2025屆湖南省衡陽市衡陽縣高三一模數(shù)學(xué)試題（含解析）

屆湖南省衡陽市衡陽縣高三一模數(shù)學(xué)試題及參考答案一、選擇題：本題共7小題，每小題5分，共35分.每小題僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2.復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部為（）A.B.C.D.3.已知古典概型的樣本空間，“事件”，則命題“事件”是命題“事件與事件相互獨(dú)立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.已知，，，則（）A.B.C.D.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.B.C.D.6.某城市隨機(jī)選取個(gè)人參加活動(dòng)，假設(shè)該城市人口年齡分布均勻，要使得參加該活動(dòng)有人生肖相同的概率大于50%，則至少需要選取（）個(gè)人.A.B.C.D.7.已知雙曲線：，兩焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)作直線交右支于兩點(diǎn)，且，若，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.8.平面直角坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)，作斜率不為0的直線，使得與正弦曲線的交點(diǎn)中，存在點(diǎn)，滿足是線段的中點(diǎn)，則稱是曲線的“平均割線”，為“平衡點(diǎn)”，則對(duì)任意一個(gè)整數(shù)，下列描述正確的是（）A.為偶數(shù)時(shí)，存在“平均割線”B.若存在“平均割線”，則唯一C.若存在“平均割線”，則所有“平衡點(diǎn)”共線D.若存在“平均割線”，則所有“平衡點(diǎn)”，中間隔相等，按從小到大順序排列成等差數(shù)列9.已知一組樣本數(shù)據(jù)：.其中，，將該組數(shù)據(jù)排列，下列關(guān)于該組數(shù)據(jù)結(jié)論正確的是（）A.序列不可能既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列B.若成等比數(shù)列，和有3組可能取值C.若成等差數(shù)列，和有3組可能取值D.若該數(shù)據(jù)平均數(shù)是1，則方差最小值為10.按指對(duì)運(yùn)算律定義兩個(gè)函數(shù)與，則（）A.在定義域上單調(diào)遞增B.在定義域上單調(diào)遞減C.D.若存在，則11.，非常熟函數(shù)都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，是偶函數(shù)C.若，則D.的值不可能是3三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知中，是上中線的三等分點(diǎn)滿足，記，則.13.函數(shù)的值域?yàn)?14.已知由系列圓構(gòu)成的點(diǎn)集為，圖形如圖中的陰影部分所示，將平面剩余部分分為內(nèi)外兩部分（空白區(qū)域），給出以下命題：①圖形內(nèi)部空白區(qū)域的面積最小值為②圖形到原點(diǎn)的最小距離為1③時(shí)，圖形關(guān)于直線對(duì)稱④時(shí)，圖形內(nèi)外邊界的長(zhǎng)度和為其中正確的有.四、解答題：本題共5小題，第15題12分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共76分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖所示，在三棱柱中，，側(cè)面底面，分別為棱和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.16.已知函數(shù).（1）若在處的切線方程為，求的值；（2）若時(shí)，在上恒成立，求的取值范圍.17.如圖，已知點(diǎn)分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是負(fù)半軸上的一點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，.（1）求面積的最大值；（2）設(shè)直線的斜率為和直線的斜率為，橢圓上是否存在點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)與值，若不存在，請(qǐng)說明理由.18.學(xué)校教學(xué)樓的每?jī)蓪訕侵g的上下樓梯有15個(gè)臺(tái)階，從下至上記臺(tái)階所在位置為1-15，同學(xué)甲在上樓過程中，每一步等可能地跨1或2個(gè)臺(tái)階（位置+1或+2）.（1）記甲邁3步后所在的位置為，寫出的分布列和期望值；（2）求甲6步內(nèi)到過位置8的概率；（3）求10步之內(nèi)同時(shí)到過位置10和12的有多少種走法，及發(fā)生的概率.19.某次生日會(huì)上，餐桌上有一個(gè)披薩餅，小華同學(xué)準(zhǔn)備用刀切的方式分給在座的15位小伙伴，由此思考一個(gè)數(shù)學(xué)問題：假設(shè)披薩近似可看成平面上的一個(gè)圓，第條切痕看作直線，設(shè)切下，最多能切出的塊數(shù)為，如圖易知,.（1）試寫出，作出對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)圖，并指出要將披薩給在座的15位小伙伴（不考慮大小平分），最少切幾下；（2）這是一個(gè)平面幾何問題，利用“降維打擊”思想，聯(lián)想到一條線段被切下能劃分成段，由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若將披薩換成一個(gè)蛋糕（近似看成空間中的一個(gè)圓柱體），同樣用刀切方式分蛋糕，可以從上下底面和側(cè)面各方向切入，每次切面都看作一個(gè)平面.若切下，最多能切出的塊數(shù)為，求出的通項(xiàng)公式，并指出這時(shí)最多需要幾下能分給15個(gè)人.（已知：）參考答案一、選擇題1.D解析：∵，∴，∴，，則.2.C解析：設(shè)復(fù)數(shù)，則，由，解得，則，故的實(shí)部為.3.A解析：樣本空間中事件事件包含樣本個(gè)數(shù)可能為，其對(duì)應(yīng)的概率可能值分別為，，事件A與事件B相互獨(dú)立，，則，，即“事件”是命題“事件與事件相互獨(dú)立”的充分條件若，則，，，∴事件A與事件B相互獨(dú)立，∴“事件”不是命題“事件與事件相互獨(dú)立”的必要條件∴“事件”是命題“事件與事件相互獨(dú)立”的充分不必要條件.4.C解析：由題意，，，即，即，聯(lián)立解得，則，又∵，∴，故.5.D解析：的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，故的展開式中的系數(shù)為.6.C解析：將12個(gè)生肖，按先后順序選擇個(gè)人，每次選中的人有12種等概率可能，由分布乘法原理共有種情況：若選取個(gè)人中生肖均不相同，有種可能，故選取個(gè)人中生肖均不相同概率為，要使得參加該活動(dòng)有人生肖相同的概率大于50%，即，由于，即隨著的增大而減小，，，故至少要選5個(gè)人.7.C解析：∵，∴令，則，，由雙曲線定義可得：，，在中，，由余弦定理，即，整理得，解得或（舍去），則，，故在中，由余弦定理，即，整理得，則.二、選擇題8.AC解析：A，當(dāng)時(shí)，，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，令，是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性，一定存在使得，即存在交點(diǎn)，∴存在“平均割線，”故A正確；B，設(shè)時(shí)，，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，即，對(duì)于不同的值，都能找到滿足條件的直線，∴直線不唯一，故B錯(cuò)誤；C，設(shè)直線的方程為：，設(shè)交點(diǎn)，聯(lián)立，∵是線段的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，又∵，∴，設(shè)“平衡點(diǎn)”，則，所有“平衡點(diǎn)”滿足，∴所有“平衡點(diǎn)”共線，故C正確；D，設(shè)設(shè)直線的方程為：，設(shè)交點(diǎn)，∵是線段的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，又∵，∴，設(shè)“平衡點(diǎn)”，之間的關(guān)系比較復(fù)雜，并不一定能保證按從小到大順序排列成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.9.AB解析：A，若為等比數(shù)列，則等比數(shù)列的公比小于0，正負(fù)交替，與等差數(shù)列具有單調(diào)性相互矛盾，故不可能既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，故A正確；B，若排列后成等比數(shù)列，這公比絕對(duì)值大于1有：①公比為-5，數(shù)列為，則，數(shù)列為，則.②公比為，數(shù)列為，則，公比絕對(duì)值小于1，對(duì)應(yīng)同解，故有3組可能取值，故B正確；C，由，若排序后成等差數(shù)列，設(shè)公差大于0，有：①公差，數(shù)列為，則；②公差，數(shù)列為，則，不符合，；③公差，數(shù)列為，則，不符合，；公差小于0，對(duì)應(yīng)上述倒序排列，同解，故和有1組可能取值，故C錯(cuò)誤；D，數(shù)據(jù)平均數(shù)是1，，∴，方差，故D錯(cuò)誤.10.BCD解析：A，函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；B，，可知在上單調(diào)遞減，故B正確；C，，由可得，可得，由可得，故C正確；D，由，則，故，故，令，其中，則，，又，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，而，故，故，故上單調(diào)遞減，故，故，而在上為增函數(shù)，故，即，故D正確.11.ABC解析：，非常熟函數(shù)都有，①令，則，即，若，則為常數(shù)，與題意矛盾，即，故A正確；B，由A可得，代入（*），可得，在①式中，取，有②，再取或，因，故，代入②式，可得，用替換，即得，故為偶函數(shù)，故B正確；C，若，在①式中取，可得，則有，由B項(xiàng)知為偶函數(shù)，在①式中，取，有，即③，再取，有，即，用替換，即得④，用③④，易得，即，由上述已得，一次代入，可得，，故C正確；D，取，因而，即，符合①式，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.三、填空題12.1解析：是上中線的三等分點(diǎn)滿足，，∴，則，即.13.解析：∵，，∴，則函數(shù)周期，其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故只要考慮的值域，，設(shè)，滿足，可知，或時(shí)，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，且，由且，∴，，由，∴，，，故由圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可知在上，，，由周期性可知在上值域?yàn)?14.①②③解析：①，易知點(diǎn)集是以為圓心，2為半徑的圓，如圖1所示：當(dāng)時(shí)，內(nèi)部空白區(qū)域是以為圓心，1為半徑的圓，此時(shí)空白區(qū)域面積最小，即內(nèi)部空白區(qū)域的面積最小值為，故①正確；②，∵圖形上點(diǎn)到原點(diǎn)距離為，由構(gòu)成該圖形的動(dòng)圓中，圓心到原點(diǎn)距離，半徑，故每個(gè)圓到原點(diǎn)最小距離均為2-1=1，故圖形大原點(diǎn)的最小距離為1，故②正確；③，當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，存在參數(shù)滿足，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由，取，代入，即點(diǎn)也在中，故時(shí)，圖形關(guān)于直線對(duì)稱，故③正確；④，時(shí)，如圖2所示：內(nèi)邊界的長(zhǎng)度，其中為圓，半徑為2-1=1，為圓半徑為2外邊界，而由為半圓，半徑為2，為半圓半徑為2，為圓，半徑為2+1=3，為圓，半徑為2-1=1，故內(nèi)邊界和為，故④錯(cuò)誤.四、解答題15.解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：在中，∵是的中點(diǎn)，故，且.在三棱柱中，，且，又為棱的中點(diǎn)，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）由題意，三棱柱中所有棱長(zhǎng)都相等，則與都是等邊三角形，如圖，取上的四等分點(diǎn)，滿足，取的中點(diǎn)，連接，則，易知，且，故四邊形時(shí)平行四邊形，∴，∴，則四點(diǎn)共面.∵平面平面，平面平面，且平面平面，∴平面，又，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨取，則，由可得，則有，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，故為平面的一個(gè)法向量，∵平面，故為底面的一個(gè)法向量，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖知二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.16.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴，即，又∵，∴，故?（2），若在上恒成立，即，故是在上的極小值，∴，，，解得，下面證明時(shí)，，令，則，①在上單調(diào)遞減，，，由零點(diǎn)存在定理，，使得，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，，，，由零點(diǎn)存在定理，使得，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，∴在上，，.②在上，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，∴.綜上，只有當(dāng)時(shí)，在上，∴.17.解：（1）∵橢圓：，∴，∴，∴，由，設(shè)直線，由題意，聯(lián)立，整理可得，設(shè)，則，∴，由韋達(dá)定理可得，則的面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的面積的最大值為.（2）設(shè)橢圓上存在滿足條件的點(diǎn)，定值，如圖所示：由（1）知，∴，，，由在上，∴，，∴，當(dāng)，，時(shí)，該等式成立與取值無關(guān)，此時(shí)，故滿足條件的橢圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)或?qū)?yīng).18.解：（1）由題意可知甲每步跨1或2個(gè)臺(tái)階的概率都為，可能的取值為3,4,5,6.取值分別對(duì)應(yīng)3步中分別為，1,2,3次跨兩個(gè)臺(tái)階，故，的分布列如下，3456.（2）6步內(nèi)到過位置8記為事件可分為：4步到達(dá)位置8（記為）、5步到達(dá)位置8（記為）和6步到達(dá)位置8（記為）三種情況.即4步中每步都是+2；即5步中有兩步+1,3步+2；即6步中有兩步+2,4步+1.則.（3）記步內(nèi)到過位置為事件，走法為，由題意可知，由，，遞推，依次為,，其中9步和10步到達(dá)位置10的走法分別為和1種，9步到達(dá)位置10情況下再到達(dá)位置12只有1種走法，10不到達(dá)位置10不可能再到達(dá)位置12，其它到達(dá)位置10的情況再到達(dá)位置12都有2種走法.故10步之內(nèi)同時(shí)到過位置10和12的走法為：種，記為，由題意，則，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，可得，∴.記9步和10步到達(dá)位置