黑龍江省哈爾濱市2024-2025學(xué)年高三上冊(cè)期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

黑龍江省哈爾濱市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.3.已知角的終邊上一點(diǎn)，則（）A.1 B. C. D.4.已知向量，，，若，則（）A. B. C. D.5.函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，且，則的最小值為（）A.13 B.16 C. D.286.函數(shù)的大致圖象為（）A B.C. D.7.已知數(shù)列是等比數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B. C.1 D.38.記表示，二者中較大的一個(gè)，函數(shù)，，若，，使得成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)單位向量滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.向量的夾角為C.D.在的方向上的投影向量為10.設(shè)為正實(shí)數(shù)，已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為B.已知，，且的最小值為，則C.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.若時(shí)，，則t的最大值為2D.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則___________.13.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_________.14.若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值時(shí)相應(yīng)的值；（2）討論在上的單調(diào)性.16.已知數(shù)列中．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和；17.如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為3正方形，，，且，，面，，為中點(diǎn)．（1）若中點(diǎn)，求證：面；（2）求平面與平面夾角正弦值．18.在中，角的對(duì)邊分別是，且．（1）求角；（2）已知為邊上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．19.已知函數(shù)，直線為曲線在點(diǎn)處的切線.（1）當(dāng)時(shí)，求出直線的方程；（2）若，討論的單調(diào)性，并求出的最值；（3）若直線與曲線相交于點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.黑龍江省哈爾濱市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)交集的定義求解.詳解】由題，得，故，進(jìn)而，故選：A2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得答案.【詳解】若復(fù)數(shù)滿足，則.故選：D.3.已知角終邊上一點(diǎn)，則（）A.1 B. C. D.【正確答案】A【分析】由任意角三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】由三角函數(shù)定義知，，所以.故選：A.4.已知向量，，，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)條件，利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，又，所以，?故選：B.5.函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，且，則的最小值為（）A.13 B.16 C. D.28【正確答案】B【分析】由函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)得，則有，由，利用基本不等式可得最小值.【詳解】函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)A在直線上，有，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為16.故選：B.6.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再集合函數(shù)值的正負(fù)，以及取向，即可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)是奇函數(shù)，故排除A，且當(dāng)時(shí)，，故排除C，，當(dāng)時(shí)，，故排除D，滿足條件的只有B.故選：B7.已知數(shù)列是等比數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B. C.1 D.3【正確答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列，可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】則為常數(shù)，所以為常數(shù)，知數(shù)列為等差數(shù)列，由，知，又，所以公差，故.故選：A8.記表示，二者中較大的一個(gè)，函數(shù)，，若，，使得成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】計(jì)算出，結(jié)合，的單調(diào)性得到，并求出在區(qū)間上的值域?yàn)?，由題意得到在上的值域包含在上的值域，從而得到不等式，求出【詳解】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上的值域?yàn)?，令，得，解得或，畫(huà)出，的圖象如圖所示，若，，使得成立，則需要在上的值域包含在上的值域，則，解得，即的取值范圍是.故選：A關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出的解析式，從而確定的值域，并得到在上的值域包含在上的值域，得到不等式，求出答案二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)單位向量滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.向量的夾角為C.D.在的方向上的投影向量為【正確答案】ACD【分析】將平方，可得，可判斷A，B；由向量模長(zhǎng)公式分別計(jì)算，驗(yàn)證C；由投影向量公式驗(yàn)證D.【詳解】由于，又因?yàn)?，所以，故，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故，又，故，所以，C正確；在的方向上的投影向量為，故D正確.故選：ACD10.設(shè)為正實(shí)數(shù)，已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為B.已知，，且的最小值為，則C.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是【正確答案】BCD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)對(duì)稱軸公式計(jì)算判斷A，根據(jù)函數(shù)最值結(jié)合函數(shù)的圖象特征得出參數(shù)判斷B,應(yīng)用平移化簡(jiǎn)結(jié)合誘導(dǎo)公式得出函數(shù)判斷C,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式計(jì)算判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為,即,不能取到,A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，為的最小值點(diǎn)，為的最大值點(diǎn)，則，即，且，所以，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)，故C正確；D選項(xiàng)，∵，則，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，D正確；故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.若時(shí)，，則t的最大值為2D.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根【正確答案】BCD【分析】求得，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象得：對(duì)于A中，函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以A不正確；對(duì)于B中，函數(shù)既存在極大值又存在極小值，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，可得，所以t的最大值為，所以C正確；對(duì)于D中，若方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，即與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則___________.【正確答案】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，又因?yàn)?，所以，所以，故答案?.13.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】由函數(shù)解析式分析得為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不等式等價(jià)于，求解即可.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，，函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式，則有，解得且，所以不等式解集為.故14.若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，利用函數(shù)在區(qū)間0,1上有極值點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，且．當(dāng)時(shí)，f′x>0恒成立，故在當(dāng)時(shí)，令，得，f′x<0解得，f′在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而時(shí)有極小值，函數(shù)fx沒(méi)有極大值．依題意有，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值時(shí)相應(yīng)的值；（2）討論在上的單調(diào)性.【正確答案】（1），最大值為，（2）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，進(jìn)而可得周期與最值；（2）利用整體代入法可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】，所以的最小正周期，當(dāng)時(shí)，取最大值為，此時(shí)，，即，；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，有，從而時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞減，綜上所述，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.16.已知數(shù)列中．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和；【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由構(gòu)造得，又，可證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】由，得，即，又，有，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，則有，，，①-②得，，即.17.如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，，，且，，面，，為中點(diǎn)．（1）若是中點(diǎn)，求證：面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．【正確答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）【分析】（1）作出輔助線，得到線面平行，進(jìn)而證明出面面平行，即平面平面，證明出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩平面的法向量，從而求出面面角的余弦值，進(jìn)而得到正弦值.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，為中中點(diǎn)，，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，又平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】因?yàn)槊?，平面，所以，又四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，⊥，故，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以四邊形為矩形，其中，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則，故，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，故平面與平面夾角的正弦值為.18.在中，角的對(duì)邊分別是，且．（1）求角；（2）已知為邊上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．【正確答案】（1）（2）1【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，然后結(jié)合兩角和的正弦公式及特殊角的余弦值求解即可.（2）利用三角形相似得，求得，然后在中由余弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可得：，，由可得：，，，可得：，，，.【小問(wèn)2詳解】，與相似，滿足：，設(shè)，則有，解得：（舍去），即：，，在中，由余弦定理可得：，即：，解得：（舍去），的長(zhǎng)為1.19.已知函數(shù)，直線為曲線在點(diǎn)處的切線.（1）當(dāng)時(shí)，求出直線的方程；（2）若，討論的單調(diào)性，并求出的最值；（3）若直線與曲線相交于點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）的最小值為，無(wú)最大值；（3）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出切線方程；（2）對(duì)求導(dǎo)，然后根據(jù)其正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則可求出函數(shù)的最小值點(diǎn)，從而可求出函數(shù)的最小值；（3）求出直線，將“直線與曲線y=fx相交”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在有解，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由，得，則，因?yàn)椋郧€y=fx在點(diǎn)處的切線的方程為，即；【小問(wèn)2詳解】，則，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值；【小問(wèn)3詳解】由，得，則，所以曲線y=fx在點(diǎn)處的切線的方程