2024-2025學(xué)年天津市西青區(qū)高三上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年天津市西青區(qū)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（每個(gè)4分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先解對數(shù)不等式及函數(shù)值域分別求出集合，再應(yīng)用并集定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，，所?故選：A.2.（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式即可求解.【詳解】.故選：B3.若，且，則函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再根據(jù)函數(shù)圖象平移判斷即可.【詳解】因?yàn)?，且，故，故為減函數(shù)，且過1,0，又的圖象為的圖象向右平移1個(gè)單位，則A滿足.故選：A4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).【詳解】，，，所以．故選：A.5.若實(shí)數(shù)，則的最大值為（）A. B. C.4 D.6【正確答案】A【分析】用配湊法結(jié)合基本不等式求解即可；【詳解】實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，函數(shù)的最大值為，故選：A.6.若，，則的值是（）A.3 B. C.8 D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式與對數(shù)式互化關(guān)系及對數(shù)換底公式及運(yùn)算法則計(jì)算即得.【詳解】由，得，而，所以.故選：A7.已知角是第四象限的角，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)余弦函數(shù)定義及充分不必要定義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所?即“”是“”的充分條件；若取，它們都是第四象限的角，且滿足，但，即“”不是“”的必要條件.故“”是“”的充分不必要條件.故選.8.下列命題中是假命題的是A.存在，使B.對任意，有C.△中，的充要條件是D.對任意，函數(shù)都不是偶函數(shù)【正確答案】D【分析】對于A，時(shí)成立；對于B，由于判別式小于0，故正確；對于C，利用正弦定理可知正確；對于D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)即為偶函數(shù)，故可得結(jié)論．【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)成立；對于B，令，對于函數(shù)，判別式，即恒成立，故正確；對于C，由大邊對大角定理可得，由正弦定理可知正確，中，的充要條件是，故正確；對于D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)即為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：D．9.已知函數(shù)，則A.f（x）的最小正周期為π B.f（x）為偶函數(shù)C.f（x）的圖象關(guān)于對稱 D.為奇函數(shù)【正確答案】C【詳解】對于函數(shù)，它的最小正周期為=4π，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)f（x）不滿足f（–x）=f（x），故f（x）不是偶函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令x=，可得f（x）=sin0=0，故f（x）的圖象關(guān)于對稱，C正確；由于f（x–）=sin（x–）=–sin（x）=–cos（x）為偶函數(shù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C．10.已知，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性確定，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出的值域，即得答案.詳解】令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，又在上單調(diào)遞減，且，所以，即的值域是.故選：C.11.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f′x在R上單調(diào)遞增且，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值可得，解一元二次不等式即可.【詳解】，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f′x在R上單調(diào)遞增，且所以當(dāng)時(shí)，f′x<0，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，所以有最小值，且，所以，解得．故選：A12.已知直線是函數(shù)的一條對稱軸，則的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用周期公式計(jì)算出周期，根據(jù)對稱軸對應(yīng)的是最值，然后分析單調(diào)減區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，若取到最大值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，此時(shí)無符合答案；故選B.對于正弦型函數(shù)，對稱軸對應(yīng)的是函數(shù)的最值，這一點(diǎn)值得注意.13.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)為偶函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的判定得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由對稱函數(shù)的函數(shù)大致圖像得出自變量的不等關(guān)系，從而解出取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)椋?，∴為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，∵，∴在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，∴.故選：A.二、填空題（每個(gè)4分）14.函數(shù)的定義域?yàn)開_____【正確答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)為正和二次根號(hào)下非負(fù)可求定義域.【詳解】由題設(shè)有，故，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案?15.設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)______．【正確答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以，解得．故答案為.16.冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為______．【正確答案】【分析】由冪函數(shù)及其單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得，解得：,所以.故17.在中三個(gè)內(nèi)角分別A，B，C且，，則角________【正確答案】##【分析】根據(jù)正切和角公式得到，由誘導(dǎo)公式得到，故，求出答案.【詳解】，又，故，所以，又，所以.故18.已知函數(shù)，滿足對任意的實(shí)數(shù)且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【正確答案】【分析】利用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得關(guān)于的不等式組，解之即可．【詳解】對任意的實(shí)數(shù)，都有，即異號(hào)，故是上的減函數(shù)；可得：，解得．故19.已知是定義在上的增函數(shù)，且，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】根據(jù)單調(diào)性概念和函數(shù)的定義域得到滿足的條件，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，解得.所以的取值范圍是.故答案為.20.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，__________.【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與三角函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，則，所以，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以.故答案為.21.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，以及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.【詳解】令，由，解得，又的圖象的對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則函數(shù)減函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為.22.設(shè)，，，若，，則的最大值為__________．【正確答案】3【分析】由已知可解得，.根據(jù)換底公式可得，.根據(jù)基本不等式得出，然后根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出答案.【詳解】因，所以，.又，，所以，.因?yàn)?，，根?jù)基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以.則，所以的最大值為.故答案為.23.已知，若互不相等，且，則的范圍是_______．【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出的關(guān)系及范圍，然后利用對勾函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，畫出的圖象，如圖，令，由，得，，，由，得，即，由，得，于是，由對勾函數(shù)性質(zhì)知，在上遞增，則，所以的范圍是．故三、解答題24.在中，角，，的對邊分別為，，，.（1）求；（2）若的面積為，周長為8，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理角化邊可得，由余弦定理即可求出角；（2）根據(jù)三角形面積公式可得，利用余弦定理結(jié)合完全平方公式可得，即可求.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得：所以，整理得，所以，因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以由（1）可知，，解得，所以又因?yàn)椋?，解?25.設(shè)函數(shù)在處取得極值.（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值.【正確答案】（1）；（2）最大值為3，最小值為.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值有，列方程求參數(shù)，注意驗(yàn)證；（2）利用導(dǎo)數(shù)確定的區(qū)間單調(diào)性，進(jìn)而求最值.【小問1詳解】由題設(shè)，且，，所以，故，此時(shí)，故在上，在上，所以fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極值，滿足題設(shè)，綜上，.【小問2詳解】由（1）知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，在區(qū)間中，在上遞增，在上遞減，由，，，，綜上，函數(shù)的最大值為3，最小值為.26.如圖，平面，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn).（1）求證：平面CPM；（2）求平面QPM與直線PC所成角的余弦值；（3）若N為線段CQ上的點(diǎn)，直線DN與平面QPM所成的角為，求N到平面CPM的距離.【正確答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析；（3）.【分析】（1）連接EM，可證四邊形MEFC為平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可證得；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角余弦值即可；（3）設(shè)且，應(yīng)用空間向量法及直線DN與平面QPM所成的角為，列方程求參數(shù)，再應(yīng)用空間向量法求出點(diǎn)面距即可.【小問1詳解】連接EM，因?yàn)?，，所以，又，所以四邊形PQBA為平行四邊形，又點(diǎn)E，M分別為AP，BQ中點(diǎn)，則且，因?yàn)椋?，所以且，又點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形MEFC為平行四邊形，所以，又平面CPM，平面CPM，所以平面CPM.【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.因?yàn)?，所以，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則.設(shè)平面與直線所成角，則，所以與直線所成角的正弦值為.【小問3詳解】設(shè)且，則，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，所以，解得（舍去），所以，因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則.則到平面的距離為.所以到平面的距離為.27.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求