

B．5C．－1

D．1√B

[若直線l∥平面α，則m·n＝0，故8＋2－2z＝0，解得z＝5.故選B．]23題號414．已知平面α經(jīng)過點O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一個法向量，M(x，y，z)是平面α內任意一點，則x，y，z滿足的關系式是_______________．

x＋2y－3z＝0

1．知識鏈：(1)空間中點和直線的向量表示．(2)空間中平面的向量表示．(3)平面法向量的求法．2．方法鏈：待定系數(shù)法、賦值法．3．警示牌：直線的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，這無數(shù)個方向向量或法向量都分別是共線向量．用代數(shù)法求平面的法向量時，設定的某個分坐標一定不能是0.回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．如何求直線l的方向向量？直線的方向向量唯一嗎？

2．平面的法向量有無數(shù)個，它們是什么關系？[提示]

共線．3．如何求一個平面的法向量？

課時分層作業(yè)(七)空間中點、直線和平面的向量表示題號135246879101112131415

√

題號135246879101112131415題號1352468791011121314152．若點A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(

)A．(1，2，4)

B．(1，4，2)C．(0，2，－1)

D．(0，4，12)√

題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√

題號3524687910111213141515．(多選)已知平面α內有一點M(1，－1，1)，平面α的一個法向量為n＝(4，－1，0)，則下列點中不在平面α內的是(

)A．A(2，3，2)

B．B(－2，0，1)C．C(－4，4，0)

D．D(3，－3，4)√√√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151二、填空題6．已知直線l的一個方向向量為(－5，3，2)，另一個方向向量為(x，y，8)，則x＝________，y＝________．

－2012題號3524687910111213141517．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，分別以長方體的兩個頂點為始點和終點的向量中：

(1)直線AB的方向向量有________個；(2)平面AA1B1B的法向量有________個．88題號352468791011121314151

題號3524687910111213141518．已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直線l上，寫出直線l的一個方向向量：u＝____________________________．(用坐標表示)

(－3，0，－2)(答案不唯一)題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號35246879101112131415110．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以D為原點建立空間直角坐標系，E為BB1的中點，F(xiàn)為A1D1的中點，則下列向量中，能作為平面AEF的一個法向量的是(

)A．(1，－2，4)

B．(－4，1，－2)C．(2，－2，1)

D．(1，2，－2)√

題號352468791011121314151題號35246879101112131415111．已知空間三點坐標分別為A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，點P(－3，x，3)在平面ABC內，則實數(shù)x的值為(

)A．1

B．－2C．0

D．－1√

題號352468791011121314151

題號35246879101112131415112．在空間直角坐標系Oxyz中，經(jīng)過點P(x0，y0，z0)且法向量為m＝(A，B，C)的平面方程為A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程為x＋2y＋z－1＝0，則平面α的一個法向量為____________________．(1，2，1)(答案不唯一)

[根據(jù)題意，平面α的方程為x＋2y＋z－1＝0，即1(x－0)＋2(y－0)＋1(z－1)＝0，則平面α的一個法向量為(1，2，1)．](1，2，1)(答案不唯一)

題號352468791011121314151

題號35246879101112131415114．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3