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2025屆百校大聯(lián)考全國名校高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足:,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.2.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,3.已知命題p:若,,則;命題q:,使得”,則以下命題為真命題的是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示,且,則的最小值為()A. B.C. D.5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,P是雙曲線E上的一點(diǎn),且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點(diǎn)M,且M為的中點(diǎn),則雙曲線E的漸近線方程為()A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.7.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,且,,為邊上的中線,若,則的面積為()A. B. C. D.8.已知實數(shù),則下列說法正確的是()A. B.C. D.9.在中,為邊上的中點(diǎn),且,則()A. B. C. D.10.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級,一級空氣質(zhì)量最好,一級和二級都是質(zhì)量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個月D.6月份的空氣質(zhì)量最差.11.設(shè)為的兩個零點(diǎn),且的最小值為1,則()A. B. C. D.12.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項公式()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是____________.14.《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數(shù)、豕價各幾何?”.其意思是“若干個人合買一頭豬,若每人出100,則會剩下100;若每人出90,則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少?”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價,則___,___.15.根據(jù)如圖所示的偽代碼,若輸入的的值為2,則輸出的的值為____________.16.如圖,某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù),則這段曲線的函數(shù)解析式為______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角,,所對的邊分別是,,,且.(1)求的值;(2)若,求的取值范圍.18.(12分)已知直線過橢圓的右焦點(diǎn),且交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)是,(1)求橢圓的方程;(2)過原點(diǎn)的直線l與線段AB相交(不含端點(diǎn))且交橢圓于C,D兩點(diǎn),求四邊形面積的最大值.19.(12分)已知首項為2的數(shù)列滿足.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列.(2)令,求數(shù)列的前項和.20.(12分)如圖,已知四棱錐,平面,底面為矩形,,為的中點(diǎn),.(1)求線段的長.(2)若為線段上一點(diǎn),且,求二面角的余弦值.21.(12分)為了檢測某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大小;(2)若一個零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.22.(10分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)若存在兩個極值點(diǎn),,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
轉(zhuǎn)化,為,利用復(fù)數(shù)的除法化簡,即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足:所以故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.3、B【解析】
先判斷命題的真假,進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】,,因為,,所以,所以,即命題p為真命題;畫出函數(shù)和圖象,知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是判斷出命題的真假,難度較易.4、A【解析】
是函數(shù)的零點(diǎn),根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及軸左邊第一個零點(diǎn)可得.【詳解】由題意,,∴函數(shù)在軸右邊的第一個零點(diǎn)為,在軸左邊第一個零點(diǎn)是,∴的最小值是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性,考查函數(shù)的對稱性.函數(shù)的零點(diǎn)就是其圖象對稱中心的橫坐標(biāo).5、C【解析】
由雙曲線定義得,,OM是的中位線,可得,在中,利用余弦定理即可建立關(guān)系,從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意,點(diǎn)P一定在左支上.由及,得,,再結(jié)合M為的中點(diǎn),得,又因為OM是的中位線,又,且,從而直線與雙曲線的左支只有一個交點(diǎn).在中.——①由,得.——②由①②,解得,即,則漸近線方程為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線漸近線方程,涉及到雙曲線的定義、焦點(diǎn)三角形等知識,是一道中檔題.6、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.7、B【解析】
延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進(jìn)而可得的面積.【詳解】解:延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用,考查三角形面積公式的應(yīng)用,其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵,是中檔題.8、C【解析】
利用不等式性質(zhì)可判斷,利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解:對于實數(shù),,不成立對于不成立.對于.利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì),即可得出.對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.故選:.【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大小.要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法.9、A【解析】
由為邊上的中點(diǎn),表示出,然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點(diǎn),,故選:A【點(diǎn)睛】在三角形中,考查中點(diǎn)向量公式和向量模的求法,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天,月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選.11、A【解析】
先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設(shè)x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個零點(diǎn),且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.12、A【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列累加法以及通項公式的求法,考查計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時,,單調(diào)遞減,∴時,,,且,∴在上單調(diào)遞增,時,,,且,∴在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時,存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時,,,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),由知須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時,與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得.14、10900【解析】
由題意列出方程組,求解即可.【詳解】由題意可得,解得.故答案為10900【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法,用消元法來求解即可,屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】
滿足條件執(zhí)行,否則執(zhí)行.【詳解】本題實質(zhì)是求分段函數(shù)在處的函數(shù)值,當(dāng)時,.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查條件語句的應(yīng)用,此類題要做到讀懂算法語句,本題是一道容易題.16、,【解析】
根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值,可得,,結(jié)合圖象求得該函數(shù)的最小正周期,可得出,再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式,求出的值,即可求得該函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可知,,,,,從題圖中可以看出,從時是函數(shù)的半個周期,則,.又,,得,取,所以,.故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求函數(shù)解析式,考查計算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理邊化角,結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得,進(jìn)而求得和,代入求得結(jié)果;(2)利用正弦定理可將表示為,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為,根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法,結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理可得:即(2)由(1)知:,,即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解三角形知識的相關(guān)應(yīng)用,涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問題;求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題,進(jìn)而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.18、(1)(2)【解析】
(1)由直線可得橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由中點(diǎn)可得,且由斜率公式可得,由點(diǎn)在橢圓上,則,二者作差,進(jìn)而代入整理可得,即可求解;(2)設(shè)直線,點(diǎn)到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點(diǎn)到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB(不含端點(diǎn))相交,可得,即,進(jìn)而整理換元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】(1)直線與x軸交于點(diǎn),所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,故,因為線段AB的中點(diǎn)是,設(shè),則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.(2)由(1)聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線,代入,得,解得或,設(shè),則,則,因為到直線的距離分別是,由于直線l與線段AB(不含端點(diǎn))相交,所以,即,所以,四邊形的面積,令,,則,所以,當(dāng),即時,,因此四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓中的四邊形面積問題,考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結(jié)論;(2)由(1)可求得的表達(dá)式,進(jìn)而可求得的表達(dá)式,然后求出的前項和即可.【詳解】(1)證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可知,則,因為,所以,則.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.20、(1)的長為4(2)【解析】
(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)向量垂直關(guān)系計算得到答案.(2)計算平面的法向量為,為平面的一個法向量,再計算向量夾角得到答案.【詳解】(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,所以.,因為,所以,即,解得,所以的長為4.(2)因為,所以,又,故.設(shè)為平面的法向量,則即取,解得,所以為平面的一個法向量.顯然,為平面的一個法向量,則,據(jù)圖可知,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線段長度,二面角,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.21、(1)66.5(2)屬于【解析】
(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解;(2)求出,即可判斷得解.【詳解】(1)(2)所以該零件屬于“不合格”的零件【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計算和應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些
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