連續(xù)介質(zhì)力學(xué)之張量分析

yxz第八章空間問題的基本理論§7-1平衡微分方程應(yīng)力分量：{}={x;y;z;xy;xz;yz}體力分量：{f}={fx;fy,fz}在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，取PA=dx，PB=dy，PC=dz，割取一平行六面體，研究應(yīng)力逐點(diǎn)變化的規(guī)律。txytxztyxtzxtyztzysxsyszxyz0ZXY根椐平衡條件：可得類似表達(dá)式，整理并兩邊除以，注意到剪應(yīng)力互等關(guān)系，得：（8-1）張量表示：由對(duì)三根軸的合力矩分別為零，可證明剪應(yīng)力互等。（8-1）為空間問題的平衡方程。獨(dú)力未知函數(shù)為6個(gè)，平衡方程數(shù)目為3個(gè)，問題是超靜定的。須考慮幾何、物理方面關(guān)系。

平衡方程的矩陣形式是：Lσ+F=0其中L是微分算子：§8-2幾何及物理方程一、幾何方程yxzxzPdxdydz

ydyy方向線段的伸長(zhǎng)：yP

yzyz面內(nèi)的線段轉(zhuǎn)動(dòng)：zyx微分單元體的變形xzy平面問題中，通過研究度oxy平面內(nèi)平行于x軸、y軸的線元dx和dy的變形得到幾何方程一、幾何方程幾何變形圖uvxyoPoBoAoPABabPoAo=dx，y向微分線段PoBo=dy,且PoAo

AoBo位移分量是點(diǎn)的位置坐標(biāo)的函數(shù);因此,線段兩端的位移相差一個(gè)微量。二.線應(yīng)變?nèi)?剪應(yīng)變abuvxyoPoBoAoPAB兩正交微分線段的角位移u點(diǎn)x位移y位移若用同樣的方法分析oyz、ozx兩平面內(nèi)相應(yīng)線元的變形，可得類似的方程。在小變形情況下，在推導(dǎo)過程中，忽略第一次變形在以后形過程中的影響?？傻孟率剑哼@樣，空間一點(diǎn)的變形可用該點(diǎn)x、y、z方向上的正應(yīng)變和xy、yz、zx方向構(gòu)成的直角的變化－---剪應(yīng)變來描述。（8-9)張量形式為應(yīng)變分量(工程應(yīng)變）不是張量，不服從張量坐標(biāo)變換式，等乘上1/2以后才形成一個(gè)張量將空間的應(yīng)變分量共九個(gè)分量，是一個(gè)對(duì)稱張量，和應(yīng)力張量一樣，它們遵從坐標(biāo)變換規(guī)則，同樣存在著三個(gè)互相垂直的主方向，對(duì)應(yīng)的主應(yīng)變值是該張量的特征值。這些互相垂直的主方向構(gòu)成的直角在該應(yīng)變張量的變形時(shí)，角度不變，由主平面組成的單元體，由正方體變?yōu)橹苯情L(zhǎng)方體。在主方向構(gòu)成的坐標(biāo)系中，張量分量構(gòu)成對(duì)角陣，切應(yīng)變分量為零。應(yīng)變列陣：幾何方程：（8-10)如用矩陣表示：二、變形相容方程（協(xié)調(diào)方程）空間中，不同平面間應(yīng)變分量的關(guān)系。即變形連續(xù)性條件。其中左邊三個(gè)形式上是類似的，第一個(gè)為平面問題的連續(xù)性方程。（推導(dǎo)見§2-8）右邊三式可按第一式由x

y

z

x輪換字母獲得。三、物理方程：(廣義虎克定律）（7-12）若：則：物理方程用矩陣表示：（7-12A）式中：用應(yīng)變表示應(yīng)力：方程用矩陣表示：式中[D]為彈性矩陣表示為：注意：[D]=[C]-1四、體積應(yīng)變：各向同性材料的體積應(yīng)變

1

2

3a1a2a3構(gòu)件每單位體積的體積變化,稱為體積應(yīng)變用θ表示.各向同性材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變?nèi)鐖D所示的單元體，三個(gè)邊長(zhǎng)為a1,a2,a3變形后的邊長(zhǎng)分別為變形后單元體的體積為a1(1+

，a2(1+

2

，a3(1+

3

V1=a1(1+

·

a2(1+

2

·

a3(1+

3

體積應(yīng)變?yōu)轶w積應(yīng)變：由令：σx+σy+σz=Θ體積應(yīng)力體積應(yīng)變(7-13)物理方程的另一形式：由：解出：將（7-13）代入后：(7-13)同理有其他：空間問題：基本未知函數(shù)15個(gè)：應(yīng)力分量（6個(gè)）：位移分量（3個(gè)）：應(yīng)變分量（6個(gè)）：基本方程15個(gè)：平衡微分方程3個(gè)（7-1）；幾何方程6個(gè)（7-8）；物理方程6個(gè)（7-12）。加上邊界條件可解空間問題。（7-14）§8-3物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、任一平面上的應(yīng)力：nxyzP設(shè)任一點(diǎn)P的6個(gè)應(yīng)力分量已知求：經(jīng)過P點(diǎn)的任一斜截面的應(yīng)力設(shè)平面為ABC,外法線為n，其方向余弦為：ABCxyzCABn設(shè)三角形ABC面積為：P則：若：ABC面上的總應(yīng)力為Sn其在坐標(biāo)軸上的投影為：Sn由四面體PABC的平衡（8-2）其張量形式為Pi

=σij

lj其矩陣形式為求ABC面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力：將px

,py,

pz向n軸投影：將（8-2）代入，可得其正應(yīng)力公式：（8-3）其剪應(yīng)力：（8-4）xyzCABnPSn任意斜切微分面上的應(yīng)力二、彈性體的應(yīng)力邊界條件：邊界條件vvssABC在外力作用下，我們從物體從中取出的單元體位于邊界處，則單元體內(nèi)部應(yīng)力形成的內(nèi)力和邊界上的外力平衡。如果邊界面正好和坐標(biāo)平面平行，則立即可得到應(yīng)力應(yīng)滿足的條件。sABC

在邊界A這部分可視外力(面力）分量為應(yīng)力分量，直接得到應(yīng)力邊界條件：σx=px

τyx=py設(shè)邊界上一點(diǎn)處A的外力(面力）沿軸向的分量為px,py

（沿正向?yàn)檎?。如果邊界面和坐?biāo)平面斜交，則應(yīng)根據(jù)形成的四面體的平衡條件得到應(yīng)力應(yīng)滿足的條件。當(dāng)面ABC為物體的邊界面時(shí)，則其應(yīng)力分量sABCABCn設(shè)斜面ABC為邊界面，其外法線n的方向?yàn)?l,m,n)成為面力分量由：其中：（8-5）例：已知受力物體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量：σx=0、σy=2a、σz=a、τxy=a、τyz=0、τzx=2a。試求作用在過此點(diǎn)的平面x+3y+z=1上的沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量，及該平面上的正應(yīng)力、剪應(yīng)力。解：1）求平面x+3y+z=1的法線方向余弦由：2）求應(yīng)力分量在坐標(biāo)軸上的投影由：（8-2）3）求該平面上的正應(yīng)力、剪應(yīng)力：由：（3-3）或：注：平面上總應(yīng)力§7-3主應(yīng)力、最大與最小的應(yīng)力在計(jì)算任一平面上的應(yīng)力時(shí)，方向余弦l,m,n可變化，但均為有限值，故必存在某個(gè)平面，其上正應(yīng)力取得極值。一、主平面、主應(yīng)力、主方向主平面：正應(yīng)力取得極值的平面。主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。主方向：主應(yīng)力的方向，也稱應(yīng)力主向。在主平面上，正應(yīng)力取極值、剪應(yīng)力為零。二、主應(yīng)力的確定：xyzCABn設(shè)主平面存在，其外法線為n，方向余弦：l,m,n則：其上應(yīng)力：在x,y.z軸上的投影為：代入（8-2）主平面上的應(yīng)力

(a)又有：方向余弦的關(guān)系：故l,m,n不同時(shí)為零，（a)有非零解的條件：展開后：即：(b)其中：I1、I2、I3分別稱為應(yīng)力分量的第一、第二、第三不變量。求解（b）式：由代數(shù)方程理論：設(shè)方程有實(shí)根，為σ1、σ2、σ3則方程可寫為：（c）展開：(b)與（b）比較后：用主應(yīng)力表示的應(yīng)力不變量三、主應(yīng)力的極值性：取主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，設(shè)

1

2

3，任一外法線為n、方向余弦為l,m,n的斜面上得正應(yīng)力：（8-3）由：由于1

2

3故

1

n

1為最大正應(yīng)力同理：可證明：

n

3

3為最小正應(yīng)力四、三個(gè)主應(yīng)力方向互相垂直：設(shè)：

1

2

3應(yīng)滿足（1）（3）（2）（1）中分別乘以（2）中分別乘以相加同理：若：三個(gè)主方向互相垂直最大剪應(yīng)力：研究主單元體：xyzCABn任意外法線為l、m、n的斜截面ABC上的應(yīng)力分量：Sn且又有：由：代入消去n即求導(dǎo)：再注意到：聯(lián)立求解：得到六組解答000000000000表示主平面上剪應(yīng)力為零依次為通過第一、第二、第三主方向軸，而平分其余兩個(gè)主方向軸的三個(gè)平面上的剪應(yīng)力之平方最大剪應(yīng)力為：213最大剪應(yīng)力為：0

1

2

2

max

3在、平面內(nèi)與和成角

莫爾圓

max

1

2

3

min

1

2

2

max

3

max

1

2

3

min

2

3

23

3

1

2

2

13

3

3

2

1

12

1

1§8-4空間軸對(duì)稱問題

在空間問題中，若彈性體的幾何形狀、約束情況以及所受的外來因素，都對(duì)稱于某一軸（通過這個(gè)軸的任一平面都是對(duì)稱面），則所有的應(yīng)力、形變和位移也對(duì)稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對(duì)稱問題。

根據(jù)軸對(duì)稱的特點(diǎn)，應(yīng)采用圓柱坐標(biāo)表示。若取對(duì)稱軸為z軸，則軸對(duì)稱問題的應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都將只是

和z的函數(shù)，而與坐標(biāo)無關(guān)。

軸對(duì)稱問題的彈性體的形狀一般為圓柱體或半空間體。ρ軸對(duì)稱問題半空間體xzyP例如：受軸對(duì)稱荷載的厚壁筒、回轉(zhuǎn)圓盤、無限體或半無限體受集中力等柱坐標(biāo)：描述空間軸對(duì)稱問題的應(yīng)力、形變、位移宜用柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)系

xyz0P與直角坐標(biāo)的關(guān)系：zφρdρdφ用相距的兩個(gè)圓柱面，互成的兩個(gè)鉛垂面及相距的兩個(gè)水平面，從彈性體內(nèi)取一個(gè)微小六面體沿ρ方向的正應(yīng)力徑向正應(yīng)力,環(huán)向正應(yīng)力,沿

方向的正應(yīng)力軸向正應(yīng)力,沿z方向的正應(yīng)力作用在圓柱面上而沿z方向作用的剪應(yīng)力作用在水平面上而沿ρ方向作用的剪應(yīng)力

從軸對(duì)稱物體中取出圖示的單元體一、軸對(duì)稱問題的應(yīng)力分量與體力分量的表示由于對(duì)稱性，φρdρdφ并且環(huán)向體力分量為零φdφρρφφρdρ應(yīng)變分量：徑向正應(yīng)變環(huán)向正應(yīng)變軸向正應(yīng)變剪應(yīng)變：位移分量：徑向位移環(huán)向位移軸向位移基本未知量：共10個(gè)二、軸對(duì)稱問題的平衡微分方程:取圖示微元體。由于軸對(duì)稱，在微元體的兩個(gè)圓柱面上，只有正應(yīng)力和軸向剪應(yīng)力；在兩個(gè)水平面上只有正應(yīng)力和徑向剪應(yīng)力；在兩個(gè)垂直面上只有環(huán)向正應(yīng)力，如圖示。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，微元體的正面相對(duì)負(fù)面其應(yīng)力分量都有微小增量。注意：此時(shí)環(huán)向正應(yīng)力的增量為零。0yzx0xyzρφφdφρρφφρdρφdφρρφφρdρ根據(jù)ρ方向的平衡利用可得:經(jīng)約簡(jiǎn)并略去高階微量，得：根據(jù)z方向的平衡，可得:0yzx化簡(jiǎn)后得到:這樣，空間軸對(duì)稱問題的平衡方程為:三、幾何方程通過與平面問題及極坐標(biāo)中同樣的分析，可見，由徑向位移引起的形變分量為：由于對(duì)稱，各點(diǎn)環(huán)向位移為零，由徑向位移產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)橛奢S向位移w產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)榈拥玫綆缀畏匠趟奈锢矸匠逃捎趫A柱坐標(biāo)，是和直角坐標(biāo)一樣的正交坐標(biāo)，所以可直接根據(jù)虎克定律得物理方程：應(yīng)力分量用形變分量表示的物理方程：其中：在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況以及所受的外來因素，都對(duì)稱于某一點(diǎn)（通過這一點(diǎn)的任意平面都是對(duì)稱面），則所有的應(yīng)力、形變和位移也對(duì)稱于這一點(diǎn)。這種問題稱為空間球?qū)ΨQ問題。根據(jù)球?qū)ΨQ的特點(diǎn)，應(yīng)采用球坐標(biāo)表示。若以彈性體的對(duì)稱點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則球?qū)ΨQ問題的應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都將只是徑向坐標(biāo)r的函數(shù)，而與其余兩個(gè)坐標(biāo)無關(guān)。顯然，球?qū)ΨQ問題只可能發(fā)生于空心或?qū)嵭牡膱A球體中?！?-4空間球?qū)ΨQ問題22一平衡微分方程取微元體。用相距的兩個(gè)圓球面和兩兩互成角的兩對(duì)徑向平面，從彈性體割取一個(gè)微小六面體。由于球?qū)ΨQ，各面上只有正應(yīng)力，其應(yīng)力情況如圖所示。由于對(duì)稱性，微元體只有徑向體積力。由徑向平衡，并考慮到，再略去高階微量，即得球?qū)ΨQ問題的平衡微分方程：二幾何方程由于對(duì)稱，只可能發(fā)生徑向位移；又由于對(duì)稱，只可能發(fā)生徑向正應(yīng)變及切向正應(yīng)變，不可能發(fā)生坐標(biāo)方向的剪應(yīng)變。球?qū)ΨQ問題的幾何方程為：三物理方程球?qū)ΨQ問題的物理方程可直接根據(jù)虎克定律得來：將應(yīng)力用應(yīng)變表示為：五軸對(duì)稱問題的求解將幾何方程代入應(yīng)力分量用位移分量表示的物理方程，得彈性方程：注：將應(yīng)力分量代入平衡方程，得到位移形式的平衡方程，這就是軸對(duì)稱問題的基本方程：在體力為零時(shí)，簡(jiǎn)化為其中體力不計(jì)時(shí)，按位移求解空間軸對(duì)稱問題的基本微分方程。位移法求解軸對(duì)稱問題：就是尋求滿足上述方程組，并且根據(jù)它們求出滿足位移和應(yīng)力邊界條件的位移分量上述方程組的直接求解比平面問題更為困難，通常采用的是位移函數(shù)法。其方法和應(yīng)力函數(shù)法類似，先假設(shè)某種形式的位移函數(shù)，代入上述方程組，得到他們應(yīng)滿足的條件。如假設(shè)代入基本微分方程，得也就是說位移函數(shù)ζ應(yīng)為重調(diào)和函數(shù)。四位移法求解的基本微分方程將幾何方程代入物理方程，得彈性方程再代入平衡微分方程，得這就是按位移求解球?qū)ΨQ問題時(shí)所需要用的基本微分方程。

例題：設(shè)有半空間體，其比重為p，在水平邊界面上受均布?jí)毫的作用，試用位移法求位移分量和應(yīng)力分量。并假設(shè)在z=h處w=0。提示:位移法求解空間問題的方程為：1、由于任意鉛直平面都是對(duì)稱面，假設(shè)zRzxyq提示:（續(xù)）2、

將(2)代入，可見中的前二式自然滿足，而第三式成為化簡(jiǎn)后，積分以后得：上式中的A，B是任意常數(shù)，根據(jù)邊界條件決定。即提示:（續(xù)）3、將(5)代入彈性方程(6)得：在本問題的邊界上:Rzxyq應(yīng)力邊界條件為:前二式自然滿足，而第三式要求:提示:（續(xù)）4、由應(yīng)力邊界條件確定A提示:（續(xù)）得:5、決定常數(shù)B，利用給定的位移條件:得鉛直位移:Rzxyqh6、分析：1）本問題的工程背景是地面受大面積堆載作用下的應(yīng)力和位移分析。由：可得側(cè)壓力系數(shù)：2）本題也可按軸對(duì)稱問題計(jì)算：取求得：六位移勢(shì)函數(shù)為簡(jiǎn)單起見，不計(jì)體力現(xiàn)假設(shè)位移是有勢(shì)的，也就是說，位移分量可以用位移勢(shì)函數(shù)表示為這時(shí)有代入不計(jì)體力的基本微分方程，得即取，則。即為調(diào)和函數(shù)由位移勢(shì)函數(shù)求應(yīng)力分量的表達(dá)式為：這樣，對(duì)于一個(gè)軸對(duì)稱問題，如果找到適當(dāng)?shù)恼{(diào)和函數(shù)，使得由此給出的位移分量和應(yīng)力分量能夠滿足邊界條件，就得到該問題的正確解答。注：并不是所有問題中的位移函數(shù)都是有勢(shì)的。若位移勢(shì)函數(shù)有勢(shì)，則體積應(yīng)變。七拉甫位移函數(shù)為求解軸對(duì)稱問題，拉甫引用一個(gè)位移函數(shù)：令其中將上式代入不計(jì)體力位移分量基本微分方程，可見：即是重調(diào)和函數(shù)，稱為拉甫位移函數(shù)。由拉甫位移函數(shù)求應(yīng)力分量的表達(dá)式為：可見，對(duì)于一個(gè)軸對(duì)稱問題，只須找到恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和的拉甫位移函數(shù)，使得該位移函數(shù)給出的位移分量和應(yīng)力分量能夠滿足邊界條件，就得到該問題的正確解答。八、例題：半空間體在邊界上受法向集中力

設(shè)有半空