中考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)精講精練專(zhuān)題15 三角形全等【考點(diǎn)精講】（解析版）

專(zhuān)題15三角形全等1.全等三角形的定義：能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的判定方法（1）有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(簡(jiǎn)稱(chēng)“SAS”)

（2）有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(簡(jiǎn)稱(chēng)“ASA”)

（3）有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(簡(jiǎn)稱(chēng)“AAS”)

（4）有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(簡(jiǎn)稱(chēng)“SSS”)

（5）有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.(簡(jiǎn)稱(chēng)“HL”)

3.全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等.（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)高相等.（3）全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等.考點(diǎn)1：全等三角形的概念和性質(zhì)【例1】下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用全等圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出答案．【詳解】解：如圖所示：圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，．故選：B．【例2】如圖，點(diǎn)B、E、A、D在同一條直線(xiàn)上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，則AD的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB＝ED，再根據(jù)等式的性質(zhì)可得EB＝AD，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，∵AB＝7，AE＝2，∴EB＝5，∴AD＝5．故選：B．1．下列四個(gè)圖形中，屬于全等圖形的是（）A．③和④ B．②和③ C．①和③ D．①②【答案】D【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形可得答案．【詳解】解：①、②可以完全重合，因此全等的圖形是①、②．故選：D．2．若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周長(zhǎng)為奇數(shù)，則EF的值為（）A．3 B．4 C．1或3 D．3或5【分析】根據(jù)全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根據(jù)△DEF的周長(zhǎng)為奇數(shù)求出EF的長(zhǎng)為奇數(shù)，再根據(jù)EF長(zhǎng)為奇數(shù)和三角形三邊關(guān)系定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，∵△DEF的周長(zhǎng)為奇數(shù)，∴EF的長(zhǎng)為奇數(shù)，D、當(dāng)EF＝3或5時(shí)，符合EF的長(zhǎng)為奇數(shù)和三角形的三邊關(guān)系定理，故本選項(xiàng)正確；A、當(dāng)EF＝3時(shí)，由選項(xiàng)D知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、當(dāng)EF＝4時(shí)，不符合EF為奇數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、當(dāng)EF＝1或3時(shí)，其中1無(wú)法構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．3．如圖所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，則∠DFB為（）A．40° B．50° C．55° D．60°【分析】設(shè)AD與BF交于點(diǎn)M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的內(nèi)角和定理求解，轉(zhuǎn)化為求∠AMC的大小，再轉(zhuǎn)化為在△ACM中求∠ACM就可以．【詳解】解：設(shè)AD與BF交于點(diǎn)M，∵∠ACB＝105，∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，∴∠FMD＝∠AMC＝95°，∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．故選：D．4．如圖，是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4＝．【分析】仔細(xì)分析圖中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4＝90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案為：180°．5．（2021·云南）如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)E．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】直接利用SSS證明△ACD≌△BDC，即可證明．【詳解】解：在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC（SSS），∴∠DAC=∠CBD．考點(diǎn)2：三角形全等的判定【例3】（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過(guò)電話(huà)給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為SKIPIF1<0，提供了下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來(lái)的玻璃不一定符合要求的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．【詳解】A.SKIPIF1<0．根據(jù)SSS一定符合要求；B.SKIPIF1<0．根據(jù)SAS一定符合要求；C.SKIPIF1<0．不一定符合要求；D.SKIPIF1<0．根據(jù)ASA一定符合要求．故選：C．【例4】（2022·浙江金華·中考真題）如圖，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O，SKIPIF1<0，不添加輔助線(xiàn)，判定SKIPIF1<0的依據(jù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正好是兩邊一夾角，即可得出答案．【詳解】解：∵在△ABO和△DCO中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故B正確．故選：B．【例5】（2022·四川宜賓）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一直線(xiàn)上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0，根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系即可求解．【詳解】證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．常見(jiàn)全等模型模型一：平移型特征：沿同一直線(xiàn)(l)平移可得兩三角形重合模型二：翻折型特征：所給圖形可沿某一直線(xiàn)折疊,直線(xiàn)兩旁的部分能完全重合.（1）在三角形中:（2）在正方形中:模型三旋轉(zhuǎn)型(手拉手)特征：此模型可看成是將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度所構(gòu)成的.SKIPIF1<0模型四：三垂直型特征：有三個(gè)直角.（1）一線(xiàn)三垂直型:（2）三個(gè)直角(不在同一直線(xiàn)):1.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出SKIPIF1<0的依據(jù)是（）A.S．S．S B.S．A．S C.A．S．A D.A．A．S【答案】A【分析】利用SSS可證得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．【詳解】解：易得OC=SKIPIF1<0C'，OD=O′D'，CD=C′D'，∴△OCD≌△O′C′D′，

∴∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的條件為SSS，

故選：A．2．（2022·四川成都）如圖，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一直線(xiàn)上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只添加一個(gè)條件，能判定SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)三角形全等的判定做出選擇即可．【詳解】A、SKIPIF1<0，不能判斷SKIPIF1<0，選項(xiàng)不符合題意；B、SKIPIF1<0，利用SAS定理可以判斷SKIPIF1<0，選項(xiàng)符合題意；C、SKIPIF1<0，不能判斷SKIPIF1<0，選項(xiàng)不符合題意；D、SKIPIF1<0，不能判斷SKIPIF1<0，選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3.如圖，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，則需要補(bǔ)充的條件為_(kāi)____．【答案】AB=DC(答案不唯一)【分析】本題中有公共邊BC=CB，利用SSS來(lái)判定全等則只需要添加條件AB=DC即可．【詳解】解：由題意可知：AC=DB，BC=CB，∴利用SSS來(lái)判定全等則只需要添加條件AB=DC，故答案為：AB=DC(答案不唯一)．4．（2022·貴州銅仁）如圖，點(diǎn)C在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】見(jiàn)解析【分析】直接根據(jù)一線(xiàn)三垂直模型利用AAS證明SKIPIF1<0即可．【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，SKIPIF1<0，∴△ABC≌△CDE（AAS）．5．（2021·四川南充市）如圖，SKIPIF1<0，AD是SKIPIF1<0內(nèi)部一條射線(xiàn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)E，SKIPIF1<0于點(diǎn)F．求證：SKIPIF1<0．【答案】見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)AAS證明△BAE≌△ACF，即可得SKIPIF1<0．【詳解】證明：∵SKIPIF1<0，∴∠BAE＋∠CAF＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF，∴SKIPIF1<0．6．（2022·湖南長(zhǎng)沙）如圖，AC平分SKIPIF1<0，垂足分別為B，D．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)12【分析】（1）由角平分線(xiàn)的定義和垂直的定義求出SKIPIF1<0，結(jié)合已知條件，利用“AAS”即可求證；（2）由全等三角形的性質(zhì)得SKIPIF1<0，根據(jù)三角形的面積公式求出SKIPIF1<0，再根據(jù)四邊形ABCD的面積SKIPIF1<0求解即可．【詳解】(1)SKIPIF1<0AC平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形ABCD的面積SKIPIF1<0．7．（2021·江蘇無(wú)錫市）已知：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)AAS，即可證明SKIPIF1<0；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得OB=OC，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（AAS）；（2）∵SKIPIF1<0，∴OB=OC，∴SKIPIF1<0．【考點(diǎn)3】三角形全等綜合【例6】如圖，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中線(xiàn)，則AD的取值范圍是（）A.3<AD<13 B.1.5<AD<6.5 C.2.5<AD<7.5 D.10<AD<16【答案】B【分析】延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連結(jié)BE，證明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系就可以得出結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連結(jié)BE．

∵AD是△ABC的中線(xiàn)，

∴BD=CD．

在△ADC和△EDB中，SKIPIF1<0∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴AC=BE．

∵AB-BE＜AE＜AB+BE，

∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．

∵AB=8，AC=5，

∴1.5＜AD＜6.5．故選：B【例7】（2022·北京）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0（1）如圖1，延長(zhǎng)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，依題意補(bǔ)全圖2，若SKIPIF1<0，用等式表示線(xiàn)段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0；證明見(jiàn)解析【分析】（1）先利用已知條件證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0即可證明SKIPIF1<0；（2）延長(zhǎng)BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，先證SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，通過(guò)等量代換得到SKIPIF1<0，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，利用直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半即可得到SKIPIF1<0．【詳解】(1)證明：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(2)解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，SKIPIF1<0，證明如下：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵SKIPIF1<0，CM＝CB，∴SKIPIF1<0垂直平分BM，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．1．（2022·山東泰安·中考真題）正方形SKIPIF1<0中，P為SKIPIF1<0邊上任一點(diǎn)，SKIPIF1<0于E，點(diǎn)F在SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分線(xiàn)交SKIPIF1<0于G，連接SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0是等腰直角三角形；(2)求證：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，P為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義得到AF=AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義證明即可；（2）作CH⊥DP，交DP于H點(diǎn)，證明△ADE≌△DCH（AAS），得到CH=DE，DH=AE=EG，證明CG=SKIPIF1<0GH，AG=SKIPIF1<0DH，計(jì)算即可．（3）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0SKIPIF1<0交SKIPIF1<0分別于點(diǎn)SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，根據(jù)SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，進(jìn)而根據(jù)勾股定理建立方程求得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，勾股定理即可求解．【詳解】(1)證明：∵DE=EF，AE⊥DP，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF，∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，∴∠AFD=∠PAE，∵AG平分∠BAF，∴∠FAG=∠GAP．∵∠AFD+∠FAE=90°，∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°∴2∠GAP+2∠PAE=90°，即∠GAE=45°，∴△AGE為等腰直角三角形；(2)證明：作CH⊥DP，交DP于H點(diǎn)，∴∠DHC=90°．∵AE⊥DP，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠DHC．∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，∴∠ADE=∠DCH．∵在△ADE和△DCH中，SKIPIF1<0