2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之三角形（2024年7月）

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之三角形（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，點(diǎn)D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD=5，則BCA．3-1 B．3+1 C．5-1 D3．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長是（）A．2.5 B．5 C．322 D4．如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長是7cm，則BC的長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm5．如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3圖形的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．46．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則PD+PE的長是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．57．如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD8．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)P，且與AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是（）A．8 B．6 C．4 D．29．如圖，△ABC中，BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠A＝50°，則∠BOC等于（）A．110° B．115° C．120° D．130°10．如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于（）A．10 B．7 C．5 D．4二．填空題（共5小題）11．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為．12．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝33，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為．13．已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為cm2．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H，則∠CHD＝．15．如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝．三．解答題（共5小題）16．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．17．如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．18．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．求證：EF＝BE+（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，（（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，（19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．20．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F不重合），并說明理由．

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之三角形（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．【答案】A【分析】根據(jù)三角形高線的定義：過三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答．【解答】解：為△ABC中BC邊上的高的是A選項(xiàng)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線、高線，熟記高線的定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，點(diǎn)D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD=5，則BCA．3-1 B．3+1 C．5-1 D【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【答案】D【分析】根據(jù)∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD判斷出DB＝DA，根據(jù)勾股定理求出DC的長，從而求出BC的長．【解答】解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠DAB，∴DB＝DA=5在Rt△ADC中，DC=AD2∴BC=5+故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，同時(shí)涉及三角形外角的性質(zhì)，二者結(jié)合，是一道好題．3．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長是（）A．2.5 B．5 C．322 D【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【專題】幾何圖形問題．【答案】B【分析】連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【解答】解：如圖，連接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC=2，CF＝32∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF=AC2+∵H是AF的中點(diǎn)，∴CH=12AF=1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長是7cm，則BC的長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】C【分析】首先根據(jù)MN是線段AB的垂直平分線，可得AN＝BN，然后根據(jù)△BCN的周長是7cm，以及AN+NC＝AC，求出BC的長為多少即可．【解答】解：∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，∴AN＝BN，∵△BCN的周長是7cm，∴BN+NC+BC＝7（cm），∴AN+NC+BC＝7（cm），∵AN+NC＝AC，∴AC+BC＝7（cm），又∵AC＝4cm，∴BC＝7﹣4＝3（cm）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．5．如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3圖形的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】勾股定理．【專題】計(jì)算題；推理填空題．【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形a、b、c為邊，應(yīng)用勾股定理，可得a2+b2＝c2．（1）第一個(gè)圖形中，首先根據(jù)等邊三角形的面積的求法，表示出3個(gè)三角形的面積；然后根據(jù)a2+b2＝c2，可得S1+S2＝S3．（2）第二個(gè)圖形中，首先根據(jù)圓的面積的求法，表示出3個(gè)半圓的面積；然后根據(jù)a2+b2＝c2，可得S1+S2＝S3．（3）第三個(gè)圖形中，首先根據(jù)等腰直角三角形的面積的求法，表示出3個(gè)等腰直角三角形的面積；然后根據(jù)a2+b2＝c2，可得S1+S2＝S3．（4）第四個(gè)圖形中，首先根據(jù)正方形的面積的求法，表示出3個(gè)正方形的面積；然后根據(jù)a2+b2＝c2，可得S1+S2＝S3．【解答】解：（1）S1=34a2，S2=34b2，S3∵a2+b2＝c2，∴34a2+34b2=∴S1+S2＝S3．（2）S1=π8a2，S2=π8b2，S3∵a2+b2＝c2，∴π8a2+π8b2=∴S1+S2＝S3．（3）S1=14a2，S2=14b2，S3∵a2+b2＝c2，∴14a2+14b2=∴S1+S2＝S3．（4）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．綜上，可得面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的圖形有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．（2）此題還考查了等腰直角三角形、等邊三角形、圓以及正方形的面積的求法，要熟練掌握．6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則PD+PE的長是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】動(dòng)點(diǎn)型．【答案】A【分析】過A點(diǎn)作AF⊥BC于F，連接AP，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾股定理可得AF的長，由圖形得S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入數(shù)值，解答出即可．【解答】解：過A點(diǎn)作AF⊥BC于F，連接AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF=AB∴12×8×3=12×5×PD12=12×5×（PDPD+PE＝4.8．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答時(shí)注意，將一個(gè)三角形的面積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的面積和；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．7．如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【答案】D【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A為公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD；B、如添AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；C、如添BD＝CE，等量關(guān)系可得AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；D、如添BE＝CD，因?yàn)镾SA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項(xiàng)不能作為添加的條件．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形判定定理的理解和掌握，此類添加條件題，要求學(xué)生應(yīng)熟練掌握全等三角形的判定定理．8．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)P，且與AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是（）A．8 B．6 C．4 D．2【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【答案】C【分析】過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，進(jìn)而求出PE＝4．【解答】解：過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD，∵PA+PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，∴PE＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．9．如圖，△ABC中，BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠A＝50°，則∠BOC等于（）A．110° B．115° C．120° D．130°【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；角平分線的定義．【專題】幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°即可求出∠BOC的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義，熟練掌握定理和概念是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【答案】C【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF＝DE＝2，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE=12BC?EF=12×5故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的平分線的性質(zhì)以及三角形的面積，作出輔助線求得三角形的高是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為10．【考點(diǎn)】勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】因?yàn)锽C為AF邊上的高，要求△AFC的面積，求得AF即可，求證△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，設(shè)D′F＝x，則在Rt△AFD′中，根據(jù)勾股定理求x，∴AF＝AB﹣BF．【解答】解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，設(shè)D′F＝x，則AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC=12?AF?BC＝故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的正確運(yùn)用，本題中設(shè)D′F＝x，根據(jù)直角三角形AFD′中運(yùn)用勾股定理求x是解題的關(guān)鍵．12．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝33，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為3．【考點(diǎn)】三角形中位線定理；勾股定理．【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=12DN，從而可知DN最大時(shí)，EF最大，因?yàn)镹與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)根據(jù)勾股定理求得DN＝DB＝6，從而求得EF的最大值為【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12∴DN最大時(shí)，EF最大，∵N與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)DN＝DB=AD∴EF的最大值為3．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．13．已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為1cm2．【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】易得△ABD，△ACD為△ABC面積的一半，同理可得△BEC的面積等于△ABC面積的一半，那么陰影部分的面積等于△BEC的面積的一半．【解答】解：∵D為BC中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝同理S△BDE＝S△CDE=12S△BCE=12×2＝∴S△BCE＝2（cm2），∵F為EC中點(diǎn)，∴S△BEF=12S△BCE=12×2＝故答案為1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形中線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是知道同底等高的三角形面積相等．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H，則∠CHD＝45°．【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．【專題】常規(guī)題型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】延長CH交AB于點(diǎn)F，銳角三角形三條高交于一點(diǎn)，所以CF⊥AB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解答】解：延長CH交AB于點(diǎn)F，在△ABC中，三邊的高交于一點(diǎn)，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°，在△CDH中，三內(nèi)角之和為180°，∴∠CHD＝45°，故答案為：∠CHD＝45°．【點(diǎn)評(píng)】考查三角形中，三條邊的高交于一點(diǎn)，且內(nèi)角和為180°．15．如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝55°．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出∠BAD＝∠EAC，證△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，AB=∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案為：55°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△BAD≌△CAE．三．解答題（共5小題）16．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的條件可以找出△ABC≌△ADE的條件；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到∠FAE的度數(shù)；（3）根據(jù)題意和三角形全等的知識(shí)，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成立．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延長BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，BF=∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，∠GCA∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．17．如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根據(jù)角平分線定義可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度數(shù)；然后利用三角形外角性質(zhì)，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性質(zhì)，容易求出∠BOA．【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分線，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角性質(zhì)．關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)解出∠EAF、∠CBF，再運(yùn)用三角形外角性質(zhì)求出∠AFB．18．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD．求證：EF＝BE+（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，（（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，（【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題；探究型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換．延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉(zhuǎn)換成GE，那么這樣EF＝BE+DF了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵．三角形ABE和AEF中，只有一條公共邊AE，我們就要通過其他的全等三角形來實(shí)現(xiàn)，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角，BG＝DF，AB＝AD，因此兩三角形全等，那么AG＝AF，∠1＝∠2，那么∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF=12∠BAD．由此就構(gòu)成了三角形ABE和AEF全等的所有條件（SAS），那么就能得出EF＝（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過證明三角形ABG和ADF全等中，證明∠ABG＝∠ADF時(shí)，用到的等角的補(bǔ)角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結(jié)果完全一樣．（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．【解答】證明：（1）延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF=12∠∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的結(jié)論EF＝BE+FD仍然成立．（3）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD．證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)；本題中通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時(shí)，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；證明題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用邊角邊定理證明△DBE≌△ECF，然后即可求證△DEF是等腰三角形．（2）根據(jù)∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根據(jù)△DBE≌△ECF，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠DEF的度數(shù)．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中BE=∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B=12（180°﹣40°）＝∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題主要應(yīng)用了三角形內(nèi)角和定理和平角是180°，因此有一定的難度，屬于中檔題．20．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為垂直，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為相等；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F不重合），并說明理由．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題；開放型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．結(jié)合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)，過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)G，則∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】證明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)，CF⊥BD（如圖）．理由：過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)G，則∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．

考點(diǎn)卡片1．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐．2．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．3．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，