2024-2025學(xué)年遼寧省本溪市高二上冊12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省本溪市高二上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．可表示為（

）A． B． C． D．2．已知橢圓的左焦點為，且橢圓上的點與長軸兩端點構(gòu)成的三角形的面積的最大值為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．3．若，則（

）A．2 B．8 C．2或8 D．2或44．已知直線過定點，若為圓上任意一點，則的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．95．已知向量，若共面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．66．已知雙曲線，則的漸近線方程為是的離心率為的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．如圖，在正方體中，是棱的中點，點在棱上，且，若平面，則（

）A． B． C． D．8．據(jù)典籍《周禮?春官》記載，“宮?商?角?徵?羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.如果把這五個音階全用上，排成一個五音階音序，要求“宮”不為末音階，“羽”不為首音階，“商”“角”不相鄰，則可以排成不同音序的種數(shù)是（

）A．50 B．64 C．66 D．78二、多選題（本大題共3小題）9．已知在的二項展開式中第3項和第4項的二項式系數(shù)最大，則（

）A．B．展開式的各項系數(shù)和為243C．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16D．展開式中不含常數(shù)項10．已知空間中三點，則（

）A．與向量方向相同的單位向量是B．在上的投影向量是C．與夾角的余弦值是D．坐標原點關(guān)于平面的對稱點是11．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點處發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線在點處反射后，反射光線所在直線經(jīng)過另一個焦點，且雙曲線在點處的切線平分．如圖，對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線過點，其左、右焦點分別為．若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點反射的光線為，點處的切線交軸于點，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．過點且垂直于的直線平分C．若，則D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知P為拋物線上任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，為平面內(nèi)一定點，則的最小值為．13．若直線和直線平行，則的值為．14．如圖，在三棱錐中，底面是邊長為的等邊三角形，分別是的中點，且，則直線與平面所成角為.，四棱錐的外接球的表面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.（結(jié)果用數(shù)字表示）16．如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求17．在平面直角坐標系中，已知動圓與圓內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線與曲線相交于，兩點和，兩點，求四邊形的面積的最小值.18．在四棱柱中，已知平面，，，，，是線段上的點．(1)點到平面的距離；(2)若為的中點，求異面直線與所成角的余弦值；(3)在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，請確定點位置；若不存在，試說明理由．19．通過研究發(fā)現(xiàn)對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角可得到向量，這一過程叫做把點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.(1)已知平面內(nèi)點，點，把點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，求點的坐標；(2)已知二次方程的圖像是由平面直角坐標系下某標準橢圓繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓.（i）求斜橢圓的離心率；（ii）過點作與兩坐標軸都不平行的直線交斜橢圓于點，過原點作直線與直線垂直，直線交斜橢圓于點，判斷是否為定值？若是，請求出定值，若不是，請說明理由.

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)公式判斷．【詳解】．故選B．2．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意列式求，即可得方程.【詳解】因為橢圓的左焦點為，所以.又因為橢圓上的點與長軸兩端點構(gòu)成的三角形的面積的最大值為，所以，結(jié)合，可得，故橢圓的方程為.故選：A.3．【正確答案】A【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)求出的值.【詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)可得，解得，又，所以或，解得或（舍去）.故此題答案為A.4．【正確答案】C【詳解】由，得，所以直線過定點，由，知圓心坐標，半徑為，所以到圓心的距離為，所以在圓外，故PQ的最大值為.故選：C.5．【正確答案】B【詳解】因為，三個向量共面，所以存在唯一實數(shù)對，使得，所以，所以，解得.故選：B.6．【正確答案】D【詳解】充分性：當雙曲線的焦點在軸上時，由漸近線方程為，知，所以離心率；當雙曲線的焦點在軸上時，由漸近線方程為，知，即，所以離心率，所以充分性不成立.必要性：由離心率為，知，所以，當雙曲線的焦點在軸上時，漸近線方程為；當雙曲線的焦點在軸上時，漸近線方程為，所以必要性不成立.綜上所述，的漸近線方程為是的離心率為的既不充分也不必要條件.故選：D.7．【正確答案】C【詳解】解法一：以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，則，，可得，設(shè)n=x,y,z是平面的法向量，則，令，則，即，由，且，可得，又因為，則，由平面，可得，解得.解法二：如圖，取中點，連接，易證，所以平面即為平面，易知當為的中點時，，平面，平面，從而平面，所以.故選：C.8．【正確答案】A【詳解】①若“宮”為首音階，“商”“角”可取音階，排成的音序有種；②若“宮”為第2音階，“商”“角”可取音階，排成的音序有種；③若“宮”為第3音階，“商”“角”可取14，15，24，25音階，排成的音序有種；④若“宮”為第4音階，“商”“角”可取13，15，25，35音階，排成的音序有種.由分類加法計數(shù)原理可知，一共有種排法.故選：A.9．【正確答案】BCD【詳解】A項，在的二項展開式中第3項和第4項的二項式系數(shù)最大，是展開式的中間兩項的二項式系數(shù)，則為奇數(shù)，且與最大，所以，解得，A項錯誤；B項，在中，令，得，故展開式的各項系數(shù)和為243，B項正確；C項，在的展開式中的二項式系數(shù)和為，其中奇數(shù)項和偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，所以展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16，C項正確；D項，的展開式的通項公式為，且為整數(shù)，令，解得，不滿足要求，所以展開式中不含常數(shù)項，D項正確.故選：BCD.10．【正確答案】ABD【詳解】，對于A，與向量方向相同的單位向量是，故A正確；對于B，在上的投影向量是，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，設(shè)平面的法向量是n=x,y,z則，即，令，可得，所以平面的一個法向量是，原點O0,0,0到平面的距離，坐標原點O0,0,0關(guān)于平面的對稱點是，故D正確.故選：ABD.11．【正確答案】ABD【分析】選項A，利用條件，設(shè)雙曲線方程為，再利用雙曲線過點，即可求解；選項B，根據(jù)條件，借助圖形，即可求解；選項C，利用余弦定理及雙曲線的定義，得到，再結(jié)合條件，即可求解；選項D，利用C中結(jié)果，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】對于A，因為雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，所以，解得，得到雙曲線的方程為，正確，對于B，如圖，由題知，，所以，若，所以，正確，對于C，記，所以，又，得到，又，所以，又，由，得，錯誤，對于D，因為，，由，得，又，得到，得到，從而有，得到，由，得到，從而有，解得，正確，故選ABD.12．【正確答案】5【分析】利用拋物線的定義，將轉(zhuǎn)化為到準線的距離，再由三點共線求最小值.【詳解】由題意，拋物線的準線為，焦點坐標為，過點向準線作垂線，垂足為，則，當共線時，和最??；過點向準線作垂線，垂足為，則，所以最小值為5.故5.13．【正確答案】【詳解】由于兩直線平行，所以，解得或，當時，兩直線方程為、，符合題意.當時，兩直線方程為、，即、，兩直線重合，不符合題意.所以的值為.故14．【正確答案】【詳解】以中點為原點，直線為軸，直線為軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.底面是邊長為的等邊三角形，，分別是的中點，且，所以三棱錐為正四面體，作平面于點，則為等邊三角形的重心，，則，，則，.設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，則，則為平面的一個法向量，又所以，所以直線與平面所成角為因為都為等邊三角形，，所以球心在過中點與平面垂直的直線上，設(shè)球心，半徑為，則，所以，解得，故四棱錐的外接球的表面積為.故答案為.15．【正確答案】(1)10；(2)8；(3)660.【分析】（1）利用給定等式，取求出值.（2）根據(jù)給定等式，取即可得解.（3）求出展開式的通項公式，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)求出.【詳解】（1）在中，令，得，所以.（2）在中，令，得，所以.（3）的展開式的通項公式，因此.所以.16．【正確答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）連接，如圖：因為，，在，根據(jù)向量減法法則可得：因為底面是平行四邊形故因為且又為線段中點在中（2）因為頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是故由（1）可知故平行四邊形中故：故（3）因為，又17．【正確答案】(1)(2)32【分析】（1）利用圓和圓，圓和直線的位置關(guān)系的性質(zhì)和拋物線的定義即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，,聯(lián)立方程組得，再利用拋物線的的性質(zhì)求，同理求，最后利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，圓的圓心，半徑為1，因為圓與圓內(nèi)切，且與直線相切，所以圓心到直線的距離為，因此圓心到直線的距離為，且，故圓心到點的距離與到直線的距離相等，據(jù)拋物線的定義，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，.聯(lián)立方程組整理得，故所以.因為，直線的方程為，同理可得.所以，當且僅當，即時，取等號.所以四邊形面積的最小值為32.18．【正確答案】(1)(2)(3)存在，點在處或在靠近的三等分點處【詳解】（1）過作直線平面，則可以點為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則有，，，，，，則，，，設(shè)面的一個法向量為，則，令，則，，所以，所以點到面的距離.（2）因為為的中點，所以，所以，，所以，所以異面直線與AE所成角的余弦值為．（3）設(shè)，其中，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，令，則，，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，所以平面的一個法向量為，所以，若存在點，使得二面角的余弦值為，則，所以，解得或，故存在或滿足題意，即存在點在處或在靠近的三等分點處．【一題多解】（3）連接，則，易得，所以，又平面，，所以，，所以兩兩互相垂直，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，