2024-2025學(xué)年遼寧省本溪市高二上冊12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省本溪市高二上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．可表示為（

）A． B． C． D．2．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且橢圓上的點(diǎn)與長軸兩端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．3．若，則（

）A．2 B．8 C．2或8 D．2或44．已知直線過定點(diǎn)，若為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．95．已知向量，若共面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．66．已知雙曲線，則的漸近線方程為是的離心率為的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，若平面，則（

）A． B． C． D．8．據(jù)典籍《周禮?春官》記載，“宮?商?角?徵?羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.如果把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五音階音序，要求“宮”不為末音階，“羽”不為首音階，“商”“角”不相鄰，則可以排成不同音序的種數(shù)是（

）A．50 B．64 C．66 D．78二、多選題（本大題共3小題）9．已知在的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（

）A．B．展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243C．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16D．展開式中不含常數(shù)項(xiàng)10．已知空間中三點(diǎn)，則（

）A．與向量方向相同的單位向量是B．在上的投影向量是C．與夾角的余弦值是D．坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是11．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線在點(diǎn)處反射后，反射光線所在直線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線在點(diǎn)處的切線平分．如圖，對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線過點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為．若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點(diǎn)反射的光線為，點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．過點(diǎn)且垂直于的直線平分C．若，則D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知P為拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，為平面內(nèi)一定點(diǎn)，則的最小值為．13．若直線和直線平行，則的值為．14．如圖，在三棱錐中，底面是邊長為的等邊三角形，分別是的中點(diǎn)，且，則直線與平面所成角為.，四棱錐的外接球的表面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.（結(jié)果用數(shù)字表示）16．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄A與圓內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.18．在四棱柱中，已知平面，，，，，是線段上的點(diǎn)．(1)點(diǎn)到平面的距離；(2)若為的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，請確定點(diǎn)位置；若不存在，試說明理由．19．通過研究發(fā)現(xiàn)對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角可得到向量，這一過程叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓.（i）求斜橢圓的離心率；（ii）過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓于點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線與直線垂直，直線交斜橢圓于點(diǎn)，判斷是否為定值？若是，請求出定值，若不是，請說明理由.

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)公式判斷．【詳解】．故選B．2．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意列式求，即可得方程.【詳解】因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以.又因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)與長軸兩端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值為，所以，結(jié)合，可得，故橢圓的方程為.故選：A.3．【正確答案】A【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)求出的值.【詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)可得，解得，又，所以或，解得或（舍去）.故此題答案為A.4．【正確答案】C【詳解】由，得，所以直線過定點(diǎn)，由，知圓心坐標(biāo)，半徑為，所以到圓心的距離為，所以在圓外，故PQ的最大值為.故選：C.5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，三個(gè)向量共面，所以存在唯一實(shí)數(shù)對，使得，所以，所以，解得.故選：B.6．【正確答案】D【詳解】充分性：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由漸近線方程為，知，所以離心率；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由漸近線方程為，知，即，所以離心率，所以充分性不成立.必要性：由離心率為，知，所以，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，漸近線方程為；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，漸近線方程為，所以必要性不成立.綜上所述，的漸近線方程為是的離心率為的既不充分也不必要條件.故選：D.7．【正確答案】C【詳解】解法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，，可得，設(shè)n=x,y,z是平面的法向量，則，令，則，即，由，且，可得，又因?yàn)?，則，由平面，可得，解得.解法二：如圖，取中點(diǎn)，連接，易證，所以平面即為平面，易知當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，平面，平面，從而平面，所以.故選：C.8．【正確答案】A【詳解】①若“宮”為首音階，“商”“角”可取音階，排成的音序有種；②若“宮”為第2音階，“商”“角”可取音階，排成的音序有種；③若“宮”為第3音階，“商”“角”可取14，15，24，25音階，排成的音序有種；④若“宮”為第4音階，“商”“角”可取13，15，25，35音階，排成的音序有種.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種排法.故選：A.9．【正確答案】BCD【詳解】A項(xiàng)，在的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，是展開式的中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，則為奇數(shù)，且與最大，所以，解得，A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，在中，令，得，故展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243，B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，在的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為，其中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，所以展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16，C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，的展開式的通項(xiàng)公式為，且為整數(shù)，令，解得，不滿足要求，所以展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，D項(xiàng)正確.故選：BCD.10．【正確答案】ABD【詳解】，對于A，與向量方向相同的單位向量是，故A正確；對于B，在上的投影向量是，故B正確；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)平面的法向量是n=x,y,z則，即，令，可得，所以平面的一個(gè)法向量是，原點(diǎn)O0,0,0到平面的距離，坐標(biāo)原點(diǎn)O0,0,0關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是，故D正確.故選：ABD.11．【正確答案】ABD【分析】選項(xiàng)A，利用條件，設(shè)雙曲線方程為，再利用雙曲線過點(diǎn)，即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，借助圖形，即可求解；選項(xiàng)C，利用余弦定理及雙曲線的定義，得到，再結(jié)合條件，即可求解；選項(xiàng)D，利用C中結(jié)果，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】對于A，因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，所以，解得，得到雙曲線的方程為，正確，對于B，如圖，由題知，，所以，若，所以，正確，對于C，記，所以，又，得到，又，所以，又，由，得，錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)?，，由，得，又，得到，得到，從而有，得到，由，得到，從而有，解得，正確，故選ABD.12．【正確答案】5【分析】利用拋物線的定義，將轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再由三點(diǎn)共線求最小值.【詳解】由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)共線時(shí)，和最??；過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，所以最小值為5.故5.13．【正確答案】【詳解】由于兩直線平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線方程為、，符合題意.當(dāng)時(shí)，兩直線方程為、，即、，兩直線重合，不符合題意.所以的值為.故14．【正確答案】【詳解】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.底面是邊長為的等邊三角形，，分別是的中點(diǎn)，且，所以三棱錐為正四面體，作平面于點(diǎn)，則為等邊三角形的重心，，則，，則，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，則為平面的一個(gè)法向量，又所以，所以直線與平面所成角為因?yàn)槎紴榈冗吶切危?，所以球心在過中點(diǎn)與平面垂直的直線上，設(shè)球心，半徑為，則，所以，解得，故四棱錐的外接球的表面積為.故答案為.15．【正確答案】(1)10；(2)8；(3)660.【分析】（1）利用給定等式，取求出值.（2）根據(jù)給定等式，取即可得解.（3）求出展開式的通項(xiàng)公式，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)求出.【詳解】（1）在中，令，得，所以.（2）在中，令，得，所以.（3）的展開式的通項(xiàng)公式，因此.所以.16．【正確答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）連接，如圖：因?yàn)?，，在，根?jù)向量減法法則可得：因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅喂室驗(yàn)榍矣譃榫€段中點(diǎn)在中（2）因?yàn)轫旤c(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是故由（1）可知故平行四邊形中故：故（3）因?yàn)?，?7．【正確答案】(1)(2)32【分析】（1）利用圓和圓，圓和直線的位置關(guān)系的性質(zhì)和拋物線的定義即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，,聯(lián)立方程組得，再利用拋物線的的性質(zhì)求，同理求，最后利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，圓的圓心，半徑為1，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，且與直線相切，所以圓心到直線的距離為，因此圓心到直線的距離為，且，故圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，據(jù)拋物線的定義，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，.聯(lián)立方程組整理得，故所以.因?yàn)?，直線的方程為，同理可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號.所以四邊形面積的最小值為32.18．【正確答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)在處或在靠近的三等分點(diǎn)處【詳解】（1）過作直線平面，則可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，則，，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以，所以點(diǎn)到面的距離.（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，，所以，所以異面直線與AE所成角的余弦值為．（3）設(shè)，其中，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，若存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，則，所以，解得或，故存在或滿足題意，即存在點(diǎn)在處或在靠近的三等分點(diǎn)處．【一題多解】（3）連接，則，易得，所以，又平面，，所以，，所以兩兩互相垂直，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，