2013年考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)-求函數(shù)的極限

PAGEPAGE8求函數(shù)的極限一．函數(shù)極限的概念1.函數(shù)極限的定義定義1：設(shè)函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,若對(duì),，當(dāng)時(shí),恒有，則稱在的極限為，記為.(直觀地說(shuō)：當(dāng)無(wú)限趨近時(shí),函數(shù)無(wú)限趨近常數(shù).)定義2：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,若對(duì),，使得當(dāng)時(shí),恒有，則稱在的極限為，記為.2．左、右極限的定義右極限：當(dāng)時(shí),恒有.左極限：,當(dāng)時(shí),恒有.,,當(dāng)時(shí),恒有.,,當(dāng)時(shí),恒有.3．極限存在的充要條件:.例1.（1）；；；（2）；（3）;；；（4）；.二．求極限的方法1．極限的四則運(yùn)算法則:設(shè)和都存在，則(1）；(2）；(3）（）.例2(1)==.(2)==.（3）（4）.解=====.所以.2.利用等價(jià)無(wú)窮小求極限.（1）無(wú)窮小的定義:若，則稱為時(shí)的無(wú)窮小.（2）無(wú)窮小的運(yùn)算.（3）無(wú)窮小的比較:若,且若，則稱與是同階無(wú)窮??；若，則稱與是等價(jià)無(wú)窮小，記為；若，則稱是的高階無(wú)窮小，記為.（4）常用等價(jià)無(wú)窮小(a)當(dāng)時(shí)，；;；；;；；.（b）.（5）利用等價(jià)無(wú)窮小求極限當(dāng)時(shí)，，，則.例3(1).(2).例4．當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是（A）;（B）;（C）;（D）.解（A）（B）（C）（D）答案（B）例5.設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，是的（）.(A)低階無(wú)窮小;(B)高階無(wú)窮小;(C)等價(jià)無(wú)窮小;(D)同階但不等價(jià).解.答案例6.設(shè)當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小，而是比高階的無(wú)窮小，求正整數(shù).解.，.例7．.3.利用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法法則I():設(shè)函數(shù)滿足條件:①②在的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且;③存在(或),則.法則Ⅱ：設(shè)函數(shù)滿足條件①;②在的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且;③存在（或），則.例8.(1)=.（2）.（3)=.4．其它未定式：，，，，）例9.（1）.（2）.（3）綜述:求極限的問(wèn)題,主要是求未定型的極限,而它們都可以化為型或型：先化簡(jiǎn)（代數(shù)變形、等價(jià)無(wú)窮小、代換、非零極限因子）,最后化成簡(jiǎn)單函數(shù)的或;用分子（或分母）同除(或提取)無(wú)窮小或無(wú)窮大使分母極限存在且非零，再用四則運(yùn)算;用洛必達(dá)法則.三．極限值已知求其中的未知常數(shù)例10.(1),求的值.解：.或.驗(yàn)證這二組數(shù)據(jù)都符合條件.(2)設(shè)當(dāng)時(shí),是比高階的無(wú)窮小,求的值.解根據(jù)題意有..從而有，所以.（3）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則（A）（B）（C）（D）解：由于與為等價(jià)無(wú)窮小，則有故有,所以.，有得.高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué)第六版)(2(A)表示第2題的單數(shù)題;2(B)表示第2題的雙數(shù)題）章節(jié)不要求掌握內(nèi)容要求做的習(xí)題第一章第一節(jié)雙曲函數(shù)4(B).5.6.15.16.第二節(jié)1.第三節(jié)1.2.3.4第四節(jié)1.6.7.第五節(jié)1(A).3.4.5.第六節(jié)柯西極限存在準(zhǔn)則1(B).2(A).4.第七節(jié)1.2.3.4.第八節(jié)1.2.3.4.5.第九節(jié)1.4.5.6.第十節(jié)一致連續(xù)性1.2.3.5.總習(xí)題一2.3.4.5.9.10.11.12.13.第二章第一節(jié)6.7.8.11.12.13.15至20.第二節(jié)2(B).4.5.7(B).8.9.10.11(B).14.第三節(jié)1(B).3.4.9.11.12.第四節(jié)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和相關(guān)變化率數(shù)三不要求1.2.3.4(A).（數(shù)一、數(shù)二7.8(B).10.11.12）第五節(jié)微分在近似計(jì)算中應(yīng)用.1.2.3(B).總習(xí)題二1.2.3.6.7.10.11.14.第三章第一節(jié)5.6.7.8.9.10.11.12.14.第二節(jié)1(B).3.4.第三節(jié)1.3.4.5.6.第四節(jié)3(B).4.5.6.9(B).11.12.13.14.15.第五節(jié)1(B).2.3.5.6.9.10.13.第六節(jié)1.4.第七節(jié)數(shù)學(xué)三不要求1.2.3.4.5.總習(xí)題三1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.15.17.19.20.第四章第一節(jié)2(B).4.5.6.7.第二節(jié)1(B).2.(B)第三節(jié)1.2.至24單數(shù)第四節(jié)1.2.至24單數(shù)總習(xí)題四1.2.3.至40單數(shù)第五章第一節(jié)3.5.7.11.12.13(A).第二節(jié)1.2.3.4.5.6(A).9.10.11.12.13.14.第三節(jié)1(B).2.3.5.6.7(B).第四節(jié)1(B).2.總習(xí)題五3.4.6.10.11.12.13.14.第六章第一節(jié)第二節(jié)弧長(zhǎng)數(shù)學(xué)三不要求1.2(B).3.4.6..8.9.10.11.12.15.16.(數(shù)一.二:21.24.27.28)第三節(jié)數(shù)學(xué)三不要求4.5.6.7.10.11.12.總習(xí)題六3.4.5.6.7.第七章第一節(jié)3.5.第二節(jié)例4．1(B).2(B).4.第三節(jié)可化為齊次的方程1(A).2(B).3.第四節(jié)例2.伯努利方程(數(shù)一要）1(B).2(A).3.4.8(B).第五節(jié)例4.例6.本節(jié)數(shù)學(xué)三不要求1(B)..3.第六節(jié)例2．常數(shù)變易法3.第七節(jié)例4;例5．1(A).2.(B).3第八節(jié)1(A).6.第九節(jié)數(shù)二.數(shù)三不要求1.2.總習(xí)題七1.2.3(B)..7.8.第八章第一節(jié)本章數(shù)二.數(shù)三不要求4.15.16.第二節(jié)1.3.9.10.第三節(jié)2.3.7.9(A).第四節(jié)3.4.5.8.第五節(jié)1.2.3.5.6.8.9.第六節(jié)2.4.5.7.8.9.13.15.總習(xí)題八16.17.19.21.第九章第一節(jié)平面點(diǎn)集第二節(jié)1(B).4.6.9.第三節(jié)全微分在近似計(jì)算中應(yīng)用1.2.3.5.第四節(jié)9.10.11.12.13.第五節(jié)2.3.4第六節(jié)本節(jié)數(shù)二.數(shù)三不要求；4.5.6.7.8.9.10.11.12第七節(jié)數(shù)二.數(shù)三不要求1.3.4.5.6.7.8.10.第八節(jié)1.2.5.6.10.11.12.總習(xí)題九2.9.10.11.(數(shù)一:14.15.16.17.18.)第十章第一節(jié)4(B).5(B).第二節(jié)二重積分的換元法1.2.3.4.6.9.10.11.12.13.14.15.第三節(jié)數(shù)二.數(shù)三不要求1.4.5.6.7.9.10.11.15第四節(jié)數(shù)二.數(shù)三不要求1.4(1).5.7(1).8.總習(xí)題十1.2(B).3.5.6.(數(shù)學(xué)一:8.9.10.)第十一章第一節(jié)(本章數(shù)二數(shù)三不要求)3.第二節(jié)3.4.5.第三節(jié)1.3.4(3).5.6(B).8(B).9第四節(jié)5.6(B).第五節(jié)3..第六節(jié)1.第七節(jié)2.總習(xí)題十一2.3.4.5.7.第十二章第一節(jié)（本章數(shù)二不要求）3.4.第二節(jié)1(A).