隨機(jī)過(guò)程復(fù)習(xí)題

第一章1．填空若X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且gi(t)是Xi的特征函數(shù),i=1,2,…,n)則X=X1+X2+…Xn的特征函數(shù)g(t)=＿g1(t)g2(t)…gn(t)2.設(shè)P(S)是X的母函數(shù)，試證:(1)若E(X)存在，則(2)若D(X)存在，則DX=P"(1)+P′(1)-[P′(1)]2證明:(1)因?yàn)?，則，令，得。（2）令，得證畢3．設(shè)X服從B(n,p),求X的特征函數(shù)g(t)及EX,EX2,DX.解：X的分布列為P(X=k)=,q=1-p,k=0,1,2,...n,由性質(zhì)得4．設(shè)，求X的特征函數(shù)解由于，且，故由積分號(hào)下求導(dǎo)公式有于是得微分方程g’(t)+tg(t)=0解得方程的通解為由于g(0)=1,所以C=0，于是得X的特征函數(shù)為5．設(shè)隨機(jī)變量，求Y的特征函數(shù)是.解：設(shè),則由例1.3知X的特征函數(shù)令,則，由前面的命題知Y的特征函數(shù)是，6.7．設(shè)X1,X2…Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且證明證因?yàn)樗云涮卣骱瘮?shù)為有特征函數(shù)的性質(zhì)知，的特征函數(shù)為再由唯一性定理知。8．設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且，證明。證因?yàn)樗云涮卣骱瘮?shù)為有特征函數(shù)的性質(zhì)知，的特征函數(shù)為再由唯一性定理知9．設(shè)商店在一天的顧客數(shù)N服從參數(shù)λ=1000的泊松分布，又設(shè)每位顧客所花的錢數(shù)Xi服從N(100,502)，求商店日銷售Z的平均值。解：由條件知而EN=1000，EX1=100,故EZ=EN·EXi=1000×100=100000(元)10．設(shè)隨機(jī)變量X的特征函數(shù)為gx(t),Y=aX+b,其中a,b為任意實(shí)數(shù)，證明Y的特征函數(shù)gY(t)為證11．求以下各分布的隨機(jī)變量X的特征函數(shù)g(t).(1)兩點(diǎn)分布b(1,p)(2)二項(xiàng)分布b(n,p)(3)泊松分布p(λ)(4)幾何分布Ge(p)(5)指數(shù)分布Exp(λ)(6)均勻分布U(a,b)(7)伽馬分布Г(α，λ)解：(1)令X~b(1,p),則P(X=0)=1-p=q,p(x)=p.則根據(jù)特征函數(shù)的定義，得：(2)令X~b(n,p),則有特征函數(shù)定義，可知(3)令X~p(λ),則有特征函數(shù)定義可知：(4)設(shè)X~Ge(p),則p(X=k)=pqk-1,q=1-p,k=1,2…n有特征函數(shù)定義知：(5)設(shè)X~Exp(λ),則可知密度函數(shù)則有特征函數(shù)定義，可得：(6)設(shè)X~U(a,b),則可知密度函數(shù)為則(7)設(shè)x~Г(α,λ),則密度函數(shù)則14.設(shè)隨機(jī)過(guò)程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互獨(dú)立的二元隨機(jī)變量，求Z(t)的均值函數(shù)。解：=E(X)sint+E(Y)cost第二章1、隨機(jī)過(guò)程若按狀態(tài)空間與參數(shù)集分類可分為離散參數(shù)鏈，連續(xù)參數(shù)鏈，隨機(jī)序列，隨機(jī)過(guò)程四類.2、若{X(t)，t∈T}是零均值的二階矩過(guò)程，若對(duì)任意的t1<t2≤t3<t4，則X(t)為正交增量過(guò)程的充分條件是3、設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=Y+Zt，t>0,其中Y，Z是相互獨(dú)立的N（0，1）隨機(jī)變量，求{X(t)，t>0}的一維和二維概率密度族.解：由于X與Z是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，故其線性組合仍為正態(tài)隨機(jī)變量，要計(jì)算{X(t)，t>0}的一、二維隨機(jī)概率密度，只要計(jì)算數(shù)字特征和即可.mx(t)=E(Y+Zt)=EY+tEZ=0，DX(t)=D(Y+Zt)=DY+t2DZ=1+t2，BX(s,t)=EX(s)X(t)-mx(s)mx(t)=E(Y+Zs)(Y+Zt)=1+st，ρX(s,t)=BX故隨機(jī)過(guò)程{X(t)，t>0}的一、二維概率密度分別為ft(x)=12π(1+t2fs,t(x1,x2)=12π(1+s2)(1+t2)4、設(shè){X(t)，t≧0}是實(shí)正交增量過(guò)程，X(0)=0，V是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的t≧0，X(t)與V相互獨(dú)立,令Y(t)=X(t)+V，求隨機(jī)過(guò)程{Y(t)，t≧0}的協(xié)方差函數(shù).解：依題意知EX(t)=0，EV=0,DV=1,所以EY(t)=E[X(t)+V]=EX(t)+EV=0，BY(t1，t2)=E(X(t1)+V)(X(t2)+V)=E[X(t1)X(t2))]+EV2=σ2X(min(t1,t2))+1.5、試證明維納過(guò)程是正態(tài)過(guò)程。證明：設(shè){B(t)，t≥0}是參數(shù)為σ2的維納過(guò)程，對(duì)于任意的n，任取0≤t1<t2<…<tn，由于B(t1)，B(t2)-B(t1)，…,B(tn)-B(tn-1)相互獨(dú)立,而且B(tk)-B(tk-1)∽N(0,σ2(tk-tk-1)),所以[B(t1),B(t2)-B(t1),…,B(tn)-B(tn-1)]是n維正態(tài)向量,于是:即[B(t1),B(t2),…,B(tn)]是n維正態(tài)隨機(jī)向量[B(t1),B(t2)-B(t1),…,B(tn)-B(tn-1)]的線性變換,所以[B(t1),B(t2),…,B(tn)]是n維正態(tài)隨機(jī)向量,n=1,2,…,故{B(t),t≥0}是正態(tài)過(guò)程.7、設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)變量.試求隨機(jī)過(guò)程X（t）=At+B,t∈（-）的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。如果A，B相互獨(dú)立，且A～N(0,1),B～U(0,2),問(wèn)X（t）的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)又是什么？8、求隨機(jī)相位正弦波X（t）=acos（），t∈（-）的均值函數(shù)，方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)，其中a和是正常數(shù)，～U(0,2)。9、設(shè)X(t)=Acos+Bsin，t∈T（-），其中A,B相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0,)的隨機(jī)變量，是實(shí)常數(shù)。證明X(t)是正態(tài)過(guò)程，并求它的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。10、設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=（t+）和Y(t)=(t+),其中和都是周期為L(zhǎng)的周期方波，是（0，L）上服從均勻分布的隨機(jī)變量。求互相關(guān)函數(shù)(t，t+)的表達(dá)式。第三章1、泊松過(guò)程的定義：稱計(jì)數(shù)過(guò)程{X(t),t≥0},為具有參數(shù)λ>0的泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：X(0)=0;X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程；在任一長(zhǎng)度為t的區(qū)間(s,s+t]中，事件A發(fā)生的次數(shù)X(t+s)-X(s)服從參數(shù)λt的泊松分布，即對(duì)任意s,t≥0,有2、泊松過(guò)程的定義：稱計(jì)數(shù)過(guò)程{X(t),t≥0}為具有參數(shù)λ>0的泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：X(0)=0;X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程；X(t)滿足下列兩式：P{X(t+h)-X(t)=1}=λt+o(h),P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h)3、設(shè){X（t）,t≥0}是參數(shù)為λ>0的泊松過(guò)程，則均值函數(shù)：mX(t)=E[X(t)]=E[X(t)-X(0)]=λt;方差函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：RX（s,t）=λ2st+λmin(s,t)特征函數(shù)族：4、設(shè){X(t)，t≥0}是具有跳躍強(qiáng)度的非齊次泊松過(guò)程。求E[X(t)]和D[X(t)]。解：==6、設(shè)X1(t)和X2(t)是分別具有參數(shù)λ1和λ2的相互獨(dú)立的泊松過(guò)程，證明:Y(t)=X1(t)+X2(t)是具有參數(shù)λ1+λ2的泊松過(guò)程。證明：{Y(t)}是獨(dú)立增量過(guò)程，且P{Y(t+τ)-Y(t)=n}=P{X1(t+τ)+X2(t+τ)–X1(t)–X2(t)=n}=P{X1(t+τ)–X1(t)+X2(t+τ)–X2(t)=n}-QUOTEi=onP=QUOTEi=onP=i=o=e-λτ·(λτ)n7、設(shè)到達(dá)某商店顧客組成強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，每個(gè)顧客購(gòu)買商店的概率為P，且與其它顧客是否購(gòu)買商品無(wú)關(guān)，若{Yt，t≥0}是購(gòu)買商品的顧客數(shù)，證明{Yt，t≥0}是強(qiáng)度為λP的泊松過(guò)程。證明:設(shè){X(t)，t≥0}表示到達(dá)商店的顧客數(shù)，表示第i個(gè)顧客購(gòu)物與否，即：則由題意知，i=1，2，…獨(dú)立同分布，且與{X(t)}獨(dú)立P{=1}=p，P{=0}=1-p因此，Y(t)=QUOTEi=1X（t）εiEY(t)=λtE()=λpt，Y(t)的強(qiáng)度=EY(t)/t=λp.8、設(shè)在內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且，對(duì)于,求.解：利用條件概率及泊松分布得：P====這是一個(gè)參數(shù)為n和的二項(xiàng)分布。9、設(shè)是具有參數(shù)為的泊松過(guò)程，假定S是相鄰事件的時(shí)間間隔，證明P=P，即假定預(yù)先知道最近一次到達(dá)發(fā)生在s1秒，下一次到達(dá)至少發(fā)生在將來(lái)s2秒的概率等于在將來(lái)s2秒出現(xiàn)下一次事件的無(wú)條件概率.解：P=P{}===1-P(Ss2)=P(S>s2)10、設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，求第k次事件A發(fā)生的時(shí)間Wk的條件概率密度函數(shù)。ttWk0sWns+h解：先求條件概率P{s<Wk≤s+h|X(t)=n},在對(duì)S求導(dǎo)。P{s<Wk≤s+h|X(t)=n}12、設(shè){X(t),t≥0}是具有跳躍強(qiáng)度的非其次泊松過(guò)程(ω≠0).求E[X(t)]和D[X(t)].解：由mX(t)=式得由mX(t)=式知D[X(t)]=13、設(shè)是與泊松過(guò)程對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列,試證明服從參數(shù)為n與的分布,并請(qǐng)寫出其概率密度.證明:注意到第n個(gè)事件在時(shí)刻t或之前發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)?shù)綍r(shí)間t已發(fā)生的事件數(shù)目至少是n,即:.因此.對(duì)上式求導(dǎo),得的概率密度是:14、設(shè){X(t),t≥0}是具有均勻函數(shù)m(t)=的非其次泊松過(guò)程，{Wn,n≥0}是等待時(shí)間序列。求Wn的概率密度。解：當(dāng)t>0時(shí)，由于,故上式對(duì)t求導(dǎo)。得到Wn的概率密度為由于。故當(dāng)t≤0時(shí)，故15、設(shè)到達(dá)某商店的顧客組成強(qiáng)度為λ的泊松方程，每個(gè)顧客購(gòu)買商品的概率為p，且與其它的顧客是否購(gòu)買商品無(wú)關(guān)，若{Yt,t≥0}使購(gòu)買商品的顧客數(shù)，證明{Yt,t≥0}是強(qiáng)度為λp的泊松過(guò)程。解：設(shè){X（t）,t≥0}表示到達(dá)商店的顧客數(shù)，ξi表示第i個(gè)顧客購(gòu)物與否，即則由題意知ξi,i=1,2…獨(dú)立同分布，且與{X（t）}獨(dú)立，P(ξi=1)=p,P(ξi=0)=1-p,因此，是復(fù)合泊松過(guò)程，EY(t)=λtE(ξ1)=λptY(t)的強(qiáng)度λY=EY(t)/t=λt16、設(shè)是具有參數(shù)的泊松過(guò)程,試求其有限維概率分布族.解：對(duì)任意的自然數(shù)n，及任意的非負(fù)整數(shù)有：顯然====17、是具有參數(shù)的泊松過(guò)程,是對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列,試證明隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布的均值為的指數(shù)分布.解：首先注意到事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)泊松過(guò)程在區(qū)間內(nèi)沒有事件發(fā)生,因而,即,所以T1服從均值為的指數(shù)分布.利用泊松過(guò)程的獨(dú)立、平穩(wěn)增量性質(zhì),有:==即,故T2也是服從均值為的指數(shù)分布.對(duì)于任意和,有,即所以對(duì)任一,其分布是均值為的指數(shù)分布第四章馬爾可夫鏈一、基本內(nèi)容（1）馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率，轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì)，初始概率與絕對(duì)概率，絕對(duì)概率的性質(zhì)；（2）馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類，狀態(tài)類型的判別；（3）馬爾可夫鏈狀態(tài)空間的分解：任意馬氏鏈狀態(tài)空間的分解與周期為d的不可約馬氏鏈狀態(tài)空間的分解；（4）的漸進(jìn)性質(zhì)與平穩(wěn)分布二、習(xí)題與參考答案1、設(shè)為馬爾可夫鏈,試證明:對(duì)任意整數(shù),和,n步轉(zhuǎn)移概率證明:利用全概率公式及馬爾可夫性,有2、設(shè)質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上游動(dòng),每次游動(dòng)一格,向右移動(dòng)的概率為p,向左移動(dòng)的概率為,這種運(yùn)動(dòng)稱為無(wú)限制隨機(jī)游動(dòng).以表示時(shí)刻n質(zhì)點(diǎn)所處的位置,則是一個(gè)齊次馬爾可夫鏈,試寫出它的一步和k步轉(zhuǎn)移概率.解:顯然的狀態(tài)空間,其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為設(shè)在第k步轉(zhuǎn)移中向右移了x步,向左移了y步,且經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移狀態(tài)從i進(jìn)入j,則:從而,.由于x,y都只能取整數(shù),所以必須是偶數(shù).又在k步中哪x步向右,哪y步向左是任意的,選取的方法有種.于是3、設(shè)昨日、今日都下雨,明日有雨的概率為0.7；昨日無(wú)雨，今日有雨，明日有雨的概率為0.5；昨日有雨，今日無(wú)雨，明日有雨的概率為0.4；昨日、今日均無(wú)雨，明日有雨的概率為0.2.若星期一、星期二均下雨，求星期四下雨的概率.（星期四不下雨的概率也要會(huì)求）解:設(shè)昨日、今日連續(xù)兩天有雨稱為狀態(tài)0(RR)，昨日無(wú)雨、今日有雨稱為狀態(tài)1(NR)，昨日有雨、今日無(wú)雨稱為狀態(tài)2(RN)，昨日、今日無(wú)雨稱為狀態(tài)3(NN)，于是天氣預(yù)報(bào)模型可看作一個(gè)四狀態(tài)的馬爾可夫鏈，其轉(zhuǎn)移概率為：，,其中R代表有雨，N代表無(wú)雨.類似地可得到所在狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率.于是它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為:其兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣為:由于星期四下雨意味著過(guò)程所處的狀態(tài)為0或1,因此星期一、星期二連續(xù)下雨，星期四下雨的概率為：.4、設(shè)質(zhì)點(diǎn)在線段上做隨機(jī)游動(dòng),假設(shè)它只能停留在1,2,3,4點(diǎn)上.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到2,3點(diǎn)時(shí),它以的概率向左或向右移動(dòng)一格,或停留在原處.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)1時(shí),它以概率1停留在原處.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)4時(shí),它以概率1移動(dòng)到點(diǎn)3.若以表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻所處的位置,則是一個(gè)齊次馬爾可夫鏈。寫出轉(zhuǎn)移概率矩陣試畫出各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系圖及標(biāo)出相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率；（3）試分解此鏈并指出各狀態(tài)的狀態(tài)類型。解:（1）其轉(zhuǎn)移概率矩陣為:（2）由題意可得各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系及相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率如下圖所示:11112435、設(shè)馬爾可夫鏈狀態(tài)空間,其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為,試將狀態(tài)進(jìn)行分類.解:對(duì)于,狀態(tài)4為非常返狀態(tài)對(duì)于,,狀態(tài)3是非常返的對(duì)于又d=1狀態(tài)1是正常返,非周期的,從而為遍歷的對(duì)于所以狀態(tài)2為正常返,d=1,非周期的,從而是遍歷的各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系及相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率如下圖所示:6、設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為轉(zhuǎn)移概率為,,，,畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖并證明各狀態(tài)均為遍歷的.證明:根據(jù)題意可得:,，，所以狀態(tài)0為常返狀態(tài)0為正常返，d=1，非周期是遍歷的又各狀態(tài)與0互通，所以其余狀態(tài)也為遍歷的.7、設(shè)為隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)任意正整數(shù)及，，且條件概率滿足則稱{X(t)，t?T}為馬爾可夫過(guò)程。8、稱條件概率為馬爾可夫鏈在時(shí)刻的一步轉(zhuǎn)移概率，其中。9、稱條件概率為馬爾可夫鏈在時(shí)刻的步轉(zhuǎn)移概率，其中。10、稱概率分布 為馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布，若它滿足11、設(shè)馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣為（1）求每一個(gè)不可約閉集的平穩(wěn)分布。（2）計(jì)算（也要會(huì)求或者）解從狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖看出，狀態(tài)空間可分解為兩個(gè)不可約常返閉集和一個(gè)非常返集在常返集上求平穩(wěn)分布。在上，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為，所以上的平穩(wěn)分布為{0,0.4,0.2,0.4,0,0,0}同理上的轉(zhuǎn)移概率矩陣為,所以所以上的平穩(wěn)分布為{0,0,0,0,1/3,1/3,1/3}13、設(shè)馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。第五章復(fù)習(xí)題1.證明泊松過(guò)程為連續(xù)時(shí)間齊次馬爾可夫鏈。證先