高中必修四知識點+試題

第一章三角函數(shù)

2、角。的頂點與原點重合，角的始邊與久?軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，

則稱。為第幾象限角.

第一象限角的集合為{a360<a<h360+90,%wZ}

第二象限角的集合為{a360+90<h360+180/wZ}

第三象限角的集合為360+180<a<h360+270MEZ}

第四象限角的集合為{a360+270va<h360+360,ZeZ}

終邊在x軸上的角的集合為{a|a=h180?wZ}

終邊在.y軸上的角的集合為{a卜=h180+90,kEZ}

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{a卜=h90EZ}

3、與角a終邊相同的角的集合為{夕忸=h36。+a/￡Z}

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

5、半徑為〃的圓的圓心角a所對弧的長為/，則角a的弧度數(shù)的絕對值是同=，.

r

6、弧度制與角度制的換算公式：2〃=360,1=三，l=f—1=57.3.

180\re)

7、若扇形的圓心角為。(a為弧度制)，半徑為廣，弧長為/，周長為。，面積為S,

則/="a|,C=2r+l,S=^lr=^\a\r2

8、設(shè)a是一個任意大小的角，。的終邊上任意一點P的坐標(biāo)是(x,y)，它與原

X

點的距離是「卜=J.+y2>o），則sina=?,cosa=—,tana二

9、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正，第二象限正弦為正，

第三象限正切為正，第四象限余弦為正.

10、三角函數(shù)線：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.

11、角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)sin2a+cos2a-1(sin2a=\-cos2a,cos2a=\-sin2a);

小sina(.sina)“皿一天.

(2)------=tan?sincr=tanacosa,cosa=-------3)倒數(shù)關(guān)系：tanacota=l

cosa\tanaJ

12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

(l)sin(2k乃+a)=sina,cos(2/:^-+a)=cosa,tan(2A/r+a)=tana(ZwZ).

(2)sin(7+a)=-sina,cos(%+a)=-cosa,tan(%+a)=tana.

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

(4)sin-a)=sina,cos(乃一a)=-cosa,tan(乃一a)=-tana.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

⑸sin仁一a)=cosa,cos~~a=sina.(6)siny+a^=cosa,

(7V\

cos—+a=-sincr.

(2)

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.

13、①的圖象上所有點向左(右)平移機(jī)個單位長度，得到函數(shù)〉=3。(工+9)的

圖象；再將函數(shù)>=3"工+。）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的1倍（縱

坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin?x+9）的圖象；再將函數(shù)y=sin（函十°）的圖象上所有點

的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=Asin（5+°）的圖象.

②數(shù)v=sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），

（0

得到函數(shù)

y=sincox的圖象；再將函數(shù)y=sincox的圖象上所有點向左（右）平移國個單位

co

長度，得到函數(shù)y=sin（5+0）的圖象；再將函數(shù)y=$皿3￥+0的圖象上所有點的縱

坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=Asin（s+夕）的圖象.

14、函數(shù)y=Asin（0x+°）（A>O,<y>O）的性質(zhì)：

①振幅：A;②周期：T=—;③頻率：/=不=——;④相位：cox+（p;⑤初相：

CDT2乃

（P?

函數(shù)），=Asin（妙+°）+B,當(dāng)x=%時，取得最小值為以血；當(dāng)x=超時，取得

1\T、

B=+=XXX<X

最大值為y1rax，則A=5（ymax-%in），（^maxJmin），^2~l\\2）?

.41r.7T._

定義x手k兀+一,kG2xx豐K7r+—,kG2

2K2

RR

域

值域[-U][-U]RR

當(dāng)當(dāng)x=2br(&wZ)時，

…乃

X=2KTT+—Xnax=1?當(dāng)

2

x=2k冗+7T

(ZEZ)時，

(讓Z)B寸，為m=T.既無最大值也無最小既無最大值也無最小

最值)'max=1；當(dāng)

值值

?冗

X=2k7r----

2

(ZeZ)時，

Xnin7?

2乃2萬乃71

周期

性

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

性

在

在

彳5

L22J

[22萬-4、(A￡Z)

單調(diào)

上是增函數(shù)；在1

性(AeZ)上是增函數(shù)；

3￡Z)上是增函

[2%4,2依r+%]

在

出.

依Z)上是減函數(shù).

_.7T~.3冗

2k7T+—,2k7TT-----

_22.

(ZwZ)上是減函數(shù).

對稱中心

對稱中心對稱中心對稱中心

對稱(依r,0)(2wZ)

1%乃+方0(&cZ)5,0)仕eZ)你

性對稱軸

對?=k7r(keZ)無對稱軸無對稱軸

x=k7r+—{keZ)

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點、方向、長度.零向量：長度為0的向量.

單位向量：長度等于1個單位的向量.

平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.

相等向量：長度相等且方向相同的向

量.

17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點：共起點.

⑶三角形不等式：卜|一||?,+.工同+忖.

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：a+b=h+a;

。一力=AC—AB=BC

②結(jié)合律：(a+b)+d=々+僅+8);(3)t/+d=b+a=a.

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)"=(%/),8=(心％)，則〃+。=(芭+w，y+必).

18、向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=(5,y)?=(工2，%)，則@一〃=(%-%,乂一%)?

設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x，yj,(w，%)，則AB=G-w，X—%).

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實數(shù)2與向量。的積是一個向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作4a.

①|(zhì)羽=風(fēng)向;

②當(dāng)4>0時，義。的方向與。的方向相同；當(dāng)4<0時，的方向與。的方向相反；

當(dāng)4=0時，Aa=0.

⑵運(yùn)算律：①丸(44)=(即”;+=+;③2(％+/?)=+2/7.

⑶坐中秋算：設(shè)a=(x,y),貝11而=/1(%,y)=(/1乂又)).

20、向量共線定理:向量與〃共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯——個實數(shù)義使〃=癡.

設(shè)。=(藥,yj,匕=(%2，/)，其中6工0,則當(dāng)且僅當(dāng)工1%一工2凹=0時，向量。、

力僅工0)共線.

21、平面向量基本定理：如果弓、弓是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一

平面內(nèi)的任意向量。，有且只有一對實數(shù)4、4，使4=44+4..(不共線的向量“、

g作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22、分點坐標(biāo)公式：設(shè)點P是線段PF?上的一點，P2的坐標(biāo)分別是（和yj,

（程弘），當(dāng)Pp=/lPP；時，點P的坐標(biāo)是代+學(xué)—+學(xué)].（當(dāng)

丸=1時，就為中點公式。：

23、平面向量的數(shù)量積：

⑴aW=|《Wcos夕（awO力00,0<6><180）.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

⑵性質(zhì)：設(shè)。和6都是非零向量，則①々_L〃ab=0.②當(dāng)a與1）同向時，

ab=|^||/?|；當(dāng)Q與b反向時，ab=-|a||/?|;a,d=a2=，或同=③

卜年郵|.

⑶運(yùn)算律：①ah=bd;②（4可用=/1伍3）=2?（肪）；③

（o+b）c=ac+b-c.

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個非零向量4=（X[,yJ,b=（x2,y2）,則夕山二玉9+乂％.

22b

若a=（x,y）,則同*=x+y,或同=Jf+,2設(shè)a=（%,y）,=（^2,y2）,

則a_LZ?0%毛+y、2=0?

設(shè)〃、b都是非零向量，a=（%,yj,〃=（々，必），。是a與b的夾角,則

知識鏈接：空間向量

空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證

明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.

1、1線的方向向吊和平面的法向印

⑴.直線的方向向量：

若A、B是直線/上的任意兩點，則4B為直線/的一個方向向量；與平行的任意非

零向量也是直線/的方向向量.

⑵.平面的法向量：若向量〃所在直線垂直于平面。,則稱這個向量垂直于平面a,記作

nla,如果nla,則向量〃叫做平面a的法向量.

⑶.平面的法向量的求法(待定系數(shù)法):

①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.

②設(shè)平面a的法向量為〃=(x,y,z).

③求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo)。=(q,%,%)，5=3也也).

■—一

④根據(jù)法向量定義建立方程組〃寓二°.

nb=O

⑤解方程組，取其中一組解，即得平面a的法向量.

J平行關(guān)系

設(shè)直線44的方向向量分別是a、〃，則要證明4I"2,只需證明。,即

a=kb(kGR).

即：兩直線平行或重合二兩直線的方向向量共線。⑵線畫平行

①（法一）設(shè)直線/的方向向量是。，平面a的法向量是〃，貝度證明/Ila，只需證

明a_L〃，即a?〃=0.

即：直線與平面平行二直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外

②（法二）要證明一條直纜口一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線

的方向向量是共線向量即可.

⑶面面平行

若平面a的法向量為〃，平面夕的法向量為I；,要證a\\p,只需證〃Ilv,即證

w=A.V.

即：兩平面平行或重合兩平面的法向量魁。3、用向量方法判定空間的垂直

關(guān)多⑴線線垂百

設(shè)直線44的方向向量分別是，則要證明4，只需證明，即。為=0.

即：兩直線垂直=兩直線的方向向量垂直。

⑵線面垂直

①（法一）設(shè)直線/的方向向量是。，平面a的法向量是〃，貝J要證明/J-a,只需

證明。IIu,即。=Xu.

②（法二）設(shè)直線/的方向向量是。，平面a內(nèi)的兩個相交向量分別為〃?、〃，若

?-

am=O,

，，則n

a-n=0

即:直線與平面垂直=直線的方向向量與平面的法向量共線二直線的方向向量與平

面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。

（3）面面垂直

若平面a的法向量為〃，平面夕的法向量為u,要證a_LQ,只需證〃,即證

w-v=0.

即：兩平面垂直二兩平面的法向量垂直。4、?對求空間角

⑴求異面直線所成的角

已知。改為兩異面直線，A（與B,D分別是H匕上的任意兩點，。為所成的角為0.

ACBD

貝!Icos”——7~：■.

AC^TlBD

⑵，直線和平面所成的角

①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所

成的角.

②求法：設(shè)直線I的方向向量為。，平面a的法向量為直線與平面所成的角為6,

。與〃的夾角為G,則。為8的余角或°的補(bǔ)角

的余角.即有：

⑶求二面角

。定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每TB分叫做半平面；從一

條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面

叫做二面角的面

N面角的乎面角是指在二面角a-/-4的棱上任取一點0,分別在兩個半平面內(nèi)作

射線人qfAg&O,，則NA08為二面角a-/-尸的平面角.

②求法：設(shè)二面角a-1-fi的兩個半平面的法向量分別為機(jī)、〃，再設(shè)m、n的夾角

為（P,二面角。一/一月的平面角為。,則二面角夕為機(jī)、〃的夾角8或其補(bǔ)角萬一0

根據(jù)具體圖形確定。是銳角或是蠅二

?如果。是銳角,則COS9=|COS0|二

即。=arccos

?如果。是鈍角,則cosO=Tcos同=一

即。=arccos-

5、

（1點Q到直線,距離

若Q為直線/外的一點,P在直線/上，〃為直線/的方向向量,b=PQ.則點Q

到直線/距離為

（2）點A到平面2的距離

若點?為平面a外一點，點〃為平面a內(nèi)彳壬一點,

平面a的法向量為〃，則P到平面a的距離就等于“尸在法向量〃方向上的投影的

絕對值

即d=|阿卜os（i,M戶）

⑶直線"與平面&之間的距離

當(dāng)一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線

到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點到平面的距離,即轉(zhuǎn)化為點面距離。

\n-MP\

1，?1

⑷兩平行平面a,P之間的距離

利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點面距離。

即1=

⑸異面直線間的距離

設(shè)向量〃與兩異面直線。力都垂直，M￡外尸€4則兩異面直線a力間的距離d就

是MP在向量〃方向上投影的絕對值。

\n-MP\

即d'L"pq」，

HI

6、三垂線定理及其逆定理

⑴三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，則

它也和這條斜線垂直.

POla.Oea

推理模式：PA^a=A}n。J.PA

〃ua,。_LOA

概括為：垂直于射影就垂直于斜線.

⑶三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，則

它也和這條斜線的射影垂直.

POLa,0ea

推理模式：PAf}a=AnaJ.40

aua,a_LAP

概括為：垂直于斜線就垂直于射影.

7、三余弦定理

設(shè)AC是平面。內(nèi)的任一條直線，AD是。的一條斜線AB在。內(nèi)的射影，且BD±

AD,垂足為D.設(shè)AB與a（AD）所成的角為4，AD與AC所成的角為。？，AB與AC所

成的角為0.貝Ucos0=cosqcos02.

8、面積射影定理

已知平面夕內(nèi)一個多邊形的面積為S（S原）,它在平面。內(nèi)的射影圖形的面積為

S'（S射），平面。與平面夕所成的二面角的大小為銳二面角。，則

9、一個結(jié)論

長度為/的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為4、J夾角分別為

a、%、a，則有

I2=/；+/；+/；ocos2q+cos24+cos2冬=1osii?a+sin2ft4-sin2^=2.

（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:

(1)cos(a-/7)=cosacos+sinasin;(2)cos(a+/7)=cosacos/?-sin(7sinp;

⑶sin(a-/)=sinacos/一cosasin夕;(4)sin(a+/?)=sinacos/3+cosasin/7;

tan")。

⑸J

1+tanatanfi

(tana-tan夕=tan(a-,)(l+tanatan/?));

tan(a+#=

（6）=

1-tancrtanP

(tana+tan=tan(a+/?)(1-tancrtan/?)).

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴

sin2a=2sinacosa.=>1±sinla=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

n升嘉公式1+cosa=2cos2—,1-cos6z=2sin2—

22

八t2cos2a+1.21-cos2a

=>降帚公式cos~a=------------,sina--------------

22

夜能公式：

aa

2tan—1-tan9-

.22

sina=2ian，「；cosa

tanla=,....a9a

iLiaN/2-1+tan-

2

2伊角公式：

cos

=>

tan

28、合一變形=把兩個三角函數(shù)的和或差化為"一個三角函數(shù)，一個角，一次方"

的y=Asin(a+e)+8形式。Asina+Bcosa=>/A2+B2sin(a4-^?),其中

B

tan(p=-^.

29、三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)

條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能.常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

(1)角的變換:在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可

根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的

差異，使問題獲解，對角的變形婦：

①2a是a的二倍；4a是力的二倍；a是多的二倍；多是？的二倍；

30〃7T7T

②15"=45"—30"=60"—45";問：sin—=;cos—=;

21212

③a=(a+〃)—〃；④:十0二式一(二一。)；

424

TT7T

⑤2a=(a+6)+(a-6)=(7+。)一(7一a);會

44

(2)函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)

中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄?，變異名為同名。

(3)常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)

值，例如常數(shù)T的代換變形有：

(4)幕的變換:降幕是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用

降幕處理的方法。常用降導(dǎo)公式有：、降幕并非絕對，有時需要升鬲，如對無理式Jl+cosa

常用升幕化為有理式，常用升幕公式有：；；

(5)公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形

應(yīng)用。

.I+tana1-tana

如：--------=；;-------=；

1-tana1+tana

tana+tan/?=;1-tanatanp=;

tana-tan;1+tanatanp-;

2tana=;1-tan2a=;

tan20"4-tan400+V3tan20"tan^^=;

sina+cosa==;

asinc+bcosa==;(其中tanQ=;)

1+cosa=;l-cosa=;

(6)三角函數(shù)式的化簡運(yùn)算通常從："角、名、形、幕"四方面入手；

基本規(guī)則是：見切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理

化有理，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。

如：sin5(T(l+gtanl(T)=;

tana-cota=。

1.(文)(2011?廣州檢測)若sina<0且tana>0,則〃是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［答案］C

［解析］,?飛加〃<0,???a為第三、四象限角或終邊落在y軸負(fù)半軸

上，

Vtan(z>0,.二〃為第一、三象限角，

???a為第三象限角.

(理)(2011?綿陽二診)已知角A同時滿足sinA>0且tanA<0,則角

A的終邊一定落在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［答案］B

［解析］由sinA>0且tanAvO可知，cosA<0,所以角A的終邊一定

落在第二象限.選B.

2.(2010,安徽省168中學(xué)聯(lián)考)已知集合A={(x,j)lv=siiix},

集合5={(x,y)\y=tanx}9則APIJB=()

A.{(0,0))

B.{(n,0),(0,0)}

C.{(x9y)\x=kn,y=0,A￡Z}

D.0

［答案］C

［解析］函數(shù)y=sinx與y=tanx圖象的交點坐標(biāo)為(A九，0),k^Z.

3.設(shè)a=sii擊6=CDST，C=?,d=tan^,則下列各式正確的是

o4J4

（）

A.a>b>d>cB.b>a>c>d

C.c>b>d>aD.c>d>b>a

［答案］D

［解析］因為a=5，2?C=§>1,d=l,所以avbvdvc.

4.（文）（2010?河南新鄉(xiāng)市模擬）已知角a終邊上一點P（一

4G,3a）3V0）,貝（Isina的值為（）

［答案］B

［解析］:,.二r=^（—4a）2+（3a）2=—5。，

?二sina=^=~T,故選B.

（理）（2010?河北正定中學(xué)模擬）已知角a終邊上一點

T^siny,cosy^,則角a的最小正值為（）

［答案］B

.生_?元小

［解析］由條件知,

1

sina=cos

29

，角。為第四象限角，??-2兀->巖故選B.

6sina+cosa

5.已知點P(l,2)在角〃的終邊上，則的值為(

3sina_2cosa)

13

A.3BT

17

C.4D.~4

［答案］B

［解析］由條件知tana=2,

.6sina+cosa6tana+l13

3sina-2cosa3tana-24

6.(2010?廣東佛山順德區(qū)質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=sinx在區(qū)間［a,切上是

增函數(shù)，且八〃)=—1,月5)=1,則cos""=()

A.0B.申

C.-1D.1

［答案］D

a?b

［解析］由條件知，a=—伏BZ),b=g+2A7r,/.cos

=cos2比元=1?

7.(2011?北京東城區(qū)質(zhì)檢)若點P(x,y)是300。角終邊上異于原點

的一點，貝吐的值為.

［答案］一由

［解析J依題意，知:=tan3000=-tan6()o=-qi

8.(2011?太原調(diào)研)已知角”的頂點在原點，始邊與x軸正半軸

重合，點P(—4機(jī),3機(jī))(m>0)是角a終邊上一點，則2sina+cosa=

［答案R

22

［解析］由條件知x=—4m9y=3m9r=yjx+y=5\m\=5m9Asina

v3x4

=r=5,cosa=-=-g,

A2sina+cosa=1.

1.（文）（2011?深圳一調(diào)、山東濟(jì)寧一模）已知點P（sin竽，cos亨）落

在角，的終邊上，且夕￡［0,2力，則夕的值為（）

A垢細(xì)

A-4BT

「5九八In

Cj—4D?—4

［答案］D

［解析］由sin停＞0,cosmVO知角0是第四象限的角，?.?taiiO=

37r

COST

77r

—^-=-1,［0,2元)，：.0=

4,

sin彳

（理）（2011?新課標(biāo)全國理，5）已知角0的頂點與原點重合，始邊

與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，貝！Ico§20=（）

A.一:B.Y

9^0

［答案］B

［解析］依題意：tan0=±2,/.cos0=±^,

75

24co*，—sin%

:.cos20=2COS20—I=￡-1=-￡或cos2〃=—..=

55cosz20/)+sin20

1—tan2^1—434、兒

l+tan^=I+4="5,故選B?

2.（2010?青島市質(zhì)檢）已知｛斯｝為等差數(shù)列，若山+恁+。9=元,

則COS（a2+〃8）的值為（）

A.一..一平

C.品乎

［答案］A

［解析］由條件知，加=。1+。5+。9=3。5,???。5=去

27rn1

()

COS?2+?8=COS2fl5=COST=-COS2=-j故選A.

3.(2011?綿陽二診)記a=sin(cos2010°),*=sin(sin2010°),c=

cos(sin2010°),d=cos(cos2010°),則a、b、c、d中最大的是()

A.〃B.b

［答案］C

［解析］注意到2010°=360°X5+180°+30°,因此sin2010°=-

sin30°=—cos2010°=-cos30°=—一江一—2<—2

1d57tl小小

<0,0<T<^-<T,COST>COS^->0,a=sin(-^-)=-sin^-<0,6=sin(—

??i113J3

］)=—sin^vO,c=cos(-=cos2>??d=cos(-^-)=cos^->0,Ac>d,

因此選C.

［點評］本題“麻雀雖小，五臟俱全”考查了終邊相同的角、誘

導(dǎo)公式、正余弦函數(shù)的單調(diào)性等，應(yīng)加強(qiáng)這種難度不大，對基礎(chǔ)知識

要求掌握熟練的小綜合訓(xùn)練.

4.（文）（2010?北京西城區(qū)抽檢）設(shè)0<|。/，則下列不等式中一定

成立的是（）

A.sin2a>sinaB.cos2(z<cosa

C.tan2a>tanaD.cot2a<cota

［答案］B

TT7T

［解析］當(dāng)一時，A、C、。不成立.如〃=一不貝!|2G=一

元?■也.1也1-G

，〈一*

sin2a=-2sina=-5,—2tan2a=—\3,tana=-3，

cot2a=-4,cot“=—而一小v—q,此時，cot2a>cota.

JJ

（理）如圖所示的程序框圖，運(yùn)行后輸出結(jié)果為（）

A.1B.2680

C.2010D.1340

［答案］C

［解析］?.?大〃）=2§1《號+舒+1=20）§譬+1.由S=S+/（〃）及n=n

+1知此程序框圖是計算數(shù)列為=2cos罟+1的前2010項的和.

(n.lit..2010^.n

=2lcos^+cosry+c???+cos-~~\+2010=2X335Xcos§

.In,37rl47rl5n.67rl八.八.八

+COS7+cos§十cosr^~+cos-^~+cosr^~+2010=2010.

5.（文）（2010?南京調(diào)研）已知角a的終邊經(jīng)過點P（x,-6）,且tana

=一］3，則x的值為.

［答案］10

—63

［解析］根據(jù)題意知tanauq-=—g,所以x=10.

（理）已知△ABC是銳角三角形，則點P（cosB-sinA,tanB-cotC）,

在第象限.

［答案］二

JT

［解析］:△ABC為銳角三角形，???0<4<不

0<B<?,0<C<?,且A+8>m，B+O5,

B>0,OO,

?.?y=sinx與y=tanx在（0,號上都是增函數(shù)，

伉、伉、

/?sinA>sin^2—BJ,tanJ?>tan^j-CJ,

:.sinA>cosB,tanB>cotC,，P在第二象限.

6.在（0,2元）內(nèi)使sinx>cosx成立的x的取值范圍是.

【答案謂,爭

［解析］由三角函數(shù)定義結(jié)合三角函數(shù)線知，在（0,2元）內(nèi)，使

sinx>cosx成立的x的取值范圍為百學(xué)）.

［點評］要熟知單位圓中的三角函數(shù)線在三角函數(shù)值的大小中

的應(yīng)用.

7.（文）（2010?上海嘉定區(qū)模擬）如圖所示,角?的終邊與單位圓（圓

心在原點，半徑為1的圓）交于第二象限的點A'OS以，則cosa—

sina=.

［答案

J

3

［解析I由條件知，sincc=w，

7

-

:.cosa=—z,:.cosa—sina=5

（理）直線y=2x+l和圓好+產(chǎn)=1交于A,B兩點，以工軸的正

方向為始邊，04為終邊（O是坐標(biāo)原點）的角為a,05為終邊的角為

/?,求sin?+0的值.

［答案

［解析］將y=2x+l代入必+）2=1中得，??.x=0或

.3

j,AA(O,1),故sina=l,cos(z=0,sinfl=-7，cos/?

4

5，

4

:.sin(a+fl)=sinacos)?+cosasin/?=-g?

［點評］也可以由4（0,1）知?=?,

:.sin(a+6)=sin^+/?j=cosp=

8.（文）已知角a終邊經(jīng)過點P（x9—，i）（xH0）,且cosa=x.

求sina+;-----的值.

tana

［解析］???P（x,一也）（x￥0）,

點尸到原點的距離r=y］x2+2.

又cosa=^x,x/

?.儂"="吃=6"?

Vx^O,:?r=2小.

當(dāng)工=亞時，P點坐標(biāo)為（師，一也），

由三角函數(shù)的定義，有simz=一坐，油^=一、6，

?人加”+熹=-乎-尺-6乖+#

~~6~

當(dāng)x=—"V訶時，同理可求得sin”+油^=6下6"

（理）已知sin。、cos。是方程x2—1口+機(jī)=0的兩根.

⑴求雁的值;

sin。cos。

⑵求的值.

1—cot。+1—tan。

［解析］(1)由韋達(dá)定理可得

sinO+cosO=由一1①

sinO,cos〃=，〃②

由①得l+2sin9-cose=4-2」i

將②代入得帆=孑一下，滿足A=(小一1)2—4機(jī)20,

故所求m的值為。一小.

sin〃cosOsin。]cos0

⑵先化簡:"I1

1—cot。1—tan。cos0sin。

sin。cos，

sil12〃cos?”cos2。一§加2夕

=cos0+sin0

sin，一cos。cos。一sin。cos。-sin。

=V3—1.

1.已知關(guān)于x的方程2必一(小+l)x+/n=0的兩根為sin。和

cos〃，且?！?0,2九)，

sin，cos。

⑴求的值;

1—cot。1—tan。

(2)求m的值；

⑶求方程的兩根及此時0的值.

［解析］(1)由韋達(dá)定理可知

小+]

sin，+cos，=,①

sin0?cosO=—②

而sin夕cos夕siMlcob，

1—cot〃1—tan〃sin〃一cos。cos。一sin。

=sin，+cos0=-2-；

(2)由①兩邊平方得l+2sin，cosO=^^,

將②代入得力=與；

⑶當(dāng)機(jī)=乎時，原方程變?yōu)?/p>

2——(1+小口+孚=0,解得xi=坐，X2=y

sinO=乎fsin0=1

］或'2^3

{cos0=2Icos0=2

jrTT

又0W(0,2n),:.或Q.

UJ

2.周長為20cm的扇形面積最大時，用該扇形卷成圓錐的側(cè)面,

求此圓錐的體積.

［解析］設(shè)扇形半徑為，，弧長為1,貝h+2r=20,

AZ=20-2r,

S=；〃=；(20—2r)?r=(10—r)?r,

???當(dāng)r=5時，S取最大值.

此時Z=10,設(shè)卷成圓錐的底半徑為A,則27TK=10,

-R=n9

???圓錐的高h(yuǎn)=、l5」鼾=鼠果

(51.5擊2-1」25擊2-1

V=^nR2h=^X

Wn~3n2

1.（文）（2010?四川文）將函數(shù)j=sinx的圖象上所有的點向右平行

移動已個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐

標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（）

A.y—sinl2x-IB.j=sinl2x—5

［答案］C

［解析1??,向右平移/個單位，，用工一已代替產(chǎn)sinx中的x；

??,各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，J用上代替尸sing一堀中的”,

??得J=sin^2-r一

（理）（2011?大綱全國卷理，5）設(shè)函數(shù)A%）=cos①x（M>0）,將y=f（x）

的圖象向右平移三個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則口的

最小值等于（）

A.1B.3

C.6D.9

［答案］C

［解析］由題意知，卜務(wù)A（FZ）,

；.co=6k,令4=1,=6.

2.（文）函數(shù)/（x）=sin2x的最小正周期和最小值分別為（）

A.2元，~1B.2九，0

C.n90D.n91

［答案］C

■1-cos2x27r

［解析IV/（x）=siii2x=2，，周期丁=5=心

又一工）=§加2%20,???最小值為0,故選C.

（理）（2011?濟(jì)南模擬）函數(shù)A*）=2cos2x—y§sin2x（x￡R）的最小正

周期和最大值分別為（）

A.2元，3B,2元，1

C.元,3D.n,1

［答案］C

［解析I由題可知，J（x）=2cos2x—q§sin2x=cos2x—，5sin2x+1

jr

=2sin（^—2x）+1,所以函數(shù)小:）的最小正周期為了=