高考數(shù)學(xué)高三期中考試試卷(三角函數(shù)與解三角形)含解析

高考數(shù)學(xué)高三期中考試試卷（三角函數(shù)與解三角形）

一、小題部分

...3,,.1+sin2a

1.若Wna=Z，則|…=

f1—zsina

A.—yB.-7C.1D.7

【答案】D

【考點(diǎn)】三角恒等變換

1+sin2asiMa+cos2a+sin2a_sin2a+cos2a+2sinacosa

【解析】由題意可知,

1—2sin12asin2a+cos2a_2sin2acos2a-sin2cc

lan2a+1+2tana(i)十?十？x[

故答案選D.

1—tan2a/3A2

TN

2.已知函數(shù)/（幻=加而（5：—/4>0,/>0）,直線y=l5危）的圖象在），軸右側(cè)交點(diǎn)佗橫坐

標(biāo)依次為〃1，他，…，cik，儡+i…，（其中k￡N*）,若-^-=2,則4=

A.平B.2C.y[2D.2小

【答案】B

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、

【解析】由題意可知，根據(jù)三角函數(shù)圖象得到，⑥一⑶二丁，且。3—。2=2（。2—0），則解得

TITTT1sm（2兀X衣）

〃2—?jiǎng)t。1=5（5一可）=75，則1=----i-----，解得A=2,故答案選B.

DZZJ1Z/I1

3.關(guān)于函數(shù)yU）=sin|x|+|cosM有下述四個(gè)結(jié)論，則

A.兒0是偶函數(shù)B../U）的最小值為一1

C.1此在[-2兀，2用上有4個(gè)零點(diǎn)D.7U）在區(qū)間g,7T）單調(diào)遞增

【答案】ABC

【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】法—：由題意可知,對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)椤獂）=sin|-x|+|cos（—x）|=sin|x|+|cosx|

=y"），所以函數(shù)是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)閨cosx|2（）,sin|x|2一1,

所以|coW+sin|x|2—1,則當(dāng)x=，時(shí),|co以+sin|x|=一1,所以人目的最小值為一1,故選

siiu+cosx,或兀

3，

{sinx-cos.r,2nWxW>

則當(dāng)（XW和寸，外）無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，危）有一個(gè)零點(diǎn)呼，當(dāng)當(dāng)WXW2TI時(shí)，/（用有一

乙乙乙,1乙

個(gè)零點(diǎn)牛，所以於）在［0,2可上有2個(gè)零點(diǎn)，則段）在［-2幾，2河上有4個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)C

正確；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)兀）時(shí)，/U）=sini—cosx=&sin（x—：）,則./（幻在（冬冗）上單調(diào)

遞增，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上，答案選ABC.

法二：由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?lt;-x）=sin|-x|+|cos（一x）|=sin國(guó)+|coW='/U），所以

函數(shù)y（.r）是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)閨coW20,sin|_r|2一1,所以|cosx|+sin|x|

2sin|x|2—1,當(dāng)人二號(hào)時(shí)，|cosx|+sin|.r|=—I,所以大力的最小值為一1,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)x￡［0,2柯時(shí)，［^l^jsin2x+cos2x=2sin2x=1,解得工=苧或x=苧，即危）

在［0,2兀］上有2個(gè)零點(diǎn)，則_/U）在［-2兀，2兀］上有4個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,

當(dāng)兀）時(shí)，/U）=sinx—cosx=，5sin（x—￡）,則火幻在（苧，兀）上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D錯(cuò)

誤；綜上，答案選ABC.

4.已知角A是A/WC的內(nèi)角，則“sinA=^”是“A=；”的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D,既不充分又不必要條件

【答案】C

【考點(diǎn)】三角函數(shù)與條件的判斷

【解析】由題意可知，在中，因?yàn)閟i"=坐，所以人=割中，不能得到人=?當(dāng)A=￡

時(shí)，如化竽則"sinA=￥"是“A寸'的必要不充分條件，故答案選C.

5.已知函數(shù)&)=〃2cos梟〃WN*),則川)+火2)+…+川。0)=

A.5100B.5150C.5200D.5250

【答案】A

【考點(diǎn)】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求和

【解析】由題意可知，川)+42)+…+川00)=0—22+0+42+0-62+0+82+0-----982+0

+1002=2(2+4+6+8+-+98+100)=2X(2'l-1(^)X50=5100,故答案選A.

6.(多選題)已知函數(shù)I/(x)=sinai-asinx,其中。>0,且aWl,則

A.41)為奇函數(shù)

B./U)為周期函數(shù)

C.若則0外在區(qū)間(0,冗)上單調(diào)遞增

D.若OVaVl,則/x)在區(qū)間(0,2兀)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)

【答案】AC

【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知,對(duì)于選項(xiàng)A,大-x)=sin(—ar)—osin(—x)=—sinox+asinx=一犬力,

所以7U)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,取。=冗,jMyU)=sin7LL7tsinx,g(x)=sig：,

則g(x)的周期為7=2,力(x)=sinx周期為7=2兀，因?yàn)?,2兀兩者沒(méi)有最小公倍數(shù)，故此時(shí)

./U)不為周期函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)x￡(0,兀)，f(x)=acosax-acosx=?(cosav

—cos.r),當(dāng)OVaVl時(shí)，ax<x,cosax>cosx,所以a(cosat-8")>0,則/(x)>0在(D,n)

恒成立，所有?r)在(0,兀)上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)/(27t)=sin2m-0

=sin2GtVO,BPn<2ait<2n,即：VaV1時(shí)，犬兀)/(2兀)VO,此時(shí)段)在(0,2兀)有零點(diǎn)，故選

項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上，答案選AC.

7.一個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，則該直角三角形的內(nèi)角中最小角的余弦值

是.

【答案】￡4

【考點(diǎn)】等差數(shù)列與解三角形綜合應(yīng)用

【解析】法一：由題意可設(shè)，0<a<b<c,則有。+c=28，且A為最小角，a=csh\A,b=

ccosA,則csin4+c=2ccosA,所以sinA+1=2cosA,則由sin?A+cos2A=1,且sinAX）,解

344

得sin4=q,COSA=M，即該直角三角形的內(nèi)角中最小角的余弦值是g.

法二：由題意可取特殊值，即a=3,b=4,c=5,所以內(nèi)角中最小角的余弦值轉(zhuǎn).

8.已知。為銳角，且滿足lan3e=4tan。，則tan2。的值為.

【答案】印

【考點(diǎn)】三角恒等變換

【解析】由題意可知，ian30=ian（2J+。）=1td“；〃［："：=4tan+,所以（an2^=3（an<9—

I-lan2仇na。

““EI-八3tan??八2tan^「一…3tan923no八

4taMan20,則tan20=中正方又tan20=1荷坊’所以7育氤==荷花’因?yàn)椤?/p>

為銳角，所以tan0>0,則解得⑶道;卑，所以.28=丁嗎=%

111—tan26/5

9.函數(shù)/U）=sin2r+cosx在（0,冗）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷

【解析】由題意可.知，丸r）=sin2x+cosx=cosA（2cosx+1）,令凡》=0,解得cosx=0或sinx

=一去解得x音則段）在（0,兀）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，故答案選B.

io.己知角o的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（一去坐），則角?？梢詾椋ǎ?/p>

A2R—c—n如

?6D,3653

【答案】B

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的定義應(yīng)用

【解析】由題意可知，si2=坐，cose=-g,則。=專滿足題意，故答案選B.

11.(多選題)已知函數(shù)/U)=2sin@+》若將函數(shù)於)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原

來(lái)的士再向右平移季個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列命題正確的是()

A.函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=2sin(2x一令B.函數(shù)4v)的周期為4兀

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間［兀，寫上單調(diào)遞增D.函數(shù).")圖象的一條對(duì)稱軸是直線4號(hào)

JJ

【答案】ARC

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，gx)=2sin［2(x—5)+7］=2sin(2x—7),故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,

UIJU

7=午=4兀，故選項(xiàng)B正確：由兀WxW號(hào)解得彩W2l臺(tái)詈，因?yàn)槭瑂iiu,在［譽(yù)，詈】上

2

單調(diào)遞增，故g(x)在區(qū)間［九，學(xué)］上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確：因沏(一§=2sin(一中一壽=

-1^-2,不是最值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上，答案選ABC.

12.(多選題)在△A8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為口，b,c,則下列的結(jié)論中正確的是

()

A.若cosA>cos/T,則sin4Vs，B

B.若sin/4cosA=sin5cos3,貝lJ△A3。一定是等腰三角形

C.若△ABC是銳角三角形，則sirtA+sinB+sinOcosA+cosB+cosC

D.已知△A/3C不是直角三角形，則tanAtanBianC=taiiA+tan4+tanC

【答案】ACD

【考點(diǎn)】解三角形的綜合應(yīng)用

【解析】由題意，對(duì)于選項(xiàng)A,由A,8仁(0,7i),且,=8立,在(0,兀)上單調(diào)遞減，由cosA

>cos8得AV&故aVb.結(jié)合正弦定理得sinAVsin3,故選項(xiàng)A正確：

對(duì)于選項(xiàng)B,由sin4cosA=sin8cosB,可得sin2A=sin2B,故24=28,或2A+2B=m即A

=B,或A+8=字故三角形ABC是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,若三角形ABC為銳角三角形，則A+B污，所以A冶一8>0,則

sinA>sin(^—B)=cosB,同理可得sinB>cosC,sinOcosA,三式相加得sin4+sinfi+sinC

>cosA+cosB+cosC?故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,△A/3C不是直角三角形，即A,B,C都不是直角，因?yàn)閠anC=一

tan(A+3)一口？_，整理得taii4tanBtanC=taiiA+tanB+tanC?故選項(xiàng)D正確；

tanAtanB—1

綜上，答案選ACD.

13.在銳角三角形AABC中，S&BC=4,AB=5,AC=2,則BC=.

【答案】亞

【考點(diǎn)】解三角形的應(yīng)用

1]4

【解析】由題意，在△AAC中，S^AHC=4=^XAfiACsiiL4=^X5X2siiL4,解得sin4=《，

________3

因?yàn)椤鰽4C為銳角三角形，所以cosA>0,解得cos4=yI-sin2A則由余弦定理可得，

3

BC2=AB2+AC2-2ABACCOSA=25+4-2X5X2X-=17,解得BC=y[\7.

14.函數(shù)/5)=25皿條一堂)在[0,5]上的最大值與最小值之和是

JU

A.2-<3B.0C.1D.2+^/3

【答案】B

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：求值域

【解析】由題意可知，因?yàn)楣ぁ闧0,5],所以梟一如[一點(diǎn)，期]，則sin費(fèi)一/)￡[—1,1],

2sin生一各與一2,21，即危)可一2,2],則.仙必+危%加=2+(—2)=0,故答案選B.

15.唐代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家僧一行，利用“九服輕影算法”建立了從0。到80。的輕影長(zhǎng)/與

太陽(yáng)天頂距0的對(duì)應(yīng)數(shù)表.已知暮影長(zhǎng)/、表高〃與太陽(yáng)天頂距。滿足/=/?tan。，當(dāng)曷影長(zhǎng)

為0.7時(shí)，天頂距為5。.若天頂距為1。時(shí)，則居影長(zhǎng)為

A.0.14B.0.16C.0.18D.0.24

（參考數(shù)據(jù)：tanl°合00175,團(tuán)13。合00349,tan5°入0.0875）

【答案】A

【考點(diǎn)】新情景問(wèn)題下的解三角形的應(yīng)用

【解析】由題意可知，力七》。=則人=］為所以輕影長(zhǎng)，」仆父

150.7,IdF3lD0,/="tan1°=fIdmllsJoanvvO7/Os

X0.0175^0.14,故答案選A.

16.己知。（0,0）,4（一sin。，1）,5（1,巾cos。）,y）,若而+麗=|贏|,則。=

2?！?7c八7瓦?47r

A.TT-B.-7C.~7D.-r

3663

【答案】D

【考點(diǎn)】三角恒等變換與平面向量的運(yùn)算綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，因?yàn)閨豆十為|=|XS|,所以|方十五|=|五一屆|,兩邊平力可得，

OA?OB=0,則（一sin。，1）?（1,小cos0）=0,即一sinB+小cos0=0,則tanO=，5,又0

右百y）,所以6=與,故答案選D.

17.（多選題）若將函數(shù)/IV）=COS（2A，+"^）的圖象向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖

象，則（）

A.g（x）的最小正周期為兀

B.雙幻在區(qū)間［0,馬上單調(diào)遞減

C.函數(shù)g（x）的圖象美于點(diǎn)哈，0）對(duì)稱

D.g（?在[—去會(huì)上的最小值為一J

IJI）乙

【答案】ACD

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，將鋁）=cos（2x+有向左平移衿單位長(zhǎng)度后，得到g（x）=cos[2（x+各

1Loo

+vr]=cos（2.r+?）,則最小正周期丁=金=兀，故選項(xiàng)A正確：當(dāng)兀+2E,kG

Z,解得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[E—去E+JkEZ,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)2X+*=3+

E,止Z時(shí)，解得函數(shù)虱x）的對(duì)稱中心為啥+祟0）,故選項(xiàng)C正確；當(dāng).日一去勺時(shí),

2r+^￡[0,知],所以gQ）min=g（勺）=一；，故選項(xiàng)DIE確；綜上，答案選ACD.

JJDL

,37t.r,sin~a+sin2a

18.已知$皿（3兀+幻=25皿丁+。），則---;---;—=__________.

21+cosa

【答案】：4

【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式與三角恒等變換的應(yīng)用

【解析】由題意可知，sin（3冗+a）=2sin潦+a）,可化為一sina=-2cosa,BPtana=2,所以

sin~a+sin2a_sin2a+2sinacosa_tan2a+2tana_22+2X2_4

1+cos2asin2a+2cos2ottan2a+222+23*

19.動(dòng)點(diǎn)P（x,y）在，+$=4上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周，已知時(shí)

間1=0時(shí)，點(diǎn)P（l,一?。?，則當(dāng)0W運(yùn)12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x關(guān)于，（單位：秒）的函數(shù)的

單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.[0,2]B.[0,5]C.[0,2]和[8,12]D.[0,5]和[11,12]

【答案】C

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用

【解析】由題意可知，當(dāng)/=0時(shí)，點(diǎn)P（l,一小），則初始角為一?因?yàn)樾D(zhuǎn)一周用時(shí)12

秒，所以角速度3=需=]，所以即=一々+3=務(wù)一半由三角函數(shù)的定義，可得X=?=

2cos即=2cos哈/—多，要求橫坐標(biāo)x關(guān)于/(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，則令一兀+2E

—22E,kez,解得-4+12MW/W⑵+2,Jtez,給人賦值，且使0W/WI2,則0

o3

或8W/W2,所以單調(diào)遞增區(qū)間是［0,2］和［8,12］,故答案選C.

20.(多選題)將函數(shù)凡Y)=COS(①x+p)的圖象向左平移方個(gè)單位,若所得圖像與原圖象重合，

則少的值可能為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】BD

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用

rr7T

【解析】由題意可知，?r)=cos(8+3)的圖象向左平移5個(gè)單位得到y(tǒng)=cos［/a+g)+W，

因?yàn)槠揭魄昂蟮膬蓚€(gè)函數(shù)圖象重合，所以，(y=2內(nèi)T,A-WZ,即/=4k,kGZ,當(dāng)女=1時(shí)，

①=4；當(dāng)4=2時(shí)，①=8,故答案選BD.

21.由倍角公式cos2x=2cos)—1,可知cos2A,可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.一般地，存

在一個(gè)〃次多項(xiàng)式以⑺，使得COS/tt=P”(COSA)這些多項(xiàng)式PM稱為切比雪夫

(P.L.Kchebyschcff)多項(xiàng)式.例如852^=尸29。U)=2(：052上一1,記作P?⑺=2/-1.利用心⑺

求得sin180=

VL11R^5+1

A?429D?8

【答案】A

【考點(diǎn)】新情景問(wèn)題下的三角恒等變換的應(yīng)用

【解析】因?yàn)閏os3x=cos(2x+.r)=cosZrcosx—sinZrsirn=(2cos2x—1)coiir—2siarcosxsin.r=

4cos3x-3cosx,所以COS54O=4€OS3180-3COS18°,所以sin36°=4cos3180-3cosl8°,則

2sin180cos180=4cos3l8。-3cos18°,所以2sin18。=4(1-sin218。)-3,即4sin218°+2sin18°一

1=(),解得sin18。=嚀。，故答案選A.

22.(多選題)已知把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有點(diǎn)向右平移專個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)

y=/U)圖象，則

A./U）=sin（2x一$B.y（x）=sin（2）.—

C.y（x）=cos（2x-D?./（X）=COS（2L專）

【答案】AC

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)變換、三角恒等變換

【解析】由題意可知，把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有點(diǎn)向右平移聿個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)

y=心）=$皿2￥-5）=85修—（21—$]=（：0$第—21）=（：05（21一平）的圖象，故答案選AC.

23.如圖，將矩形紙片A8CQ的右下角折起，使得點(diǎn)8落在CQ邊上點(diǎn)名處，得到折痕MN

已知A8=5cm,BC=4cm,則當(dāng)tan/BMN=時(shí)，折痕MN最短，其長(zhǎng)度的最小值

為cm.（本題第一空2分，第二空3分）

【答案】坐；35

【考點(diǎn)】解三角形模型的應(yīng)用

【解析】根據(jù)題意，設(shè)4BMN=8,BN=B1N=x,則N&NC=2。，在△8聲。中，

CN4-x42皿…BNx22

COS2^=jy>r-9-I29貝UMN=、?/!=?Q=.2=..39

BNxl+cos28cos-，s,n^sin。sinO?cos~。sin。一sin。

令sin?！辏?,平],則MN=-令,*/）=/—>，/（°=1—3/=0,則,=乎，當(dāng)0V/V

當(dāng)時(shí)，/⑺>0,加單調(diào)遞增，當(dāng)當(dāng)V忘乎時(shí)，/V）V0,刖單調(diào)遞減，因此加）.=代坐）

=乎一吟=^^,故MN>3^=3小，此時(shí)sinO=乎,cosO=半，ian?=乎，故答案為:乎；

3小.

24.“。=爭(zhēng)是"tanO=2cosg+6)”的()條件

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、條件的判斷

【解析】由題意“J知，由tanO=2cosg十0)=—2sin0,"J得產(chǎn)^=-2sin。，當(dāng)sinO=。時(shí)，

滿足題意，當(dāng)sin"O時(shí)，有cosO=-3，。=當(dāng)可滿足題意，所以“〃=爭(zhēng)是

“tan0=2cos《+。)”的充分而不必要條件，故答案選A.

25.已知函數(shù)")=2sin(Gx+°)(①>0,磔芍)的最小正周期72季且x=需是函數(shù)兒x]的一

條對(duì)稱軸，百0)是函數(shù)/)的一個(gè)對(duì)稱中心，則困數(shù)?在(一彳，*上的取值范圍是()

A.(-1,小]B.(-1,2]C.(-1,1]D.[-1,2]

【答案】B

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】由題意，因?yàn)槎°?，所以即7=兀，則。=爺=2,所以於)=2$ig

+*),又淤)=2sin(2x]+3)=0,所以2><1+伊=4兀，解得8="兀一，，k@Z,因?yàn)?/p>

JJJJ

陽(yáng)￥，所以8=?所以yU)=2sin(2x+W),又x￡(一彳，則2A?十界(一,，y],sin(2v

+§￡(—3，1],所以,/(x)e(—1,2],故答案選B.

26.(多選題)若sina+小cosa=g,貝lj()

A.cos(a+^)=：B.3lan2a+8小lana=-11

C.sin(a+與)=-(D.3tan%+8V5tana=-12

【答案】BC

【考點(diǎn)】三角恒等變換的應(yīng)用

【解析】由題意可知，因?yàn)閟ina+d5cosa=；,所以2sin(a+W)=J,則sin(a+$=；,所以

sin(a+與)=5出(0(+:+兀)=-sin(a+1)=一故選項(xiàng)C正確；而cos(a+^)=cos(a+；+，)

=-sin(a+W)=一故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)sina+小cosa=g兩邊平方可得，sin%+2小sinacosa

+3cos%=；,貝ij4sin%+8小sinacosa+12cos%=1=sin2a+cos%,即3sin%+85sinacosa

+11cos2a=0,同除cos2?,可得2tan2a+8小tana+11=0,即2tan2a+8小tana=—II,故

選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，綜上，答案選BC.

27.由倍角公式cos2r=2costr—1,可知cos2x可以表示為COSA,的二次多項(xiàng)式，對(duì)于cos3/,

我們有cos3x=cos(2x+x)=cos2tcosji-sin2Ysiii￥=(2cos,x-1)cos.r-2siiircosxsiar=

4cos七一3cosx,可見cos3K也可以表示為cou的三次多項(xiàng)式.一般地，存在一個(gè)n

次多項(xiàng)式幾⑺，使得cosnx=E,(cosx),這些多項(xiàng)式尸"⑺稱為切比雪夫

(P.L.Tschebyschelf)多項(xiàng)式.(提示：18。乂3=90。-18。乂2)如圖，在等腰“8C中，

已知A8=54。，AB=AC,月.ZkAAC的外接圓半徑0C=1,結(jié)合上述知識(shí)，可得4c

A回小一1

/>?22

小+11

C.4D.嚀

【答案】A

【考點(diǎn)】新情景問(wèn)題下的三角恒等變換應(yīng)用

【解析】由題意可知,設(shè)月。的中點(diǎn)為。，則AC=2BD=2O欣皿54。=2疝54。=2疝(90。-2

X18°)=2cos2X18°,而cos54°=4cos318°—3cos18°,sin36°=4cos318°—3cos18°,則

2sin180cos180=4cos3180-3cos180,所以2sinl80=4(l-sin218°)-3,即4sin2180+2sinl80

-1=0,解得小18。=更U，所以BC=2(1—2sir?18。)=2(I—2X6-2鑿+1)故

答案選A.

28.(多選題)已知函數(shù)j(x)=Acos(刃x+°)(A>0,co>0,181Vm的部分圖象如圖所示，將

71

函數(shù)人幻的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=g(x)的匡象，則下列說(shuō)法正確的是

A.9=一§

7T

B-

C.函數(shù)觀幻為奇函數(shù)

D.函數(shù)g（x）在區(qū)間自尊上單調(diào)遞減

【答案】BCD

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用

【解析】由題意，函數(shù)凡r）=Acos（3x+*）（A>0,co>0,|新〈冗）的部分圖象，可得A=2,i;

一（一各=%解得丁=兀，則/=手=2,再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得2X*~8=0,???8=一當(dāng)

?'?M=2cos（2v—,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由於一看）=2cos（2r—H^）=2COS（2A一卷，x）

=2cos（—2x一半）=cos（2r?吊）=2cos（2x一卷，，/（x一6=4—x）,故選項(xiàng)B正確；將函數(shù)段）

的圖象向左平移,個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到y(tǒng)=g。）=2cos（2r+]—"）=2cos（2t—，）=2sin2x的圖

象，故選項(xiàng)C正確;在區(qū)間號(hào),當(dāng)上，2xe（y,y）,函數(shù)g（x）在區(qū)間號(hào),竽）上單調(diào)遞減,

故選項(xiàng)D正確；綜上，答案選BCD.

29.已知角0的終邊與直線工+2>+1=0垂直，sin（5+2。）的值為

【答案】一：3

【考點(diǎn)】?jī)芍本€的位置關(guān)系：垂直；誘導(dǎo)公式與三角恒等變換的應(yīng)用

【解析】由題意可知，角。的終邊所在的直線的斜率為2,即tan0=2,所以sing+20)=cos2。

cos?J-sin2。1-la*。3

cos2<9+sin2^1+tan2^5'

30.把函數(shù))，=sin(x—：)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲

線向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=/U)的圖象，則/*=(▲)

A.sing一瑞)B.sing-朗)C.sin(2x-居)D.sin(2x-

【答案】A

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象變換

【解析】由題意可知，函數(shù))，=sina—￡)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得到)，

=sin(1-^),再向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=Av)=sinl1(x—^)—j]=sin(~j7^故

答案選A.

31.已知△ABC中，AB=7,AC=3,ZACT=120°,當(dāng)7三R時(shí)，|懣一九行|的最小值為(▲)

A.10B.5小C.5D.歲

【答案】D

【考點(diǎn)】解三角形與平面向量的綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，在"4C中，由余弦定理可知，8c.e0SN4CB,

AC2A-AB2—EC2324-72—52]]

解得BC=5,所以在△AAC中，又由余弦定理可知,cosA=2ACAB=-2-3-7-=74，

一一一一一一ILLL

所以依5一站。|2=4/"一234?AC+QAC2=49—2/73應(yīng)+9乃=9乃一332+49=9僅一1)2

7511-一5\/3

+彳，即當(dāng)4=7■時(shí)，MCI取得最小值，為2，故答案選D.

7：nn2n

32.已知sin(3—x)=],且0<x<5，則sin己+x)—cos[F+%)=▲.

【答案】華

【考點(diǎn)】三角恒等變換的應(yīng)用

【解析】由題意可知，因?yàn)閟in。一幻=；,所以COS（T+A）=sin[?—（?—x）J=4?又（）＜X＜去

所以季〈X+看＜生，所以$出哈+＜=d1—（0=^^，而cos（爭(zhēng)+x）=cosg+若+刈=一

n.、\/T5EI.兀?、2兀?、-\/T5A/L5

sin（^+x）=J^~,則sinq+x）—（：05（可+1）=2乂Z"^^-=^^-.

33.已知a￡（一兀，0）,且3cos2a+4cosa+I=0,則tana等于（）

A.坐B.272C.-2啦D.-乎

【答案】C

【考點(diǎn)】三角恒等變換的應(yīng)用

【解析】由題意可知，因?yàn)榕畂s2a+4cosa+l=0,所以解得cosa=-1或？又（一兀，

2^2

0）,所以cosa=:，則sina=-y]1-siMa=-所以311夕=耳詈=-；=-25，故答

3

案選C.

34.（多選題）已知函數(shù)jU）=sinkl+|coM下列敘述正確的有（）

A.函數(shù)y=/（x）的周期為2冗

B.函數(shù)），=/（x）是偶函數(shù)

C.函數(shù)尸月刈在區(qū)間呼，爭(zhēng)上單調(diào)遞減

D.V.vPx2R.|/（x））-J（X2）\^y[2

【答案】BC

【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,#—今=0讀+Icos^l=1,=sin即+|cos冷|=-1W/—

5),則函數(shù)y=/(x)的周期不為2冗，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,4一x)=sin|—.r|+|cos(一幻］

=sinkl+|coW=/a),則球數(shù)/U)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)工￡耳,空時(shí)，

/U)=sin.r-cosx=-\/2sin(A—,則x—鋁后呼可知函數(shù)/5)單調(diào)遞減,即函數(shù)/U)在嚀.爭(zhēng)

上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x>0時(shí)，凡t)=siii￥一|coW，此時(shí)(于)=sin苧

+|3爭(zhēng)=r，y(爭(zhēng)=sin4+|cos:=—1,即y(于)一/(4)=也+1>巾，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

綜上，答案選BC.

35.已知第二象限角。的終邊上有異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A(a,b),B(c,d),且sin0+3cosH=0,

14

若a+c=-1,8+d的最小值為

A.1B.3C.-yD.4

【答案】B

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的概念、基本不等式的應(yīng)用

【解析】由題意可知，因?yàn)閟in0+3cos~=0,且cosOWO,所以lan<9=-3,即(=(=-3,

即。=—3〃，d=-3c,其中4,c<0,又因?yàn)閍+c=—l,所以一號(hào)一，=—1,即4+g=l,

，JJJ

144d4545

-p--i即

-R4/》9

Jc3333-

14

2b,時(shí)取等號(hào)，則Z+)的最小值為3,故答案選B.

36.(多選題)已知函數(shù)/2=sins+小COSS(QAO)的零點(diǎn)依次構(gòu)成一個(gè)公差為■勺等差數(shù)

列，把函數(shù)的圖象向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)

A.是偶函數(shù)B.其圖象關(guān)于直線%=彳對(duì)稱

C.在65上是減函數(shù)D.在區(qū)間吟，等上的值域?yàn)椋邸。?］

【答案】BCD

【考點(diǎn)】二角困數(shù)的圖象與性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用

【解析】由題意可知，Kr)=sin3+小cos3r=2sin(3r+；)(3>0),因?yàn)楹瘮?shù)府)的零點(diǎn)依次

構(gòu)成一個(gè)公差足的等差數(shù)列，所以其最小正周期丁=§=兀，解得G=2,所以/(x)=2sin(2x

+與，則g(x)=2sin[2(x—令+?=2sin2i,可知g(x)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,

因?yàn)間(；)=2sir^=2,所以直線￥=；為函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸，故選項(xiàng)R正確；對(duì)于選項(xiàng)C,因

為正用外所以2x￡由呼可知函數(shù)觀幻單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x

￡/，爭(zhēng)]時(shí)，號(hào)，爭(zhēng)，則sin2t￡[—坐，1],所以g(x)引一小，2],故選項(xiàng)D正確；

綜上，答案選BCD.

37.已知sin(20—?)=一:，?！?0,5),貝ljsin(0+/)=

A.當(dāng)B.當(dāng)C.當(dāng)D.1

【答案】B

【考點(diǎn)】三角恒等變換應(yīng)用

【解析】由題意可知，sin(29一點(diǎn))=sin[2(8+$一5=-cos2(0+*)=2sin2(0+*)—1=一所

以sin2(8+%=T，因?yàn)?E(0,?),所以夕+江。，弟，則sin(夕+前>0,則sin(0+%)=坐，

UJJUUJUUJ

故答案選B.

38.若函數(shù)產(chǎn)sin2x與)，=sin(2x+e)在(0,會(huì)上的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，其中昨(0,2兀)，則g的

取值范圍是

A.[兀，2兀)B.。，兀]C.(兀，2兀)D.尚，兀)

【答案】A

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用

【解析】法一：由題意可知，令sin2x=sin(2x+s)，化簡(jiǎn)可得sin2r=sin2YCOS3+cos2xsinQ

則171112犬=1@1121859+$皿1，即tan2x(l—cos9)=sinp,因?yàn)椤恪?0,2兀)，所以1—cos^WO,

則解得ta心=產(chǎn)4，即tanZi-l2一在(0,今)內(nèi)無(wú)解，所以產(chǎn)^一/。，所以sin衿0,

1-COS夕1-COSQ4I-COS3

則8￡[兀，2兀)，故答案選A.

法二：(特殊值驗(yàn)證)由題意可取0=與，此時(shí)sin(2x+e)=cos2-可知，x=|lbfsinlv=cos2v,

且胃￡(0，彳)，則排除選項(xiàng)B、D,乂夕=兀時(shí)，sin(2x+^)=-sin2x,與〉=5皿2￥在。力上

無(wú)交點(diǎn)，則滿足題意，故答案選A.

39.(多選題)如圖，點(diǎn)A是單位圓。與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P是圓。上第一象限內(nèi)的

動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)尸繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)事至點(diǎn)Q,則正?(為—50)的值可能為

A.-1B.C.-D.-g

【答案】ABC

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的概念與三角恒等變換、平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】由題意可設(shè)P(cosa,sina),Q(cos(a+$,sin(a+/)),且?G(0,5),A(\,0),則

OA,(OQ—OP)=(l,0),(cos(a+^)—cosa,sin(a+^)—sin?)=cos(a+^)—cosa=^cos?—

—sin(a4-?),a￡(0,分所以a+臺(tái)哈,y)，則一sin(a+壽

￡[-1,-1),則選項(xiàng)A、B、C均符合題意，故答案為ABC.

40.(多選題)已知函數(shù)/U)=3+cow+W-8封，下列說(shuō)法正確的有

A.函數(shù)人工)是偶函數(shù)B.函數(shù)｛r)的最小正周期為27r

C.函數(shù)凡r)的值域?yàn)?1,2JD.函數(shù)人目圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離瘠

乙

【答案】AD

【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】法一：由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,I+cos(—X)+N1—COS(—X)=dl+cosx

+、1—cosx=./(x),即函數(shù)/U)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,y(A4-7i)=yj1+COS(X+TI)

+、1—COS(x+m=、1—COSJ+、1+cosx=y(x)，即函數(shù)./U)的■個(gè)周期為兀，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

2

對(duì)于選項(xiàng)C,7(x)2=]+8^+I—co^x+2"\/7--COS2X=2+2ylI—cos.r=2+2|sin.v|,因?yàn)閨situ1

e[0,lb則J(X)2￡[2,4],所以yu)￡W5,2],故選項(xiàng)c錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)楹瘮?shù)TU)

的一個(gè)周期為小則相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，，故選項(xiàng)D正確；綜上，答案選AD.

1+cosx=2(cog)220

,則對(duì)于選項(xiàng)A,

{1—cos.t=2(si112)20

FI—A)=y)1+cos(—x)+^/1—cos(—x)=*71+cosx+弋1—cosx=ft.x),即函數(shù)fix)為偶函數(shù)，

故選項(xiàng)A止確；對(duì)J?選項(xiàng)D,J(x)=71+COSA十111cosA=、y2(cos；)2+[2(sin^f二小

rxjr

(|com|+|si時(shí))，則函數(shù)加)的周期為兀，所以相鄰兩對(duì)稱軸間的距離后，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選

項(xiàng)D正確：對(duì)于選項(xiàng)C,/(.r)=V2(|cos^|+|sin^|)=因

為|sinx|W[0,1],則加)￡的,2],故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;綜上,答案選AD.

41.若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b，c,設(shè)〃—(a+Hc)，則該三角形的面積

S=7p(p—a)(p—b)(p—c),這就是著名的“秦九韶一海倫公式”，若△A4C的周長(zhǎng)為8,AB

=2,則該三角形面積的最大值為.

【答案】2^2

【考點(diǎn)】新情景問(wèn)題下的解三角形問(wèn)題中的最值問(wèn)題

【解析】由題意可知，p=；(a+〃+c)=：X8=4,且。+力=6,則5=74(4一a)(4—Z?)(4—2)=

2小，16—43+力+々力=2蛆、16—4乂6+?！?2心/-8+帥<2巾yj-8+"丁-=2也

弋-8+與=2冊(cè),當(dāng)且僅當(dāng)。=。=3時(shí)取等號(hào)，故三角形面積的最大值為2g.

42.在AABC中，角A,&C的對(duì)邊分別為a,b,c.根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解

的是().

A.A=30°,8=45°,c=5B.a=4,b=5,C=60°

C.〃=8,b=8B=45。D.a=6,b=8,A=30°

【答案】D

【考點(diǎn)】解三角形中解的個(gè)數(shù)

【解析】由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,C=I80n-30n-45n=105n,由正弦定理可得，息=急，

解得。=需‘次"鉤，則只有一解'不滿足題意：對(duì)于選項(xiàng)B,由余弦定理可得/二

4十加一力必cosC=21,則只有一解，不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)C,由正弦定理可得，品'=七，

siiirisinD

解得sinA：1■廠=點(diǎn)又因?yàn)椤?8,b=8&a<h,所以AV8=45。，則A唯一，所以只

有一解，不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)D,由正弦定理可得，焉=心，解得立歷=縉=今

SlnziSliirj（.1D

又因?yàn)椤?6,b=8,a<b,所以30。=4<8,則A有兩解，故選項(xiàng)D正確.

43.（多選題）已知函數(shù)?x）=sin（2x-/）,則下列結(jié)論中正確的有（）.

A.?的圖象的對(duì)稱中心為（箏吟,0）（%￡Z）

B.小）的圖象可由y-sinZt的圖象向右平移/個(gè)單位得到

C.府）在］￡［一點(diǎn)，令上的值域?yàn)椋垡话?，孚?/p>

5兀

D.方程危）=1在x￡［0,兀］上的根為,1=石

【答案】AD

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,令左一鼻=E，解得戈=竽+/則函數(shù)火外的對(duì)稱中心

為年0）,代Z,故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,函數(shù)產(chǎn)sin2x的圖象向右平移g個(gè)單位

得到y(tǒng)=sin2（x-1=sin（2x—易關(guān)心）,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)xW［一看，爭(zhēng)時(shí),2x

一裂［一梁與，則sin(2x—1,坐，即函數(shù)段)在卜芻上的值域?yàn)椋?1,當(dāng)，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,令yu)=sin(2x—$=1,解得2xg=￡+2E,則工=相+而,

kGZ,則x￡［0,汨上的根為尸駕，止匕時(shí)仁0,故選項(xiàng)D正確；綜上，答案選AD.

44.用幾種不同的樂(lè)器同時(shí)彈奏某一首樂(lè)曲時(shí)，我們有時(shí)能聽到比用單一樂(lè)器彈奏時(shí)更美妙

的聲音，這實(shí)際上是幾種聲波合成后改變了單一聲波的波形.假設(shè)某莢妙聲波的傳播曲線可

用函數(shù)尸4Lin(2x+3-2sin2x來(lái)描述，則該聲波函數(shù)的最小正