連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二章

第二章張量的基本理論

§2-1張量代數(shù)§2-2張量分析§2-3張量應(yīng)用1.1指標(biāo)記法1.1.1求和約定、啞指標(biāo)§2-1張量代數(shù)顯然，指標(biāo)i,j,k與求和無關(guān)，可用任意字母代替。為簡化表達式，引入Einstein求和約定：每逢某個指標(biāo)在一項中重復(fù)一次，就表示對該指標(biāo)求和，指標(biāo)取遍正數(shù)1，2，…，n。這樣重復(fù)的指標(biāo)稱為啞標(biāo)。于是是違約的，求和時要保留求和號n表示空間的維數(shù)，以后無特別說明，我們總?cè)=3。例題雙重求和簡寫成展開式（9項）三重求和（27項）1.1.2自由指標(biāo)例如指標(biāo)i在方程的各項中只出現(xiàn)一次，稱之為自由指標(biāo)。一個自由指標(biāo)每次可取整數(shù)1,3,…,n，與啞標(biāo)一樣，無特別說明總?cè)=3。于是，上式表示3個方程的縮寫：i為自由指標(biāo)，j為啞標(biāo)表示i為自由指標(biāo)，j為啞標(biāo)表示i，j為自由指標(biāo)，k為啞標(biāo)表示9個方程：……例外：出現(xiàn)雙重指標(biāo)但不求和時，在指標(biāo)下方加劃線以示區(qū)別，或用文字說明（如i不求和）。規(guī)定：這里i相當(dāng)于一個自由指標(biāo)，而i只是在數(shù)值上等于i，并不與i

求和。又如，方程用指標(biāo)法表示，可寫成i

不參與求和，只在數(shù)值上等于i1.2Kronecker

符號在卡氏直角坐標(biāo)系下，Kronecker

符號定義為：其中i，j為自由指標(biāo)，取遍1，2，3；因此，可確定一單位矩陣：若是相互垂直的單位矢量，則，但而，故注意：是一個數(shù)值，即的作用：1）換指標(biāo)；2）選擇求和。例1：思路：把要被替換的指標(biāo)i變成啞標(biāo)，啞標(biāo)能用任意字母，因此可用變換后的字母k表示例2：例3：個數(shù)，項的和。求特別地，1.3置換符號i,j,k,為1，2，3的偶排列(順序輪換)i,j,k,為1，2，3的奇排列(反序輪換)i,j,k,不是1，2，3的排列(兩個以上角標(biāo)同)例如：可見：也稱為三維空間的排列符號。若是右手卡氏直角坐標(biāo)系的單位基矢量則常見的恒等式(i)(ii)(iii)(iv)證明：令即得（i），將（i）作相應(yīng)的指標(biāo)替換，展開化簡，將得其余三式。指標(biāo)任意排列，經(jīng)過行列調(diào)整總可用右邊表示，兩個置換符號分別反映行、列調(diào)換及指標(biāo)重復(fù)時的正、負及零二維置換符號其中從三維退化得到有下列恒等式關(guān)鍵公式：二維關(guān)鍵公式：1.4指標(biāo)記法的運算1.4.1代入設(shè)(1)(2)把（2）代入（1）mnorelse3個方程，右邊為9項之和1.4指標(biāo)記法的運算1.4.2乘積設(shè)則不符合求和約定1.4指標(biāo)記法的運算1.4.3因式分解考慮第一步用表示有換指標(biāo)的作用所以即1.4指標(biāo)記法的運算1.4.4縮并使兩個指標(biāo)相等并對它們求和的運算稱為縮并。如各向同性材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系縮并啞標(biāo)與求和無關(guān)，可用任意字母代替為平均應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系1.4指標(biāo)記法的運算1.4.5例題——熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換求和約定同樣適用于微分方程。不可壓縮牛頓流體的連續(xù)性方程：其普通記法或1.4指標(biāo)記法的運算1.4.5例題——熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換不可壓縮牛頓流體的Navier-Stokes方程：寫出其普通記法1.4指標(biāo)記法的運算1.4.5例題——熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換彈性力學(xué)平衡方程方程：寫出其指標(biāo)記法1.5張量的定義1.5.1坐標(biāo)系的變換關(guān)系（卡氏右手直角坐標(biāo)系）舊坐標(biāo)系：新舊基矢量夾角的方向余弦：單位基矢量：新坐標(biāo)系：單位基矢量：1.5.1坐標(biāo)系的變換關(guān)系舊新圖解（二維）：在解析式中記：1.5.1坐標(biāo)系的變換關(guān)系從坐標(biāo)變換的角度研究標(biāo)量、矢量和張量（對i求和，i’為自由指標(biāo)）1.5.2標(biāo)量（純量Scalar）在坐標(biāo)變換時其值保持不變，即滿足如數(shù)學(xué)中的純數(shù)，物理中的質(zhì)量、密度、溫度等。時間是否標(biāo)量？1.5.3矢量（Vector）設(shè)a為任意矢量，其在新、舊坐標(biāo)系下的分量分別為即（對i’求和）（對i求和）滿足以下變換關(guān)系的三個量定義一個矢量1.5.3矢量（Vector）啞標(biāo)換成k

比較上式兩邊，得即該變換是正交的1.5.4張量（Tensor）對于直角坐標(biāo)系，有九個量按照關(guān)系變換成中的九個量則此九個量定義一個二階張量。將矢量定義加以推廣：（增加指標(biāo)和相應(yīng)的變換系數(shù)）張量的性質(zhì)張量的定義—張量是與坐標(biāo)系有聯(lián)系的一組量，并滿足一定的坐標(biāo)變換規(guī)律。張量的性質(zhì)—任何兩個張量相乘所得到的新張量的階數(shù)等于原張量階數(shù)之和；—兩個張量間的比例系數(shù)一般是一個張量，其階數(shù)等于原張量階數(shù)之和；—張量的變換規(guī)律與坐標(biāo)乘積的變換規(guī)律相同；—變換矩陣與二階張量的區(qū)別1.6張量的分量

設(shè)ei為卡氏直角坐標(biāo)系xi軸的單位基矢量，a為任一矢量，其分量為ai，于是

對于一個二階張量T，它可以將a變換成另一個矢量b，即

稱為二階張量T的分量

令可理解為矢量T·ej在ei上的分量，即

因此，有下面三種等價的表達式：

其中稱為在基矢量組{e1,e2,e3}下二階張量T的矩陣。注意：矢量a、b及張量T本身與坐標(biāo)系無關(guān)，但其分量ai,bi,Tij

通過基矢量組{e1,e2,e3}與坐標(biāo)系相關(guān)。

1.7.1張量的加法和減法

設(shè)T、S均為二階張量，將它們的和、差用下式表示：

仍為二階張量。若a為一矢量，則

其分量為：

其矩陣形式為：

1.7.2張量和標(biāo)量的乘積

設(shè)T為二階張量，為一標(biāo)量，它們的乘積記為，則

仍為二階張量。因為根據(jù)坐標(biāo)變換，有

可見，為二階張量。

1.7.3并矢積、并矢記法、基張量

矢量a和矢量b的并矢積ab

定義為按下列規(guī)則變換任意矢量的變換：

二階張量

一階

零階

關(guān)于是二階張量的證明：

即證明滿足張量的定義：——是一個線性變換。

設(shè)有任意矢量，及標(biāo)量，則由并矢積定義

可見：滿足張量的定義。

關(guān)于基矢量組的分量：

有些文獻把寫成

矩陣形式：

基矢量的并矢積：

…于是，二階張量可以表示成：即這種并矢記法可以推廣到任意階張量，例如三階張量：

一階基張量二階基張量n階基張量

可用上述并矢記法表示基張量：一階張量

二階張量

n階張量

于是，有等號右邊稱為廣義標(biāo)量記法。

到此為止，我們已有四種張量記法：不變性（符號，抽象）記法分量（指標(biāo)）記法

并矢記法

廣義標(biāo)量記法

1.7.4張量的并積

設(shè)分別為m和n階張量，它們的并積為，則

可見，其結(jié)果張量是m+n階的。

1.7.5張量的點積

矢量a,b的點積：

換指標(biāo)1.7.5張量的點積

張量T,S（設(shè)為二階）的點積：

矩陣形式：

設(shè)均為二階張量，用基張量表示點積，并證明

（作業(yè)）一般地，任意個二階張量依次點積，結(jié)果仍為二階張量，即張量的雙重點積：

若A為三階張量，B為二階張量，則

結(jié)果為一階張量。

張量的雙重點積：

若S，T均為二階張量，則

結(jié)果為零階張量。

1.7.6張量的叉積

兩個矢量a，b的叉積：

三個矢量a，b，c

的叉積：

已知，則

三個矢量a，b，c

的叉積：

即試驗證（作業(yè)）：

三個矢量的混合積：即幾何意義：以為邊的棱柱體積，有向。換指標(biāo)兩個任意張量的叉積：

1.7.7二階張量的跡

矢量a,b

并矢ab

的跡定義為：

任意二階張量T的跡：

T的主對角線之和。

例：在直角坐標(biāo)系下，各向同性牛頓流體的本構(gòu)方程為：

應(yīng)力張量

靜水壓力

粘性系數(shù)

變形速率張量

試寫出它的不變式和跡。

九、張量概念及其基本運算

1、張量概念◆張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具?！魪埩糠治鼍哂懈叨雀爬?、形式簡潔的特點。

◆任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進行的，它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的。

◆分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人們當(dāng)時對客觀事物的認識水平有關(guān)，會影響問題的求解與表述。

◆

所有與坐標(biāo)系選取無關(guān)的量，統(tǒng)稱為物理恒量?！?/p>

在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明的物理量，統(tǒng)稱為標(biāo)量。例如溫度、質(zhì)量、功等?！?/p>

在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向的物理量，稱為矢量。例如速度、加速度等。

◆

絕對標(biāo)量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需三個分量來確定。

◆

若我們以r表示維度，以n表示冪次，則關(guān)于三維空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表示成：◆

現(xiàn)令n為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物理量為張量。

◆

二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間可由坐標(biāo)變換關(guān)系式來解決定義。當(dāng)n=0時，零階張量，M=1，標(biāo)量；當(dāng)n=1時，一階張量，M=3，矢量；、、、當(dāng)取n時，n階張量，M=3n?！?/p>

在張量的討論中，都采用下標(biāo)字母符號，來表示和區(qū)別該張量的所有分量。

◆

不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號稱為自由標(biāo)號。自由標(biāo)號在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標(biāo)號的數(shù)量確定張量的階次?！?/p>

重復(fù)出現(xiàn)，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)符號稱為啞標(biāo)號或假標(biāo)號。啞標(biāo)號在其方程內(nèi)先羅列，再不求和。2.下標(biāo)記號法◆

本教程張量下標(biāo)符號的變程，僅限于三維空間，即變程為3。3.求和約定

關(guān)于啞標(biāo)號應(yīng)理解為取其變程N內(nèi)所有數(shù)值，然后再求和，這就叫做求和約定。例如：★

關(guān)于求和標(biāo)號，即啞標(biāo)有：◆

求和標(biāo)號可任意變換字母表示?！?/p>

求和約定只適用于字母標(biāo)號，不適用于數(shù)字標(biāo)號。

◆

在運算中，括號內(nèi)的求和標(biāo)號應(yīng)在進行其它運算前優(yōu)先求和。例：

★

關(guān)于自由標(biāo)號：

◆在同一方程式中，各張量的自由標(biāo)號相同，即同階且標(biāo)號字母相同?！糇杂蓸?biāo)號的數(shù)量確定了張量的階次?！镪P(guān)于Kroneckerdelta（）符號：

是張量分析中的一個基本符號稱為柯氏符號（或柯羅尼克爾符號），亦稱單位張量。其定義為：

的作用與計算示例如下：4.張量的基本運算

A、張量的加減：

張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣，如：

凡是同階的兩個或幾個張量可以相加(或相減)，并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標(biāo)號相同的諸分量之代數(shù)和。即：其中各分量（元素）為：B、張量的乘積◆

對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。

◆

兩個任意階張量的乘法定義為：第一個張量的每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量，它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。例如：◆

張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配律和結(jié)合律。例如：

C、張量函數(shù)的求導(dǎo)：◆

一個張量是坐標(biāo)函數(shù)，則該張量的每個分量都是坐標(biāo)參數(shù)xi的函數(shù)。

◆

張量導(dǎo)數(shù)就是把張量的每個分量都對坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)。

◆

對張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，采用在張量下標(biāo)符號前