高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及答案(共11單元)08無窮級數(shù)

習(xí)題9」

1.寫出下列級數(shù)的前五項:

⑴Z

n=l1+n

(一1)〃

⑶Z?

n=l/1=1

解（1）第一項為1,第二項為之，第三項為色，第四項為』，第五項為9。

5101726

（2）第一項為工，第二項為工，第三項為第四項為2一,第五項為」一。

21240112288

（3）第一項為-1,第二項為1，第三項為-1，第四項為,，第五項為

2345

（4）第一項為e,第二項為2/,第三項為3/,第四項為43，第五項為5/。

2.寫出下列級數(shù)的一般項:

（1）1+—+—+—+…

357

(3)J+0+L2+*+…

24567

解⑴

(H+l)ln(w+1)

3.根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義，判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，并求其和.

[82"；91

(1)⑵E

〃=1n=l(2〃-1)(2〃+1)

(3)￡(y/n+2-2>!n+1+4n).

n=\

解：⑴級數(shù)的部分和為

s”二車9二2〃八2

limS=lim(2n+,-2)=+oo

因為n

W->?>"Too'

所以級數(shù)￡2"發(fā)散.

w=l

1

(2)因為

(2鹿一1)(2〃+1)-2n+l

所以級數(shù)的部分和為

S1+J，

+???+

"1x33x55x7(2n-1X2/1+1)

2335572〃-12n+1

21系

n

2n+1

而lim=lim---=lim

n->302〃+1箋2+i2

n

所以級數(shù)￡

收斂.且級數(shù)的和為

〃=1(2〃一1)(2〃+1)2

(3)因為(j/z+2-2J〃+1+\fn)=(j〃+2—J/?.+1)—(j/z+1—y[n)

所以級數(shù)的部分和為

Sn=(V3-2V2+D+(V4-2V3+V2)+---+(VH72-2VW+T+VA?)

=(5/3-V2)-[y/2,-1(5/4-V3j-~5/2j+…+(J〃+2-J-+1)-(J〃+1-yfii)

(XM+2-J〃+1)-(V2-1)

1-{yp2-1j

(y?+2+V/i+ij

1-lim(V2-l)=l-V2

而lims

〃T8n“二g卜〃+萬+J-+7)

所以級數(shù)士--------------收斂.且級數(shù)的和為1-V2.

￡(2〃一1)(2〃+1)

4.判別下列級數(shù)的斂散性，若收斂，并求其和.

(1)~24-8+16-

(2)e—e2+e3—e4+

121212

⑶弓+§)+(齊+三)+(￥+予)+…

(4)14-ln34-ln23+ln33+-

01

(5)Y?ln(l+-)

M=i〃

/、￡'.萬

(6)〉wsin—

〃=in

(7)l-sinl+sin2l-sin3l+,e*

1

(8)---+----++??■+--------------1"…

1-66111116(5zz-4)(5n+1)

解：（1）級數(shù)的部分和可寫為

1

2x4"

力]]14

因為XF是4=2■的等比數(shù)列，收斂并且和為=?

Wb4113

4

y8—1!-12

同理是q的等比數(shù)列，收斂并且和為=

￡2x4〃427T3

1----

4

1

根據(jù)級數(shù)性質(zhì),也收斂，其和為

2x4”

00181422

2x4M~3-3-3

2x4"J〃?1―/1■!

（2）級數(shù)的部分和可寫為

2n-l2n\2n)

一。)=2

n=l1-el-e1+e

e2n

因為lim5n=lim(1-e)=-co

n-xonToo]+6

所以根據(jù)定義，該級數(shù)發(fā)散。

（3）級數(shù)的部分和可寫為

2

=>——+--

n2〃3〃

2

工二是4二工的等比數(shù)列，收斂并且和為

因為2

n=l2”2

2

2

21W

同理Z=是q=上的等比數(shù)列，收斂并且和為』=L

”=133]_

-3

0012、

根據(jù)級數(shù)性質(zhì),Z—+—也收斂，其和為

〃=12"

0012)81Q0.

Z--H---=y—+y-=i+i=2

2"3nJ

71=1w=l乙n=lD

(4)Z(M3產(chǎn)是以鄉(xiāng)=In3為公比的等比數(shù)列，因為In3>1,所以lim(in3)"“二+8,

〃=1/1->□0

從而lim(in3)〃T不存在，此級數(shù)發(fā)散.

n―>oo

n

(5)un=nln1+nJ=ln1+-

ln

所以limun=Inlim1+-=Ine=1w0

由級數(shù)收斂的必要條件得原級數(shù)是發(fā)散的.

.n

加sin一

(6)u=nsin—=-----

nn4

n

sin—

所以lim=4lim—&…0

71

n

由級數(shù)收斂的必要條件得原級數(shù)是發(fā)散的.

(7)級數(shù)的部分和可寫為

s〃=Z(sinl)2-2—Z(sin1尸1

y(sinl)2n-2是g=sin2]的等比數(shù)列，收斂并且和為—二_

因為

“=il-sin-l

y（sinl）2n_2是4=sin?1的等比數(shù)列，收斂并且和為」!工!丁

同理

n=）1-sin1

根據(jù)級數(shù)性質(zhì)，f(sinl)27-f(sinl)2"T也收斂，其和為

/1=1n=l

￡(sinl產(chǎn)々_￡(皿1)如

”=[n=i1-sin'l1-sin'l1+sinl

(8)因為7-------------------r=-f----------L、

(5〃-4)(5〃+1)5(5〃-45n+\)

所以級數(shù)的部分和為

S-1+1+1++1

"1x66x1111x16(5九一4*5〃+1)

1111111

1----+---------+----------+???+

5661111165/2-45〃+1

1i—M

55n+

n

5H+1

n..I

而limS=lim-----=lim——

nn>0O

-5n+1”T0°V15

n

1收斂.且級數(shù)的和為

所以級數(shù)zL

(5〃-4)(5〃+1)5

5.如果兩個級數(shù)

（1）一個收斂，一個發(fā)散

（2）兩個都發(fā)散

則它們逐項相加后所得的級數(shù)是收斂還是發(fā)散？試說明理由.

解：（1）如果兩個級數(shù)，一個收斂，一個發(fā)散，則它們逐項相加后所得的級數(shù)是發(fā)

散的.證明如下：

設(shè)級數(shù)收斂，其部分和為〃，且產(chǎn)，>>”發(fā)散，其部分和為，，由

s，l，i―mkmS,S

定義知limT；不存在。可以得到limS〃+lim7；仍然不存在。根據(jù)定義知?〃+￡乙是發(fā)

/1?1n^i

散的.

（2）如果兩個級數(shù)，兩個都發(fā)散，則它們逐項相加后所得的級數(shù)可能是收斂的也可能

是發(fā)散的.證明如下：

88

設(shè)級數(shù)￡〃“，X乙發(fā)散，其部分和分別為s〃，T”,由定義知limS”，limT；都不

存在?？梢缘玫絣imS〃+lim7；可能存在也可能不存在。根據(jù)定義知￡〃“+￡匕，可能是收

〃一>00“TOOrw=ln=l

斂的也可能是發(fā)散的.

習(xí)題9?2

1.判別下列級數(shù)的斂散性.

?2-.?2?2?2/?)

sin1sin_2sin_3sin_4sin-n

(1)-------H--------+-------+----：—+…+--------

222232〃

/、I111

(2)1H----1----1-----!-,??；

357

°6I

⑶

n=\

(4)

解：（1）因為竺2<-V，而￡4是夕="!■的等比數(shù)列級數(shù)，故級數(shù)

2nQn10?,>n

Z/乙n-1乙

是收斂的.

（2）易知￡——是正項級數(shù)，

62〃-1

1

因為]皿牛_=±,而￡一發(fā)散，故級數(shù)X——發(fā)散.

…12念〃念2〃-1

n

(3)因為)J\1二」~，

加〃+1)&+1)2n+1

而級數(shù)火」一是發(fā)散的，故級數(shù)￡/J、發(fā)散.

1I"]1

(4)當時，有‘一＜」-,而￡——是夕=上＜1的等比數(shù)列級數(shù)，故級數(shù)

1+4"an￡a"a

￡—!—是收斂的.

￡1+/

當0＜。工1時，而是發(fā)散的，故級數(shù)發(fā)散.

1+優(yōu)262七1+〃"

2.判別下列級數(shù)的斂散性

(1)

⑵消;

?=1乙

,、的3"〃！

⑶ZR

w=l〃

解：

5向

(1)lim^-=lim=lim—=0<1,所以級數(shù)是收斂的.

n—>oonw->x5〃n-><o〃+]

n\

3(〃+1)

(2)lim-21L=lim—=lim^^=-<l,所以級數(shù)是收斂的.

“-Heun->?3〃?->?6n2

F

(3)

3/G+1)!

,/+I

%+i「(n+l)3(〃+l*幾、〃

lim—=lim---------=lim-y----廣-=lim3(----)

0

…°un"f°3"〃！-(〃+l)n+\

丁

=31im[(l一一匚)《叫'I--=3^>1,所以級數(shù)是發(fā)散的.

“TOOn+\n+\

(4)故級數(shù)是發(fā)散的.

2"+i

(5)lim=lim—=2>1,所以級數(shù)是發(fā)散的.

"TOO〃〃->82"W-KC〃+[

3n

習(xí)題9?3

判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂:

1.711.711.7T1.TV

2.—sin------sin——F—rsin-------sm——I■…；

乃2/3/4/5

4.￡(7嚴號；

?=i〃+1

01

5.

?=2Inn

6.￡(T尸券；

n=l°

11111

7-------------+——------+

V2-1V3-1V4-1V5-1V6-1

登cosna

8.y---------(awO).

n=\乙

解：「％二》，-=舟T顯然有且㈣5二°'

故級數(shù)￡(-收斂.

"1x1i

級數(shù)X(-D"T-T的每項取絕對值得級數(shù)Z~r，它是p=—的〃級數(shù)，是發(fā)散的，

n-l三n-173

因此級數(shù)￡(-1嚴與條件收斂.

n=l7

n3

2.級數(shù)￡(-l)i」-sin2的每項取絕對值得級數(shù)￡」-sinX,因為

n=l%"〃n=17lntl

—sin-<—,而二一是夕=_[<1的等比數(shù)列級數(shù)，是收斂的，因此級數(shù)￡_Lsin三

萬"n乃〃不念萬‘〃

收斂.故￡(—1)"7，^出“一定收斂，且絕對收斂.

5]x1

3.級數(shù)Z(T)i=的每項取絕對值得級數(shù)■是〃=2>1的P級數(shù)，是收

n=l〃w=l〃

oc1

斂的，因此級數(shù)Z(一1)2—絕對收斂.它本身一定收斂.

w-1

4.u?=(?1片—,limun=lim(-l)—w0,由級數(shù)收斂的必要條件得

n+1—〃+1

級數(shù)￡(-1)”7/一是發(fā)散的.

]/小

5.“〃=「一，〃川=，顯然有un>w,t+l,且lim-!-=0,

Inn+n^0Inn

-._L

故級數(shù)Z(-i尸f收斂.

n=2In/?

8I00111

級數(shù)—的每項取絕對值得級數(shù)X—，因為——<-（X>l）,故

仁InnInnInxx

118]X]s]

」一<上，因為調(diào)和級數(shù)￡—是發(fā)散的，因此級數(shù)￡1一是發(fā)散的.故級數(shù)Z（-I）z——

Innn期〃MMMIn/7

條件收斂

6.級數(shù)的每項取絕對值得級數(shù)￡;彳，因為

”=13n=l3

rt+l

〃〃工二二〃〃巴里=！<1它是收斂的，因此級數(shù)￡（-l）〃T=絕對收斂.

〃79〃3〃3念3"T

'=I7―7'Mrt+1=I------7'顯然有Un>M/i+l'且

V/?+l-14-2-1

lim/1=0,故級數(shù)￡（-1廠」收斂.

…笛JATTT-I需Vn+1-i

級數(shù)y（-0n-,/1的每項取絕對值得級數(shù)y,1,因為

念Vw+1-l^Vn+1-l

I113013]

">-^==―且p級數(shù)z——是發(fā)散的，因此級數(shù)z/

“+1T”+1(〃+巾w=,(n+l)2〃=7〃+1-1

8I

是發(fā)散的.故級數(shù)Z（-1）〃T「條件收斂

n=l\n+l—1

scncrj/y④COSn/Z

8.級數(shù)Z—廠（。工0）的每項取絕對值得級數(shù)^^~了」30°），因為

n=l2〃=[2"

|cos/za且是夕=；的等比級數(shù)，是收斂的，因此級數(shù)￡筆里（。,0）絕

2〃2”122rt=i2

對收斂.

習(xí)題9?4

1.求下列寤級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間:

00J8/

(2)y—

(i)士Y-(2-〃)!

88n

(2)(4)(?

乙zn=lw+1

00n

(6)￡3"(X-3)〃；

(5)2%

/l=l

。2〃一18丫〃

(7)(8)工〒.

n?lNn=i7n

解：(1)級數(shù)的收斂半徑為

/?=lim=lim―仁丁”=lim(2n+\)(2n+2)=+oo

/r—>x/7n—1w—>oc

_______

(2〃+2)!

故鼎級數(shù)￡言?

的收斂區(qū)間為(-00,+8).

(2)收斂半徑為

亭一二lim(加±2)=3,當％=?3時，代入哥級數(shù)得

R=limlim

n—〃一>s1nBn

3n+,(n+l)

K1X1

2(-1)"一，它是一個收斂的數(shù)項級數(shù).當x=3時，代入鼎級數(shù)得￡一，它是調(diào)和級數(shù),

〃=1nA=1n

是發(fā)散的.

故暴級數(shù)的收斂區(qū)間為［-3,3).

(3)收斂半徑為

R=lim2,當冗=2時，代入某級數(shù)得它是一個發(fā)散的

〃一n=l2

/1

數(shù)項級數(shù).當工=一2時，代入哥級數(shù)得二;(-1)",它是發(fā)散的.

故幕級數(shù)的收斂區(qū)間為(-2,2).

=Iim型空@=2,所以收斂半徑為尺=2,當

（4）可以“算lim

H+1…(n+1)

2,,+'(n+2

co

X—1=?2,即x=—1時，代入累級數(shù)得J,它是一個發(fā)散的數(shù)項級數(shù).當

”=1〃+1

X-1=2,即x=3時，代入箱級數(shù)得￡3,它也是發(fā)散的數(shù)項級數(shù).

a〃十1

故基級數(shù)的收斂區(qū)間為（-1,3）.

（5）收斂半徑為

??叩8

氏=麻陽=血7『=隔上"=1,當工=1時，代入鼎級數(shù)得之（一1）〃74,

"一他山|…（T5°n“=1n

II

它是一個收斂的數(shù)項級數(shù).當x=T時，代入哥級數(shù)得!，它是調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的.

故幕級數(shù)的收斂區(qū)間為（?1』.

3〃]I12

（6）可以計算limj=—,所以收斂半徑為R=—，當工一3二——，即/=一時，代入

―工3向3333

811A

累級數(shù)得E（-l）”，它是一個發(fā)散的數(shù)項級數(shù).當工一3=」,即工=，時，代入零級數(shù)得

n=l33

Z（D"，它也是發(fā)散的數(shù)項級數(shù).

故基級數(shù)的收斂區(qū)間為[],可1.

（7）所給基級數(shù)缺奇次項，不能用上面的方法求收斂半徑R.由比值審斂法，得:

25+1）?1.2（“+1）

2(2H-1)A

根據(jù)比值審斂法，當3卜2|<1,即兇<五時，級數(shù)收斂；當國>五時，級數(shù)發(fā)散;

當工=±偵時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù)￡(2〃-1).所以級數(shù)的收斂區(qū)間為(-血,痣).

〃=0

(8)收斂半徑為

1

R=lim4n=lim

-T-1,當X=-l時，代入鼎級數(shù)得

7n+1

00181

一，它是一個收斂的數(shù)項級數(shù).當x=l時，代入幕級數(shù)得尸，它是發(fā)散的.

n=\Nnn=iyin

故幕級數(shù)的收斂區(qū)間為［-1,1).

2.求下列暴級數(shù)的和函數(shù):

oo^2?-1

(1)y—⑵

￡2〃-1

〃=1

￡用一并求￡2〃一1

(3)的值;

n=\乙n=l2"

(一1)"(2〃+1)

(4)Z(—1)〃(2〃+1)/〃，并求z的值.

〃二1n?l4"

解：(1)

]丫2(“+1卜1

即+12(n+l)-l*2,

lim=lim=lim=X

〃一＞s1w—2/2+1

—X,2.1-1

2/7-1

根據(jù)比值審斂法，當卜2|<1,即w<i時，級數(shù)收斂；當w>i時，級數(shù)發(fā)散；當工二

級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù)七一—.當了=?1時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù)

時，

￡-77二.所以級數(shù)的收斂區(qū)間為(-1,1).

n=l(2〃-1)

設(shè)和函數(shù)為S(x),即s(x)=￡三二■S(xj=￡>2“-2=4￡G)=_!_

忘x■IT

“KT。?所以S(H7沙T七*占學(xué)

(2)

2(〃+1)工2("山2n+2)0

lim=lim=lim------x-=X~

n->?"T82nx2,,A2n

根據(jù)比值審斂法，當k2|<1,即W<1時，級數(shù)收斂；當兇>1時，級數(shù)發(fā)散；當X=1

時，級數(shù)￡2n成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).當％=-1時，級數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù)，>2n.所

71=0〃=0

以級數(shù)的收斂區(qū)間為(-1,1).

設(shè)和函數(shù)為S(x),因為二2〃/1川=/〃,

所以理⑴力=腔2/T)山=￡「2〃產(chǎn)”=^x2n占，”￡(—1,1)

n=ln=l

S(x)12x_,i八

兩邊求導(dǎo)得:1^7

(3)

2(/1+1)-132(/?+1卜

“〃+l2〃+i2"+121

lim-lim-lim---------X--x

Un—>co2〃-12/J-1f2(27:-1)2

n人

2n

根據(jù)比值審斂法，當k1,即兇V/時，級數(shù)收斂：當3,卜1時，即

時級數(shù)發(fā)散；當工=后時，級數(shù)￡成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).當X=r歷時，級數(shù)

〃=1

￡［：?，］(-1)”成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).所以級數(shù)的收斂區(qū)間為(-&,、傷).

n-l\2)

設(shè)和函數(shù)為S(X),因為，今二產(chǎn)-2力=￡/〃T,所以

2n-1.2〃-2001100x

卜⑺叱腔竿>3人"

M-1JM-12"w—1N人w-I2-x

XG(—5/2,V2)

2+x2

兩邊求導(dǎo)得：S(x)=XXG(—V2,V2)

2-x\

2+xF4竽--2

即XG(-V2,V2)

2,-xIn=l乙

2

將X=1代入得：￡2n-i2+1

=3

Q-4

71=12"

(4)

2〃+3

limlim------x2

W-KC…(2〃+l)xW-XC2n+1

根據(jù)比值審斂法，當卜2|<1,即兇v1時，級數(shù)收斂；當忖>1時，級數(shù)發(fā)散；當X=±1

時，級數(shù)￡(-葉(211+1)成為發(fā)散的數(shù)項級數(shù).所以級數(shù)的收斂區(qū)間為(-1,1).

n=0

設(shè)和函數(shù)為S(x),因為［：(-l)〃(2〃+Dt2,,dt=(-\)nx2n+i,所以

X

￡S⑴出=￡(力(.1)“(2〃+1)i2ndt=￡［：(?1)”⑵+1)t2ndt=￡(-i)Mx2w+,

1+X2

〃=0n=0.1=0

,XG(-1,1)

兩邊求導(dǎo)得：5(X)=f—,XG(-1,1)

U+x)(1+x2)

1丫28

1iln2n

即r^-v=X(-)(2H+l>，X￡(—U)

(14-X)"=0

il

12

將x代入得：/1)"泮2=廠4

乙"=04(.125

習(xí)題9?5

1將下列函數(shù)展開成人的帝級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.

(1)y=e~2x；(2)y=sinxcosx；

(3)j=cos2x；(4)y=x2e~x；

(5)y=ln(3+2x-x)；(6)y=arctanx.

2

rxr"

解：(1)因為€X=1H-----1-----1■…H------(■…xe(-oo,+co)

1!2!nl

把上式中的龍換為一2x,得:

-2x4x2C-2Yxn

+----+-----+?+-----------4-XG(-oo,+oo)

1!2!〃!

(2)因為y=sinx?cosx=-sin2x

sinx=x--+—-------+(-l)n-...........+…xG(-oo,-HO)中的X換為2x,

3!5!(2n+1)!'7

得:

1<^33?5r5?2”+l2n+l

sinxcosx=-sin2x=2x-^-+—.........+(-l)M----+■?-X€(-00,+OO)

23!5!(2/i+l)!

14COS2X

(3)因為y=cos?x=

22

r2r4

將cosx=i--+(-lf----------Fxe（—8,欣）中的x換為2x,

⑵）！

得:

cosx=—+—cos2x=1+X2----+(~1)W----------+…XG(-00,4-00)

222(2〃)！'7

(4)因為€X=14--4----F…H-----1■…XG00,4-00)

I!2!nl'，

把上式中的x換為-x,得:

,』+工蘭+…+生

+…xe(-oo,+co)

1!2!n\

2(1)/，Zi+2

所以，=X+—+—+--4-~一+…XG(-00,+00)

1!2!nl

2

(5)f(x)=ln(3+2x-x)=ln(l+x)+ln(3-x)可先求ln(l+x)的展開式:

X2/

ln(l+X)=X-y+y---+(-l)M-----+…xe(-1,1]

n+1

Y

現(xiàn)在來求ln(3-x)得展開式.因為ln(3—x)=ln3^1-1=In3+In1——

I3J,所以將

X

M(l+x)中的x用一;代替，可得

xxw+,

ln(3—x)=In31=In34-In1--=ln3+Z(-1)"

I3〃=03向(〃+1)

與ln(l+x)的展開式相加便得:

ln(3+2x-x2)=ln3+Y'-[(-l),,_,-3~n]x,)

n=l〃

11

(6)令/(x)=arctanx，則fXx)=

i+x2l-(-x2)

將----=l+x+x2+x3+---+xn+???(-1<X<1)中的x換成--得:

1-x

—=1+(?/)+/+(.X6)+……xe[-l,l]

1+廠n=0

gx02/J-I

因為，/(外=]/'0，，所以21^3葭=工(?1)]產(chǎn)力=工(-1)""------?xe(-l,l]

o,i=oon=i2n-l

2將下列函數(shù)展開成指定的察級數(shù)，并指出收斂區(qū)間.

(1)y展開成'一3的幕級數(shù)；

x

(2)y=ln(l+x)展開成工一1的幕級數(shù);

(3)y=cosx展開成x+?的塞級數(shù).

111]

解:(1)-=

X3+U-3)31產(chǎn)3x-3

1一(一)

33

把」1一的展開式中的x換為-二x-^3得:

1-x3

——3(x—3)2(1一3)3+(%—3)4

332333

整理得:

1

9妥+與J啜+?-+5安+…)，w(。⑹

x—1

(2)ln(l+x)=ln[2+(x-l)]=ln[2(l+—)]

x-1

=In2+ln(l+)

2

(3)"

=ln2+X(-1)n——9(川

gn

xe(-1,3]

(3)因為

/九1萬、1乃71