專(zhuān)題1.2 有理數(shù)和數(shù)軸【九大題型】（舉一反三）（人教版2024）（原卷版）

專(zhuān)題1.2有理數(shù)和數(shù)軸【九大題型】

【人教版2024】

【題型1有理數(shù)的相關(guān)概念】................................................................................................................................2

【題型2有理數(shù)的分類(lèi)】........................................................................................................................................2

【題型3數(shù)軸的三要素及其畫(huà)法】........................................................................................................................4

【題型4用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)】....................................................................................................................4

【題型5利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】................................................................................................................5

【題型6數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離】........................................................................................................................5

【題型7數(shù)軸上的整點(diǎn)問(wèn)題】................................................................................................................................6

【題型8數(shù)軸中點(diǎn)的簡(jiǎn)單移動(dòng)】............................................................................................................................6

【題型9應(yīng)用數(shù)軸解決實(shí)際問(wèn)題】......................................................................................................................7

知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)的相關(guān)概念

1）整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為整數(shù)。

2）分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為分?jǐn)?shù)。

1

正分?jǐn)?shù)：像，0.24，50%等這樣的數(shù)叫作正分?jǐn)?shù)；

3

1

負(fù)分?jǐn)?shù)：像，－3.56等這樣的數(shù)叫作負(fù)分?jǐn)?shù)；

2

有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)，所以它們也是分?jǐn)?shù)。

q

3）有理數(shù)：可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱(chēng)為有理數(shù)，即有理數(shù)都可以表示為（p、q均為整數(shù)，且p不為

p

0）。

正有理數(shù)：可以寫(xiě)成正分?jǐn)?shù)的形式的數(shù)為正有理數(shù)；

負(fù)有理數(shù)：可以寫(xiě)成負(fù)分?jǐn)?shù)的形式的數(shù)為負(fù)有理數(shù)；

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。

4）有理數(shù)的兩種分類(lèi)：

第1頁(yè)共8頁(yè).

【題型1有理數(shù)的相關(guān)概念】

【例1】（23-24七年級(jí)下·上海黃浦·期中）下列說(shuō)法正確的是（）

A．自然數(shù)就是非負(fù)整數(shù)B．正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)

C．零是最小的有理數(shù)D．有最小的正整數(shù)，沒(méi)有最大的負(fù)整數(shù)

【變式1-1】（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A．所有整數(shù)都是有理數(shù)B．所有小數(shù)都是有理數(shù)

C．所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)D．?不是有理數(shù)

【變式1-2】（23-24七年級(jí)上·廣西賀州·期末）下列關(guān)于有理數(shù)的說(shuō)法正確的是（）

A．有理數(shù)可分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)兩大類(lèi)

B．正整數(shù)集合與負(fù)整數(shù)集合合在一起構(gòu)成整數(shù)集合

C．0既不屬于整數(shù)也不屬于分?jǐn)?shù)

D．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)

【變式1-3】（23-24七年級(jí)上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中：

①0是最小的整數(shù)；

②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；

③正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)；

④非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；

?

不僅是有理數(shù)，而且是分?jǐn)?shù)；

⑤?2

⑥帶“?”號(hào)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)；

⑦無(wú)限小數(shù)不都是有理數(shù)；

⑧正數(shù)中沒(méi)有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒(méi)有最大的數(shù)；

其中錯(cuò)誤的說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）

A．7個(gè)B．6個(gè)C．5個(gè)D．4個(gè)

【題型2有理數(shù)的分類(lèi)】

9

【例2】（23-24七年級(jí)上·河北保定·期末）對(duì)于下列各數(shù)：?5，0，，?0.2，10%，8，其中說(shuō)法錯(cuò)誤的是

2

（）

9

A．?5，0，8都是整數(shù)B．分?jǐn)?shù)有，?0.2，10%

2

第2頁(yè)共8頁(yè).

9

C．正數(shù)有，10%，8D．?0.2是負(fù)有理數(shù)，但不是分?jǐn)?shù)

2

【變式2-1】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）給出一個(gè)數(shù)-107.987及下列判斷：

①這個(gè)數(shù)不是分?jǐn)?shù)，但是有理數(shù)；

②這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，也是分?jǐn)?shù)；

③這個(gè)數(shù)不是有理數(shù)；

④這個(gè)數(shù)是負(fù)小數(shù)，也是負(fù)分?jǐn)?shù).

其中正確判斷的序號(hào)是．

π22

【變式】（七年級(jí)上四川南充階段練習(xí)）在?，3.1415，0，?0.333…，?，2.010010001…中，

2-223-24··37

非負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【變式2-3】（23-24七年級(jí)上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里：?7，3.5，?3.14，

131

?，0，，0.03，?3，10，25%．

172

正有理數(shù)集合{…}；

非負(fù)整數(shù)集合{…}；

整數(shù)集合{…}；

正分?jǐn)?shù)集合{…}．

知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)軸

1）數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素．

原點(diǎn)將數(shù)軸分為兩部分，其中正方向一側(cè)的部分叫數(shù)軸的正半軸，另一側(cè)的部分叫數(shù)軸的負(fù)半軸。

2）數(shù)軸的畫(huà)法

①畫(huà)一條水平的直線（一般畫(huà)水平的數(shù)軸）；

②在這條直線上適當(dāng)位置取一實(shí)心點(diǎn)作為原點(diǎn)；

③確定向右的方向?yàn)檎较?，用箭頭表示；

④選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫(huà)出，并對(duì)應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時(shí)要注意同一數(shù)軸的單位長(zhǎng)度要一致。

3）有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系

①一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)。

②數(shù)軸上的點(diǎn)并不全是有理數(shù)，如π也可以在數(shù)軸上表示，但π并不是有理數(shù)。

③正有理數(shù)位于原點(diǎn)的右邊，負(fù)有理數(shù)位于原點(diǎn)的左邊。

第3頁(yè)共8頁(yè).

④與原點(diǎn)的距離是a（a>0），在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）。

注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向。

【題型3數(shù)軸的三要素及其畫(huà)法】

【例3】（23-24七年級(jí)上·廣西百色·期末）下列數(shù)軸正確的是（）

A．B．

C．D．

【變式3-1】（23-24七年級(jí)上·河北邯鄲·期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直

線上，如果把直線看作數(shù)軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述不正確的是（）

A．?dāng)?shù)軸是以小明所在的位置為原點(diǎn)

B．?dāng)?shù)軸采用向北為正方向

5

C．小剛所在的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)有可能是?

3

D．小穎和小紅間的距離為7

【變式3-2】（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）有關(guān)數(shù)軸的畫(huà)法，下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A．原點(diǎn)位置可以是數(shù)軸上任意一點(diǎn)

B．一般情況下，取從左到右的方向?yàn)閿?shù)軸的正方向

C．?dāng)?shù)軸的單位長(zhǎng)度可根據(jù)實(shí)際需要任意選取

D．?dāng)?shù)軸上每?jī)蓚€(gè)刻度之間的長(zhǎng)度都等于1cm

【變式3-3】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖1，點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，分

別對(duì)應(yīng)的數(shù)為?5，b，3，某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對(duì)齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B

對(duì)應(yīng)刻度2.4cm，點(diǎn)C對(duì)齊刻度6.4cm，則數(shù)軸上點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為．

【題型4用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)】

【例4】（2024·河南平頂山·一模）已知點(diǎn)P在數(shù)軸上，且到原點(diǎn)的距離大于2，寫(xiě)出一個(gè)點(diǎn)P表示的負(fù)

數(shù)：．

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【變式4-1】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2024，??=??，則點(diǎn)B表示的數(shù)是

（）

11

．．?2024．．?

A2024BC2024D2024

【變式4-2】（2024·遼寧沈陽(yáng)·二模）如圖，比數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)大1的數(shù)是（）

A．?1B．0C．1D．2

【變式4-3】（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·期中）在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是4，那么?=．

【題型5利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】

【例5】（2024·廣東佛山·三模）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）

A．?<0B．?>0C．?>0D．?<?

【變式5-1】（23-24七年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）比較大?。河欣頂?shù)?在數(shù)軸上的位置如下圖所示，則?

0．

【變式5-2】（2024七年級(jí)下·上?！?zhuān)題練習(xí)）（1）在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù)，并用小于號(hào)連接下列各數(shù)．

1

?3，+1，2，?1.5

2

（2）在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示什么樣的有理數(shù)？答：．

【變式5-3】（23-24七年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)?表示的數(shù)可能是（）

7531

A．?B．?C．?D．?

2222

【題型6數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離】

【例6】（2024·陜西漢中·二模）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A表示的數(shù)為?3，??=7，則點(diǎn)B

表示的數(shù)為．

第5頁(yè)共8頁(yè).

【變式6-1】（23-24七年級(jí)上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）在數(shù)軸上，表示?5的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是（）

A．5B．?5C．10D．?10

【變式6-2】（2024·湖南株洲·一模）如圖，點(diǎn)?、?在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是?2和3，則??的長(zhǎng)度為．

【變式6-3】（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）正方形????的邊長(zhǎng)??=2，其頂點(diǎn)A在數(shù)軸上且表示的

數(shù)為?1，若點(diǎn)E也在數(shù)軸上且??=??，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（）

A．?3B．3C．?3或1D．?3或3

【題型7數(shù)軸上的整點(diǎn)問(wèn)題】

【例7】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）小明寫(xiě)作業(yè)時(shí)不慎將墨水滴在數(shù)軸上，請(qǐng)根據(jù)圖中的數(shù)值，判

斷墨跡蓋住部分的整數(shù)有個(gè)．

【變式7-1】（23-24七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期末）在數(shù)軸上表示2.5和?1.13之間的整數(shù)有（）

A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)

【變式7-2】（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·開(kāi)學(xué)考試）如圖，一滴墨水灑在數(shù)軸上，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)值判

斷墨跡蓋住的整數(shù)個(gè)數(shù)是（）

A．2B．3C．4D．5

【變式7-3】（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖所示的數(shù)軸被墨跡蓋住了一部分，則被遮住的所

有整數(shù)個(gè)數(shù)為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，有理數(shù)加法，熟練掌握有理數(shù)加法法則是解題的關(guān)鍵

【題型8數(shù)軸中點(diǎn)的簡(jiǎn)單移動(dòng)】

【例8】（23-24七年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從A點(diǎn)（A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的

數(shù)是1）沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周后到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（）

第6頁(yè)共8頁(yè).

A．2?B．2?+1C．2??1D．4?

【變式8-1】（23-24七年級(jí)上·浙江衢州·期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)?表示的數(shù)是1，則點(diǎn)?表示的數(shù)是．

【變式8-2】（23-24七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知，點(diǎn)M在數(shù)軸上表示的數(shù)是9

（1）若將點(diǎn)N先向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)M，則點(diǎn)N表示的數(shù)為．

（2）若將點(diǎn)M在數(shù)軸上移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)點(diǎn)M表示的數(shù)是．

【變式8-3】（23-24七年級(jí)上·河北唐山·期中）點(diǎn)?在數(shù)軸上距原點(diǎn)4個(gè)單位長(zhǎng)度，且位于原點(diǎn)左側(cè)，若將

點(diǎn)A向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)點(diǎn)?表示的數(shù)是．

【題型9應(yīng)用數(shù)軸解決實(shí)際問(wèn)題】

【例9】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）郵遞員騎車(chē)從郵局出發(fā)，先向西騎行3km到達(dá)