連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二章

第二章張量的基本理論

§2-1張量代數(shù)§2-2張量分析§2-3張量應(yīng)用1.1指標(biāo)記法1.1.1求和約定、啞指標(biāo)§2-1張量代數(shù)顯然，指標(biāo)i,j,k與求和無關(guān)，可用任意字母代替。為簡(jiǎn)化表達(dá)式，引入Einstein求和約定：每逢某個(gè)指標(biāo)在一項(xiàng)中重復(fù)一次，就表示對(duì)該指標(biāo)求和，指標(biāo)取遍正數(shù)1，2，…，n。這樣重復(fù)的指標(biāo)稱為啞標(biāo)。于是是違約的，求和時(shí)要保留求和號(hào)n表示空間的維數(shù)，以后無特別說明，我們總?cè)=3。例題雙重求和簡(jiǎn)寫成展開式（9項(xiàng)）三重求和（27項(xiàng)）1.1.2自由指標(biāo)例如指標(biāo)i在方程的各項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，稱之為自由指標(biāo)。一個(gè)自由指標(biāo)每次可取整數(shù)1,3,…,n，與啞標(biāo)一樣，無特別說明總?cè)=3。于是，上式表示3個(gè)方程的縮寫：i為自由指標(biāo)，j為啞標(biāo)表示i為自由指標(biāo)，j為啞標(biāo)表示i，j為自由指標(biāo)，k為啞標(biāo)表示9個(gè)方程：……例外：出現(xiàn)雙重指標(biāo)但不求和時(shí)，在指標(biāo)下方加劃線以示區(qū)別，或用文字說明（如i不求和）。規(guī)定：這里i相當(dāng)于一個(gè)自由指標(biāo)，而i只是在數(shù)值上等于i，并不與i

求和。又如，方程用指標(biāo)法表示，可寫成i

不參與求和，只在數(shù)值上等于i1.2Kronecker

符號(hào)在卡氏直角坐標(biāo)系下，Kronecker

符號(hào)定義為：其中i，j為自由指標(biāo)，取遍1，2，3；因此，可確定一單位矩陣：若是相互垂直的單位矢量，則，但而，故注意：是一個(gè)數(shù)值，即的作用：1）換指標(biāo)；2）選擇求和。例1：思路：把要被替換的指標(biāo)i變成啞標(biāo)，啞標(biāo)能用任意字母，因此可用變換后的字母k表示例2：例3：個(gè)數(shù)，項(xiàng)的和。求特別地，1.3置換符號(hào)i,j,k,為1，2，3的偶排列(順序輪換)i,j,k,為1，2，3的奇排列(反序輪換)i,j,k,不是1，2，3的排列(兩個(gè)以上角標(biāo)同)例如：可見：也稱為三維空間的排列符號(hào)。若是右手卡氏直角坐標(biāo)系的單位基矢量則常見的恒等式(i)(ii)(iii)(iv)證明：令即得（i），將（i）作相應(yīng)的指標(biāo)替換，展開化簡(jiǎn)，將得其余三式。指標(biāo)任意排列，經(jīng)過行列調(diào)整總可用右邊表示，兩個(gè)置換符號(hào)分別反映行、列調(diào)換及指標(biāo)重復(fù)時(shí)的正、負(fù)及零二維置換符號(hào)其中從三維退化得到有下列恒等式關(guān)鍵公式：二維關(guān)鍵公式：1.4指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.1代入設(shè)(1)(2)把（2）代入（1）mnorelse3個(gè)方程，右邊為9項(xiàng)之和1.4指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.2乘積設(shè)則不符合求和約定1.4指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.3因式分解考慮第一步用表示有換指標(biāo)的作用所以即1.4指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.4縮并使兩個(gè)指標(biāo)相等并對(duì)它們求和的運(yùn)算稱為縮并。如各向同性材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系縮并啞標(biāo)與求和無關(guān)，可用任意字母代替為平均應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系1.4指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.5例題——熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換求和約定同樣適用于微分方程。不可壓縮牛頓流體的連續(xù)性方程：其普通記法或1.4指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.5例題——熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換不可壓縮牛頓流體的Navier-Stokes方程：寫出其普通記法1.4指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.5例題——熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換彈性力學(xué)平衡方程方程：寫出其指標(biāo)記法1.5張量的定義1.5.1坐標(biāo)系的變換關(guān)系（卡氏右手直角坐標(biāo)系）舊坐標(biāo)系：新舊基矢量夾角的方向余弦：?jiǎn)挝换噶浚盒伦鴺?biāo)系：?jiǎn)挝换噶浚?.5.1坐標(biāo)系的變換關(guān)系舊新圖解（二維）：在解析式中記：1.5.1坐標(biāo)系的變換關(guān)系從坐標(biāo)變換的角度研究標(biāo)量、矢量和張量（對(duì)i求和，i’為自由指標(biāo)）1.5.2標(biāo)量（純量Scalar）在坐標(biāo)變換時(shí)其值保持不變，即滿足如數(shù)學(xué)中的純數(shù)，物理中的質(zhì)量、密度、溫度等。時(shí)間是否標(biāo)量？1.5.3矢量（Vector）設(shè)a為任意矢量，其在新、舊坐標(biāo)系下的分量分別為即（對(duì)i’求和）（對(duì)i求和）滿足以下變換關(guān)系的三個(gè)量定義一個(gè)矢量1.5.3矢量（Vector）啞標(biāo)換成k

比較上式兩邊，得即該變換是正交的1.5.4張量（Tensor）對(duì)于直角坐標(biāo)系，有九個(gè)量按照關(guān)系變換成中的九個(gè)量則此九個(gè)量定義一個(gè)二階張量。將矢量定義加以推廣：（增加指標(biāo)和相應(yīng)的變換系數(shù)）張量的性質(zhì)張量的定義—張量是與坐標(biāo)系有聯(lián)系的一組量，并滿足一定的坐標(biāo)變換規(guī)律。張量的性質(zhì)—任何兩個(gè)張量相乘所得到的新張量的階數(shù)等于原張量階數(shù)之和；—兩個(gè)張量間的比例系數(shù)一般是一個(gè)張量，其階數(shù)等于原張量階數(shù)之和；—張量的變換規(guī)律與坐標(biāo)乘積的變換規(guī)律相同；—變換矩陣與二階張量的區(qū)別1.6張量的分量

設(shè)ei為卡氏直角坐標(biāo)系xi軸的單位基矢量，a為任一矢量，其分量為ai，于是

對(duì)于一個(gè)二階張量T，它可以將a變換成另一個(gè)矢量b，即

稱為二階張量T的分量

令可理解為矢量T·ej在ei上的分量，即

因此，有下面三種等價(jià)的表達(dá)式：

其中稱為在基矢量組{e1,e2,e3}下二階張量T的矩陣。注意：矢量a、b及張量T本身與坐標(biāo)系無關(guān)，但其分量ai,bi,Tij

通過基矢量組{e1,e2,e3}與坐標(biāo)系相關(guān)。

1.7.1張量的加法和減法

設(shè)T、S均為二階張量，將它們的和、差用下式表示：

仍為二階張量。若a為一矢量，則

其分量為：

其矩陣形式為：

1.7.2張量和標(biāo)量的乘積

設(shè)T為二階張量，為一標(biāo)量，它們的乘積記為，則

仍為二階張量。因?yàn)楦鶕?jù)坐標(biāo)變換，有

可見，為二階張量。

1.7.3并矢積、并矢記法、基張量

矢量a和矢量b的并矢積ab

定義為按下列規(guī)則變換任意矢量的變換：

二階張量

一階

零階

關(guān)于是二階張量的證明：

即證明滿足張量的定義：——是一個(gè)線性變換。

設(shè)有任意矢量，及標(biāo)量，則由并矢積定義

可見：滿足張量的定義。

關(guān)于基矢量組的分量：

有些文獻(xiàn)把寫成

矩陣形式：

基矢量的并矢積：

…于是，二階張量可以表示成：即這種并矢記法可以推廣到任意階張量，例如三階張量：

一階基張量二階基張量n階基張量

可用上述并矢記法表示基張量：一階張量

二階張量

n階張量

于是，有等號(hào)右邊稱為廣義標(biāo)量記法。

到此為止，我們已有四種張量記法：不變性（符號(hào)，抽象）記法分量（指標(biāo)）記法

并矢記法

廣義標(biāo)量記法

1.7.4張量的并積

設(shè)分別為m和n階張量，它們的并積為，則

可見，其結(jié)果張量是m+n階的。

1.7.5張量的點(diǎn)積

矢量a,b的點(diǎn)積：

換指標(biāo)1.7.5張量的點(diǎn)積

張量T,S（設(shè)為二階）的點(diǎn)積：

矩陣形式：

設(shè)均為二階張量，用基張量表示點(diǎn)積，并證明

（作業(yè)）一般地，任意個(gè)二階張量依次點(diǎn)積，結(jié)果仍為二階張量，即張量的雙重點(diǎn)積：

若A為三階張量，B為二階張量，則

結(jié)果為一階張量。

張量的雙重點(diǎn)積：

若S，T均為二階張量，則

結(jié)果為零階張量。

1.7.6張量的叉積

兩個(gè)矢量a，b的叉積：

三個(gè)矢量a，b，c

的叉積：

已知，則

三個(gè)矢量a，b，c

的叉積：

即試驗(yàn)證（作業(yè)）：

三個(gè)矢量的混合積：即幾何意義：以為邊的棱柱體積，有向。換指標(biāo)兩個(gè)任意張量的叉積：

1.7.7二階張量的跡

矢量a,b

并矢ab

的跡定義為：

任意二階張量T的跡：

T的主對(duì)角線之和。

例：在直角坐標(biāo)系下，各向同性牛頓流體的本構(gòu)方程為：

應(yīng)力張量

靜水壓力

粘性系數(shù)

變形速率張量

試寫出它的不變式和跡。

九、張量概念及其基本運(yùn)算

1、張量概念◆張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具。◆張量分析具有高度概括、形式簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)。

◆任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進(jìn)行的，它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的。

◆分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人們當(dāng)時(shí)對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)水平有關(guān)，會(huì)影響問題的求解與表述。

◆

所有與坐標(biāo)系選取無關(guān)的量，統(tǒng)稱為物理恒量。◆

在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明的物理量，統(tǒng)稱為標(biāo)量。例如溫度、質(zhì)量、功等?！?/p>

在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向的物理量，稱為矢量。例如速度、加速度等。

◆

絕對(duì)標(biāo)量只需一個(gè)量就可確定，而絕對(duì)矢量則需三個(gè)分量來確定。

◆

若我們以r表示維度，以n表示冪次，則關(guān)于三維空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表示成：◆

現(xiàn)令n為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物理量為張量。

◆

二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間可由坐標(biāo)變換關(guān)系式來解決定義。當(dāng)n=0時(shí)，零階張量，M=1，標(biāo)量；當(dāng)n=1時(shí)，一階張量，M=3，矢量；、、、當(dāng)取n時(shí)，n階張量，M=3n?！?/p>

在張量的討論中，都采用下標(biāo)字母符號(hào)，來表示和區(qū)別該張量的所有分量。

◆

不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào)稱為自由標(biāo)號(hào)。自由標(biāo)號(hào)在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標(biāo)號(hào)的數(shù)量確定張量的階次?！?/p>

重復(fù)出現(xiàn)，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)符號(hào)稱為啞標(biāo)號(hào)或假標(biāo)號(hào)。啞標(biāo)號(hào)在其方程內(nèi)先羅列，再不求和。2.下標(biāo)記號(hào)法◆

本教程張量下標(biāo)符號(hào)的變程，僅限于三維空間，即變程為3。3.求和約定

關(guān)于啞標(biāo)號(hào)應(yīng)理解為取其變程N(yùn)內(nèi)所有數(shù)值，然后再求和，這就叫做求和約定。例如：★

關(guān)于求和標(biāo)號(hào)，即啞標(biāo)有：◆

求和標(biāo)號(hào)可任意變換字母表示?！?/p>

求和約定只適用于字母標(biāo)號(hào)，不適用于數(shù)字標(biāo)號(hào)。

◆

在運(yùn)算中，括號(hào)內(nèi)的求和標(biāo)號(hào)應(yīng)在進(jìn)行其它運(yùn)算前優(yōu)先求和。例：

★

關(guān)于自由標(biāo)號(hào)：

◆在同一方程式中，各張量的自由標(biāo)號(hào)相同，即同階且標(biāo)號(hào)字母相同?！糇杂蓸?biāo)號(hào)的數(shù)量確定了張量的階次?！镪P(guān)于Kroneckerdelta（）符號(hào)：

是張量分析中的一個(gè)基本符號(hào)稱為柯氏符號(hào)（或柯羅尼克爾符號(hào)），亦稱單位張量。其定義為：

的作用與計(jì)算示例如下：4.張量的基本運(yùn)算

A、張量的加減：

張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣，如：

凡是同階的兩個(gè)或幾個(gè)張量可以相加(或相減)，并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標(biāo)號(hào)相同的諸分量之代數(shù)和。即：其中各分量（元素）為：B、張量的乘積◆

對(duì)于任何階的諸張量都可進(jìn)行乘法運(yùn)算。

◆

兩個(gè)任意階張量的乘法定義為：第一個(gè)張量的每一個(gè)分量乘以第二個(gè)張量中的每一個(gè)分量，它們所組成的集合仍然是一個(gè)張量，稱為第一個(gè)張量乘以第二個(gè)張量的乘積，即積張量。積張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。例如：◆

張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配律和結(jié)合律。例如：

C、張量函數(shù)的求導(dǎo)：◆

一個(gè)張量是坐標(biāo)函數(shù)，則該張量的每個(gè)分量都是坐標(biāo)參數(shù)xi的函數(shù)。

◆

張量導(dǎo)數(shù)就是把張量的每個(gè)分量都對(duì)坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)。

◆

對(duì)張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，采用在張量下標(biāo)符號(hào)前