專題2.4 有理數的乘方【十大題型】（舉一反三）（人教版2024）（解析版）

專題2.4有理數的乘方【十大題型】

【人教版2024】

【題型1乘方運算的符號規(guī)律】............................................................................................................................1

【題型2乘方的逆運算（簡算）】........................................................................................................................3

【題型3乘方中的程序流程圖問題】....................................................................................................................6

【題型4乘方中的整除問題】................................................................................................................................9

【題型5乘方中的進制問題】..............................................................................................................................11

【題型6乘方中的末尾數字問題】......................................................................................................................13

【題型7乘方中的規(guī)律探究】..............................................................................................................................15

【題型8算“24”點】..........................................................................................................................................17

【題型9乘方的實際應用】..................................................................................................................................19

【題型10乘方中的新定義問題】..........................................................................................................................22

知識點：有理數的乘方

1.有理數的乘方

a×a×a×××××a

一般地，n個相同的乘數a相乘，即1442443，記作an，讀作“a的n次方”；

n個

在an中，a叫做底數，n叫做指數；當an看作a的n次方的結果時，讀作a的n次冪。

求n個相同因數的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪。

1）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，即“奇負偶正”；

2）正數的任何次冪都是正數；3）0的任何正整數次冪都是0。

注意：除0以外的任何數的“0次冪”結果為1。

【題型1乘方運算的符號規(guī)律】

【例1】（23-24七年級·安徽合肥·期中）下列各組數中，數值相等的一組是（）

A．32和23B．（﹣2）3和﹣23

C．﹣32和（﹣3）2D．﹣（2×3）2和﹣2×32

【答案】B

第1頁共25頁.

【分析】根據乘方的定義逐一計算判斷即可，注意符號．

【詳解】解：A．32＝9，23＝8，故選項A不符合題意；

B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故選項B符合題意；

C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故選項C不符合題意；

D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故選項D不符合題意．

故選：B．

【點睛】本題考查乘方的定義，根據乘方的定義準確計算是解題的關鍵．

【變式1-1】（23-24七年級·福建廈門·期末）觀察下列三組數的運算：(?2)3=?8，?23=?8；(?3)3

=?27，?33=?27；(?4)3=?64，?43=?64．聯系這些具體數的乘方，可以發(fā)現規(guī)律．下列用字母?表

示的式子：①當?<0時，?3=(??)3；②當?>0時，??3=(??)3．其中表示的規(guī)律正確的是（）

A．①B．②C．①、②都正確D．①、②都不正確

【答案】B

【分析】根據三組數的運算的規(guī)律逐個判斷即可得．

【詳解】解：由三組數的運算得：(?2)3=?8=?23=?[?(?2)]3，

(?3)3=?27=?33=?[?(?3)]3，

(?4)3=?64=?43=?[?(?4)]3，

歸納類推得：當?<0時，?3=?(??)3，式子①錯誤；

由三組數的運算得：?23=?8=(?2)3，

?33=?27=(?3)3，

?43=?64=(?4)3，

歸納類推得：當?>0時，??3=(??)3，式子②正確；

故選：B．

【點睛】本題考查了有理數乘方的應用，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關鍵．

【變式1-2】（23-24七年級·廣東深圳·期末）已知4個數：（﹣1）2018，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中

正數的個數有（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】根據乘方運算法則、絕對值性質、相反數的定義逐一計算即可得出答案．

【詳解】解：

第2頁共25頁.

計算出結果：

（-1）2018=1

|-2|=2

-（-1.5）=1.5

-32=-9

根據計算答案可知正數有3個，

故選C．

【點睛】本題主要考查有理數運算，解題的關鍵是熟練掌握有理數乘方運算法則、絕對值性質、相反數的

定義及求解方法．

【變式1-3】（23-24七年級·山東棗莊·期中）下列各式：①?2=(??)2；②?3=(??)3；③??2=|??2|；

④?3=|?3|．一定成立的有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】A

【分析】根據乘方和絕對值的定義，逐個分情況討論，即可解決問題.

【詳解】①?2=(??)2，一定成立；

②?3=(??)3，當a為正數時，該等式不成立；

③??2=|??2|，a為正數或負數時，該等式不成立；

④?3=|?3|，當a為負數時，該等式不成立；

一定成立的有①，共1個

故選A

【點睛】本題考查有理數的乘方和絕對值，熟練掌握乘方和絕對值的定義以及偶次方和絕對值的非負性是

解題關鍵.

【題型2乘方的逆運算（簡算）】

【例2】（23-24七年級·福建三明·期中）（1）計算下面兩組算式：

①(3×5)2與32×52；

②[(?2)×3]2與(?2)2×32；

（2）根據以上計算結果想開去：(??)3等于什么?（直接寫出結果）

（3）猜想與驗證：當?為正整數時，(??)?等于什么?請你利用乘方的意義說明理由．

（4）利用上述結論，求(?4)2022×0.252023的值．

第3頁共25頁.

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）(??)3=?3?3；（3）(??)?=????；理由見解析；（4）0.25

【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，據此即可計算求值；

（2）根據（1）的結果即可得到答案；

（3）根據乘方(??)?的意義寫成n個數相乘，利用交換律轉化為???·?·?和???·?·?的乘積即可證明猜想；

?個?相乘?個?相乘

（4）利用乘方的逆運算進行計算即可得到答案．

【詳解】解：（1）①(3×5)2=152=225，

32×52=9×25=225；

②[(?2)×3]2=(?6)2=36，

(?2)2×32=4×9=36；

（2）(??)3=?3?3；

（3）(??)?=????，理由如下：

(??)?=?????·?·??

?個??相乘

=???·?·?????·?·?

?個?相乘?個?相乘

=????；

（4）(?4)2022×0.252023

=(?4)2022×0.252022×0.25

=(?4×0.25)2022×0.25

=(?1)2022×0.25

=0.25．

【點睛】本題考查了有理數乘法法則，乘方的意義，以及對師資普遍規(guī)律的猜想和驗證，熟練運用乘方運

算以及逆運算來簡便運算是解題關鍵．

【變式2-1】（23-24七年級·全國·單元測試）如果?5=?32，?3=8那么??=．

【答案】4

【分析】本題考查了有理數的乘方的定義及法則．熟練掌握有理數的乘方的定義是解題的關鍵．根據有理

數乘方的定義，已知等式中的?32相當于?2的5次方，由此可以求出x的值為?2．已知等式中的8相當于2

的3次方，由此可以求出y的值為2．進而可求出??的值．

【詳解】解：∵?32=(?2)5，

∴?5=(?2)5，

第4頁共25頁.

∴?=?2．

∵23=8，

∴?=2，

因此??=(?2)2=4．

故答案為：4．

【變式2-2】（23-24七年級·福建廈門·期中）若126×38=?，則126×36的值可以表示為（）

11

．?．??9．??6．?

A6BCD9

【答案】D

【分析】本題考查了有理數的乘方，乘方的逆運算，等式的性質等知識點，根據有理數乘方的運算法則即

可得解，熟練掌握有理數的乘方的意義是解題關鍵．

【詳解】∵126×38=?,

∴126×36×32=?,

∴126×36×9=?,

1

126×6=?，

∴39

故選：D．

33

1

【變式2-3】（七年級廣東東莞期中）2=36,2=2×2=4×9=36，由此你能算出36×

23-24··6(2×3)2322

=（）

．．．1．十分麻煩

A6B8C8D

【答案】B

3333

11

【分析】先把原式變形為33××3，從而得到×3，即可求解．

2222×22

33

1

【詳解】解：36×

22

133

=233×23×

2

133

=233××23

2

133

=2××23

2

=133×23

＝1×8

第5頁共25頁.

＝8

故選：B．

【點睛】本題主要考查了有理數乘方運算，掌握有理數乘方的意義是解題的關鍵．

【題型3乘方中的程序流程圖問題】

【例3】（23-24七年級·河南駐馬店·期中）小可同學設計了幾張如圖寫有不同運算的卡片A，B，C，D，小

可選擇一個有理數，讓她的同桌小佳選擇A，B，C，D的順序，進行一次列式計算．

(1)當小可選擇了4，小佳選擇了?→?→?→?的順序，列出算式并計算結果；

(2)當小可選擇了?2，小佳選擇了?→?→（______）→（______）的順序，若列式計算的結果剛好為?3，請

通過計算判斷小佳選擇的順序．

【答案】(1)算式：[(4+3?2)×(?3)]2，結果是225；

(2)小佳選擇了?→?→?→?，計算見解析．

【分析】本題考查程序流程圖與有理數的混合運算：

（1）按照選擇的順序列式計算即可；

（2）按照?→?→?→?，?→?→?→?兩種順序分別計算，看哪個結果剛好是?3即可．

【詳解】（1）解：由題意，算式為：[(4+3?2)×(?3)]2，

[(4+3?2)×(?3)]2

=[5×(?3)]2

=(?15)2

=225；

（2）解：若選擇?→?→?→?，

可得：[(?2)2?2+3]×(?3)

=(4?2+3)×(?3)

=5×(?3)

=?15；

若選擇?→?→?→?，

第6頁共25頁.

可得：[(?2)2?2]×(?3)+3

=(4?2)×(?3)+3

=2×(?3)+3

=?6+3

=?3；

∵列式計算的結果剛好為?3，

∴小佳選擇了?→?→?→?．

【變式3-1】（23-24七年級·江蘇揚州·階段練習）根據下面的數值轉換器，列出關于x，y的代數式，并求

2

1

出當輸入的x與y滿足+=0時的值．

|?+1|??2

3

【答案】2÷2，原式

[?+(2?+1)]=2

【分析】根據絕對值的非負性和偶次冪的非負性求出x、y，代入計算流程圖計算即可得解．

2

1

【詳解】∵+=0，

|?+1|??2

2

1

∵≥0，≥0，

|?+1|??2

2

1

∴=0，=0，

|?+1|??2

1

?+1=0，??=0，

∴2

1

?=?1，?=，

∴2

根據計算流程圖可以列式為：[?2+(2?+1)]÷2，

1

將?=?1，?=代入流程圖式子中，

2

3

有2÷2=21÷2=3÷2=，

[?+(2?+1)](?1)+2×2+12

第7頁共25頁.

故答案為：3．

2

【點睛】本題主要考查了有理數的混合運算、絕對值的非負性和偶次冪的非負性的知識，求出x、y的值是

解答本題的關鍵．

【變式3-2】（23-24七年級·北京·期末）按如圖所示的程序進行計算，如果把第一次輸入的數是20，而結果

不大于100時，就把結果作為輸入的數再進行第二次運算，直到符合要求為止，請求出最后輸出的結果．

【答案】320

【分析】本題考查程序流程圖與有理數的計算．根據流程圖列出算式，進行計算即可．掌握的列出算式，

是解題的關鍵．

2

1111

【詳解】解：把20代入程序中得：20×÷=20×÷=?40，

|?2|??22?4

21

把?40代入程序中得：?40×1÷1=?40×÷1=80，

|?2|??22?4

2

1111

把80代入程序中得：80×÷=80×÷=?160，

|?2|??22?4

21

把?160代入程序中得：?160×1÷1=?160×÷1=320>100，

|?2|??22?4

則最后輸出的結果為320．

【變式3-3】（23-24七年級·北京東城·期末）小明設計了一個如圖所示的數值轉換程序．

(1)當輸入?=?5,?=?3吋，求輸出?的值為多少？

(2)若?=?3,?的值大于4，直接寫出一個符合條件的?的值．

【答案】(1)34

(2)?=1（答案不唯一，符合要求即可）

第8頁共25頁.

【分析】本題考查了程序流程圖與有理數計算．理解程序流程圖是解題的關鍵．

（1）由題意知，?2=9，??=5，由?2>??，可知?=?2?3?=(?5)2?3×(?3)，計算求解即可；

（2）由題意知，??=3，當?=1時，?2<??，可知?=|???|+3=|?3?1|+3=7>4，進而可知，?=1

符合要求．

【詳解】（1）解：由題意知，?2=9，??=5，

∵?2>??，

∴?=?2?3?=(?5)2?3×(?3)=34，

∴輸出?的值為34；

（2）解：由題意知，??=3，

當?=1時，?2=1，且?2<??，

∴?=|???|+3=|?3?1|+3=7>4，

∴?=1符合條件．

【題型4乘方中的整除問題】

【例4】（23-24七年級·江蘇揚州·期中）(?8)2024+(?8)2023能被下列哪個數整除？（）

A．3B．5C．7D．9

【答案】C

【分析】本題考查了數的整除、有理數的乘方的運算，先計算出(?8)2024+(?8)2023=7×82023，即可得

出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．

【詳解】解：(?8)2024+(?8)2023

=(?8)2023×(?8)+(?8)2023

=(?8)2023×(?8+1)

=7×82023，

∴能被7整除，

故選：C．

【變式4-1】（23-24七年級·浙江杭州·期中）試說明257+513能被30整除．

【答案】理由見解析．

【分析】先利用有理數的乘方的逆運算將257進行變形，再提取公因子513，由此即可得出答案．

【詳解】257+513=(52)7+513

=514+513

第9頁共25頁.

=513×(5+1)

=6×513

則(257+513)÷30=(6×513)÷30=512

因為512是整數

所以257+513能被30整除．

【點睛】本題考查了有理數的乘方的逆運算、乘法的分配律，掌握有理數的乘方的逆運算是解題關鍵．

【變式4-2】（23-24七年級·湖南懷化·期末）20232?2023一定能被（）整除

A．2020B．2022C．2024D．2025

【答案】B

【分析】根據乘法分配律的逆運算得到2022×2023，即可得出結論．

【詳解】解：20232?2023

=2023×2023?2023

=(2023?1)×2023

=2022×2023，

∴20232?2023一定能被2022整除，

故選：B．

【點睛】本題主要考查的有理數的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握乘法分配律的逆運算．

【變式4-3】（23-24七年級·四川成都·期中）當自然數?的個位數分別為0，1，2，…，9時，?2,?3,?4的個位

數如表所示：

?個位數0123456789

?2個位

0149656941

數

?3個位

0187456329

數

?4個位

0161656161

數

······

第10頁共25頁.

在10，11，12，13這四個數中，當?=時，和數2001?+2002?+2003?+2004?能被5整除．

【答案】10、11、13

【分析】根據表格中的規(guī)律，分別求出2001、2002、2003、2004這幾個數的個位在n=10、11、12、13時

的值，通過判斷這4個數字的個位數字和是否是0或5來判斷是否能被5整除

【詳解】根據表格中的規(guī)律，可得下表：

n個位數10111213

2001?個位數1111

2002?個位數4862

2003?個位數9713

2004?個位數6464

個位數的和的個位數0040

由表格知道，當n=10、11、13時，2001?+2002?+2003?+2004?的個位數字都是0，能夠被5整除

故答案為：10、11、13

【點睛】本題考查了歸納總結的能力，解題關鍵是利用乘方的規(guī)律來確定個位數字，求出結果的個位數字

之和判斷是否能夠被5整除.

【題型5乘方中的進制問題】

【例5】（23-24七年級·浙江溫州·期中）遠古美索不達米亞人創(chuàng)造了一套以60進制為主的楔形文記數系統(tǒng)，

對于大于59的數，美索不達米亞人則采用六十進制的位值記法，位置的區(qū)分是靠在不同楔形記號組之間留

空，例如：，左邊的表示2×602；中間的表示3×60；右邊的則表示1個單位，用十進制寫出

來是7381，若楔形文記數，表示十進制的數為．

【答案】3723

【分析】根據題意，可以用十進制表示出楔形文記數．

【詳解】解：楔形文記數表示十進制的數為：1×602+2×60+3＝3600+120+3=3723，

第11頁共25頁.

故答案為：3723．

【點睛】本題考查了有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法以及六十進制

的位值記法．

【變式5-1】（23-24七年級·山東煙臺·期末）我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上

打結來記錄數量，即“結繩計數”．如圖，一位漁夫從右往左打結，滿五進一，用來記錄捕到的魚的數量．由

圖可知，他一共捕到的魚的數量為（）

A．34B．194C．1234D．6154

【答案】B

【分析】本題主要考查了用數字表示事件，理解題意是解題的關鍵．根據題意列式即可．

【詳解】解：1×53+2×52+3×5+4=194．

故選B．

210

【變式5-2】（23-24七年級·全國·競賽）二進制數(101)2可用十進制表示為1×2+0×2+1×2=5，同

210

樣地，三進制數(102)3可用十進制表示為1×3+0×3+2×3=11．現有二進制數?=(11101)2、三進

制數?=(1010)3，那么?、?的大小關系是（）．

A．?<?B．?<?C．?=?D．不能確定

【答案】A

【分析】本題考查進位制，本題解題的關鍵是找出題目給出的運算順序，按照有理數混合運算的順序進行

計算即可，本題是一個基礎題．括號里的數字從左開始，按照題目給的計算法則計算，以此類推，進行計

算即可．

43210

【詳解】?=(11101)2用十進制表示為1×2+1×2+1×2+0×2+1×2=29，

3210

?=(1010)3用十進制表示為1×3+0×3+1×3+0×3=30，

∵29<30

∴?<?，

故選：A．

【變式5-3】（23-24七年級·安徽合肥·階段練習）我們常用的十進制數，如2639=2×103+6×102+3×101

+9，我國古代《易經》一書記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，如圖，一位母親在從右

第12頁共25頁.

到左依次排列的繩子上打結，并采用七進制（如2513=2×73+5×72+1×71+3），用來記錄孩子自出生后

的天數，由圖可知，孩子自出生后的天數是（）

A．1326天B．510天C．336天D．84天

【答案】B

【分析】類比于十進制“滿十進一”，可以表示滿七進一的數為：千位上的數×73+百位上的數×72+十位上的數

×7+個位上的數．

【詳解】解：繩子上表示的七進制數為：1326=1×73+3×72+2×71+6=343+147+14+6=510，

故選：B．

【點睛】考查了有理數的混合運算，本題是以古代“結繩計數”為背景，按滿七進一計算自孩子出生后的天數，

運用了類比的方法，根據圖中的數學列式計算；本題題型新穎，一方面讓學生了解了古代的數學知識，另

一方面也考查了學生的思維能力．

【題型6乘方中的末尾數字問題】

【例6】（23-24七年級·山東德州·階段練習）觀察下列算式：

31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561?

根據上述算式中的規(guī)律，你認為32012的末位數字是．

【答案】1

【分析】從運算的結果可以看出尾數以3、9、7、1四個數字一循環(huán)，用2012除以4，余數是幾就和第幾個

數字相同，由此解決問題即可．

【詳解】解：已知31=3，末位數字為3，

32=9，末位數字為9，

33=27，末位數字為7，

34=81，末位數字為1，

35=243，末位數字為3，

36=729，末位數字為9，

37=2187，末位數字為7，

第13頁共25頁.

38=6561，末位數字為1，

…，

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數字以3、9、7、1四個數字為一循環(huán)，

又2012÷4=503，

所以32012的末位數字與34的末位數字相同是1．

故答案為：1．

【點睛】此題考查了規(guī)律型：數字的變化類，通過觀察得出3的乘方的末位數字以3、9、7、1四個數字為

一循環(huán)是解決問題的關鍵．

【變式6-1】（23-24七年級·湖北武漢·期中）?為任意整數，則下列四組數字都不可能是?2的末位數字的應

是（）

A．3，4，9，0B．2，3，7，8C．4，5，6，7D．1，5，6，9

【答案】B

【分析】分別計算0至9這10個數字的平方，觀察其末位數字，從而得出結果．

此題考查了整數的乘方，由于a為任意實數，分析出計算0至9這10個數字的平方，是解題的關鍵．

【詳解】02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，

∴1個數的平方的末位數字可以是0，1，4，5，6，9，

∴沒有一個數的平方的末位數字能得到2，3，7，8，

∴a為任意整數，?2的末位數字不可能是2，3，7，8．

故選：B．

【變式6-2】（23-24七年級·福建漳州·期中）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，

26=64，27=128，28=256，…，根據上述算式中的規(guī)律，你認為22023的末位數字是（）

A．2B．4C．8D．6

【答案】C

【分析】本題考查了有理數的乘方，先根據已知條件，發(fā)現2?的末位數字按照2，4，8，6循環(huán)，用2023÷4

即可得出答案，根據題意找出規(guī)律是解題的關鍵．

【詳解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，

∴2023÷4=505?3，

∴22023的末位數字是8，

故選：C．

第14頁共25頁.

【變式6-3】（23-24七年級·重慶渝中·階段練習）若?=25，?=?3，試確定?2011+?2012的末位數字

是．

【答案】6

【分析】根據題意得出252011的末位數字和(?3)2012的末位數字，再求出其和即可．

【詳解】解：∵25的任何次冪的末位數字都是5，?3的偶次冪是正數，且當次數為4的倍數時，其末位數字

為1，

∴?2011=252011的末位數字一定是5，

又∵2012÷4=503，

∴?2012=(?3)2012的末位數字一定是1，

∴?2011+?2012的末位數字一定是5+1=6，

故答案為：6．

【點睛】本題考查的是有理數的乘方，根據題意找出尾數的規(guī)律是解答此題的關鍵．

【題型7乘方中的規(guī)律探究】

1

【例7】（七年級山東濰坊期中）如圖，把面積為的正方形進行分割，觀察其規(guī)律，可得算式+

23-24··12

23478

11111

+++…++再加上（）后，結果就是．

222221

1111

A．B．C．D．

25262728

【答案】D

【分析】本題考查有理數的混合運算、規(guī)律性，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現式子的特點，利用數形

結合的思想解答．

234??

111111

根據圖形可知+++…++=1

222222

【詳解】解：由圖可知，

第15頁共25頁.

234788

1111111

+++…++在加上后，結果就是

22222221

故選：D

【變式7-1】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·期末）觀察數列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7個數為．

【答案】-128

【分析】第一個數﹣2＝（﹣2）1，第二個數4＝（﹣2）2，第三個數﹣8＝（﹣2）3，???，

∴第7個數為：（﹣2）7＝﹣128．

【詳解】解：∵觀察數列中的各數可以發(fā)現：

第一個數為﹣2＝（﹣2）1，

第二個數為4＝（﹣2）2，

第三個數﹣8＝（﹣2）3，

???，

∴第7個數為：（﹣2）7＝﹣128．

故答案為：﹣128．

【點睛】本題考查了數列，解決問題的關鍵是探究數列的排列規(guī)律，運用排列規(guī)律解答．

【變式7-2】（23-24七年級·廣東佛山·階段練習）任意大于1的正整數?的三次冪均可“分裂”成?個連續(xù)奇數

的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此規(guī)律，若?3分裂后，其中有一個

奇數是117，則?的值是

【答案】11

【分析】觀察規(guī)律，分裂成的數都是奇數，且第一個數是底數乘以與底數相鄰的前一個數的積再加上1，奇

數的個數等于底數，然后找出117所在的奇數的范圍，即可得解．

【詳解】解：∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，

……

∴?3分裂后的第一個數是?(??1)+1，共有?個奇數，

∵11×(11?1)+1=111，12×(12?1)+1=133，

∴奇數117是底數為11的數的立方分裂后的一個奇數，

∴?=11．

故答案為：11．

【點睛】本題考查數字的變化類、有理數的乘方.解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現題目中數字的變化規(guī)律，

求出相應的數字的值．

第16頁共25頁.

【變式7-3】（23-24七年級·浙江溫州·期中）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，

26=64，27=128,28=256……通過觀察，用所發(fā)現的規(guī)律確定218的個位數字是．

【答案】4

【分析】此題主要考查數字的規(guī)律探索，根據已知冪的結果找出個位數的周期性規(guī)律，進而分析判斷即

可．根據已知確定數字的周期規(guī)律是解題的關鍵．

【詳解】觀察可得規(guī)律：2?的個位數字每4次一循環(huán)，

∵18÷4=4余2，22=4，

∴218的個位數字是4．

故答案為：4．

【題型8算“24”點】

3

【例8】（23-24七年級·浙江杭州·期末）（1）在玩“24點”游戲時，“3、3、7、7”列式并計算為：7×

3+7

=7×3+3=24是依據運算律_____；

（2）小明抽到以下4張牌：

請你幫他寫出運算結果為24的一個算式：______．

（3）如果?、?表示正，?、?表示負，請你用（2）中的4張牌表示的數寫出運算結果為24的一個算式：

______．

44

【答案】（1）乘法分配律；（2）7×=24；（3）×=24

4?7(?7)?4??7

【分析】（1）觀察可知符合乘法分配律；

（2）用“4、4、7、7”列式計算得到24即可；

（3）根據要求，利用（2）中算式調整一下正負情況，保證是正數即可．

【詳解】（1）觀察可知符合乘法分配律；

（2）用“4、4、7、7”列式計算得到24，

4

則7×4=7×4?7×=24；

4?77

（3）根據要求，利用（2）中算式調整一下正負情況，

第17頁共25頁.

44

則×=×+×=24.

(?7)?4??7(?7)(?4)(?7)7

【點睛】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

【變式8-1】（23-24七年級·山東威?！て谀┯幸环N“二十四點”游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的

四個自然數，將這四個數（每個數用且只用一次，可以加括號）進行有理數混合運算，使其結果等于24．現

有四個有理數1,2,2,3，請仿照“二十四點”游戲規(guī)則寫出一個算式，使其結果等于24．

【答案】(1+2)×23（答案不唯一）

【分析】本題考查的是含乘方的有理數的混合運算，利用混合運算的特點構建24=(1+2)×23是解本題的

關鍵．

【詳解】解：∵24=3×8，

∴這個算式為：(1+2)×23，

故答案為：(1+2)×23

【變式8-2】（23-24七年級·湖北武漢·期中）紅紅有5張寫著以下數字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成

下列各題：

(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數字乘積最大，最大值是．

(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片數字相除商最小，最小值是．

(3)從中取出除0以外的4張卡片，將這4個數字進行加、減、乘、除或乘方等混合運算，使結果為24，（注：

每個數字只能用一次，如：23×[1?（?2）]），請另寫出兩種符合要求的運算式子．

【答案】(1)6；

(2)?2；

(3)?（?2）3×（1+2）；[3?（?2）]2?1．

【分析】(1)根據題意列出算式，找出積最大值即可；

(2)根據題意列出算式，找出商最小值即可；

(3)利用“24點”游戲規(guī)則列出算式即可．

【詳解】（1）根據題意得：3×2=6，

故最大值為6；

（2）?2÷1=?2，

第18頁共25頁.

故最小值為?2；

（3）根據題意得：?（?2）3×（1+2）；[3?（?2）]2?1，

故答案為：（1）6；（2）?2；（3）?（?2）3×（1+2）；[3?（?2）]2?1．

【點睛】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

【變式8-3】（23-24七年級·山東淄博·期末）小明和同學們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去

掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據牌面上的數字進行混合運算（每張牌上的數字只能用一次），使得

運算結果等于24．小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出兩個結果等于24的算式．

【答案】(5?3+2)×6，(6÷2+5)×3

【分析】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握有理數的加、減、乘、除、乘方運算法則是解題的關

鍵．根據有理數的加、減、乘、除、乘方運算法則，進行計算即可解答．

【詳解】解：由題意得：

(5?3+2)×6=24，

(6÷2+5)×3=24，

故答案為(5?3+2)×6，(6÷2+5)×3．

【題型9乘方的實際應用】

【例9】（23-24七年級·吉林長春·期中）細菌是靠分裂進行生殖的，也就是1個細菌分裂成2個細菌，分裂

完的細菌長大以后又能進行分裂．例如，圖中所示為某種細菌分裂的電鏡照片，顯示這種細菌每20分鐘就

能分裂一次．1個這種細菌經過3個小時可以分裂成個細菌．

【答案】512

第19頁共25頁.

【分析】先根據題意求出分裂的次數，再根據有理數的乘方進行計算即可．

【詳解】解：3小時=180分鐘，180÷20=9（次）．

即1個這種細菌經過3個小時可以分裂成的細為：29=512（個）．

故答案為：512．

【點睛】本題考查有理數的乘方，掌握有理數的乘方法則是解題的關鍵．

【變式9-1】（23-24七年級·全國·隨堂練習）拉面是把一根較粗的面條先對折成2根再拉開，然后將兩端捏

緊，再對折成4根再拉開，…，一直重復這個流程，面條的數量會不斷增多，也會不斷變細．

(1)將這個流程重復7次后，面條的數量會變成多少根？

(2)若剛開始時的面條的橫截面積為8cm2，則將這個流程重復8次后，平均每一根面條橫截面積是多少？（每

一次拉開的長度都與第一根面條的長度相同且粗細均勻）

【答案】(1)128

12

(2)32cm

【分析】本題考查有理數的乘方，能夠從題中歸納發(fā)現規(guī)律是解題的關鍵．

（1）根據題意列式計算即可得出答案；

（2）根據題意列式計算即可得出答案．

【詳解】（1）解：由題意得：27=128（根）

∴這個流程重復7次后，面條的數量會變成128根．

（2）解：將這個流程重復8次后，面條的數量是28．

∵每一次拉開的長度都與第一根面條的長度相同且粗細均勻，

1

次后，平均每一根面條橫截面積=8÷8=3÷8=2．

∴822232(cm)

【變式9-2】（23-24七年級·全國·隨堂練習）如圖，當你把一張紙對折1次時可以得到2層，對折2次時可

以得到4層，對折3次時可以得到8層，繼續(xù)對折下去（最多折7次）．

(1)你能發(fā)現層數與折紙次數之間的關系嗎？

第20頁共25頁.

(2)如果每層紙的厚度是0.05毫米，求對折7次時紙的總厚度．

【答案】(1)層數=2?

(2)6.4毫米

【分析】本題考查了有理數的乘方，通過例舉尋找規(guī)律是解題的關鍵．

（1）由于把紙對折1次時，可以得到2層；當對折2次時，可以得到4-2層；當對折3次時，可以得到8-23

層，由此即可得到層數5和折紙的次數之間的關系；

（2）利用（1）的結論代入其中計算即可求解．

【詳解】（1）解：∵對折1次，層數=21，

對折2次，層數=22，

對折3次，層數=23，

∴對折n次，層數=2?；

（2）解：0.05×27

=0.05×128

=6.4（毫米），

答：對折7次時紙的總厚度的總厚度為6.4毫米．

【變式9-3】（23-24七年級·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知第一個正方體紙盒的棱長為6cm，第二個正方體紙盒的體

積比第一個正方體紙盒的體積大127cm3．

(1)求第二個正方體紙盒的棱長；

(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多多少？

【答案】(1)第二個正方體紙盒的棱長為7cm

(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多78cm2

【分析】本題主要考查了有理數乘方運算的應用，解題的關鍵熟練掌握正方體的體積公式和表面積公式．

（1）先求出第一個正方體的體積，再求出第二個正方體的體積，得出其棱長即可；

（2）根據正方體的表面積公式列出算式進行計算即可．

【詳解】（1）解：第一個正方體紙盒的體積為：63=216(cm3)，

第二個正方體紙盒的體積為：216+127=343(cm3)，

∵73=343，

第21頁共25頁.

∴第二個正方體紙盒的棱長為7cm；

（2）解：6×72?6×62=78(cm2)，

答：第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多78cm2．

【題型10乘方中的新定義問題】

【例10】（23-24七年級·陜西西安·階段練習）若任意數?、?有這樣運算規(guī)律：1?2=22?1×2，

3?4=42?3×4．

(1)則?2?3=__________；?3?(?5)=_________；

(2)根據上述題，試用字母?、?表示其規(guī)律；

(3)若[?]表示不大于?的最大整數，如：[?2.2]=?3，[5.8]=5，則求：[??]?[4.1]．

【答案】(1)15；10

(2)???=?2??×?

(3)32

【分析】（1）本題主要考查有理數的混合運算，結合新的運算規(guī)律，根據有理數的混合運算法則計算即可．

（2）本題主要考查有理數的混合運算，結合新的運算規(guī)律，根據有理數的混合運算法則即可求得答案．

（3）本題主要考查有理數的混合運算，結合新的運算規(guī)律，根據有理數的混合運算法則計算即可．

【詳解】（1）根據定義的運算規(guī)律可知

?2?3=32?(?2)×3=9?(?6)=15，

?3?(?5)=(?5)2?(?3)×(?5)=25?15=10．

故答案為：15；10

（2）根據定義的運算規(guī)律可知

???=?2??×?．

（3）根據題意可知

[??]=?4，[4.1]=4．

則

[??]?[4.1]=?4?4=42?(?4)×4=16?(?16)=32．

【變式10-1】（23-24七年級·江蘇常州·期中）我們根據乘方運算，得出了一種新的運算，如下表是兩種運

算對應關系的一組實例：

第22頁共25頁.

乘方運算21=222=423=8…31=332=932=27…

新運算log22=1log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3…

根據上表規(guī)律，某同學寫出了三個式子：①log216=4，②log525=5，③1og464=3．其中正確的

是．

【答案】①③/③①

【分析】本題考查了有理數的混合運算、新定義，根據題中的新定義法則判斷即可，解題的關鍵是理解題

中的新定義，熟練掌握有理數的混合運算法則．

【詳解】解：∵24=16，

∴l(xiāng)og216=4，故①計算正確，符合題意；

∵52=25，

∴l(xiāng)og525=2，故②計算錯誤，不符合題意；

∵43=64，

∴1og464=3，故③計算正確，符合題意；

綜上所述，正確的有①③，

故答案為：①③．