人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第五章5-3-2第1課時(shí)函數(shù)的極值課件

第1課時(shí)函數(shù)的極值第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．了解函數(shù)的極值及相關(guān)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．體會(huì)導(dǎo)數(shù)在求極值中的應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)極值等相關(guān)的問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書(shū))“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”．說(shuō)的是廬山的高低起伏，錯(cuò)落有致，在群山之中，各個(gè)山峰的頂端，雖不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點(diǎn)．由此聯(lián)想廬山的連綿起伏形成好多的“峰點(diǎn)”與“谷點(diǎn)”．這就是我們這節(jié)課研究的函數(shù)的極值．

[討論交流]

問(wèn)題1．極大值、極小值的概念是什么？問(wèn)題2．函數(shù)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是什么？問(wèn)題3．如何求函數(shù)的極值？[自我感知]經(jīng)過(guò)認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫(huà)出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1函數(shù)極值的概念探究問(wèn)題1如圖是某處群山的截面圖，你能指出山峰、山谷嗎？[提示]

在x1，x3，x5處是山峰，在x2，x4處是山谷．探究問(wèn)題2你能從函數(shù)與導(dǎo)數(shù)角度描述一下探究問(wèn)題1中在各個(gè)山峰、山谷附近的特點(diǎn)嗎？[提示]

以山峰x＝x1處為例來(lái)研究，在x＝x1處，它附近的函數(shù)值都比它小，且在x＝x1處的左側(cè)函數(shù)是單調(diào)遞增的，且有f′(x)＞0，在x＝x1處的右側(cè)函數(shù)是單調(diào)遞減的，且有f′(x)＜0，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，f′(x)的變化也是連續(xù)不斷的，并且有f′(x1)＝0.[新知生成]極值點(diǎn)與極值的概念(1)極小值點(diǎn)與極小值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)_______________，右側(cè)_______________，則把a(bǔ)叫做函數(shù)y＝f(x)的__________，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的________．f′(x)＜0f′(x)＞0極小值點(diǎn)極小值(2)極大值點(diǎn)與極大值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)_______________，右側(cè)_______________，則把b叫做函數(shù)y＝f(x)的__________，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的________．(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為_(kāi)_______，極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為_(kāi)_____．f′(x)＞0f′(x)＜0極大值點(diǎn)極大值極值點(diǎn)極值【教用·微提醒】

1．極值點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，因此若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，則f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)．2．極值點(diǎn)不是點(diǎn)，出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，端點(diǎn)不能是極值點(diǎn)．[典例講評(píng)]

1．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：

③⑤

反思領(lǐng)悟

關(guān)于函數(shù)極值的概念的理解(1)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x＝x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同．(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的函數(shù)沒(méi)有極值．[學(xué)以致用]

1．已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4√A

[由圖象，設(shè)f′(x)與x軸負(fù)半軸的兩個(gè)“穿過(guò)”x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為c，d，其中c＜d，可知在(a，c)，(d，b)上，f′(x)≥0，所以此時(shí)函數(shù)f(x)在(a，c)，(d，b)上單調(diào)遞增，在(c，d)上，f′(x)＜0，此時(shí)f(x)在(c，d)上單調(diào)遞減，所以x＝d時(shí)，函數(shù)取得極小值．則函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.]

表5.3-2x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

[解]

(1)f′(x)＝x2－2x－3，x∈R，令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示：

x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減極小值－6單調(diào)遞增

x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減極小值3單調(diào)遞增∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極小值，且f(x)極小值＝3，無(wú)極大值．發(fā)現(xiàn)規(guī)律

求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟(1)定義域：求函數(shù)的________．(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的________________．(3)令f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0____________，即導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)．(4)列表：方程的根x0將整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間，把x，f′(x)，f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個(gè)表格內(nèi)．(5)結(jié)論：若導(dǎo)數(shù)f′(x)在x＝x0附近左正右負(fù)，則函數(shù)f(x)在x＝x0處取得________；若左負(fù)右正，則函數(shù)f(x)取得________．定義域?qū)?shù)f′(x)全部的根x0極大值極小值

[解]

由題意可得f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．解方程f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝2.解不等式f′(x)>0，可得x<－2或x>2，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增．解不等式f′(x)<0，可得－2<x<2，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減．因此，f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，而且f′(－2)＝f′(2)＝0.

√√

當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)·(x－3)，令f′(x)＞0，得x＜1或x＞3；令f′(x)＜0，得1＜x＜3，則f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，3)上單調(diào)遞減，f(x)在

x＝1處取得極大值，不符合題意．故選A.(2)已知f(x)＝(x－2)ex，可得f′(x)＝(x－1)ex，令f′(x)＝0，解得x＝1，所以函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為x＝1.又g(x)＝xlnx＋ax，可得g′(x)＝lnx＋a＋1，若函數(shù)f(x)與g(x)有相同的極值點(diǎn)，此時(shí)g′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，經(jīng)檢驗(yàn)a＝－1符合題意．故選A.]反思領(lǐng)悟

已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法(1)對(duì)于已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)的問(wèn)題，解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)．注意：求出參數(shù)后，一定要驗(yàn)證是否滿足題目的條件．(2)對(duì)于函數(shù)無(wú)極值的問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問(wèn)題，此時(shí)需注意不等式中的等號(hào)是否成立．[學(xué)以致用]

3．已知函數(shù)f(x)＝x(x－m)2在x＝1處取得極大值，則m的值為(

)A．1 B．2C．3 D．1或3√

243題號(hào)1應(yīng)用遷移√

23題號(hào)142．已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)(

)A．既有極小值，也有極大值B．有極小值，但無(wú)極大值C．有極大值，但無(wú)極小值D．既無(wú)極小值，也無(wú)極大值√B

[由圖象可知x＜a時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x＞a時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以x＝a是函數(shù)的極小值點(diǎn)．故選B.]23題號(hào)41√3．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處取得極值－2，則a，b的值分別為(

)A．1，－3 B．1，3C．－1，3 D．－1，－3

243題號(hào)14．函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e]上的極大值為_(kāi)_______．

－11．知識(shí)鏈：(1)函數(shù)極值的概念．(2)函數(shù)極值的判定及求法．(3)函數(shù)極值的應(yīng)用．2．方法鏈：方程思想、分類(lèi)討論．3．警示牌：導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．函數(shù)極值的求解依據(jù)與步驟是什么？[提示]

一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟是：①求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f′(x)；②解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一個(gè))；③用方程f′(x)＝0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間，可將x，f′(x)，f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個(gè)表格中；④由f′(x)在各個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判斷f(x)在f′(x)＝0的各個(gè)根處的極值情況：如果左正右負(fù)，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果