安徽省安慶市2024-2025學(xué)年高三上冊(cè)11月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

安徽省安慶市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生注意：1.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.3本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語(yǔ)?不等式?函數(shù)?一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用?三角函數(shù)?平面向量?數(shù)列（數(shù)列的概念?等差數(shù)列）.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.9 B.8 C.5 D.42.等差數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A. B. C. D.3.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A2 B.3 C.4 D.54.已知，則（）A B. C. D.15.在中，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.如圖，在正八邊形中，，則（）A.1 B. C. D.7.已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值集合是（）A. B.C. D.8.已知，則（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.若，則的值為C.若，則的值為D.若，則與的夾角為銳角10.朱世杰（1249年—1314年），字漢卿，號(hào)松庭，元代數(shù)學(xué)家?教育家，畢生從事數(shù)學(xué)教育，有“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”之譽(yù).他的一部名著《算學(xué)啟蒙》是中國(guó)最早的科普著作，該書(shū)中有名的是“堆垛問(wèn)題”，其中有一道問(wèn)題如下：今有三角錐垛果子，每面底子四十四個(gè)，問(wèn)共積幾何？含義如下：把一樣大小的果子堆垛成正三棱錐形（如圖所示，給出了5層三角錐垛從上往下看的示意圖），底面每邊44個(gè)果子，頂部?jī)H一個(gè)果子，從頂層向下數(shù)，每層的果子數(shù)分別為，共有44層，問(wèn)全垛共有多少個(gè)果子？現(xiàn)有一個(gè)層三角錐垛，設(shè)從頂層向下數(shù)，每層的果子數(shù)組成數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）（參考公式：）A.B.是等差數(shù)列C函數(shù)單調(diào)遞增D.原書(shū)中該“堆垛問(wèn)題”的結(jié)果為1508011.設(shè)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，在上單調(diào)遞減，且，則（）A.為偶函數(shù) B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C. D.的極小值為3三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的半徑為，圓心角為，若，則該扇形的面積為_(kāi)_________.13.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，且，則的取值范圍為_(kāi)_________.14.若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)值是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15.已知、、為的三個(gè)內(nèi)角，向量與共線(xiàn)，且.（1）求角的大??；（2）求函數(shù)的值域．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前90項(xiàng)的和.17.如圖，在四邊形中．，，，平分且與相交于點(diǎn)．（1）若的面積為，求；（2）若，求與的面積之比．18已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證.19.對(duì)于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱(chēng)函數(shù)為“同比不減函數(shù)”．（1）求證：對(duì)任意正常數(shù)，都不是“同比不減函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求的取值范圍；（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．安徽省安慶市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生注意：1.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.3本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語(yǔ)?不等式?函數(shù)?一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用?三角函數(shù)?平面向量?數(shù)列（數(shù)列的概念?等差數(shù)列）.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.9 B.8 C.5 D.4【正確答案】B【分析】利用列舉法表示出集合A，再求出并集即可得解.【詳解】依題意，解不等式，得，，而，因此，所以中元素的個(gè)數(shù)為8．故選：B2.等差數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得與，進(jìn)而可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則，解得，則，所以，故選：A.3.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】D【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由于，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最小值為5.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.1【正確答案】C【分析】運(yùn)用兩角和差的正弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式中商關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，由，可得，所以.故選：C5.在中，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【正確答案】D【分析】利用余弦定理將化簡(jiǎn)為，從而可求解.【詳解】由，得，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，即，則為直角三角形；當(dāng)時(shí)，得，則為等腰三角形；綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.故選：D.6.如圖，在正八邊形中，，則（）A.1 B. C. D.【正確答案】D【分析】分別以所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)運(yùn)算得解.【詳解】分別以所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為1，可得，，，，所以，，.因?yàn)?，所以，所以，解得，則.故選：D.7.已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值集合是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題干先求出的范圍，進(jìn)而求出的范圍，再根據(jù)得出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，最后根據(jù)圖像的對(duì)稱(chēng)中心得出結(jié)論.【詳解】由題意知，函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，則，則（為函數(shù)的最小正周期），解得.又，所以，由，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，即，即，由，得，即的取值集合為.故選：B8已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞減，得到，再由，得到，即可求解.【詳解】由指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，構(gòu)造函數(shù)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，即，又由，而，其中且，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.若，則的值為C.若，則的值為D.若，則與的夾角為銳角【正確答案】BCD【分析】根據(jù)平面向量的模公式、垂直向量、共線(xiàn)向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B不正確；

對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以，故D不正確.故選：BCD.10.朱世杰（1249年—1314年），字漢卿，號(hào)松庭，元代數(shù)學(xué)家?教育家，畢生從事數(shù)學(xué)教育，有“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”之譽(yù).他的一部名著《算學(xué)啟蒙》是中國(guó)最早的科普著作，該書(shū)中有名的是“堆垛問(wèn)題”，其中有一道問(wèn)題如下：今有三角錐垛果子，每面底子四十四個(gè)，問(wèn)共積幾何？含義如下：把一樣大小的果子堆垛成正三棱錐形（如圖所示，給出了5層三角錐垛從上往下看的示意圖），底面每邊44個(gè)果子，頂部?jī)H一個(gè)果子，從頂層向下數(shù)，每層的果子數(shù)分別為，共有44層，問(wèn)全垛共有多少個(gè)果子？現(xiàn)有一個(gè)層三角錐垛，設(shè)從頂層向下數(shù)，每層的果子數(shù)組成數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）（參考公式：）A.B.是等差數(shù)列C.函數(shù)單調(diào)遞增D.原書(shū)中該“堆垛問(wèn)題”的結(jié)果為15080【正確答案】BC【分析】根據(jù)三角錐垛層的果子數(shù)可以觀察得數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和即可.【詳解】對(duì)于A，每層的果子數(shù)分別為，構(gòu)成數(shù)列，則易知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，，故為等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，，則，故單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.設(shè)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，在上單調(diào)遞減，且，則（）A.為偶函數(shù) B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C. D.的極小值為3【正確答案】AB【分析】利用函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的恒等式來(lái)證明函數(shù)奇偶性和周期性，從而問(wèn)題得解.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，即，則為偶函數(shù)，故A正確；由得，，兩邊取導(dǎo)數(shù)得，，即，所以，則是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于點(diǎn)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；由上可知，，又由得，所以，則，所以有，即函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)且周期為8；又由，令得，，則，故C錯(cuò)誤；由在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可知，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞增，由周期性可知，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，即，故D錯(cuò)誤，故選：AB.結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的半徑為，圓心角為，若，則該扇形的面積為_(kāi)_________.【正確答案】或【分析】根據(jù)余弦值確定圓心角，再根據(jù)扇形面積公式可得解.【詳解】，，或，該扇形的面積或，故或.13.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，且，則的取值范圍為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得公差，再由得到求解即可.【詳解】設(shè)公差為，由得，則.由得即解得.故14.若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的值是__________.【正確答案】【分析】不等式轉(zhuǎn)化成，結(jié)合和在0,+∞上的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閤∈0,+∞，所以恒成立，即恒成立，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，若要滿(mǎn)足不等式恒成立，則必須兩函數(shù)圖象交于軸正半軸上一點(diǎn)（否則必存在，使），所以當(dāng)，即且時(shí)，原不等式恒成立，所以（負(fù)值舍去）.故四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15.已知、、為的三個(gè)內(nèi)角，向量與共線(xiàn)，且.（1）求角的大??；（2）求函數(shù)值域．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，計(jì)算出角取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】（1）由已知條件可得，即，可得，即，，則，，則，所以，，故；（2），因?yàn)?，則，所以，，則.所以，方法點(diǎn)睛：求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍是一種常見(jiàn)的類(lèi)型，主要方法有兩類(lèi)：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來(lái)求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前90項(xiàng)的和.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由，可得，兩式相減化簡(jiǎn)可得，即可的證；（2）由（1）得，討論可得，或，則得的前90項(xiàng)的和為又，計(jì)算可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，兩式相減得，則，因?yàn)椋?，所以，?shù)列是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以數(shù)列的前90項(xiàng)的和為，因?yàn)?，則上式.17.如圖，在四邊形中．，，，平分且與相交于點(diǎn)．（1）若的面積為，求；（2）若，求與的面積之比．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）在中，明確，，，利用余弦定理可求.（2）在中，先用正弦定理求出，求出的面積，進(jìn)一步求出的面積，即可求與的面積之比.【小問(wèn)1詳解】在中，，，.所以.在中，，，.所以，.在中，，，，由得：，由余弦定理，得：所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?在中，，，，所以.由正弦定理，得.所以.所以.所以.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證.【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)和分類(lèi)討論，解導(dǎo)函數(shù)不等式即可求得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論知，令得，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算累加法即可證明.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上是增函數(shù)．時(shí)，在上是減函數(shù)，時(shí)，在上是增函數(shù).【小問(wèn)2詳解】由（1）得，當(dāng)時(shí)，，在0,3上是減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，，所以，令得，，即，所以，得證.19.對(duì)于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱(chēng)函數(shù)為“同比不減函數(shù)”．（1）求證：對(duì)任意正常數(shù)，都不是“同比不減函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求的取值范圍；（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可證明；（2）根據(jù)“同比不減函數(shù)”的定義，恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為