高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及答案(共11單元)06常微分方程

第六章常微分方程

習(xí)題6-1

1.在下列方程中，找出微分方程,并指出其階數(shù):

(1)W=ylny；(2)2x3+3y2+xy=l

(3)y〃+3y'+4)，=0；(4)yn-3yr+2y=x.

答案：

(1)是微分方程，一階.

注該方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為一階.

(2)不是微分方程.

注該方程不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(3)是微分方程，二階.

注該方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為二階.

(4)是微分方程，二階.

注該方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為二階.

2.下列各題中，所給函數(shù)是否為所給微分方程的解？如果是，是通解還是特解？(其

中均為任意常數(shù))

(1)xy'=2y,y=5x2；(2)y1+y=e~x,y=ex(x+C)

(3)/=x2+/,y=—；

x

3x

(4)y〃-4y+3y=0,y=Cg+C2e.

答案：

(1)是解，特解.

注將＞=5/代入孫，=2＞滿足方程，且不含任意常數(shù)，故為特解.

(2)不是解.

注將y=e'(x+C)代入y'+y=eT,不滿足方程，故不是解.

(3)不是解.

注將y=2■代入y"=/+y2,不滿足方程，故不是解.

X

(4)是解，通解.

注該方程為二階微分方程，將丁=。|/+。26“代入y〃—4y'+3y=0,滿足方程,

且含有兩個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，故為通解.

3.求下列微分方程的通解.：

(1)y=3x2；(2)y+^r=o；

i

(3)yn=sinx；(4)ym=6x.

答案：

⑴y=3x2

解將方程兩邊積分，得方程的通解為

y=x3+C.

(2)y1+xex=0

解方程變形得

y'=-xex,

將上式兩邊積分，得原方程通解為

y=e'(l-x)+C.

(3)yn=sinx

解將方程兩邊積分得

/=-cosx+C),

將上式兩邊積分，得原方程通解為

y=-sinx+C]X4-C2.

(4)ym=6x

解將方程兩邊積分得

/=3X2+C,,

將上式兩邊積分得

y'=丁+G%+C2,

將上式兩邊積分，得原方程通解為

y=-x4+—C|X~+C?x+G,

習(xí)題6-2

1.解下列微分方程：

⑴W=ylny；(2)—=ysinx；

dx

⑶y'-xy2=xi(4)sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0；

⑸W=y,yL=2；(6)y』2rL=0；

2

y?7i

(7)——=yiny,y*=e；(8)cosxsinydy=cosysinxdx,y\=—.

sinxx=3g。4

答案：

(1)xy'=yIny

解分離變量，得

--------dy=-dx，

yinyx

兩邊積分為

—Jy=[-dx

yInyJx

InIny=Inx+liiC

\ny=Cx

即通解為

答ysinx

解分離變量，得

—dy=sinxdx,

y

兩邊積分為

\—dy=[sinAtZr

Iny=-cosx+C1

令C=T、得原方程通解為

y=Ce-cosx

(3)/-xy2=x

解分離變量，得

dy=xdx,

l+y2

3

兩邊積分為

解得原方程通解為

12「

arctany=—A+C.

(4)sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0

解分離變量，得

sec2y.sec2x.

-------ay=----------dx,

tanytanx

兩邊積分為

22

[0力=」￡公

JtanyJtanx

Intany=-lntanx+lnC

tany=C(tanx)-1，

得原方程通解為

tanxtany=C.

⑸孫，=%九=2

解將方程分離變量然后積分，得

Iny=Inx+lnC，

即得通解為

y=Cx,

將y|i=2代入上式，得C=2,故所求特解為

y=2x.

⑹少'「兒旬=0

解將方程分離變量然后積分，得

\eydy=\e2xdx.

4

即得通解為

將丸=0=0代入上式，得C=；，故所求特解為

2

y，

⑺~^=yh\y,y*=e

sinxx=-

解將方程分離變量然后積分，得

「dy=\sinxdx，

Jyiny

即得通解為

InInj^-cosx+C,

將y肝二e代入上式，得C=0,故所求特解為

x=-

InIny=-cosx.

n

(8)cosxsinydy=cosysinxdx,兒力

4

解將方程分離變量然后積分，得

!\anydy=Jtanxdx

-Incosy=-Incosx-InC，

即得通解為

cosy=Ccos^,

將y|i=三代入上式，得。=一，故所求特解為

42

V2

cosy=—^-cosx.

2.（環(huán)境污染問(wèn)題）某水塘的體積為V,在某一時(shí)刻發(fā)現(xiàn)該水塘含有10%的有害物質(zhì)，

立刻排除污染源并采取治污措施。假設(shè)采取措施后，水塘中有害物質(zhì)的減少率與有害物質(zhì)的

總量成正比，且與水塘的體積成反比，5天后測(cè)得有害物質(zhì)的含量為5%,求99%的有害物質(zhì)

被排除所需要的時(shí)間.

解設(shè)在采取措施7天時(shí)，有害物質(zhì)的含量為y,有害物質(zhì)含量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

y=y(0?

5

根據(jù)題意得y'=Ay，2為待定系數(shù)，且滿足初始條件切力曰期丫，M=s=5%v-

解微分方程

7

vb

<XO)=O.lv,解得lny=±，+C

y(5)=0.05v

代入初始條件1=0,)，=0.“得：C=lnO.lu

k-in?

代入初始條件，=5,y=0.05v得：ln0.05v=-x5+ln0.1v,所以攵=」^vn-0.139V

v5

故有害物質(zhì)含量與時(shí)間函數(shù)關(guān)系為In)，=-0.139r-ln0.lv,

把y=10%vx(l—99%)=0.00W代入上式，得In0.00lv=-0.139r+ln0.1v,

求解得r?33.1,因此99%的有害物質(zhì)被排除所需要的時(shí)間為34天.

3.請(qǐng)求出本節(jié)引例中/時(shí)刻得病人數(shù)x(f)隨時(shí)間，變化的函數(shù)關(guān)系，并分析如果不采取任何

措施，將會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果.

解引例為微分方程］=p(N-x),初始條件為用

對(duì)上述微分方程分離變量然后積分，得［—!—dx=［dt,

Jp(N-x)J

求解得通解為x=N—Ce-",將聞=。=兩代入，求得特解為x=N-(N-%)e-m,

p,

即得/時(shí)刻得病人數(shù)x(t)隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系x=N-(N-x0)e~,當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)

不采取任何措施，最終所有人都將被感染得病.

習(xí)題6-3

1.求下列微分方程的通解:

(1)y'+4y=-5；(2)/+y=cosx；

(3)(x2+l)y+2^=4x2：⑷孫'-d=y；

(5)yn=y+x.

答案：

(1)yf+4y=-5

解這是一階線性非齊次微分方程，P(x)=4,Q(x)=-5,代入通解公式，得

6

dx+C

=e~4x(-e4x+C)

4

所以，原方程的通解為

y=--+Ce~4x.

-4

(2)yr+y=cosx

解這是一階線性非齊次微分方程,P(x)=l,2(x)=cosx,代入通解公式，得

y=e"'(fcosxe/％

k+C)

=(JcosxC+C)

=e~x^ex(cosx+sinx)+C

=(sinx+cosx)+Ce~x,

所以，原方程的通解為

y=；(sinx+cosx)+Ce~x.

(3)(x2+])yf+2xy=4x2

解方程變形得

,2x4x2

y+i>=2J

2X+1X+1

4x2

該方程為一階線性非齊次微分方程，P(x)=-^-，。⑶代入通解公式，得

廠+1

y=ex'+i([f—er+,dx+C)

Jx~+1

=/M+D((?+C)

JX+1

=^—(f4x2dv+c)

X+1J

7

="(p+c)

x+13

4-C4X3+3C

-3(X2+1)X2+1-3(X2+1)>

所以，原方程的通解為

41+3C

y=?

3(x2+l)

(4)

解方程變形得

,12

y一一，

X

該方程為一階線性非齊次微分方程，尸(%)=-',。(幻=代入通解公式，得

X

y=』'"(j/eJ.S公+C)

=x(^xdx-\-C)

=—x3+Cx,

2

所以，原方程的通解為

y=-x3+Cx.

⑸y=y+x

解方程變形得

/-y=x,

令了=〃，則y"二p1原方程可化為

P,-P=x,

其中P(無(wú))=一1,。(%)=%，代入通解公式，得

p=：”\Zr+C)

=ex^xe-xdx+C)

=-x-1+Ce”,

對(duì)y=〃=[r-l+CF求積分，得

8

y=j(-x-l+Cex)dx

——~X2-X++C*2?

所以，原方程的通解為

1、

y=~—x~-x+Cc”+C?.

2.求下列微分方程滿足初始條件的特解：

⑴2y'+y=3,yLo=O：(2)孫'一丁=2,乂日=3；

(3)W+y=/,咒=[=e+2；(4)yf-ytanx=secx,y\=0；

⑸母"+y=o,)k=2,=i.

答案：

⑴2y'+y=3,yLo=°

解原方程可化為

,13

y+—y=—,

22

利用一?階線性非齊次微分方程的通解公式，得方程的通解為

-f-drf3-f-rfr

),二〃2(J|ej2dx+C)

=/r(j|Zdr+C)

=3+C/r,

將y|i）=o代入上式，得c=—3,于是所求特解為

y=3-3e,二

（2）孫一丁二義兒:??？

解原方程可化為

，12

y一尸一，

XX

利用一階線性非齊次微分方程的通解公式，得方程的通解為

j'drp2-f-dr

y=eix(J—exdx+C)

x

x(j—d^+C)

9

=—2+Cx,

將y|i=3代入上式，得C=5,于是所求特解為

y=-2+5x.

(3)xy'+y=ex,尢1=e+2

解原方程可化為

y,+1—y=—1QX,

xx

利用一階線性非齊次微分方程的通解公式，得方程的通解為

y=，么(/1/3,%+C)

=-(\exdx-C)

X

1c

=—er+一,

xx

將y|i=e+2代入上式，得C=2,于是所求特解為

y=-ex+-=-(ex+2).

XXX

(4)y-ytanx=secx,y|v=0=0

解利用一階線性非齊次微分方程的通解公式，得方程的通解為

y=C)

=e-,ncoSA(jsec^,ncosxdx+C)

=-^—(x+C),

cosx

將yko=O代入上式，得C=0,于是所求特解為

X

y=

COSX

⑸沖"+y=o，Mi=2,)，1i=i

解令了=〃，則y"=p’,原方程可化為

xp'+〃=0,

變形得

，1

p+—p=0n,

x

10

利用一階線性齊次微分方程的通解公式，得方程的通解為

對(duì)y'=p=6求積分,

得

x

1—dr=C1Inx+C?

y2

將ME=1，HE=2分別代入，得G=1，G=2,于是所求特解為

y=\nx+2.

3.（降落傘下降問(wèn)題）假設(shè)降落傘張開后，所受空氣阻力與降落傘的下降速度成正比,

且張開時(shí)的速度為0,求降落傘的下降速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.

解設(shè)下降速度與時(shí)間函數(shù)關(guān)系為口=貝力，

由導(dǎo)數(shù)的物理意義得M=a,。為加速度.

根據(jù)牛頓力學(xué)公式/=加々，可得

mg-kv=mv,,左為待定系數(shù)，

且滿足初始條件為“-=（）.

將以上微分方程變形為

,k

v+——v=g,

in

利用一階線性非齊次微分方程的通解公式，得方程的通解為

平力r仔力

v=e（Ige3mdt+C）

=超+屋，

k

將山=o=O代入上式，得C=_鱉,

k

所以，降落傘下降速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

kf

方旭（7）.

k

4.（RL電路問(wèn)題）在一個(gè)含有電阻R（單位：C）、電感L（單位："）和電源E（單

位：V）的RL串聯(lián)回路中，由回路電流定律，電流/（單位：4）滿足微分方程

dlRtE

dtLL

若電路中電源E=3sin2f（V）,電阻R=10C,電感L=0.5”,且初始電流為6A,求電

路中任意時(shí)刻的電流.

11

解將E=3sin2?Y),R=10C,L=0.5”代入微分方程得

/'+20/=6sin2r,

利用一階線性非齊次微分方程的通解公式，得方程的通解為

I=eJ""(j6sin2tJ°“dt+C)

=^20r(6jsin2^2(,r^+C)

20z20/20t

=e-(—sin2te--cos2re+C)，

101101

將/|T=6代入上式，得。="，

1鵬101

故/=e-^C—sin2te2Otcos2re20/+—)，

101101101

所以電路中任意時(shí)刻的電流為

3

/=—(10sin2r-cos2r+203e-20z).

101

習(xí)題6-4

1.求下列微分方程的通解:

(1)y〃+y'—2y=0；(2)/-4/=0；

(3)y"-2y'+y=0：(4)y"+y=0；

(5)y〃-4y'+5y=0

答案：

(1)y+y-2j=o

解微分方程的特征方程為

r+r-2=0,

特征根為

4=1,弓二一2,

所以，微分方程的通解為

x2x

y=C1e+C2e~.

(2)y-4/=0

解微分方程的特征方程為

r2-4r=0,

特征根為

12

4=0,弓=4,

所以，微分方程的通解為

4x

y=Ci+C2e.

⑶y〃-2y'+y=0

解微分方程的特征方程為

r2-2r+l=0,

特征根為

耳=與=1,

所以，微分方程的通解為

x

y=(G+C2x)e.

(4)y"+y=0

解微分方程的特征方程為

產(chǎn)+1=0,

特征根為

所以，微分方程的通解為

y=Gcosx+sinx.

(5)/-4/+5y=0

解微分方程的特征方程為

2

r-4r+5=0,

特征根為

42=2±i,

所以，微分方程的通解為

y=e2'(Gcosx+C2sinx).

2.求下列微分方程滿足初始條件的特解：

⑴y〃+4了+3y=0,必=6,y|t=o=10；

⑵<+2了+3)=0,乂曰=1,/|內(nèi)=5；

⑶y〃-10y+25y=04=1,^^=。

13

答案：

⑴y〃+4了+3y=0,y|…=6,了[7=10

解微分方程的特征方程為

r2+4r+3=0,

特征根為

f]=一"=一3，

所以，微分方程的通解為

x3x

y=C,e-+C2e~,

故3c2*3、

將乂D=6,>Lo=10代入以上兩式，得G=14，G=-8，

故所求的特解為

y=l4e~x-Se~3t.

⑵y〃+2y，+3y=0,出句=1,7|1二5

解微分方程的特征方程為

r2+2r+3=0,

特征根為

r2=—1±V2z?

所以，微分方程的通解為

r

y=e-(C]cosV2x+C2sinV2x),

將y|i)=i代入上式，得G=i，于是

x

y'=e~(y[2C2cosV2x-cos-C2sin-V2sinV2x),

再將)(9=5代入上式，得。2=3行，

故所求的特解為

y=e~x(cos41x+3后sinV2x).

⑶y-ioy+25>-o,y|x=()=i,y|^=o

解微分方程的特征方程為

r2-10r+25=0,

14

特征根為

q=G=5,

所以，微分方程的通解為

5x

y=(G+C2x)e,

故y'=(5G+G+5Gx)*,

將乂1)=1，31=0=°代入上式，得G=i，G=-5，

故所求的特解為

y=(l-5x)e5r.

3.質(zhì)量為1g的小球用彈簧固定，放置于水平光滑的滑槽內(nèi)，彈簧的另一端固定，將小

球向右拉至距離平衡位置5cm,然后放開，小球開始在平衡位置附近左右運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)

程中，小球所受阻力與速度成正比(設(shè)比例系數(shù)為5),彈簧恢究力與位移s成正比(比例

系數(shù)為4),求小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

解小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以表達(dá)為位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，即s=s?),

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，速度為》=￡'"),加速度為a=S〃(1),

據(jù)題意可知，品=-5u=-5s',4=-4s,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)公式尸二”,

可得與y+%=ma,即

-5s'-4s=sH,

該方程變形為

s"+5s'+4s=0,

解該二階常系數(shù)線性齊次微分方程，得通解為

,

s=C[e~+C2e^f

20S

根據(jù)初始條件4力=5,s(力=0可求得G=y,C2=-1,

所以，小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

,20/5用

s=-e—e.

33

習(xí)題6-5

1.解下列微分方程：

(1)yH+yr-2y=3xex；(2)y"-3yr+2y=e2xsinx；

(3)yn-2y'-3y=e4x；(4)y"+y=4xe'；

15

(5)y"+y=4sinx；(6)-4y'+Sy=x2ex；

(7)y"-3y'+2y=e~x+ex；(8)yn-4yf+4y=ex+sinJ.

答案：

(1)yH+y,-2y=3xex

解相應(yīng)齊次方程的特征方程為

產(chǎn)+―2=0,

特征根為4=1,弓=一2,故齊次方程的通解為

x2x

Y=C.e+C2e~,

因?yàn)?=1是特征單根，故令7=x(Ar+B)，是原方程的一個(gè)特解，則

歹=(加2+2阻+&+3)/,

V=(Ax2+4Ax+Bx+2A+2B)ex,

代入原方程并整理得

6Ax+3B+2X=3x,

解得A=',8=-J,從而

23

—/121vr

y=(2x'

所以，原方程的通解為

x2x2x

y=C[e+C2e~+(^xx)e.

(2)yH-3yr+2y=e2xsinx

解相應(yīng)齊次方程的特征方程為

r2-3r+2=0,

特征根為4=1,0=2,故齊次方程的通解為

xx

Y=C,e+C2e,

因?yàn)?=2±i不是特征根，故令9=e2%Acosx+Bsinx)是原方程的一個(gè)特解，則

yf=e2x[(2A+B)cosx+(2B-A)sinx],

yH=e2x\(3A+4B)cosx+(3B-4A)sinx],

16

代入原方程并整理得

(B-A)cosx-^(-A-B)s\nx=sinx,

解得A=-L,B=-L,從而

22

y=e2v(--cosx--isinx),

所以，原方程的通解為

x2x

y=Cte+C262r__(cosx+sinx)e.

⑶)，〃一29—3y=/'

解相應(yīng)齊次方程的特征方程為

，一2—3=0,

特征根為4=-1,弓=3,故齊次方程的通解為

xx

Y=Cxe-+C^,

因?yàn)?=4不是特征根，故令》=Ae4x是原方程的一個(gè)特解，則

4x

Y=4Aef歹=16A*,

代入原方程并整理得

5A=1,EPA=-,從而

所以，原方程的通解為

y=C.e-x+C/x+-e4x.

(4)yH+y=4xex

解相應(yīng)齊次方程的特征方程為

r24-1=0,

特征根為/=±，，故齊次方程的通解為

丫=Gcosx+Gsinx，

因?yàn)閹?1不是特征根，故令了=(Ar+8)e'是原方程的一個(gè)特解，則

yn=(Ax+2A+B)el,

17

代入原方程并整理得

2Ax+2A+2B=4x,

解得4=2,8=-2,從而

x

y=(2x-2)ef

所以，原方程的通解為

A

y=Gcosx+C2sinx+2(x-l)^.

(5)y"+y=4sinx

解相應(yīng)齊次方程的特征方程為

產(chǎn)+1=0,

特征根為飛=士'，故齊次方程的通解為

y=Gcosx+C2sinx,

因?yàn)?l±d=±i是特征根，故令》=x(Acosx+Bsinx)是原方程的一個(gè)特解，則

yn=(-Ax+2R)cosx+(-Bx-2A)sinx,

代入原方程并整理得

2Bcosx-2Asinx=4sinx，

解得A=-2,B=0,從而

y=-2xcosx.

所以，原方程的通解為

y=C)cosx+C2sinx-2xcosx.

(6)y"-4y+8y=x2ex

解相應(yīng)齊次方程的特征方程為

r2-4r+8=0,

特征根為七=2±2晨故齊次方程的通解為

2r

Y=e(C]cos2x+C2sin2x),

因?yàn)?=1不是特征根，故令夕=(42+&+。)/是原方程的一個(gè)特解，則

2x

Y=(Ax+2Ax+Bx+B+C)et

18

7=(Ar2+4Ar+B^+2A+2B+C)^\

代入原方程并整理得

5AX2+(5B-4A)X+(5C-28+2A)=f,

142

解得A=L,8=—,C=一二，從而

525125

廣卷(25f+20x—2)/,

所以，原方程的通解為

2x

y=/NGcos2x+C2sin2x)+(25x+20x-2)e.

(7)yH-3y+2y=e~x+ex

解相應(yīng)齊次方程的特征方程為

r2-3r+2=0,

特征根為4=1,弓=2,故齊次方程的通解為

xx

Y=C.e+C2e^.

下面，求y〃-3)，'+2y=eT的一個(gè)特解

因?yàn)?=—1不是特征根，故令工=4"、是方程的一個(gè)特解，則

xx

y；=-Ae-ty；=Ae-f

代入方程并整理，解得A=,，從而方程得一個(gè)特解為

6

一1.X

%=才?

O

接下來(lái)，求y"-3y'+2y=?'的一個(gè)特解區(qū).

因?yàn)?=1是特征單根，故令％=&/是方程的一個(gè)特解，則

xx

月=(Bx+B)ety^=(Bx+2B)e,

代入方程并整理，解得8=-1,從而方程得一個(gè)特解為

x

y2=-xe.

故原方程得一個(gè)特解為

1—rr

y=—e-xe.

6

所以，原方程的通解為

19

x

y=CyC+C2*+ke'~x。'

(8)y"-4y'+4y=ex+sinx

解相應(yīng)齊次方程的特征方程為

2

r-4r+4=0,

特征根為q=弓=2,故齊次方程的通解為

2x

Y=(C,+C2x)e.

下面，求y〃-4)，'+4y=e"勺一個(gè)特解見

因?yàn)?=1不是特征根，故令%=A/是方程的一個(gè)特解，則

y；=Aex,y；=Aex,

代入方程并整理，解得4=1,從而方程得一個(gè)特解為

接下來(lái)，求y〃-4丁'+4丁=$山工的一個(gè)特解區(qū).

因?yàn)?1±加=±;不是特征根，故令%=8cosx+Csinx是方程的一個(gè)特解，則

y'2=Ccosx-Bsinx,=-Bcosx-Csinx,

43

代入方程并整理，解得5=一,C=±,從而方程得一個(gè)特解為

2525

_43

%=—cosx+—sinx.

22525

故原方程得一個(gè)特解為

43

+—COSX+——sinA-

25

所以，原方程的通解為

xx43

y=(G+C2x)e~+e+—cosx+—sinx

2.一質(zhì)量為〃，的物體從水面由靜止開始下降，假設(shè)物體所受阻力與其下降速度成正比

(比例系數(shù)為k),求物體下降深度力與時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系.

解設(shè)物體下降深度人與時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系為〃=/?(/),

由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，下降速度為□="?),加速度為。=/?〃?),

據(jù)題意可■知，F(xiàn)^=kv=kh\G=mg,

20

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)公式F=ma,可得G-弓且="以，即mg-kh'=mhn,

該方程變形為

mhn+kh'=mg,

解該方程為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，得通解為

h=Cl+C2e^,

22

根據(jù)初始條件4.=0，〃1』=0可求得G=—$g，G=*g，

KK

所以，物體下降深度〃與時(shí)間f的函數(shù)關(guān)系為

,m2m2--k,mg

復(fù)習(xí)題六

1.判斷題：

(1)函數(shù)y=3sinx+4cosx是微分方程y"+y=0的一個(gè)特解；()

(2)半=3孫+y是可分離變量的微分方程；()

ax

(3)函數(shù)y=5f是微分方程孫，=2)的一個(gè)特解；()

(4)方程肛'+2y=x是一階線性微分方程.()

答案：

(1)V；

注將y=3sinx+4cosx代入y〃+y=0,滿足方程，且不含任意常數(shù)，故為特解.

⑵V；

注方程半=3盯+y可變形為電=(3x+l)①:，故是可分離變量微分方程.

axy

(3)J；

注將y=5f代入孫，=2y,滿足方程，且不含任意常數(shù)，故為特解.

(4)J.

2

注方程孫'+2y=x可變形為y'+—y=l,故為一階線性微分方程.

x

2.填空題：

(1)微分方程半=2肛的通解是___________________；

dx

21

(2)微分方程(1+f)y一y=o滿足此力=］的特解氈；

(3)方程y〃—3y'+Uy=0的通解是y=e〃G()+C2()］；

4

(4)方程y"-2y'—3y=/，的通解是〉=。2'+。2/，+()；

(5)方程y"-2y'+y=4cosx的通解是y=G，+.

答案：

⑴y=C5；

注分離變量，得

—dy=Ixdx，

y

兩邊積分為

dy=^2xdx

Iny=x2+InC

、，八『Tine

y—e,

即通解為

y=Cex\

(2)y=earcunr；

注原方程可化為

y'_7~^y=o，

利用??階線性齊次微分方程的通解公式，得方程的通解為

必

y=Ce}+x

aTCtanx

—(je

將Hz=i代入上式，得c=i,于是所求特解為

(3)cosx,sinx；

注微分方程的特征方程為

22

尸"=0,

特征根為

3*.

七=耳±八

所以，微分方程的通解為

耳

2

y=e(C,cosx+C2sinx).

⑷

5

注相應(yīng)齊次方程的特征方程為

特征根為4=-1,弓=3,故齊次方程的通解為

x3x

Y=C,e~-i-C2ef

因?yàn)橥?4不是特征根，故令》二A/，是原方程的一個(gè)特解，則

yf=4Ae4\了"=16A/0

代入原方程并整理得

5A=\,即A=1,從而

5

_14x

y=-e,

5

所以，原方程的通解為

x3x4x

y=Cle-+C2e+^e.

(5)-2sinx.

注相應(yīng)齊次方程的特征方程為

r2-2r+l=0,

特征根為4=々=1,故齊次方程的通解為

xx

Y=Cxe+C2xe,

因?yàn)?；I土加=±/不是特征根，故令y=Acosx+3sinx是原方程的一個(gè)特解，則

y=Bcosx-Asinx,yn=-Acosx-Bsinx,

代入原方程并整理得

-2Bcosx+2Asinx=4cosx,

解得A=0,B=-2,從而

23

y=-2sinx,

所以，原方程的通解為

xx

y=Cxe+C2xe-2smx.

3.選擇題：

(1)微分方程孫'=2y的通解是()；

A.y=5x2；B.y=x2-I-1；C.y=x24-C；D.y=Cx2.

⑵方程孫'-y=V的通解是()；

I_____

24z

A.y[y[\+y)=Cr；B.y=Cxy]y+1；

C.yy]y2+1=Cx2；D.y=yj\+x2+C.

(3)微分方程xy'+y=y2滿足乂小二^的特解是(

);

A.(l+x)y=1；B.(3-x)y=1；C.2xy=1；D.(l+x2)y=1.

(4)方程y"—4y'=0的特征根是()；

A./j=1,5=4；B.=0,為=4；C.{=1,“=(；D.-2,4=4.

(5)方程y〃-2y'+y=0的特征根是()；

A.(=&=1；B.4=1,為=2；C./j==0；D.=1,^=3.

(6)方程y"—4y'+5y=0口勺特征根是().

A.4二=2±i；B.{=1,弓=3：C.ri2=2±2/：D.r\2=l±z.

答案：

⑴D；

注分離變量，得

1,1

——ay=—aJx,

2yx

兩邊積分為

[——dy=\—dx

J2y.Jx

—In)?=Inx+lnC

24

y=Cx2，

即通解為

y=Cx2.

⑵B；

注分離變量，得

―：-----dy=—dx,

兩邊積分為

\^-dy=\-dx

Jy+yJx

\y^~y~dy=\-dx

Jy+yJx

\^T^-dy-\^—dy=\-dx

Jy+yJy+yJx

\-dy--\-^—dy=\—dx

Jy2J/+1Jx

Iny——ln(y2+1)=Inx+lnC

Jr+1

即通解為

y=Cx^jy2+

⑶A；

注分離變量，得

11

—z-----aJy=—dJx,

y-yx

兩邊積分為

-dy=\—dx

Jy2-y'Jx

25

ln(y_l)_lny=lnx+lnC

y-1_

-Crx9

y

將y|i=」代入上式，得C=—l,故特解為

^-=xf即(l+x)y=l.

y

(4)B；

注該二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程為

r2-4r=0,

解得4=0,0=4,故特征根為

4=0,&=4.

⑸A；

注該二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程為

r2-2r+l=0,

解得4=4=1,故特征根為

「弓=1.

(6)A.

注該二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程為

r2-4r+5=0,

解得耳2=2±"故特征根為

%二2土"

4.求微分方程的通解：

ds

(1)e-5(l---)=1；(2)/-y=sinx：

dt

(3)y'-6y=e3x；(4)yn-yr-2y=x2；

(5)yn-4/+