專題1.2 有理數(shù)和數(shù)軸【九大題型】（舉一反三）（人教版2024）（原卷版）

專題1.2有理數(shù)和數(shù)軸【九大題型】

【人教版2024】

【題型1有理數(shù)的相關概念】................................................................................................................................2

【題型2有理數(shù)的分類】........................................................................................................................................2

【題型3數(shù)軸的三要素及其畫法】........................................................................................................................4

【題型4用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)】....................................................................................................................4

【題型5利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】................................................................................................................5

【題型6數(shù)軸上兩點之間的距離】........................................................................................................................5

【題型7數(shù)軸上的整點問題】................................................................................................................................6

【題型8數(shù)軸中點的簡單移動】............................................................................................................................6

【題型9應用數(shù)軸解決實際問題】......................................................................................................................7

知識點1：有理數(shù)的相關概念

1）整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

2）分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)。

1

正分數(shù)：像，0.24，50%等這樣的數(shù)叫作正分數(shù)；

3

1

負分數(shù)：像，－3.56等這樣的數(shù)叫作負分數(shù)；

2

有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化為分數(shù)，所以它們也是分數(shù)。

q

3）有理數(shù)：可以寫成分數(shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)，即有理數(shù)都可以表示為（p、q均為整數(shù)，且p不為

p

0）。

正有理數(shù)：可以寫成正分數(shù)的形式的數(shù)為正有理數(shù)；

負有理數(shù)：可以寫成負分數(shù)的形式的數(shù)為負有理數(shù)；

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

4）有理數(shù)的兩種分類：

第1頁共8頁.

【題型1有理數(shù)的相關概念】

【例1】（23-24七年級下·上海黃浦·期中）下列說法正確的是（）

A．自然數(shù)就是非負整數(shù)B．正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

C．零是最小的有理數(shù)D．有最小的正整數(shù)，沒有最大的負整數(shù)

【變式1-1】（23-24七年級上·吉林長春·期末）下列說法中，錯誤的是（）

A．所有整數(shù)都是有理數(shù)B．所有小數(shù)都是有理數(shù)

C．所有分數(shù)都是有理數(shù)D．?不是有理數(shù)

【變式1-2】（23-24七年級上·廣西賀州·期末）下列關于有理數(shù)的說法正確的是（）

A．有理數(shù)可分為正有理數(shù)和負有理數(shù)兩大類

B．正整數(shù)集合與負整數(shù)集合合在一起構成整數(shù)集合

C．0既不屬于整數(shù)也不屬于分數(shù)

D．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

【變式1-3】（23-24七年級上·北京豐臺·階段練習）下列說法中：

①0是最小的整數(shù)；

②有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；

③正整數(shù)、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；

④非負數(shù)就是正數(shù)；

?

不僅是有理數(shù)，而且是分數(shù)；

⑤?2

⑥帶“?”號的數(shù)一定是負數(shù)；

⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)；

⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負數(shù)中沒有最大的數(shù)；

其中錯誤的說法的個數(shù)為（）

A．7個B．6個C．5個D．4個

【題型2有理數(shù)的分類】

9

【例2】（23-24七年級上·河北保定·期末）對于下列各數(shù)：?5，0，，?0.2，10%，8，其中說法錯誤的是

2

（）

9

A．?5，0，8都是整數(shù)B．分數(shù)有，?0.2，10%

2

第2頁共8頁.

9

C．正數(shù)有，10%，8D．?0.2是負有理數(shù)，但不是分數(shù)

2

【變式2-1】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）給出一個數(shù)-107.987及下列判斷：

①這個數(shù)不是分數(shù)，但是有理數(shù)；

②這個數(shù)是負數(shù)，也是分數(shù)；

③這個數(shù)不是有理數(shù)；

④這個數(shù)是負小數(shù)，也是負分數(shù).

其中正確判斷的序號是．

π22

【變式】（七年級上四川南充階段練習）在?，3.1415，0，?0.333…，?，2.010010001…中，

2-223-24··37

非負數(shù)的個數(shù)（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

【變式2-3】（23-24七年級上·寧夏吳忠·階段練習）把下列各數(shù)填入相應的大括號里：?7，3.5，?3.14，

131

?，0，，0.03，?3，10，25%．

172

正有理數(shù)集合{…}；

非負整數(shù)集合{…}；

整數(shù)集合{…}；

正分數(shù)集合{…}．

知識點2：數(shù)軸

1）數(shù)軸定義：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。

原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素．

原點將數(shù)軸分為兩部分，其中正方向一側的部分叫數(shù)軸的正半軸，另一側的部分叫數(shù)軸的負半軸。

2）數(shù)軸的畫法

①畫一條水平的直線（一般畫水平的數(shù)軸）；

②在這條直線上適當位置取一實心點作為原點；

③確定向右的方向為正方向，用箭頭表示；

④選取適當?shù)拈L度作單位長度，用細短線畫出，并對應標注各數(shù)，同時要注意同一數(shù)軸的單位長度要一致。

3）有理數(shù)與數(shù)軸的關系

①一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來。

②數(shù)軸上的點并不全是有理數(shù)，如π也可以在數(shù)軸上表示，但π并不是有理數(shù)。

③正有理數(shù)位于原點的右邊，負有理數(shù)位于原點的左邊。

第3頁共8頁.

④與原點的距離是a（a>0），在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）。

注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向。

【題型3數(shù)軸的三要素及其畫法】

【例3】（23-24七年級上·廣西百色·期末）下列數(shù)軸正確的是（）

A．B．

C．D．

【變式3-1】（23-24七年級上·河北邯鄲·期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直

線上，如果把直線看作數(shù)軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述不正確的是（）

A．數(shù)軸是以小明所在的位置為原點

B．數(shù)軸采用向北為正方向

5

C．小剛所在的位置對應的數(shù)有可能是?

3

D．小穎和小紅間的距離為7

【變式3-2】（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習）有關數(shù)軸的畫法，下列說法中，錯誤的是（）

A．原點位置可以是數(shù)軸上任意一點

B．一般情況下，取從左到右的方向為數(shù)軸的正方向

C．數(shù)軸的單位長度可根據實際需要任意選取

D．數(shù)軸上每兩個刻度之間的長度都等于1cm

【變式3-3】（23-24七年級上·江蘇泰州·期中）如圖1，點A、B、C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分

別對應的數(shù)為?5，b，3，某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B

對應刻度2.4cm，點C對齊刻度6.4cm，則數(shù)軸上點B所對應的數(shù)b為．

【題型4用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)】

【例4】（2024·河南平頂山·一模）已知點P在數(shù)軸上，且到原點的距離大于2，寫出一個點P表示的負

數(shù)：．

第4頁共8頁.

【變式4-1】（2024·吉林長春·一模）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2024，??=??，則點B表示的數(shù)是

（）

11

．．?2024．．?

A2024BC2024D2024

【變式4-2】（2024·遼寧沈陽·二模）如圖，比數(shù)軸上的點A表示的數(shù)大1的數(shù)是（）

A．?1B．0C．1D．2

【變式4-3】（23-24七年級上·江蘇淮安·期中）在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離是4，那么?=．

【題型5利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】

【例5】（2024·廣東佛山·三模）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的位置如圖所示，則下列結論成立的是（）

A．?<0B．?>0C．?>0D．?<?

【變式5-1】（23-24七年級上·廣西南寧·階段練習）比較大?。河欣頂?shù)?在數(shù)軸上的位置如下圖所示，則?

0．

【變式5-2】（2024七年級下·上?！ｎ}練習）（1）在數(shù)軸上標出下列各數(shù)，并用小于號連接下列各數(shù)．

1

?3，+1，2，?1.5

2

（2）在數(shù)軸上，原點左邊的點表示什么樣的有理數(shù)？答：．

【變式5-3】（23-24七年級上·廣東清遠·期末）如圖，數(shù)軸上的點?表示的數(shù)可能是（）

7531

A．?B．?C．?D．?

2222

【題型6數(shù)軸上兩點之間的距離】

【例6】（2024·陜西漢中·二模）點A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A表示的數(shù)為?3，??=7，則點B

表示的數(shù)為．

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【變式6-1】（23-24七年級上·新疆阿克蘇·階段練習）在數(shù)軸上，表示?5的點到原點的距離是（）

A．5B．?5C．10D．?10

【變式6-2】（2024·湖南株洲·一模）如圖，點?、?在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是?2和3，則??的長度為．

【變式6-3】（23-24七年級上·河北石家莊·期末）正方形????的邊長??=2，其頂點A在數(shù)軸上且表示的

數(shù)為?1，若點E也在數(shù)軸上且??=??，則點E所表示的數(shù)為（）

A．?3B．3C．?3或1D．?3或3

【題型7數(shù)軸上的整點問題】

【例7】（23-24七年級上·全國·課堂例題）小明寫作業(yè)時不慎將墨水滴在數(shù)軸上，請根據圖中的數(shù)值，判

斷墨跡蓋住部分的整數(shù)有個．

【變式7-1】（23-24七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）在數(shù)軸上表示2.5和?1.13之間的整數(shù)有（）

A．4個B．5個C．6個D．7個

【變式7-2】（23-24七年級上·江蘇連云港·開學考試）如圖，一滴墨水灑在數(shù)軸上，根據圖中標出的數(shù)值判

斷墨跡蓋住的整數(shù)個數(shù)是（）

A．2B．3C．4D．5

【變式7-3】（23-24七年級上·重慶沙坪壩·階段練習）如圖所示的數(shù)軸被墨跡蓋住了一部分，則被遮住的所

有整數(shù)個數(shù)為．

【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，有理數(shù)加法，熟練掌握有理數(shù)加法法則是解題的關鍵

【題型8數(shù)軸中點的簡單移動】

【例8】（23-24七年級上·江蘇常州·期中）如圖，半徑為1個單位長度的圓從A點（A點在數(shù)軸上表示的

數(shù)是1）沿數(shù)軸向右滾動一周后到達點B，則點B表示的數(shù)是（）

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A．2?B．2?+1C．2??1D．4?

【變式8-1】（23-24七年級上·浙江衢州·期末）如圖，在數(shù)軸上點?表示的數(shù)是1，則點?表示的數(shù)是．

【變式8-2】（23-24七年級上·河北邢臺·階段練習）已知，點M在數(shù)軸上表示的數(shù)是9

（1）若將點N先向左移動4個單位長度，再向右移動6個單位長度，得到點M，則點N表示的數(shù)為．

（2）若將點M在數(shù)軸上移動4個單位長度，這時點M表示的數(shù)是．

【變式8-3】（23-24七年級上·河北唐山·期中）點?在數(shù)軸上距原點4個單位長度，且位于原點左側，若將

點A向右移動5個單位長度，再向左移動1個單位長度，這時點?表示的數(shù)是．

【題型9應用數(shù)軸解決實際問題】

【例9】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）郵遞員騎車從郵局出發(fā)，先向西騎行3km到達