2024學(xué)年雅安中學(xué)高一數(shù)學(xué)上期12月考試卷附答案解析

學(xué)年雅安中學(xué)高一數(shù)學(xué)上期12月考試卷本試卷分第I卷選擇題和第Ⅱ卷非選擇題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題共58分）一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1.下列說法正確的是（）A.由組成的集合可表示為或B.與是同一個(gè)集合C.集合與集合同一個(gè)集合D.集合與集合是同一個(gè)集合2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.3.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.4.函數(shù)的大致圖象如圖所示，則可能是（）AB.C. D.5.已知，則的大小關(guān)系為（）A.B.C. D.6.已知函數(shù)，若當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為集合A，當(dāng)?shù)闹涤驗(yàn)闀r(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為集合B，則下列說法正確的是（）A.B.C D.7.錢學(xué)森彈道，即“助推—滑翔”彈道，是著名科學(xué)家錢學(xué)森于1984年提出的，該彈道設(shè)計(jì)具有非常高的科學(xué)性和實(shí)用性，將彈道導(dǎo)彈和飛航導(dǎo)彈的軌跡融合，使導(dǎo)彈同時(shí)具備突防性和靈活性，作戰(zhàn)能力顯著增強(qiáng)據(jù)報(bào)道，2019年國慶大閱兵亮相的部分東風(fēng)系列中程和洲際導(dǎo)彈就采用了該彈道設(shè)計(jì)，這極大地提升了我國的國防實(shí)力.關(guān)心國防建設(shè)的某高一學(xué)生，在學(xué)習(xí)了“函數(shù)的應(yīng)用”后，用的圖象擬合某一錢學(xué)森彈道，其中（千公里）表示彈道橫向位移，（千公里）表示彈道縱向位移，在網(wǎng)絡(luò)公開平臺(tái)可獲得兩組數(shù)據(jù)：，則分別為（）A.B.C. D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，都有，且，都有，若，則的取值范圍是（）A.B.C. D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的0分）9.已知正實(shí)數(shù)滿足，則下列說法不正確的有（）A.最大值為 B.的最小值為2C.的最大值為2 D.的最小值為210.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.是偶函數(shù)D.若，則11.函數(shù)fx=xA. B.C. D.第II卷（非選擇題共92分）三?填空題（共3個(gè)小題.請(qǐng)將正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）12.計(jì)算__________.13已知，則__________.14.已知函數(shù)若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________（用區(qū)間表示）.四?解答題（共5個(gè)小題.請(qǐng)將正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）15.已知集合.（1）若，求；（2）若存在正實(shí)數(shù)，使得“”是“”成立的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知函數(shù)與互為反函數(shù)，記函數(shù).（1）若，求x的取值范圍；（2）若，求的最大值.17.2023年10月20日，國務(wù)院新聞辦舉辦了2023年三季度工業(yè)和信息化發(fā)展情況新聞發(fā)布會(huì)工業(yè)和信息化部表示，2023年前三季度，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展保持強(qiáng)勁的發(fā)展勢(shì)頭．在這個(gè)重要的乘用車型升級(jí)時(shí)期，某公司科研人員努力攻克了動(dòng)力電池單體能量密度達(dá)到300Wh/kg的關(guān)鍵技術(shù)，在技術(shù)水平上使得純電動(dòng)乘用車平均續(xù)駛里程超過460公里．該公司通過市場(chǎng)分析得出，每生產(chǎn)1千塊動(dòng)力電池，將收入萬元，且該公司每年最多生產(chǎn)1萬塊此種動(dòng)力電池，預(yù)計(jì)2024年全年成本總投入2.5x萬元，全年利潤為Fx萬元．由市場(chǎng)調(diào)研知，該種動(dòng)力電池供不應(yīng)求．（利潤＝收入－成本總投入）（1）求函數(shù)Fx（2）當(dāng)2024年動(dòng)力電池的產(chǎn)量為多少塊時(shí)，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？18.已知，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)是該函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，求證：點(diǎn)在點(diǎn)的上方；（3）設(shè)，若對(duì)任意的在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.19.雙曲函數(shù)是工程數(shù)學(xué)中一類重要的函數(shù)，它也是一類最重要的基本初等函數(shù)，它的性質(zhì)非常豐富，常見的兩類雙曲函數(shù)為正余弦雙曲函數(shù)，解析式如下：雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：（1）請(qǐng)選擇下列2個(gè)結(jié)論中的一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明：選擇______（若兩個(gè)均選擇，則按照第一個(gè)計(jì)分）①②（2）用定義證明雙曲正弦函數(shù)在R上是增函數(shù)；（3）求函數(shù)在R上的值域.雅安中學(xué)2024—2025學(xué)年上期12月考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共58分）一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1.下列說法正確是（）A.由組成的集合可表示為或B.與是同一個(gè)集合C.集合與集合是同一個(gè)集合D.集合與集合是同一個(gè)集合【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的定義和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得答案【詳解】集合中的元素具有無序性，故A正確；是不含任何元素的集合，是含有一個(gè)元素0的集合，故B錯(cuò)誤；集合，集合，故C錯(cuò)誤；集合中有兩個(gè)元素，集合中只有一個(gè)元素，為方程，故D錯(cuò)誤.故選：A.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定概念可得答案.【詳解】依題意，命題“”的否定是“”.故選：C3.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)定義域滿足的不等式關(guān)系，即可列不等式組求解.【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，所以的定義域需要滿足：，解得或，故定義域?yàn)椋汗蔬x：D4.函數(shù)的大致圖象如圖所示，則可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，易得函數(shù)的定義域和對(duì)稱性，奇偶性，再逐一判斷各選項(xiàng)即得.【詳解】由圖象可知，為奇函數(shù)且定義域?yàn)?對(duì)于A,函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但，是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)?，與圖象不符，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，是奇函數(shù)，與圖象符合，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)?，與圖象不符，故D錯(cuò)誤；故選：C.5.已知，則的大小關(guān)系為（）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間量1比較大小即可.【詳解】，.故選：D.6.已知函數(shù)，若當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為集合A，當(dāng)?shù)闹涤驗(yàn)闀r(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為集合B，則下列說法正確的是（）A.B.C D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，由可確定A；對(duì)于B，由能取到所有正數(shù)可確定集合B；對(duì)于CD，由AB選項(xiàng)分析，結(jié)合交集，并集定義可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽,則.當(dāng)時(shí)，，解得，故定義域不是R，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由Δ=4?12a<0a>0?a>1實(shí)數(shù)的取值范圍為，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的值域?yàn)镽，則能取到所有正數(shù).當(dāng)時(shí)，能取到所有正數(shù)，滿足要求，當(dāng)時(shí)，要想能取到所有正數(shù)，需且，解得，綜上，，故，故В錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，所以，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D7.錢學(xué)森彈道，即“助推—滑翔”彈道，是著名科學(xué)家錢學(xué)森于1984年提出的，該彈道設(shè)計(jì)具有非常高的科學(xué)性和實(shí)用性，將彈道導(dǎo)彈和飛航導(dǎo)彈的軌跡融合，使導(dǎo)彈同時(shí)具備突防性和靈活性，作戰(zhàn)能力顯著增強(qiáng)據(jù)報(bào)道，2019年國慶大閱兵亮相的部分東風(fēng)系列中程和洲際導(dǎo)彈就采用了該彈道設(shè)計(jì)，這極大地提升了我國的國防實(shí)力.關(guān)心國防建設(shè)的某高一學(xué)生，在學(xué)習(xí)了“函數(shù)的應(yīng)用”后，用的圖象擬合某一錢學(xué)森彈道，其中（千公里）表示彈道橫向位移，（千公里）表示彈道縱向位移，在網(wǎng)絡(luò)公開平臺(tái)可獲得兩組數(shù)據(jù)：，則分別為（）A.B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意代入已知方程，聯(lián)立方程即可求解.【詳解】將代入可得和，解得.故選：B8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，都有，且，都有，若，則的取值范圍是（）A.B.C. D.【答案】A【解析】【分析】采用賦值法先分析的奇偶性，再根據(jù)條件得到的單調(diào)性，然后將函數(shù)值大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量大小關(guān)系，從而可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，都有，令，則，解得，令，則，解得，令，則，又的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為偶函數(shù)；因?yàn)?，都有，即，都有，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，由此解得或，故選：A.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的0分）9.已知正實(shí)數(shù)滿足，則下列說法不正確的有（）A.的最大值為 B.的最小值為2C.的最大值為2 D.的最小值為2【答案】AC【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解BC，利用乘1法即可判斷D，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求解A.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，解得：，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知無最大值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故D正確.故選：AC.10.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.是偶函數(shù)D.若，則【答案】AC【解析】【分析】由冪函數(shù)定義可得A；結(jié)合圖象經(jīng)過點(diǎn)可得解析式及其定義域，即可得B；結(jié)合偶函數(shù)定義計(jì)算即可得C；結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)與冪函數(shù)單調(diào)性計(jì)算即可得D.【詳解】對(duì)A：由題意可得，解得，即，故A正確；對(duì)B：由，其定義域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)C：由，故是偶函數(shù)，故C正確；對(duì)D：由，故在0,+∞上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù)，故可得，對(duì)，即有，整理得，解得，由、可得、，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.函數(shù)的零點(diǎn)分別為，以下結(jié)論正確的有（）A. B.C D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，通過轉(zhuǎn)化法，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)、反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，由，因此函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，而函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，它們的函數(shù)圖象如下圖所示：由，函數(shù)向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)也關(guān)于直線對(duì)稱，因此有，.A：，所以本選項(xiàng)不正確；B：由，可得，，所以本選項(xiàng)正確；C：，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以該不等式等號(hào)不成立，即，因此本選項(xiàng)正確；D：已知，因?yàn)?，所?又.結(jié)合fx=根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)性，所以.對(duì)于函數(shù)，它在區(qū)間單調(diào)遞增.將代入得.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，這就說明選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.第II卷（非選擇題共92分）三?填空題（共3個(gè)小題.請(qǐng)將正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）12.計(jì)算__________.【答案】3【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)換底公式計(jì)算即得.【詳解】原式.故答案為：3.13.已知，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用換元法求出函數(shù)解析式.【詳解】依題意，，令，則，，所以.故答案為：14.已知函數(shù)若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________（用區(qū)間表示）.【答案】【分析】先求出和的根，再根據(jù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，以及的解析式可得的范圍.【詳解】，得，得；由，得，得或，因?yàn)榍∮?個(gè)零點(diǎn)，所以若和是函數(shù)的零點(diǎn)，則不是函數(shù)的零點(diǎn)，則..；若和是函數(shù)的零點(diǎn)，則不是函數(shù)的零點(diǎn)，則，若和是函數(shù)的零點(diǎn)，不是函數(shù)的零點(diǎn)，則不存在這樣的.綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故答案為：.四?解答題（共5個(gè)小題.請(qǐng)將正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）15.已知集合.（1）若，求；（2）若存在正實(shí)數(shù)，使得“”是“”成立的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式化簡(jiǎn)集合A，解二次不等式可化簡(jiǎn)集合B，后由交集定義科的答案；（2）由題可得，A是B的真子集，據(jù)此可得答案.【小問1詳解】，則.當(dāng)時(shí)，，則.故；【小問2詳解】.由題，則.又“”是“”成立的充分不必要條件，則A是B的真子集，則m>02?m≤?22+m≥5?m≥4則實(shí)數(shù)的取值范圍是16.已知函數(shù)與互為反函數(shù)，記函數(shù).（1）若，求x的取值范圍；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）最大值6【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)一元二次不等式結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式；（2）換元令，結(jié)合二次函數(shù)求最值.【小問1詳解】因?yàn)榕c互為反函數(shù)，則，故.不等式，即為，即，解得，故，所以x的取值范圍是.【小問2詳解】令，則，函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為6.17.2023年10月20日，國務(wù)院新聞辦舉辦了2023年三季度工業(yè)和信息化發(fā)展情況新聞發(fā)布會(huì)工業(yè)和信息化部表示，2023年前三季度，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展保持強(qiáng)勁的發(fā)展勢(shì)頭．在這個(gè)重要的乘用車型升級(jí)時(shí)期，某公司科研人員努力攻克了動(dòng)力電池單體能量密度達(dá)到300Wh/kg的關(guān)鍵技術(shù)，在技術(shù)水平上使得純電動(dòng)乘用車平均續(xù)駛里程超過460公里．該公司通過市場(chǎng)分析得出，每生產(chǎn)1千塊動(dòng)力電池，將收入萬元，且該公司每年最多生產(chǎn)1萬塊此種動(dòng)力電池，預(yù)計(jì)2024年全年成本總投入2.5x萬元，全年利潤為Fx萬元．由市場(chǎng)調(diào)研知，該種動(dòng)力電池供不應(yīng)求．（利潤＝收入－成本總投入）（1）求函數(shù)Fx（2）當(dāng)2024年動(dòng)力電池的產(chǎn)量為多少塊時(shí)，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)2024年動(dòng)力電池的產(chǎn)量為7000塊時(shí)，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是207.5萬元．【分析】（1）根據(jù)已知函數(shù)模型得出函數(shù)解析式；（2）分別利用二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式求出分段函數(shù)兩段的最大值，然后比較可得．【小問1詳解】由題意得，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，函數(shù)Fx的解析式為．【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)時(shí)，，∴Fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，∵，∴Fx故當(dāng)2024年動(dòng)力電池的產(chǎn)量為7000塊時(shí)，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是207.5萬元．18.已知，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)是該函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，求證：點(diǎn)在點(diǎn)的上方；（3）設(shè)，若對(duì)任意的在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.【答案】（1）（2）證明