電路原理習(xí)題答案第二章 電阻電路的等效變換練習(xí)

第二章電阻電路的等效變換

“等效變換”在電路理論中是很重要的概念，電路等效

變換的方法是電路問題分析中經(jīng)常使用的方法。

所謂兩個(gè)電路是互為等效的，是指（1）兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)

不同的電路再端子上有相同的電壓、電流關(guān)系，因而可以互

相代換；（2）代換的效果是不改變外電路（或電路中未被

代換的部分）中的電壓、電流和功率。

由此得出電路等效變換的條件是相互代換的兩部分電

路具有相同的伏安特性。等效的對(duì)象是外接電路（或電路未

變化部分）中的電壓、電流和功率。等效變換的目的是簡化

電路，方便地求出需要求的結(jié)果。

深刻地理解“等效變換”的思想，熟練掌握“等效變換”

的方法在電路分析中是重要的。

2-1電路如圖所示，已知"=100KA=2&C,R=82。若：（1）

s12

R=8kQ；（2）R=8（&處開路）；（3）R=O（R處短路）。試求以

33333

8

解：（1）R和R為并聯(lián)，其等效電阻R=W

23

u

.==100=50”，人

則總電流/^=274=-3

1

分流有i=i=\=^_=8.333mA

2326

u=Ri=8x型=66.667V

2226

(2)當(dāng)R=00,有，=0

33

〃100

i=-B_>~=—=—―-=10mA

2A+/?2+8

12

u—Ri=8x10=80V

222

(3)R=09有i=Q,u=0

322

i=U=10°=50〃?A

3~R~~2~

2-2電路如圖所示，其中電阻、電壓源和電流源均為已知，

且為正值。求：（1）電壓〃和電流，；（2）若電阻R增大,

221

對(duì)哪些元件的電壓、電流有影響？影響如何？

題2-2圖

解：（1）對(duì)于扭和R米說，其余部分的電路可以用電

23

流源，、等效代換，如題解圖（a）所示。因此有

Ri

'=--------

2R+R

23

（2）由于「和電流源串接支路對(duì)其余電路來說可以等效

為一個(gè)電流源，如題解圖（b）所示。因此當(dāng)R增大，對(duì)R,R,R

1234

及〃的電流和端電壓都沒有影響。

S

但勺增大，C上的電壓增大，將影響電流源兩端的電壓,

因?yàn)?/p>

u=Ri+u-u

?s1s2s

顯然匕隨農(nóng)的增大而增大。

，s1

e

巴.

X

Q)

注：任意電路元件與理想電流源，串聯(lián)，均可將其等效

*

為理想電壓源i,如本題中題解圖（a）和（b）。但應(yīng)該注

$

意等效是對(duì)外部電路的等效。圖（a）和圖（b）中電流源兩

端的電壓就不等于原電路中電流源兩端的電壓〃。同時(shí)，任

意電路元件與理想電壓源〃并聯(lián)，均可將其等效為理想電壓

源〃$，如本題中對(duì)而言，其余部分可以等效為〃S,如題圖（C）

所示。但等效是對(duì)外部電路（如3）的等效，而圖（C）中，，

上的電流則不等于原電路中，，中的電流。

$

uR

o>R1//R2(-PE幺)Dr

2-3電路如圖所示。(1)求??；(2)當(dāng),時(shí)，

uR

/可^^以為耳方此時(shí)引起的相對(duì)誤差為

s12

〃R

亡￡+3x100%

U

當(dāng)R為(R〃R)的100倍、10倍時(shí)，分別計(jì)算此相對(duì)誤差。

L12

RxRi=u=Ri=U.<R

解：⑴小r個(gè)oR+R

HRRR

所以7rL"RFTT"天耳7?FT

s1121￡2L

r>A?〃

、K=Kk1K2c。

(2)設(shè)〃阡7q，帶入上述可式子中，可得

RxK空2

u_2R+RKXR

fl不去)■十不欠一

i，sRR+(R+R)xKRR212

1212R+R

2

相對(duì)誤差為

,UR\HnnKRR

IF-R+Rx%R+R~/?+??

n=------i_2------------=-----------4-3-^——4----2-X100g/

o2

丁1+KR+R

K12

1tK一11

=---------x100j/=——x1004

1+K

當(dāng)K=100時(shí)n~1%

K=10時(shí)n=-10彳

2-4求圖示電路的等效電阻R，其中

ab

R=R=1Q,7?=R=2Q,R=4Q,

12345

G=G=、S,R=2Q°

12

(a)⑹0

解：(a)圖中j被短路，原電路等效為圖(al)所示。應(yīng)用電

阻的串并聯(lián)，有

R-IR〃R〃R=21+4=4,4Q

ab1235

(b)圖中G加G,所在支路的電阻

R=1+1=2Q

G~G~

12

所以R=片〃R=[2//2]+2=3Q

ab43

(c)圖可以改畫為圖(cl)所示，這是一個(gè)電橋電路，由于

8=兒燈二月處于電橋平衡，故開關(guān)閉合與打開時(shí)的等效電阻

1234

相等。

R=(一+/)〃(&+/?)=(1+2)〃(1+2)=1.5。

ad1324

JZ_3

b(cl)

(d)圖中節(jié)點(diǎn)1,1伺電位(電橋平衡)，所以I，間跨接電

阻7可以拿去(也可以用短路線替代)，故

R=(R+R)〃(丹+f?)//^?=(1+l)//(l+1)//1=0.5。

ab12121

(e)圖是一個(gè)對(duì)稱的電路。

解法一：由于結(jié)點(diǎn)1與「，2與2,等電位，結(jié)點(diǎn)333等電位,

可以分別把等電位點(diǎn)短接，電路如圖(el)所示，則

R=2x(E+0)=g8=3Q

ab242

_R卜

-?—i~~

.蚊卜

解法二：將電路從中心點(diǎn)斷開(因斷開點(diǎn)間的連線沒有電

流)如圖(e2)所示。

_2R+(2R//2R)3R=3￡l

Rp

ab

解法三：此題也可根據(jù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，令各支路電流如圖

S3)所示，則左上角的網(wǎng)孔回路方程為

2Ri=2Ri

故

由結(jié)點(diǎn)①的KCL方程

0.5/=/+/=2/=2/

1,

4

u=Rx0.5/+2Rx^_i+Rx0.5/=fRi

由此得端口電壓ab42

所以R%=3R=3Q

abT2

(e3)

(f)圖中(1Q,1Q,2Q)和(2Q,2Q,1Q)構(gòu)成兩個(gè)Y形連接，分別

將兩個(gè)Y形轉(zhuǎn)化成等值的△形連接，如圖(fl)和(f2)所示。

等值△形的電阻分別為

R=(1+1+里)=2.5CR=(1+2+〃2)=5Q

1221

R=R=5CR'=2+2+2X2=8C

-

32II

R'=1+2+1X2=4。R=*=4C

2~232

并接兩個(gè)八形，最后得圖(f3)所示的等效電路，所以

R=12//(R〃*)+/?〃*]//(/?〃*)

ab221133

=[2//(5//4)+2.5//8J//(5//4)

_'2Q4Q1//2Qwe

.1921J9

R】穴;

(f3)

(g)圖是一個(gè)對(duì)稱電路。

解法一:由對(duì)稱性可知,節(jié)點(diǎn)1,1〒等電位,節(jié)點(diǎn)22,2,等電

位，連接等電位點(diǎn)，得圖(gl)所示電路。則

R=(￡+￡+5=3R=1.667C

"3636

R

-----1-1-

R-------------------R-------------------R

R1=1-R

—C---->—1---------R>1■—<=

&——芻一R

-t=J-1RL~=

"-----1----?-----

Ri3

R

⑹

解法二：根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),得各支路電流的分布如圖

(g2)所示。由此得端口電壓

u=l/x/?+lzx/?+J/xR=5ixR

ab3636

所以R="疝=5R=I667C

ab16

注：本題入端電阻的計(jì)算過程說明，判別電路中電阻的

串并聯(lián)關(guān)系是分析混聯(lián)電路的關(guān)鍵。一般應(yīng)掌握以下幾點(diǎn)

(1)根據(jù)電壓、電流關(guān)系判斷。若流經(jīng)兩電阻的電流

是同一電流，則為串聯(lián)；若兩電阻上承受的是同一電壓，就

是并聯(lián)。注意不要被電路中的一些短接線所迷惑，對(duì)短接線

可以做壓縮或伸長處理。

(2)根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如對(duì)稱性、電橋平衡等，

找出等電位點(diǎn)，連接或斷開等電位點(diǎn)之間的支路，把電路變

換成簡單的并聯(lián)形式。

(3)應(yīng)用Y,△結(jié)構(gòu)互換把電路轉(zhuǎn)化成簡單的串并聯(lián)形

式，再加以計(jì)算分析。但要明確，Y,△形結(jié)構(gòu)互換是多端子

結(jié)構(gòu)等效，除正確使用變換公式計(jì)算各阻值之外，務(wù)必正確

連接各對(duì)應(yīng)端子，更應(yīng)注意不要把本是串并聯(lián)的問題看做Y,

△結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換等效，那樣會(huì)使問題的計(jì)算更加復(fù)雜化。

(4)當(dāng)電路結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，可以根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),

設(shè)定電路中的支路電流，通過一些網(wǎng)孔回路方程和結(jié)點(diǎn)方程

確定支路電流分布系數(shù)，然后求出斷口電壓和電流的比值，

得出等效電阻。

2-5在圖(a)電路中，〃=24=6V,R=12C,R=6C,R=20。

sis2123

圖(b)為經(jīng)電源變換后的等效電路。

（1）求等效電路的i和R；

$

（2）根據(jù)等效電路求R中電流和消耗功率；

3

（3）分別在圖（a）,（b）中求出￡￡及氏消耗的功率；

（4）試問〃,〃發(fā)出的功率是否等于，發(fā)出的功率？消耗

Ts2s12

的功率是否等于R消耗的功率？為什么？

解：（D利用電源的等效變換，圖⑸中電阻與電壓源

的串聯(lián)可以用電阻與電流源的并聯(lián)來等效。等效后的電路如

題解2-5圖所示，其中

/=%=6=1A

s2滅一6

2

對(duì)題解2-5圖電路進(jìn)一步簡化得圖（b）所示電路，故

'+/=2+1=3/4

s1s2

Q

R=RHR=12x6=4

1212+6

（2）由圖（b）可解得三條并聯(lián)支路的端電壓

u=(RHR)xZ=4X2X3=4V

3s4+2

所以R的電流和消耗的功率分別為

i=1='=24

3天-2

3

P=R12=2x22=8W

333

(3)根據(jù)KVL,圖(a)電路中心R兩端的電壓分別為

12

u=u一〃=24—4=20V

1s1

u=u-w=6-4=2V

2s2

則消耗的功率分別為

R1,R2

〃2(20)2100

d=33.33VV

123-

1

7篝=警=安

2

尸

(b)圖中消耗的功率=12=42=4W

RW

(4)(a)圖中，，和〃發(fā)出的功率分別為

s1$2

P=WX?=24X20=40W

$1112

u￡=2w

P="x__2-6X

6

“2$2R2

(b)圖中，發(fā)出功率P=uxi=4x3=12W

Sis

顯然p豐p+P

[M，2

由(3)的解可知p豐P+P

12

以上結(jié)果表明，等效電源發(fā)出的功率一般并不等于原

電路中所有電源發(fā)出的功率之和；等效電阻消耗的功率一般

也并不等于原電路中所有電阻消耗的功率之和。這充分說

明，電路的“等效”概念僅僅指對(duì)外電路等效，對(duì)內(nèi)部電路

(變換的電路)則不等效。

2-6對(duì)圖示電橋電路，應(yīng)用丫一△等效變換求:對(duì)角線

電壓u;

解法一：把(10Q,10Q,5Q)構(gòu)成的△形等效變換為『形,如題解圖

(a)所示，其中各電阻值為：

R="030=4.

110+10+5

R=10x5=20

210+10+5

R=10x5=2Q

310+10+5

由于兩條并接支路的電阻相等，因此得電流

1=1=5=2.5A

122

應(yīng)用KVL得電壓U=6x2.5-4x2.5=5V

又因入端電阻R.=(4+4)〃(6+2)+2+24二30。

所以U-5>.R-5x30-150V

abab

解法二：把(4C,10Q,10Q)構(gòu)成的y形等效變換為△形，如題

解圖(b)所示，其中各電阻值為

_4x10+10x10+4x10180

R二18。

131010

_4x10+10x10+4x10-180

R二18C

121010

R=180=45Q

234

把圖⑹等效為圖(c),應(yīng)用電阻并聯(lián)分流公式得電流

白

由此得圖(b)中6Q電阻中的電流

18x10

〃=儂3=10=2.54

218+64

所以原圖中4。電阻中的電流為5-2.5=2.5A,故電壓

t/=6x2.5-4x2.5=5V

R=(18//9)+24=30Q

由圖(C)得ab

U=5xR=5x30=150V

abab

注：本題也可把(4Q,10C,6Q)構(gòu)成的A形變換為Y形，或

把(6Q,10Q,5Q)構(gòu)成的Y形變換為△形。這說明一道題中y.△變

換方式可以有多種，但顯然，變換方式選擇得當(dāng)，將使等效

電阻值和待求量的計(jì)算簡便，如本題解法一顯然比解法二簡

便。

2-7圖示為由橋/電路構(gòu)成的衰減器。

題2?7目

(1)試證明當(dāng)H=R=R時(shí)，R=R,且有〃/〃=0.5?

21L?bLo*in

R=2R出〃

(2)試證明當(dāng)3R2-R2時(shí),R=R，并求此時(shí)電壓比h

2

ahin

解：(1)當(dāng)A=R=R時(shí)電路為一平衡電橋，可等效為

21L

題解圖⑥所示電路，所以

R=(R+R)〃(R+R)=R

ab122LL

U=

o2加

u

即「85

1加

(2)把由?構(gòu)成的y形電路等效變換為A形電路，原電路

等效為題解圖(b)。其中

2RR2

,RR3一工16RR2

=2笊R'21c

R2=R2//R=2=9-2=2

__i—/-十3KiL

R=3R9因?yàn)?

11L

R'=RHR=3g

LL3R+R-

1L

R，+R，=64生3人七3g

2L9R2-R237?T7?3R-R

1L1L1L

所以

%x3R

RSJ〃R=灣需L=^^RL

1L+3R1

3R—R1

%xR.=〃加x3R6=〃3R1RL

R\+R；L3凡R,3凡+R,M3R#R,

3R—R

1L

〃_3R-R

力=3川+V

in1L

2-8在圖(a)中，W=45V,w=20V,M=20V,M=50V；

$1s2s4$5

R=R=15。，R=20Q,R=50Q,^=8Q?在圖(b)中，

u=20V,u=30V,z=8A,

$1s5s2

j=17A,R=5C,R=10C,R=10Q。利用電源的等效變換求圖(a)

$4135

和圖(b)中電壓〃而。

Cb)

題2-8國

a

札i3

e0(k(kQ(ktk6

b

(al)

Cbl)題解2-8圉

解(a)：利用電源的等效變換，將(a)圖等效為題解圖

(al),(a2)o

其中

u45ll20

H=3A=--=1A

R石20

12

w20U50

,=5T0447H=6.25A

4丁r

把所有的電流源合并，得

i=i+i—i+i=3+1—0.4+6.25=9.85A

s$1v2$4$5

把所有電阻并聯(lián)，有

R=RHRHR//RHR=15//20//15//50//8=^2￡Q

12345197

uab=ixR=965=30V

所以s

解(b)：圖(b)可以等效變換為題解圖(bl),(b2)

其中

〃20〃30

i=?xL=——=4Ai=*-JTX-=3A

siRBv5A10

1

等效電流源為

i=i+i—i+i=4+8—17+3=—2A

$$1v2$4$5

等效電阻為

R=RHRHR=5//10//10=2.5Q

135

所以u(píng)=ixR=—2x2.5=—5V

abs

注：應(yīng)用電源等效互換分析電路問題時(shí)要注意，等效變

換是將理想電壓源與電阻的串聯(lián)模型與理想電流源與電阻

的并聯(lián)模型互換，其互換關(guān)系為：在量值上滿足，”山或

SS

._U

「下，在方向上有)的參考方向由〃的負(fù)極指向正極。這種

等效是對(duì)模型輸出端子上的電流和電壓等效。需要明確理想

電壓源與理想電流源之間不能互換。

2-9利用電源的等效變換，求圖示電路的電流i。

解：利用電源的等效變換，原電路可以等效為題解圖(a),

(b)和(c),所以電流

i=2.5=o25人

110

z=1i=0.125A

2i

(c)

2-10利用電源的等效變換，求圖示電路中電壓比彳。

已知R=R=2Q,R=R=1Qo

1234

解法一：利用電源的等效變換，原電路可以等效為題解圖(a)

所示的單回路電路，對(duì)回路列寫KVL方程，有

(R+R+R)i+2Ri《=lw

1234432

把〃帶入上式，則

33

a%aw1

==i

R+R+R+2RR1+1+1+210

123443

Q

=Ri+2Ru=(R+2RR丫=。

所以輸出電壓44344310s

解法二：因?yàn)槭芸仉娏髟吹碾娏鳛?〃=2/x/?=2/x1,即受

3333

控電流源的控制量可以改為，。原電路可以等效為圖⑹所示

3

的單結(jié)點(diǎn)電路，則

=Ri=R(i+2i)=3i

題解2T0圖

注：本題說明，當(dāng)受控電壓源與電阻串聯(lián)或受控電流源

與電阻并聯(lián)時(shí)，均可仿效獨(dú)立電源的等效方法進(jìn)行電源互換等

效。需要注意的是，控制量所在的支路不要變掉發(fā)，若要變

掉的話，注意控制量的改變，不要丟失了控制量。

2~11圖本電路中R=R=R,R=2R,ccvs的電壓〃=4Ri,利

13421c11

用電源的等效變換求電壓〃。

10

?

題2Tl圖

解：原電路可等效變換為題解2-11圖所示電路。圖中

R=(R+R)//R=2RH2R=R

342111

對(duì)回路列KVL方程，有

(Ri+Ri+石)二〃

111R

2

4Ri

2Ri+、1xR=u

即

14R

i

UQ

=0.75〃

所以電壓u—u—Ri=u0-4i

2-12試求圖(a)和(b)的輸入電阻勺。

解(a)：在(a)圖的a,b端子間加電壓源"，并設(shè)電流/如

題解2-12圖(a)所示，顯然有

u=Ri—iA"+Ri=Ri)+Ri=(R+R一喊"

211211121

故得a,b端的輸入電阻

R=^