2024-2025學年上海市青浦賢區(qū)高三上冊11月期中數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年上海市青浦賢區(qū)高三上學期11月期中數(shù)學檢測試卷一、填空題：本大題共12題，1－6小題每題4分，7－12小題每題5分，共54分.1.已知，．若，則__________．【正確答案】【分析】根據(jù)集合，則集合中的所以元素均相同，即可列方程求解的值.【詳解】解：已知，．若，所以，解得，或，無解綜上，.故答案為.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．【正確答案】【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】解：由，得，∴.故答案為.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.3.已知等差數(shù)列滿足，，則____________.【正確答案】5【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，則有，解得.故答案為.4.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系求解.【詳解】因為關(guān)于不等式的解集為，所以一元二次方程的兩個根為，所以根據(jù)韋達定理可得，解得，所以，故答案為:.5.函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________．【正確答案】.【分析】將所給的函數(shù)利用降冪公式進行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)x、y均為正實數(shù)，且，則的最小值為________.【正確答案】25【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及基本不等式求出最小值.【詳解】正數(shù)滿足，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為25.故257.已知，，則向量在向量方向上的投影向量為_________.【正確答案】【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案.【詳解】向量在向量方向上的投影，即.故答案為.8.冪函數(shù)在定義域上是非奇非偶函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________.【正確答案】【分析】利用給定的冪函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)奇偶性定義求出的范圍.【詳解】當時，，則，且，函數(shù)是奇函數(shù)，不符合題意；當且時，關(guān)于數(shù)0不對稱，此時冪函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，所以實數(shù)a的取值范圍是.故9.不等式的解集為集合A，不等式的解集為集合B，則______.【正確答案】【分析】解不等式求出集合，再利用交集的定義求出結(jié)果.【詳解】不等式，解得或，即，不等式，解得，即，所以.故10.在中，.為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】依題意建立平面直角坐標系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即故11.設(shè)且，滿足，則的取值范圍為________________．【正確答案】【分析】判斷出對應(yīng)點的軌跡，從而求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，，則，所以，，所以，即對應(yīng)點在以為圓心，半徑為的圓上.，對應(yīng)點為，與關(guān)于對稱，所以點在以為圓心，半徑為的圓上，表示與兩點間的距離，圓與圓相交，圓心距為，如圖所示，所以的最小值為，最大值為，所以的取值范圍為.故12.2020年12月17日，嫦娥五號返回器在內(nèi)蒙古安全著陸，激動人心！“切線數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則數(shù)列為函數(shù)“切線數(shù)列”.若函數(shù)的“切線數(shù)列”為，其中，數(shù)列滿足，上，數(shù)列的前n項和為，則________.【正確答案】【分析】求導化簡得，從而得為等比數(shù)列，結(jié)合求和公式即可求解問題．【詳解】由，求導得，依題意，，，所以，由，得，又，因此數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.故二、選擇題：本大題共4題，13－14小題每題4分，15－16小題每題5分，共18分，在每個題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.13.已知實數(shù)x，y滿足，則下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】作差比較大小判斷A；舉例說明判斷BCD.【詳解】對于A，，而，則（當且僅當時）因此，A正確；對于B，取，滿足，而，B錯誤；對于C，取，滿足，而無意義，C錯誤；對于D，取，滿足，不成立，D錯誤.故選：A14.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，借助正余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，逐項判斷即得.【詳解】對于AB，余弦函數(shù)、正弦函數(shù)在上都不單調(diào)，AB不合題意；對于C，常數(shù)函數(shù)在上不單調(diào)，C不合題意；對于D，函數(shù)定義域為，，函數(shù)是偶函數(shù)，當時，在上單調(diào)遞減，D符合題意.故選：D15.已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則（）A.9 B.16 C.21 D.25【正確答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，得，.故選：C16.符號表示不超過的最大整數(shù)，如，，定義函數(shù)，那么下列命題中正確的序號是（）①函數(shù)的定義域為，值域為；②方程，有無數(shù)解；③函數(shù)是周期函數(shù)；④函數(shù)是增函數(shù)；A.①② B.②③ C.③④ D.①④【正確答案】B【詳解】①由于表示不超過的最大整數(shù)，則，∴函數(shù)的定義域為，值域為，故①錯誤；②若，則，，，，∴方程，有無數(shù)解，故②正確；③，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故③正確；④函數(shù)在每一個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)，但在整個定義域上不是增函數(shù)，故④錯誤．命題中正確的序號是②③．故選．三、解答題：本大題共5題，共76分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角所對的邊分別為．（1）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）利用等差中項和正弦定理的性質(zhì)即可證得；（2）先利用余弦定理求得的解析式，再利用均值定理即可求得的最小值．【小問1詳解】成等差數(shù)列，，由正弦定理得，【小問2詳解】成等比數(shù)列，由余弦定理得（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立）（當且僅當時等號成立），即，所以的最小值為18.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中，．（1）求，的值；（2）若，，，求的值．【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）把代入函數(shù)解析式可求得的值，進而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推斷出，進而求得，則的值可得．（2）利用和函數(shù)的解析式可求得，進而求得，進而利用二倍角公式分別求得，，最后利用兩角和與差的正弦公式求得答案．【詳解】解：（1），．，，即為奇函數(shù)，，，．（2）由（1）知，，，，，，．19.上海地鐵四通八達，給市民出行帶來便利.已知某條線路運行時，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足：，.經(jīng)測算，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t滿足：，其中.（1）請你說明的實際意義；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？并求最大凈收益.【正確答案】（1）當?shù)罔F的發(fā)車時間隔為5分鐘時，地鐵載客量；（2）發(fā)車時間間隔為6分鐘，最大凈收益為120元.【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)，直接得答案.（2）分段計算凈收益，并求最值，比較大小得解.【小問1詳解】依題意，的實際意義是：當?shù)罔F的發(fā)車時間隔為5分鐘時，地鐵載客量.【小問2詳解】當時，，當且僅當時取等號；當時，，當且僅當時取等號，而，所以當發(fā)車時間間隔為6分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為120元.20.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的零點；（2）若關(guān)于x的方程的解集中恰好有一個元素，求實數(shù)a的值；（3）設(shè)a>0，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求a的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）或；（3）.【分析】（1）把代入，解方程即得函數(shù)的零點.（2）將問題轉(zhuǎn)化為當時，方程只有1個解，再結(jié)合一元二次型方程根的情況求解.（3）利用單調(diào)性求出在指定區(qū)間上的最值，建立不等式并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并借助對勾函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可.【小問1詳解】當時，函數(shù)，由，得，即，解得，所以函數(shù)的零點為.【小問2詳解】方程，則，方程化為，因此方程的解集中恰好有一個元素，當且僅當時，方程只有1個解，當時，，符合題意，則；當時，若，則，此時，符合題意，于是，若，則，方程的二根為，，當時，由，得或，顯然，，，即，此時方程有兩個解，不符合題意；當時，由，得，，，即，此時方程有兩個解，不符合題意，所以實數(shù)的值為或.【小問3詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，由函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，得，而，則不等式，依題意，對任意的恒成立，當時，不等式成立，當時，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，因此當時，，則，所以的取值范圍為.方法點睛：處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化.21.設(shè)是定義在上奇函數(shù).若是嚴格減函數(shù)，則稱為“D函數(shù)”.（1）分別判斷和是否為D函數(shù)，并說明理由；（2）若是D函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍；（3）已知奇函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為.證明：“在上嚴格減”不是“為D函數(shù)”的必要條件.【正確答案】（1）是函數(shù),不是函數(shù)，理由見解析.（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)“函數(shù)”的定義結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性判斷即可.（2）令，利用導數(shù)分類討論其單調(diào)性即可求解.（3）令函數(shù)結(jié)合必要條件的定義，推理判斷即得.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，，則函數(shù)和均為定義在R上的奇函數(shù)，當時，函數(shù)嚴格減，因此函數(shù)函數(shù)；當和時，，即函數(shù)在上不單調(diào)，因此函數(shù)不是函數(shù).【小問2詳解】函數(shù)的定義域為R，，則函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，不是函數(shù)，則且，當時，令，求導得，令函數(shù)，求導得.