遼寧省撫順市六校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第四冊(cè)第十一章、選擇性必修第一冊(cè)第一章占50%，選擇性必修第一冊(cè)第二章第1節(jié)至第5節(jié)占50%.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，則的傾斜角為（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】利用傾斜角的定義求解即可.【詳解】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，故直線的方程為：，傾斜角為.故選：B2.關(guān)于空間向量，下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷即可.【詳解】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知：，，均成立，即A、B、C正確；為與共線的向量，為與共線的向量，所以與不一定相等，故D錯(cuò)誤．故選：D3.已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用橢圓中的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意可得解得，所以橢圓的方程為.故選：A4.已知，，，若，，共面，則（）A.0 B.1 C.2 D.－1【答案】D【解析】【分析】由空間向量共面的基本定理求解即可；【詳解】因?yàn)楣裁?，所以，即，則解得.故選：D.5.已知圓柱和圓錐的高相等，側(cè)面積相等，且它們的底面半徑均為2，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圓錐的體積和側(cè)面積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓柱和圓錐高為，則圓錐的母線長(zhǎng)為：，由圓錐與圓柱側(cè)面積相等得：，解得，故圓錐的體積：.故選：D6.如圖，正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面體的棱長(zhǎng)為1，體積為，則該正二十面體的內(nèi)切球的半徑為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得正二十面體體積等于以球心為頂點(diǎn)的二十個(gè)正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內(nèi)切求半徑，再由棱錐的體積公式計(jì)算即可；【詳解】由題意正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合，所以正二十面體體積等于以球心為頂點(diǎn)的二十個(gè)正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內(nèi)切求半徑，設(shè)為所以，解得，故選：C.7.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，平面，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立合適空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量求法求解出結(jié)果.【詳解】以為原點(diǎn)，分別以，過(guò)垂直于，方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)榍宜倪呅问橇庑危?，且，即，所以，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，故選：D.8.已知，，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則t的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)，得出的軌跡方程，再結(jié)合條件為直線上的點(diǎn)，得到直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上.點(diǎn)在直線上，所以直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得故選:B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正四面體的棱長(zhǎng)為6，下列結(jié)論正確的是（）A.該正四面體的高為B.該正四面體的高為C.該正四面體兩條高的夾角的余弦值為D.該正四面體兩條高的夾角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的重心計(jì)算出正四面體的高；通過(guò)余弦定理計(jì)算出，結(jié)合的關(guān)系即可求解出兩條高夾角的余弦值.【詳解】取中點(diǎn)，連接，過(guò)作垂直于交于點(diǎn)M，過(guò)作垂直于交于點(diǎn)N，如圖所示，由正四面體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，為正四面體的高，記，因?yàn)樵诘酌娴纳溆盀榈闹匦模?，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)榈膴A角為，且，所以，所以?shī)A角的余弦值為，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：AD.10.圓和圓的交點(diǎn)為，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.直線的方程為B.線段的中垂線方程為C.D.點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最大值為8【答案】ABD【解析】【分析】將兩圓的方程作差可得A正確；由圓的一般方程變成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，再由線段的中垂線經(jīng)過(guò)和的圓心可得B正確；由幾何法求出弦長(zhǎng)可得C錯(cuò)誤；由最大距離等于兩半徑之和加圓心距可得D正確；【詳解】對(duì)于A，將兩圓方程作差，可得，即直線的方程為，A正確.對(duì)于B，圓，圓，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，，線段的中垂線經(jīng)過(guò)和的圓心，故線段的中垂線方程為，故B正確.對(duì)于C，圓的圓心到直線的距離為，故，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最大值為，D正確.故選：ABD.11.若平面，平面，平面，則稱點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，，記平面為，平面ABCD為，，（）A.若，則B.存在點(diǎn)H，使得平面C.線段長(zhǎng)度的最小值是D.存在點(diǎn)H，使得【答案】ABC【解析】【分析】先建系，對(duì)于選項(xiàng)A，先證Q，B，N，P四點(diǎn)共面，再計(jì)算的值；對(duì)于選項(xiàng)B，先找出，，可得是平面的一個(gè)法向量，結(jié)合平面，則，依此求出H的位置；對(duì)于選項(xiàng)C，表示出，求解其最小值即可；對(duì)于D，依據(jù)，則，從而可判定H的存在性.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)闉橹彼睦庵?，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ，則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點(diǎn)共面，若，則，解得，A正確；對(duì)于B：過(guò)點(diǎn)H作，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作AB的垂線，垂足即，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個(gè)法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點(diǎn)H，使得平面，B正確，對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，C正確.對(duì)于D：若，則，得，無(wú)解，所以不存在點(diǎn)H，使得，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意可知在平面上，然后建立坐標(biāo)系，根據(jù)投影表示所需要點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)計(jì)算即可.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線與互相垂直，則________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的斜率關(guān)系表示計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知直線的斜率，則直線的斜率，解得.故答案為：113.如圖，在棱長(zhǎng)為正方體中，是的中點(diǎn)，則__________.【答案】6【解析】【分析】，為等邊三角形，利用向量數(shù)量積的定義求即可.【詳解】棱長(zhǎng)為的正方體中，連接，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，..故選：14.已知圓，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與圓交于點(diǎn)，，若，則________.【答案】6【解析】【分析】利用求出，然后將轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】設(shè)，由于，而，則，所以，．故答案為：6四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知在中，，，，記的外接圓為圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一，求兩條線段垂直平分線的交點(diǎn)確定圓心，圓心到圓上一點(diǎn)的距離確定半徑，從而得到圓的方程；方法二，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，待定系數(shù)法求圓的方程.（2）先求圓心與點(diǎn)連線的斜率，利用垂直關(guān)系，確定切線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求解切線方程.【小問(wèn)1詳解】（方法一）直線的方程為，、的中點(diǎn)為，所以線段的中垂線方程為，直線的方程為，、的中點(diǎn)為，線段的中垂線方程為.直線與直線的交點(diǎn)為，即圓的圓心為.點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，即圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（方法二）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】圓的圓心為，，直線的斜率為，所以切線斜率為，所求切線方程為，整理得.16.如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可證明線面平行；（1）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即令，則證明：.因?yàn)?，所以，平面ACD1，所以平面.【小問(wèn)2詳解】易知為平面的一個(gè)法向量，且..易得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17.在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記線段的中點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程.（2）已知點(diǎn)在上，且位于第一象限，點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，試問(wèn)是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）是定值，【解析】【分析】（1）設(shè)Px1,y1（2）設(shè)，由斜率定義表示出兩直線的斜率，得到，然后結(jié)合點(diǎn)在橢圓上滿足，代入化簡(jiǎn)即可；【小問(wèn)1詳解】設(shè)Px1,y1，由過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足可得，設(shè)線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，又點(diǎn)在圓上，所以，即，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】是定值，設(shè)，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，18.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面.（1）證明：.（2）點(diǎn)在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證平面，再由其性質(zhì)定理即可證明；（2）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈冗吶切?，所?因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則.設(shè)平面法向量為n=x,y,z，則即令，則，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，其中一發(fā)現(xiàn)可表述為“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.如平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值2，則點(diǎn)的軌跡就是阿氏圓，記為.（1）求的方程；（2）若與軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，不在軸上的點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線HE，HF與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，證明直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）.（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【解析】【分析】（1）設(shè)，用坐標(biāo)表示已知條件化簡(jiǎn)后可得；（2）不妨設(shè).設(shè)，設(shè)，由直線與圓相交求得的坐標(biāo)（用表示），求出直線方程，觀察方程得定點(diǎn)．【小問(wèn)1詳解】設(shè)，根據(jù)，得，即，所以的方程為.【小問(wèn)2詳