工科數(shù)學(xué)分析 上冊(cè)（第2版）課件：常微分方程的應(yīng)用

《工科數(shù)學(xué)分析》常微分方程的應(yīng)用應(yīng)用范圍幾何：求曲線的形狀；探照燈反光鏡的

設(shè)計(jì)；物理：運(yùn)動(dòng)軌跡方程；衰變問(wèn)題；

物體的冷卻問(wèn)題；落體問(wèn)題；發(fā)射問(wèn)題；

自由振動(dòng)問(wèn)題；其他領(lǐng)域：生物，醫(yī)學(xué)，生態(tài)，經(jīng)濟(jì)，

保險(xiǎn)，戰(zhàn)爭(zhēng)，人口控制與預(yù)測(cè)等等。用常微分方程求解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟建立微分方程，并確定初始條件；求出微分方程的解；對(duì)所的結(jié)果進(jìn)行分析，解釋它的實(shí)際意義。如果它與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，則應(yīng)修改模型，并重新求解。比如借助常見(jiàn)的物理規(guī)律，如：熱力學(xué)中的牛頓（Newton）冷卻定律：在一定的溫度范圍內(nèi)，一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體和其所在介質(zhì)溫度的差值成比例。如：電路的基爾霍夫（Kirchhoff）第二定律：在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數(shù)和為零。及問(wèn)題的幾何意義、已知條件……解解代入條件后知故開(kāi)始制動(dòng)到列車完全停住共需建立微分方程，除了直接利用問(wèn)題的幾何意義、物理意義之外，和定積分的應(yīng)用一樣，我們還可以利用微元法建立微分方程，其基本思想為：例4我艦艇發(fā)射核彈攻擊航母，核彈頭始終對(duì)航母，設(shè)航母沿y軸正向以勻速v行駛，核彈速度5v,設(shè)核彈由x軸點(diǎn)(a,0)處發(fā)射時(shí)，航母位于原點(diǎn)，求核彈的軌跡。解

設(shè)核彈軌跡y=y(x).當(dāng)核彈位于P點(diǎn)時(shí)，航母位于B(0,vt),從而又曲線段PA的長(zhǎng)度為由上面兩式消去t，得上式兩端對(duì)x求導(dǎo)，有這是一個(gè)不顯含y的方程，即可降階求解。例5

有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.解水從孔口流出的速率滿足托里拆利定律。流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度取V為體積，則在時(shí)間間隔在重力作用下，液體從儲(chǔ)水罐開(kāi)口處流出的速度與從開(kāi)口中心位置到液面的垂直高度的平方根、以及重力加速度的二倍的平方根成正比.-----托里拆利定律(Torricelli’slaw)流量系數(shù)viscosity(internalfriction)shapeoftheoutlet/mechanics/gases-and-liquids/discharge-outflow-liquid-speed-torricellis-law/

而在水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:即為未知函數(shù)的微分方程.所求規(guī)律為可分離變量解例6則由牛頓第二定律ma=F得解此方程得代入上式得例7

拋物線的光學(xué)性質(zhì)實(shí)例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖得微分方程由AD﹒﹒﹒分離變量積分得,平方化簡(jiǎn)得拋物線解受力分析由于將平衡位置取為原點(diǎn)，重力與一部分彈性恢復(fù)力相抵消，故不再考慮重力。它不包括在平衡位置時(shí)與重力相抵消的那一部分彈性力。物體自由振動(dòng)的微分方程強(qiáng)迫振動(dòng)的方程串聯(lián)電路的振蕩方程力學(xué)系統(tǒng)的“電模擬”例9物質(zhì)A與物質(zhì)B化合生成新物質(zhì)X,設(shè)反應(yīng)過(guò)程不可逆，在反應(yīng)初始時(shí)刻A，B，X的量為a,b,0,在反應(yīng)過(guò)程中，A，B失去的量為X生成的量，并且在X中所含A與B的比例為，已知X量x的增長(zhǎng)率與A,B的剩余量的乘積成正比，比例系數(shù)為k>0,求反應(yīng)過(guò)程開(kāi)始后t時(shí)刻生成物X的量x與時(shí)間t的關(guān)系。解

t時(shí)刻X中A,B的量分別為于是A，B的剩余量分別為又由于X的量x的增長(zhǎng)率為，從而例10（物體冷卻問(wèn)題）將一個(gè)100℃的物體放在室溫20℃的房間內(nèi)，經(jīng)過(guò)20分鐘后，測(cè)量物體的溫度，已降為60℃，問(wèn)還需要多長(zhǎng)時(shí)間物體的溫度才能降為30℃？解據(jù)牛頓冷卻定律：物體冷卻速率正比于物體與周邊環(huán)境的溫差?！胬?1例12：