第15講 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題(基礎(chǔ)訓練)(解析版)-2022年新高考數(shù)學一輪基礎(chǔ)考點專題訓練

第15講利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題

【基礎(chǔ)訓練】

一、單選題

1.函數(shù)磷=管‘*/一^在區(qū)間(01)內(nèi)的零點個數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

/(幻=2一2+3d,在(0』)上:。)>0恒成立，所以,翼礴在蒯恥單調(diào)遞增，

???/(0)=-1(0,/(1)=1)0,故函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)1個.

【考點定位】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點的判斷，考查學生的分析判斷能力

2.已知函數(shù)“X)的導函數(shù)/(力=/(刀—1)3(X—2)2(X—3),則下列結(jié)論正確的是

A./(X)在x=0處有極大值B./(x)在％=2處有極小值

C.在［1,3］上單調(diào)遞減D.7(另至少有3個零點

【答案】C

【分析】

通過導函數(shù)判斷出函數(shù)/(力的單調(diào)性，然后逐一判斷選項即可.

【詳解】

解：由函數(shù)/(力的導函數(shù)7(x)=L(x—i)3(x—2)2(%—3)可知，

當X€(YO,1)和(3,+8)時，/r(x)>o,“X)單調(diào)遞增區(qū)間為(YQ』)和(3,+8),

當xw［l,3］時,r(x)<0,單調(diào)遞減區(qū)間為［1,3］,

故AB錯誤，C正確，

又了⑴，"3)的符號無法確定，

故無法確定/(力的零點個數(shù)，故D錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，是基礎(chǔ)題.

3.已知函數(shù)人內(nèi)）的定義域為卜1,5］,部分對應(yīng)值如下表:

則下列關(guān)于函數(shù)/。）的命題：

①函數(shù)y=/0）是周期函數(shù)：

②函數(shù)/（x）在［0,2］是減函數(shù)；

③如果當工￡［一10時，/（X）的最大值是2,那么，的最大值為4：

④當1<〃<2時，函數(shù)y=/（x）-。有4個零點.

其中真命題的個數(shù)是

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】D

【詳解】

①顯然錯誤；③容易造成錯覺，1?皿=5；④錯誤，f（2）的不確定影響了正確性；②正確，可由r（x）<0得至IJ.

4.已知函數(shù)/（力=加+工+1的圖象與笨軸有三個交點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

444

A.a,>---B.----<<0C.—1<4/<0D.a<----

272727

【答案】B

【分析】

求得函數(shù)的導數(shù)/'（力=3加+1,分?！昂汀?lt;0兩種情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性與極值，列出不等式,

即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/（%）一以3十%十1,可得/'（%）—3小+1,

當々NO時，/'（%）＞0,/"）在R上單調(diào)遞增，只有一個交點，不符合題意;

當時'/'（幻=3〃1一昌）卜+總），

當工￡（一8,-J-'-）時，/（%）＜0,/（X）單調(diào)遞減；

V3〃

當xw（—J—時，/'（力＞0,/（%）單調(diào)遞增；

V3aV3a

當“（L-L,+oo）時.，（6＜0,/（》）單調(diào)遞減,

V3a

要使得函數(shù)/（力的圖象與x軸有三個交點,

4

則滿足“力極小值=/解得----<av0,

27

且卜I?鳥+i＞。恒成立?

44

所以-二＜。＜0,即實數(shù)°的取值范圍是（一二,0）.

2727

故選：B.

5.下列命題為真命題的是（）

A.函數(shù)-X-1（X￡R）有兩個零點B.“切￡氏，e"＞%”的否定是“％,￡心

C.若"b＜。,則D.尋函數(shù)y=（小2—I）/"?吁3在不￡（0收）上是減函

數(shù)，則實數(shù)加二—1

【答案】A

【分析】

對于A,用導數(shù)法判斷；對于B,由含有一個量詞的命題的命題的否定的定義判斷；對于C,作差比較；對

于D,根據(jù)寤函數(shù)的定義和在%￡（0,上是減函數(shù)求解判斷.

【詳解】

對于A,函數(shù)/（x）=0ir-4（xwR）,（力e",當/（力>0得/>1,當/'（力<0得xvl,

所以/（%）在X>1是單調(diào)遞增函數(shù)，在XV1是單調(diào)遞減函數(shù)，所以/（可在X=1時有最小值，即

/（l）=e°-l-l=-l<0,/（4）=e3-4-l=e3-5>0,/（-2）=e-3+2-l=^3+l>0,所以/（x）

有兩個零點，正確；

對于B,“加￡/?,e">與”的否定是必:eR,/Vx，錯誤;

對于C,---=---,因為av/?v0,所以b-4>0,帥>0,所以,一J>0,—>—,錯誤;

abababab

2?-

對于D,由已知得<：2一竇一<0,無解，塞函數(shù)y=（機2一加一1）/'"1在"￡（°，+8）上是減函數(shù)，

則實數(shù)帆二一1,錯誤.

故選：A

13x-4,x>2

6.已知函數(shù)f（x）=ln（eZ+l）-萬元十萬一lnd+i）.若g（%）二.，/、°的零點恰有2個，則4的取

[f（x\x<A

值范圍是（）

A.（1,3]11（4收）B.（l,2]U[4,+oo）

C.（-l,31U（4,-w）D.（-l,l]U（4,+oo）

【答案】C

【分析】

利用導數(shù)法，在同一坐標系中作出函數(shù)y=/（x）,y=x—4的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【詳解】

xlv-1x-1xl

e-12e-e-1e~-1

由題可知“X）的定義域為R-ra）=RT5=2（4+1）=2（-+l）'

當x>i時，r（x）>o,/（可在（L+8）上單調(diào)遞增：當工<1時，r（x）<o,“力在（F,I）上單調(diào)遞

減.

令f（》）=o,可得x=3或T.

在同一坐標系中作出函數(shù)丁=/（工）,￥二4-4的圖象,

因為函數(shù)g(x)恰有2個零點，

結(jié)合圖象可知一1V/IK3或幾>4.

故選：C

7.已知函數(shù)/*)=。卜2-2x)+，有且僅有兩個零點，則實數(shù)。=()

X

A32「32「27>27

A.—B.---C.—D.---

27273232

【答案】C

【分析】

/X11

將函數(shù)/(》)=〃(一-2"+一有且僅有兩個零點，轉(zhuǎn)化為。二一一(2_)、由兩個不同的根,在同一坐標

系中作出y=見y=g(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【詳解】

令/(.r)=。(/-2x)十：=0,則。=%夕⑶由兩個不同的根，

令g(“[(，2x)，則g'G)=

xJ(x-2)2'

當x<0時，g'(x)>0,當Ovxv士時，g'(x)vO,

4

當5cx<2或x>2時，g'(x)>0,

477

當工=§時,g(x)=5I'

在同一坐標系中作出y=a,y=g(x)的圖象，如圖所示：

故選：A

8,下列說法中正確的是（）

A.命題“p且g”為真命題，則p、g恰有一個為真命題

B.命題f+iNO”，貝廣f+ivo”

C.命題“函數(shù)/（x）=x—sinx（x￡R）有三個不同的零點”的逆否命題是真命題

D.設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，則“4>（）”是“S3>S2”的充分必要條件

【答案】D

【分析】

A根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性進行判斷，B根據(jù)全稱量詞命題的否定來判斷，C利用導數(shù)來判斷，D利

用等比數(shù)列的有關(guān)運算來判斷.

【詳解】

A選項，“p且g”為真命題，則P，4都是真命題，所以A選項錯誤.

B選項，〃是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以B選項錯誤.

C選項，/（0）=0,/（X）=1-COSX>0,/（可為單調(diào)遞增函數(shù)，只有1個零點，所以原命題是假命題，

其逆否命題也是假命題.

D選項，S3>S2。q+“2+生>4+/=%>0。>0。6>0.（等比數(shù)列公比夕。0）.所以D

選項正確.

故選：D

9.已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（0,：）B.（09）C.卜［D.（°

【答案】B

【分析】

先分離參數(shù)，再將零點問題轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點問題來求解即可.

【詳解】

rhx2el~x-a=O^＞a=x2el~x?

設(shè)g（x）=dd*,/（x）=e**x（2-x）,

當X?YO,0）時，g'（x）v0,

當x40,2）時，g'（x）＞0,

當x42,+oo）時，g'（x）v0,

所以函數(shù)g（x）在（e,0）上單調(diào)遞減，在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,收）上單調(diào)遞減,

故g（o）=o，g⑵=：，

因為函數(shù)/（工）二無2』-一。有三個零點，故0＜。＜8.

e

故選：B

10.已知函數(shù)/（外二%3一2%2-4/一7,其導函數(shù)為/'*）.有下列命題：

①/（1）的單調(diào)減區(qū)間是（曰,21：

IJ7

②/（X）的極小值是-15；

③當a＞2時，對任意的x＞2且xwa,恒有/（x）＞/（。）+/'（。）“一。）

④函數(shù)/*）有且只有一個零點.

其中真命題的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】c

【分析】

2

由/(工)=/一242一4%—7,知/(%)=3/—4工一4,令/(%)=3/一4工一4=0,^x=--X2=2,分

別求出函數(shù)的極大值和極小值，知①錯誤，②③正確：由。>2,x>2且xwmgM=f(x)-f(a)-f

(a)(x-a),利用導數(shù)證明8的(幻>0即可0,故④正確

【詳解】

/(X)=X3-2X2-4X-7,其導函數(shù)為f(x)=3x2-4x-4.

2

令廣。)=0,解得％=一§,%=2,

2

當r(x)>0時，即x<-一，或工>2時，函數(shù)單調(diào)遞增，

2

當r(x)vO時，即一一<x<2時，函數(shù)單調(diào)遞減；

3

22

故當/=2時，函數(shù)有極小值，極小值為/(-2)=-15,當％=時，函數(shù)有極大值，極大值為/(§)<(),

故函數(shù)只有一個零點，

①錯誤，②③正確；

,：a>2,工>2且xwa,

.,.令g(x)=/*)-/(a)-f(a)(x-a),

則g，")=3x2-4x-4-(3a2-4a-4),記g'(x)=h(x),

因為當x>2時，hf(x)=6x-4>0,則力(x)在(2,y)單調(diào)遞增，

又因為g'(a)=h(a)=0，

所以當2vxva時，gf(x)<0,當時，g'(x)>0,

所以8。)在(2,。)遞減，在3,”)遞增，又xwm

所以g*)>g(a)=0成立，故④正確；

所以中真命題的個數(shù)為3個，

故選：C

11.函數(shù)/(x)=Y-lnx+arW0恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-3,-1]

B.(-2,-1]

【答案】C

【分析】

將不等式轉(zhuǎn)化為竺-工恰有兩個整數(shù)解，令g(x)=U^-x,利用導數(shù)研究g(x)的單調(diào)性，根據(jù)題意,

XX

只需g(3)<〃Kg(2)即可.

【詳解】

/(x)的定義域為。+8),

/(%)=/一坨％+以工0恰有兩個整數(shù)解等價于吧一工恰有兩個整數(shù)解，

令g(x)=----X，定義域為。+8),g，(x)=----

XX

令〃")=1-Inx-爐，易知/z(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，力(1)=0,

則當Ovxvl時以幻>0,g'3>0,g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增

當力>1時力(幻<0,g'(x)vO,ga)在(1，+8)上單調(diào)遞減,

又g⑴=-1,g(2)=殍-2,8⑶=與_3,

由題意可知：^(3)<a<g(2),—3<a<—2,

故選：C.

12.函數(shù)/(x)=4llog〃X-l(a>0,且awl)有兩個零點，則。的取值范圍為()

D.^ij>U(l,+oo)

A.(l,+oo)B.,ee>5L+°o)c.{e-c}u(l,+00)

【答案】B

【分析】

令f(x)=O,將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=Iog_x圖象與函數(shù)y=[jj

圖象有兩個交點，結(jié)合圖象確定正確選項.

【詳解】

/(x)=o,得|log“M=，，即log]X(').由題意知函數(shù)y=log,1圖象與函數(shù)y=1/J圖象有兩

a

個交點.

當a>l時，y=log1x,y=[-草圖如下，顯然有兩交點.

當。<。<1時，函數(shù)y=log】x圖象與函數(shù)y=(—J圖象有兩個交點時，注意到)，=(：、，y=log|X互

為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線丁二"對稱，可知函數(shù)圖象與直線y=x相切，設(shè)切點橫坐標與，則

綜上，4的取值范圍為《e“U(l,+8).

13.已知函數(shù)y=〃x)在R上可導且〃0)=2,其導函數(shù)尸(“滿足，/⑺一小)>0,若函數(shù)g(x)

x-2

滿足e'g(x)=/(x),下列結(jié)論埼誤的是()

A.函數(shù)g(力在(2,?!■<?)上為增函數(shù)B.x=2是函數(shù)g(x)的極小值點

c.x<0W,不等式/(工分"巴恒成立D.函數(shù)g(x)至多有兩個零點

【答案】c

【分析】

因為g(x)=卒，則g'(x)=二"幻，由題意得當X>2時，/'*)-/(X)>。，可得y=g(x)在(2,+8)

ee

遞增，即可得A正確；當XV2時，r(x)-/W<0,故丫=8。)在(YO,2)遞減，即x=2為極小值點，

可得B正確；根據(jù)g(x)的單調(diào)性及/(0)=2,可得g(0)=2,即可判斷C的正誤；分別討論g(2)與0

的大小關(guān)系，可判斷D的正誤，即可得答案.

【詳解】

exg\x)=/(x),/.g(x)=,則g'(x)=,

ee

由題意得當尢>2時，r(x)-/U)>0,故丁=8。)在(2,+8)遞增，選項A正確：

當xv2時，/W-/(x)<0,故丁=8")在(-。2)遞減，

故x=2是函數(shù)y=g(%)的極小值點，故選項B正確；

由y=g(x)在(-8,2)遞減，則y=g(x)在(-8,0)遞減，

由g(°)=^^=2,得x40時，g(x)2g(。)，

e

.?.牛N2,故f(x)之2夕，故選項C錯誤；

e

若g(2)<0,則y=g(幻有2個零點，

若g(2)=0,則函數(shù)y=g(x)有1個零點，

若g(2)>0,則函數(shù)y=g(x)沒有零點，故選項D正確.

故選：C

【點睛】

解題的關(guān)鍵熟練掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求極值的辦法，并靈活應(yīng)月，考查學生對基礎(chǔ)知識的掌

握程度，屬基礎(chǔ)題.

14.已知函數(shù)/(x)=xex-e、—。有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)"的取值范圍是()

-4、「42]

A.—^,0B.(—1,0]C.——D.(—1,0)

Le'；Lee」

【答案】D

【分析】

變?yōu)閤eJe，=a，引入新函數(shù)gQ)=火9一爐，利用導數(shù)確定它的單調(diào)性，極值，可結(jié)合大致

圖象得出參數(shù)范圍.

【詳解】

解：令函數(shù)/(x)=xe*-e*-Q=O,則有X6*-e'=〃，令g(x)=xe'-e',則g(x)=a.

???g'(x)=e'+xe'-e'=xeX，.?.當x<0時，g'(x)vO,g(x)單調(diào)遞減，當x>0時，g'(x)>0,g(x)

單調(diào)遞增....當x=0時，g(x)取得最小值，且g(x)min=g(°)=7,顯然g⑴=0,當xvl時，g(x)〈0

恒成立.由此可以畫出函數(shù)g(?的大致圖象，如圖所示，由圖象可得，要使函數(shù)f(x)有且僅有兩個不同的

零點，只需g(0)v〃v0,即一1<〃<0.

X

A.(0,e)B.(—oo,e)C.(0')D.E)

【答案】c

【分析】

根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，再利用導數(shù),利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.

【詳解】

因為函數(shù)/。)=叱有兩個不同的零點，所以方程/。)二@X

——。=0有兩個不同的實數(shù)根，因此函

X

Inx

數(shù)g(?=—與函數(shù)y=。有兩個交點.

X

/XInx，/、1-Inx

g(x)==>g(x)=2，

XX

當時，g'(x)vO,g(x)單調(diào)遞減，當0<x<e時，g(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

因此當x=e時，函數(shù)g(x)有最大值，最大值為：g(e)=-=-t

ee

顯然當x>l時，g(x)>0，當Ovx<l時，g(x)〈O，當x=l時，g(D=O,

Inx

因此函數(shù)g(x)二—的圖象如下圖所示：

x

通過函數(shù)g(x)=@的圖象和上述分析的性質(zhì)可知：當時，函數(shù)&*)=叱與函數(shù)丁=。有兩

xke；x

個交點.

故選：C

16.若函數(shù)/(%)=log2(x2-ax+5)在區(qū)間(@,?2)上有零點，則實數(shù)々的取值范圍是()

A.(-R,4)B.(-00,4]C.(-4,4]D.(-4,4)

【答案】A

【分析】

函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為/一山:+5=1在(-8,-2)有實數(shù)解，分離參數(shù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】

2

原題等價于幺—以+5=1在(-8,-2)有實數(shù)解，即〃=士r+二4="4￡

XX

入/、4、14(x+2)(x—2)

設(shè)g(x)=x+-,g(x)=l---=-----------------

XXTX

當工￡(-00,-2)，g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減，g(x)vg(-2)=T,所以1V?4

故選：A

Inx.

----X1I

17.已知函數(shù)/(幻=<x’",若函數(shù)且(工)=/(/)-彳恰有兩個零點，則〃的取值范圍是()

213

ax"-a,x<\

B.[-1,0)1

A.■?°c.(—―,0]D.-,4-oo

3

【答案】C

【分析】

當xNl時，利用導數(shù)確定函數(shù)g(x)=/(x)-;函數(shù)有兩個零點從而可得加一4二(在(-00,1)上無解,

討論〃的取值，確定方程依2一。-5=0在(-8,1)上無解，即可.

【詳解】

因為函數(shù)g(x)=/(%)-1有2個零點，

則f(刀)=；有2個解,

當”，、時…，//(?/^)x=—Inx?/$(力、=—1-—lnx

令r(%)=0得X=e,所以當iwxve時,/(x)>0,〃x)單調(diào)遞增,

當x>e時，/z(x)<0,/(力單調(diào)遞減，

當Ml時，〃)1ax=〃e)=；>；,又八1)=0<；,

當XN1時，/(X)的圖象與直線y=g有2個交點，

當xv1時，則/(x)="2-。與直線y二(無交點，

即依2一〃=§在(-8,1)上無解，

即??一々一;=0在(Y01)上無解，

當。=0時，符合題意，

當。>0時，y=or2-。一§與x的負半軸始終交點，不符合題意,

當。<0時，若>=改2一。一;=。在(yj)上無解，

則>0^=一〃一:<°,即4>一；,所以一gvaV°,

綜上知：一,<。(0,即〃的取值范圍是(一！,0].

33

故選：C

18.下列函數(shù)有兩個零點的是()

A.f(x)=ex-x-1

B-7(x)=|x+l|--^x-l

C./(X)=X3+3X2+3X-1

D./(x)=lnx-x

【答案】B

【分析】

利用函數(shù)性質(zhì)分析其圖像即可.

【詳解】

對于選項A,函數(shù)y=e]與y=x+l的圖象相切于點(04)，因此/(力=，一工一1只有?個零點;

對于選項B,畫出y=|x+l|和y=gx+l的圖象，可知它們有兩個交點：

對于選項C,/'(x)=3x2+6x+3=3(A+1)2>0,所以在(YO,+°O)?.單調(diào)遞增，

所以〃力在(f,+00)上最多只有一個零點；

對于選項D,因為r(x)=?,易知/(力在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+功上單調(diào)遞減,

所以J(x)1rax=/(1)=_1<0,所以FG)沒有零點.

故選：B.

19.對于函數(shù)y-/(力與y-g(x),若存在/，使/(%)-g(r())，貝U稱“(廂J(%))，N(-%

g(f)))是函數(shù)/(力與g(x)圖象的一對“隱對稱點”.已知函數(shù)〃6二機(尢+1),^(x)=—,函數(shù)

X

“X)與g")的圖象恰好存在兩對“隱對稱點”，則實數(shù)加的取值范圍為()

A.(—1,0)B.—C.D.(―oo,—I)U(—1,0)

【答案】A

【分析】

由題意可得函數(shù)y=-加(尤-1)與丁=小的圖象有兩個交點，結(jié)合導數(shù)可畫出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合導數(shù)的

X

幾何意義數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】

由題意函數(shù)y=-/n(x-l)Mjy=—的圖象有兩個交點，

X

令2)=叱，則小卜匕子，

?XX

.,.當x?0,e)時，"(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增：

當xe(e,+oo)時，"(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減；

又y=f?(x-l)恒過點(1,0),當%>1時,/i(x)>0,

在同一坐標系中作出函數(shù)y=一加(x—l)、刈同=叱的圖象，如圖,

入

由圖象可知，若函數(shù)丁=一機(工一1)與y=*的圖象有兩個交點，則m<0,

X

當直線y=一加(工一1)為函數(shù)y=W圖象的切線時，由"(1)=1可得一6=1,

??即機￡(-1,0).

故選：A.

20.若函數(shù)/*)=1-6/+9%一10-〃有三個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(^?,-10)B.(-6,+oo)C.(-10,-6)D.(^o,-10)u(-6,+oo)

【答案】C

【分析】

求出導函數(shù)，確定函數(shù)的極值后可得.

【詳解】

f\x)=3X2-12X+9=3(X-])(X-3),

當xvl或冗>3時，/'(x)>0，1<]<3時，/V)<0,

/3)在(F,1)和(3,+oo)上是增函數(shù)，在(1,3)上是減函數(shù).

/([)極太依=/(1)=-6—。，/(x)wd<=/(3)=-10-a,

—6—。>0

函數(shù)有三個零點，則〈，八八，???-10vav-6.

-1()-?<()

故選：C.

【點睛】

本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)的極值.

21.已知定義在[小,網(wǎng)上的函數(shù)/(%),其導函數(shù)/'(幻的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的個數(shù)為()

①函數(shù)fW的值域為"(d),/(〃)]；

②函數(shù)/(X)在［凡例上遞增，在［b,d］上遞減；

③了(力的極大值點為x=c，極小值點為x=e；

④了(力有兩個零點.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

根據(jù)導函數(shù)/'(幻的圖象可知，函數(shù)/(%)的單調(diào)性和最值點與極值點，從而可判斷出四個敘述是否正確.

【詳解】

根據(jù)導函數(shù)/'(x)的圖象可知，當％W［九C)時，r(%)>0,所以函數(shù)/⑶在［園c］上單調(diào)遞增，當x€(c,e)

時，/r(x)<0,所以函數(shù)人外在［c,e］卜單調(diào)遞減,當時,/z(x)>0,所以函數(shù)f。)在(e,川卜

單調(diào)遞增，故②錯誤，③正確，

根據(jù)單調(diào)性可知，函數(shù)的最小值為f(㈤或/(e),最大值為/(c)或/(〃)，故①錯誤，

當/(加)>0且/(e)>0時，函數(shù)無零點，故④錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查了利用導函數(shù)的圖象得函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值，考查了函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題.

22.函數(shù)/(力=丁+3尤2-4的零點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

先求導，令/(司=0,再根據(jù)極值點的正負進一步判斷零點個數(shù)即可

【詳解】

由/(刀)=胃+3x2-4=>/'(x)=3x2+6x,令/'(彳)=。得x=0或1二一2，

當工€(-oo,-2),(0,+00)時，〃%)單調(diào)遞增，當XC(-2,0)時，函數(shù)單調(diào)遞減，

/(-2|=0,/(0)=-4,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:

故函數(shù)圖像有兩個零點

故選：C

【點睛】

本題考查導數(shù)研究函數(shù)零點個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題

23.函數(shù)/(x)=lnx—x+l的零點個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可確定函數(shù)的零點個數(shù).

【詳解】

/*(x)=(Inx-x+1)=--1=---,

xx

當0<x<1時/'(x)>O,/(x)單調(diào)遞增；

當x〉1時/(x)v0J(x)單調(diào)遞減.

工當天=1時/(工)〃儂=/(1)=加1-1+1=0,

故函數(shù)/(x)=lnx-x+1的零點個數(shù)為1.

故選：A

【點睛】

本題考查導數(shù)中的函數(shù)零點個數(shù)的判斷，屬于?？碱}.關(guān)鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.

24.設(shè)函數(shù)/(x)=x+cosx,則危)是()

A.有一個零點的增函數(shù)

B.有一個零點的減函數(shù)

C,有二個零點的增函數(shù)

D.沒有零點的減函數(shù)

【答案】A

【分析】

求導，由導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系判斷增減性，利用零點存在定理判斷零點所在區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性即可判斷零

點個數(shù).

【詳解】

/（x）=x+cosx,則r（x）=1—sinx..O,

所以函數(shù)/（幻是定義域為R上的連續(xù)的增函數(shù)，

又/（0）=1>0,/（—萬）=一萬一1<0,

零點存在定理可得在（%,0）上存在唯一零點.

故選：A.

【點睛】

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.

25.若函數(shù)f（x）=alnx+e'+〃有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.(C,+8)B.(-00,-2e)C.(-8,-e)D.(2e,+oo)

【答案】C

【分析】

先由函數(shù)有兩個零點，得到方程-訝=①詈在（0,+8）上有兩不等實根，令8（月二曲尹，則直線

y=-3與曲線g（x）=@>在（0,+。）上有兩不同交點；用導數(shù)的方法判定g（x）=@>的單調(diào)性,

進而可求出結(jié)果.

【詳解】

因為函數(shù)/（x）=alnx+eX+〃有兩個零點，定義域為（0,+8）：

所以方程alnx+《+〃=0在（0,+8）上有兩不等實根，顯然

即方程-5=色券在（0,+8）上有兩不等實根,

lnx+1

令g(H

則直線y=-g與曲線g(x)=@m]在(0,田)上有兩不同交點；

因為，(力"(2嗔—‘

ee

令/z(x)=』-lnx-l,則ti(x)=--<0在(0,+<R)上顯然恒成立,

XXX

因此人("=1一lnx-1在(0,+8)上單調(diào)遞減，

X

又〃(1)=0,所以當X￡(O,1)時，〃(力>0,即g'(x)>0,所以g(x)=Etl單調(diào)遞增;

當了?1收)時,h[x)<0,即g'(x)vO,所以g(x)=@>單調(diào)遞減;

因1Mx)nm=g(l)=5

lnX+1InX+1

又當時，g(x)=v>0；當0<xv1時，g(x)=r<0.

egee

所以為使直線y=-，與曲線g(x)="生在(0,+。)上有兩不同交點，

ae

只需Ov-一〈一，解得av-e.

ae

故選：C.

【點睛】

本題主要考查由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)，利用導數(shù)的方法求解即可，屬于?？碱}型.

X

26.已知函數(shù)/(幻=一7-。.若?x)有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

e

A.10,1)B.(0,1)

(「1、

C.0,-D.0,-

ke；Le)

【答案】C

【分析】

xX

根據(jù)汽幻二:-。有兩個零點，可得ga)=F與的圖像有兩個交點?利用導數(shù)畫出g。)的圖像,

ee

根據(jù)圖像即可得答案.

【詳解】

X

因為/")=-7-。有兩個零點，即/*)=。有兩個根，

x

所以ga)=與y=。的圖像有兩個交點,

又g'(x)=V^,令g'*)=0.

解得A=l，

所以當“變化時，g'(x),g(?的變化如下表:

X(—8,1)1(1,4-oo)

g'a)+0—

g(x)極大值

所以g(.r)在(一8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+s)上單調(diào)遞減，且g。)的極大情為8(1)=—,

e

故選：C.

【點睛】

X

本題考查函數(shù)的零點與方程、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用導數(shù)畫出g(x)=下的圖像,

即可求解，考查分析理解，計算化簡的能力，數(shù)形結(jié)合的思想，屬基礎(chǔ)題.

27.函數(shù)f(x)=lnx+1的零點個數(shù)為()

x

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】

利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，結(jié)合單調(diào)性與最小值，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)f(x)=lnx+2的定義域為(0,+8),且/，(“)=■1—二二與1,

xxx~x~

當%>1時，r(x)>o,函數(shù)單調(diào)遞增：

當Ovxvl時,r(x)vO,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,

所以當％=1時，函數(shù)/(%)取得最小值，最小值為f(l)=l>0,

所以函數(shù)f(x)=lnx+』在定義域內(nèi)沒有零點.

x

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，其中解答中利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)

鍵，著重考查推理與運算能力.

28.設(shè)函數(shù)/(x)=gx-加%,(x>0),則下列說法中正確的是()

A./(x)在區(qū)間(：1)，(he)內(nèi)均有零點

B.f(x)在區(qū)間(1,。)內(nèi)均無零點

C./J)在區(qū)間內(nèi)有零點，在(l,e)內(nèi)無零點

D./(X)在區(qū)間內(nèi)無零點，在(l,e)內(nèi)有零點

【答案】D

【分析】

首先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再分別計算/(I),/(e)的值，利用零點存在定理可得結(jié)論.

【詳解】

解：由題可知：/(刈二二］-111直X>0),則/。)=二一一=三，若RW(0,3),r(x)<0,函數(shù)f(x)

33x3x

單調(diào)遞減，若％w(3,+8),r(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)/⑶在g,l),(l,e)單調(diào)遞減，

又/(」］二」--ln，=」-+l>0,/(1)=1>0,f(e)=-e-\<0,所以函數(shù)/(x)在(」』］無零點，

\eJ3ee3e33\eJ

在(1,。)有零點

故選：D

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

29.函數(shù)/。)=產(chǎn)一|幻3的零點個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

根據(jù)絕對值的性質(zhì)，分類討論，結(jié)合導數(shù)、零點存在原理進行求解即可.

【詳解】

當xW0時，/(x)=ex+x3,

因為7(x)=ev+3x2>0,

所以函數(shù)此時單調(diào)遞增，而/(一1)=/一1v0J(0)=1>0,

所以此時函數(shù)/(幻=夕+x3有唯一零點；

當x>0時，令/(x)=e"-V=o,解得e*=V=>x=31nx，

此時原函數(shù)的零點為函數(shù)g(x)=x-31nx零點，

33

g(x)=l--，因此當x>3時，g(x)=l-->0,函數(shù)單調(diào)遞增，

XX

3

當3>%>0時，g'(x)=l--<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

x

g(3)=3-31n3=3(l-ln3)<0,g(l)=l>0,g(6)=6-3In6=3(2-In2)>0,

所以函數(shù)在3>x>0和x>0各有一個零點，所以一共有3個零點.

故選：C

【點睛】

本題考查了求函數(shù)零點個數(shù)問題，考查了導數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學運算能力.

30.已知函數(shù)/(力二,：-乂'"1,g(%)=/(力一?+〃，若g(x)恰有1個零點，則。的取值范圍是

Inx,x>1

()

A.(0,+?)B.(-oo,2]C.[1,2]D.[l,+oo)

【答案】D

【分析】

g(x)恰有I個零點，等價于>=〃耳與，=打一々的圖像恰有一個交點,而直線丁=雙一。恒過(1,0)點，

結(jié)合圖可得答案

【詳解】

g(?恰有1個零點即y=/(x)與y=〃一以的圖像恰有一個交點，y=批一々恒過(1,0)點，

由y=lnx得y'=」，所以曲線y=Inx在點(1,0)處的切線的斜率為1,

[f]y=x2-xWy=2x-l,所以曲線y=-%在點(1,0)處的切線的斜率為匕

所以結(jié)合圖像可知，g(x)恰有1個零點當且僅當。之1.

此題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查分段函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

31.已知函數(shù))，=d—3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則。=()

A.一2或2B.2C.-2D.-3或1

【答案】A

【分析】

利用導數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，根據(jù)公共點個數(shù)可確定y=0為極大值或極小值，由此可構(gòu)造方程求

得結(jié)果.

【詳解】

由題意得：/=3X2-3=3(X+1)(X-1),

.,.當K￡(-oo,-i)和。，內(nèi))時，y>0；當時，y<0；

.?.)，二/一3%+0在(-<。-1),上單調(diào)遞增，在(-1，1)上單調(diào)遞減；

y極大值=-l+3+c=2+c,y極小值=l—3+c=c-2,

若y=d-3x+c的圖象與％軸恰有兩個公共點，則2+c=0或c-2=0,

解得：c=-2或c=2.

故選：A-

【點睛】

本題考查利用導數(shù)解決函數(shù)交點個數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，進而利用極

值構(gòu)造方程求得結(jié)果，屬于?？碱}型.

32.若函數(shù)/(1)=/一12%+。有三個不同的零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-a),-8)B.(-oo,8)C.[-16,16]D.(-16,16)

【答案】D

【分析】

首先利用導數(shù)求出函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間和極值，將函數(shù)/")=丁-12工+。有三個不同的零點，轉(zhuǎn)化為方程

/(x)=0有三個不同的根.再列出不等式笈，解不等式組即可得到答案.

【詳解】

f(x)=x3-\2x+a,f(x)=3X2-12=3(X+2)(X-2).

令解得玉

r(x)=0,=-2,X2=2.

xe(-oo,-2),f\x)>0,為增函數(shù),

xw(—2,2),/V)<0.f(x)為減函數(shù)，

xe(2,+co),f(x)>0,/(x)為增函數(shù).

所以力｛大值(x)="-2)=16+。,14a小值(x)=Z(2)=—16+61.

因為函數(shù)/(x)=Y-12x+a有三個不同的零點,

等價于方程/(幻=0有三個不同的根.

16+a>0

所以《解得一16vavl6.

-16+a<0

故選：D

【點睛】

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，同時考查了利用導數(shù)求函數(shù)的邑調(diào)區(qū)間和極值，屬于簡單題.

33.已知函數(shù)/(司=9-4%-1+/-2+032有兩個零點內(nèi)，/，則王+玉二

A.2B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】

利用/W=/(4-幻可得/(X)的圖象關(guān)于直線X=2對稱，利用導數(shù)可知力#在(-8,2)上單調(diào)遞減，在

(2,48)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)只有兩個零點為，x2,再根據(jù)對稱性可得答案.

【詳解】

因為/(X)=(X-2)2-5++