湖北省部分重點中學高三上學期12月聯(lián)合測評數(shù)學試題

2025屆高三部分重點中學12月聯(lián)合測評數(shù)學試題命題學校：武漢外國語學校命、審題人：鄧海波肖計雄夏賢聰考試時間：2024年12月12日15：0017：00試卷滿分：150分考試用時：120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)單調性解不等式可化簡集合A，后由并集定義可得答案.【詳解】，則，又，則.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】首先化簡復數(shù)，再求，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可判斷選項.【詳解】由可得，，故對應的點為，位于第四象限.故選：D3.已知變量x和變量y的一組成對樣本數(shù)據(jù)為，其中，其回歸直線方程為，當增加兩個樣本數(shù)據(jù)和后，重新得到的回歸直線方程斜率為3，則在新的回歸直線方程的估計下，樣本數(shù)據(jù)所對應的殘差為（）A. B.-2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先計算新的數(shù)據(jù)的平均值，后得到經驗回歸方程，再結合殘差概念計算即可.【詳解】∵，∴增加兩個樣本點后的平均數(shù)為；∵，∴，∴增加兩個樣本點后y的平均數(shù)為，∴，解得，∴新的經驗回歸方程為，則當時，，∴樣本點的殘差為故選：B.4.若正整數(shù)a，b滿足等式，且，則（）A.1 B.2 C.2022 D.2023【答案】D【解析】【分析】由，再根據(jù)二項式定理展開后可求的值.【詳解】∵，∴.故選：D.5.已知，均為非零向量，其夾角為，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩者之間的推出關系可得條件關系.【詳解】∵，則，∴，同向，但當時不滿足，因此充分性不成立.∵，∴，即，即，從而，同向，，由此可知必要性成立.故“”是“”的必要不充分條件，故選：C.6.已知等比數(shù)列滿足，，記為其前項和，則（）A. B. C. D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意列方程求出公比，然后可解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，，依題意，，，即，∴，，解得或，∴，，或，，，∴.故選：A7.已知直線經過拋物線：的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，若使得成立的點P的橫坐標為3，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】設直線方程，再直線曲線聯(lián)立，借助韋達定理，弦長公式，點到直線距離公式計算高，最后計算面積即可.【詳解】由題知F1,0，直線的斜率不為0，設直線的方程為，Ax1,y1聯(lián)立整理得，則，.∴.∵，∴四邊形為平行四邊形.∵點的橫坐標為3，∴，解得.∴.點到直線的距離為，∴平行四邊形的面積為.故選：A.8.如圖，在三棱錐中，，，E，F(xiàn)，G分別為，，上靠近點P的三等分點，若此時恰好存在一個小球與三棱錐的四個面均相切，且小球同時還與平面相切，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點，利用等腰三角形性質證明平面，作，，利用相似比得，結合求解可得.【詳解】如圖，取中點，連接，.因為，所以，.∵，平面，平面，∴平面.作，垂足為H.∵平面，∴.又，平面，平面，∴平面.過點H作，垂足為，連接，因為平面，所以，又是平面內的兩條相交直線，所以平面，因為平面，所以.易知平面平面，設小球半徑為，∴，∴.根據(jù)題意，，∵，，∴，∴.由，得，∴，∴.∴.故選：B【點睛】方法點睛：關于幾何體的內切球問題，通常根據(jù)體積公式列方程進行求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若且，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】運用基本不等式計算判斷A；運用糖水不等式判斷B；舉例判斷C；作差法比較判斷D.詳解】對于選項A，當時，.∵，當且僅當時，取等號，∴，故A正確.對于選項B，∵且，由糖水原理可知，故B錯誤；對于選項C，當時，結論不成立，故C錯誤；對于選項D，，即，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.在區(qū)間上單調遞增B.圖象的一條對稱軸方程為C.圖象的一個對稱中心為點D.在區(qū)間上的值域為【答案】ABC【解析】【分析】由圖象求得函數(shù)解析式，然后結合正弦函數(shù)性質判斷各選項．【詳解】由圖可知，，，又，解得，，，∴.對于選項A，當時，，∴在區(qū)間上單調遞增，故正確；對于選項B，為其最小值，∴為圖象的一條對稱軸，故正確；對于選項C，，∴點為圖象的一個對稱中心，故正確；對于選項D，當時，，當即時，，當即時，，即在區(qū)間上的值域為，故錯誤.故選：ABC．11.甲同學想用一支鉛筆從如下的直三棱柱的頂點出發(fā)沿三棱柱的棱逐步完成“一筆畫”，即每一步均沿著某一條棱從一個端點到達另一個端點，緊接著從上一步的終點出發(fā)隨機選擇下一條棱再次畫出，進而達到該棱的另一端點，按此規(guī)律一直進行，其中每經過一條棱稱為一次移動，并隨機選擇某個頂點處停止得到一條“一筆畫”路徑，比如“一筆畫”路徑.若某“一筆畫”路徑中沒有重復經過任何一條棱，則稱該路徑為完美路徑，否則為不完美路徑.下列說法正確的有（）A.若“一筆畫”路徑為完美路徑，則甲不可能6次移動后回到點B.經過4次移動后仍在點的概率為C.若“一筆畫”路徑為完美路徑，則5次移動后回到點有5條不同筆跡D.經過3次移動后，到達點的條件下經過點C的概率為【答案】BCD【解析】【分析】對于A.沿等路線即可判斷；對于B.分若存在重復路線和若不存在重復路線討論，結合組合數(shù)公式計算判斷；對于C.運用列舉法：分先第一次移動到和第一次移動到討論計算共有5條路徑；對于D.先考慮重復路線：前兩條路線重復：可能第一次移動到達共3條路徑，后兩條路徑重復（即第一次移動到）同理有3條路徑，其中重復，故共只有5條路徑；再考慮不重復路徑：只有1條路徑，結合條件概率計算即可.【詳解】對于選項A，沿等路線即可，故A錯誤；對于選項B，若存在重復路線，兩次移動回到點可以第一次移動到達點，，C，第三次移動再從這些移動方式中選，共有9種走法，另外可以先移動兩次再原路返回，第一次移動可能到達點，，C，每個點在第二次移動時都有兩種移動方式，故有6種方式；若不存在重復路線，經過點C由四條棱組成的閉合回路只有和兩種，每條路都有兩種經過方式，共有4種方式；所以概率為，故B正確；對于選項C，列舉法：，，，，，故共有5條不同筆記，故C正確；對于選項D，先考慮重復路線：前兩條路線重復，第一次移動到達點，，C共３條路徑；后兩條路徑重復（即第一次移動到點）同理有３條路徑，其中重復，故共只有5條路徑；再考慮不重復路徑：只有，1條路徑，∴三次移動后到達點A有6條路徑.記事件：從點出發(fā)，三次移動后到達點；事件C：從點出發(fā)，三次移動時經過點C，故，，故，故D確.故選：BCD.12.設F為雙曲線C：的左焦點，，分別為雙曲線C的兩條漸近線的傾斜角，已知點F到其中一條漸近線的距離為2，且滿足，則雙曲線C的焦距為_______.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)雙曲線焦點與漸近線的距離為，結合雙曲線漸近線的對稱性，利用三參數(shù)的等量關系，可得答案.【詳解】根據(jù)點F到其中一條漸近線的距離為2，可得，且滿足.又，∴，∴，故，∴，∴焦距為.故答案為：.13.某流水線上生產的一批零件，其規(guī)格指標X可以看作一個隨機變量，且，對于的零件即為不合格，不合格零件出現(xiàn)的概率為0.05，現(xiàn)從這批零件中隨機抽取500個，用Y表示這500個零件的規(guī)格指標X位于區(qū)間的個數(shù)，則隨機變量Y的方差是________.【答案】【解析】【分析】由題可得質量指標在區(qū)間的概率，后由二項分布的方差可得答案.【詳解】由正態(tài)分布的性質得質量指標在區(qū)間的概率為，即1件產品的質量指標位于區(qū)間的概率為，∴，故.故答案為：14.已知函數(shù)（其中，且）為其定義域上的單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】對函數(shù)進行變形，構造新函數(shù)，轉化為新函數(shù)hx的單調.再分類討論單調遞增和單調遞減，借助導數(shù)研究其單調性.對于單調遞增，再構造函數(shù)，得到單調性，求出范圍即可.【詳解】，記，在定義域上單調，可得hx必為單調函數(shù).若hx單調遞增，則恒成立，即，∴.又函數(shù)時值趨近于0，不滿足.若hx單調遞減，則恒成立，即，即，∴，設，，則，當時，不成立；當時，，∴區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，∴，即，∴，即，解得.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是將原函數(shù)變形為，記，將在定義域上單調，轉化為hx為單調函數(shù).最后借助分類討論和導數(shù)研究得解，綜合性較強，屬于難題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）判斷的形狀；（2）設，且D是邊的中點，求當最大時的面積.【答案】（1）等腰三角形（2）.【解析】【分析】（1）利用倍角公式化簡后可得，故可得即三角形為等腰三角形；（2）根據(jù)余弦定理和基本不等式可得當最大時為正三角形，故可求此時三角形面積.【小問1詳解】由二倍角公式得，∴，整理得，即.∵，∴，即，即為等腰三角形.【小問2詳解】由（1）及題設，有，∴，而為三角形內角，∴，當且僅當時，等號成立.即的最大值為，此時由，而，故，故，可得為直角三角形且，又由（1）可得為正三角形，∴的面積.16.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，.（1）求證：平面平面；（2）平面于點，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理直接求證即可；（2）利用向量法根據(jù)求出點坐標，再結合二面角的定義，即可求出結果.【小問1詳解】在和中，，，與互余，所以，即.又平面，平面，.又平面中，，平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】，，兩兩互相垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.不妨設，則A0,0,0，，，，，.點在平面內，設，則，平面，，，，解得，，即，點到平面的距離，點到棱的距離，設二面角大小為，則，，即二面角的余弦值為.17.設函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調性；（2）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù).【答案】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.（2）函數(shù)在區(qū)間上有2個零.，證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)后根據(jù)導數(shù)的符號可得函數(shù)的單調性；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調性可得函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點，設，根據(jù)三角函數(shù)的性質可得判斷出，故結合零點存在定理可判斷在上的單調性，再結合零點存在定理可判斷零點的個數(shù).【小問1詳解】，且.當時，，，從而，即此時函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；當時，，，從而，即此時函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.∴綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.【小問2詳解】，又，且函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，∴函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點.當時，記，從而，且此時，，∴，在區(qū)間上單調遞增.，，∴存在，使得且時，，即此時在區(qū)間上單調遞減；時，，即此時在區(qū)間上單調遞增.∴由，得，即函數(shù)在區(qū)間上無零點；而由，，即函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點.∴函數(shù)在區(qū)間上有2個零點.【點睛】思路點睛：函數(shù)零點問題，需利用導數(shù)討論其單調性，再結合零點存在定理判斷零點個數(shù).18.已知過，兩點的動拋物線的準線始終與圓相切，該拋物線焦點的軌跡是某圓錐曲線E的一部分.（1）求曲線的標準方程；（2）已知點，，過點的動直線與曲線交于兩點，設的外心為為坐標原點，問：直線與直線的斜率之積是否為定值，如果是定值，求出該定值；如果不是定值，說明理由.【答案】（1）（2）是定值.【解析】【分析】由拋物線的焦點P到兩定點A，B的距離之和等于點A，B到拋物線的準線的距離之和，滿足橢圓的定義，根據(jù)定義求出即可.設出直線方程,與軌跡的方程聯(lián)立,由韋達定理求出交點坐標的關系,由直線與直線的斜率之積進行化簡即可.【小問1詳解】由題意知拋物線的焦點P到兩定點A，B的距離之和等于點A，B到拋物線的準線的距離之和，等于的中點O到準線的距離的2倍，即等于圓的半徑的2倍，∴，∴點P在以A，B為焦點的橢圓E上，設橢圓E的標準方程為，則，，∴，，∴，∴曲線E的標準方程為.【小問2詳解】設直線：，由∴.設，，則，，的中點坐標為，，的垂直平分線的斜率為.∴的垂直平分線方程為，即，由得，∴的垂直平分線方程為.同理的垂直平分線方程為.設點，則，是方程，即的兩根，∴兩式相除得，∴.∴，即直線與的斜率之積為定值.19.n為不小于3的正整數(shù)，對整數(shù)數(shù)列：，可以做以下三種變換：①將中的減1，加1，其余項不變，稱此變換為對做變換；②取，將中的減2，，均加1，其余項不變，稱此變換為對做變換；③將中的減1，加1，其余項不變，稱此變換為對做變換.將數(shù)列做一次變換得到，將數(shù)列做一次變換得到……例如：時，對數(shù)列：0，1，1，0依次做，變換，意義如下：先對做變換得到數(shù)列：0，0，1，1，再對做變換得到數(shù)列：0，0，0，0.（1）時，給定數(shù)列：0，1，1，0，0，求證：可以對做若干次變換得到數(shù)列0，0，0，0，0；（2）時，求證：對任意整數(shù)數(shù)列：，，，，，若，則可以對做若干次變換得到數(shù)列0，0，0，0，0；（3）若將變換①中改為，將變換③中的改為，在時，求證：對任意整數(shù)數(shù)列：，若，且和均為偶數(shù)，則可以對整數(shù)數(shù)列做若干次變換得到數(shù)列.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)變換規(guī)則對數(shù)列進行適當變換即可.（2）特殊到一般，根據(jù)（1）問類似變換可證明.（3）記此時的變換①為，變換③為.設，.推得經過若干次變換使得，此時；再對任意數(shù)列：依次做變換，結合第（2）知可