專題02整式及其加減（原卷版）

專題02整式及其加減考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺難點(diǎn)強(qiáng)化：難點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升提升專練：真題感知+精選專練，全面突破目錄TOC\o"13"\h\u考點(diǎn)一：代數(shù)式書(shū)寫(xiě)方法 3考點(diǎn)二：?jiǎn)雾?xiàng)式、多項(xiàng)式的判斷 4考點(diǎn)三：?jiǎn)雾?xiàng)式、多項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù) 5考點(diǎn)四：合并同類項(xiàng) 6考點(diǎn)五：寫(xiě)出滿足某些特征的單項(xiàng)式 8考點(diǎn)六：已知同類項(xiàng)求指數(shù)中字母或代數(shù)式的值 8考點(diǎn)七：多項(xiàng)式系數(shù)、指數(shù)中字母求值 9考點(diǎn)八：整式的加減運(yùn)算 10考點(diǎn)九：整式的加減中的化簡(jiǎn)求值 12考點(diǎn)十：整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題 14考點(diǎn)十一：整式的加減運(yùn)算與應(yīng)用 16考點(diǎn)十二：已知式子的值，求代數(shù)式的值 19考點(diǎn)十三：與單項(xiàng)式有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題 20考點(diǎn)十四：與圖形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題 22考點(diǎn)十五：與數(shù)字有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題 24【知識(shí)點(diǎn)01】代數(shù)式的定義代數(shù)式是由數(shù)字、字母通過(guò)有限次加、減、乘、除和乘方等代數(shù)運(yùn)算得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它可以表示為一個(gè)或多個(gè)項(xiàng)的和，每個(gè)項(xiàng)由系數(shù)、字母和字母的指數(shù)組成?！局R(shí)點(diǎn)02】代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)規(guī)則乘號(hào)可以省略或用“·”表示，除法運(yùn)算用分?jǐn)?shù)線表示。數(shù)字和字母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫(xiě)在字母的前面。帶分?jǐn)?shù)應(yīng)寫(xiě)成假分?jǐn)?shù)的形式。【知識(shí)點(diǎn)03】代數(shù)式代入求值代數(shù)式的值：當(dāng)代數(shù)式中的字母取某些特定值時(shí)，代數(shù)式所表示的數(shù)。求代數(shù)式的值的方法有直接代入法、整體代入法、間接求值法等?！局R(shí)點(diǎn)04】整式的相關(guān)概念1．單項(xiàng)式：由數(shù)或字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式．要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)．（2）單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和．2．多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)．要點(diǎn)詮釋：（1）在多項(xiàng)式中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．（2）多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．（3）多項(xiàng)式的次數(shù)是n次，有m個(gè)單項(xiàng)式，我們就把這個(gè)多項(xiàng)式稱為n次m項(xiàng)式．3.多項(xiàng)式的降冪與升冪排列：

把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列．另外，把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列．要點(diǎn)詮釋：（1）利用加法交換律重新排列時(shí)，各項(xiàng)應(yīng)連同它的符號(hào)一起移動(dòng)位置；

（2）含有多個(gè)字母時(shí)，只按給定的字母進(jìn)行降冪或升冪排列．4．整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．【知識(shí)點(diǎn)05】整式的加減1．同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)．所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)．要點(diǎn)詮釋：辨別同類項(xiàng)要把準(zhǔn)“兩相同，兩無(wú)關(guān)”：（1）“兩相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指數(shù)相同；（2）“兩無(wú)關(guān)”是指：①與系數(shù)無(wú)關(guān)；②與字母的排列順序無(wú)關(guān)．2．合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)．要點(diǎn)詮釋：合并同類項(xiàng)時(shí)，只是系數(shù)相加減，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)保持不變．3．去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”，把括號(hào)和它前面的“+”去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都不改變；括號(hào)前面是“”，把括號(hào)和它前面的“”號(hào)去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要改變．4．添括號(hào)法則：添括號(hào)后，括號(hào)前面是“+”，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)都不改變；添括號(hào)后，括號(hào)前面是“”，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)都要改變．5．整式的加減運(yùn)算法則：幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加、減號(hào)連接，然后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)．【知識(shí)點(diǎn)06】數(shù)字的變化規(guī)律探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問(wèn)題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式．（2）利用方程解決問(wèn)題．當(dāng)問(wèn)題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：代數(shù)式書(shū)寫(xiě)方法例題：（2324七年級(jí)上·四川宜賓·期末）下列代數(shù)式書(shū)寫(xiě)規(guī)范的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.（2324七年級(jí)上·河北保定·期末）下列各式中，書(shū)寫(xiě)格式正確的是（

）A． B． C． D．2.（2324七年級(jí)上·四川巴中·期末）下列各式中，符合代數(shù)式書(shū)寫(xiě)要求的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：?jiǎn)雾?xiàng)式、多項(xiàng)式的判斷例題：（2324七年級(jí)上·河南鄭州·期末）下列代數(shù)式：，，，，，中，單項(xiàng)式共有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式訓(xùn)練】1.（2324七年級(jí)上·河北廊坊·期末）下列各式中是多項(xiàng)式的是（

）A． B． C． D．2.（2324七年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）下列式子，，，中，多項(xiàng)式有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)三：?jiǎn)雾?xiàng)式、多項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)例題：（2324七年級(jí)上·廣東汕頭·期末）下列說(shuō)法不正確的是（）A．的系數(shù)是，次數(shù)是4 B．是整式C．的項(xiàng)是，，1 D．是三次二項(xiàng)式【變式訓(xùn)練】1.（2324七年級(jí)上·湖北黃石·期末）下列結(jié)論中正確的是（

）．A．單項(xiàng)式的系數(shù)是，次數(shù)是4 B．單項(xiàng)式的系數(shù)是1，次數(shù)是4C．多項(xiàng)式是三次三項(xiàng)式 D．單項(xiàng)式m的次數(shù)是1，沒(méi)有系數(shù)2.（2324七年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．單項(xiàng)式的系數(shù)是?2B．單項(xiàng)式的系數(shù)是，次數(shù)是3C．多項(xiàng)式的次數(shù)是4D．單項(xiàng)式的次數(shù)是0考點(diǎn)四：合并同類項(xiàng)例題：（2324七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）下列運(yùn)算中，正確的是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1.（2425七年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列算式中，正確的是（

）A． B．C． D．2.（2324七年級(jí)上·浙江舟山·期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)五：寫(xiě)出滿足某些特征的單項(xiàng)式例題：（2324七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）寫(xiě)出一個(gè)單項(xiàng)式，要求：此單項(xiàng)式含有字母a，b，系數(shù)是3，次數(shù)是3．【變式訓(xùn)練】1.（2324七年級(jí)上·青海西寧·期末）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)系數(shù)為，次數(shù)為4，并且只含有字母a，b的單項(xiàng)式．2.（2324七年級(jí)上·廣東珠海·期末）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)單項(xiàng)式，使它的系數(shù)為，次數(shù)為3，這個(gè)單項(xiàng)式為．考點(diǎn)六：已知同類項(xiàng)求指數(shù)中字母或代數(shù)式的值例題：（2425七年級(jí)上·全國(guó)·期末）若單項(xiàng)式與的差仍是單項(xiàng)式，則m的值為．【變式訓(xùn)練】1.（2324七年級(jí)上·江蘇·期末）已知，則.2.（2425七年級(jí)上·全國(guó)·期末）單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，則它們的和為．考點(diǎn)七：多項(xiàng)式系數(shù)、指數(shù)中字母求值例題：（2324六年級(jí)上·山東威?！て谀┮阎囗?xiàng)式是五次四項(xiàng)式，為常數(shù)，則的值為．【變式訓(xùn)練】1.（2324七年級(jí)上·甘肅酒泉·期末）若整式是關(guān)于x、y的三次三項(xiàng)式，則.2．（2324六年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）若多項(xiàng)式是關(guān)于，的三次三項(xiàng)式，則．考點(diǎn)八：整式的加減運(yùn)算例題：（2324七年級(jí)上·山東青島·期末）化簡(jiǎn)(1)(2)【變式訓(xùn)練】1.（2324六年級(jí)上·山東青島·期末）化簡(jiǎn)：(1)(2)2.（2324七年級(jí)上·河南鄭州·期末）已知．(1)化簡(jiǎn)：；(2)已知與是同類項(xiàng)，求的值．考點(diǎn)九：整式的加減中的化簡(jiǎn)求值例題：（2324七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【變式訓(xùn)練】1.（2425七年級(jí)上·遼寧·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：已知，求代數(shù)式的值．2.（2324七年級(jí)上·云南麗江·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：(1)，其中(2)，其中考點(diǎn)十：整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題例題：（2324七年級(jí)上·甘肅慶陽(yáng)·期末）已知．(1)計(jì)算；(2)若的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值．【變式訓(xùn)練】1.（2324七年級(jí)上·廣東潮州·期末）已知：，；(1)若，求的值；的值．(2)當(dāng)a取任何數(shù)值，的值是一個(gè)定值時(shí)，求b的值．2．（2324七年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）已知代數(shù)式，．(1)計(jì)算；(2)當(dāng)，時(shí)，求的值；(3)若的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值．考點(diǎn)十一：整式的加減運(yùn)算與應(yīng)用例題：（2324七年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）把四張形狀大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片（如圖1），分兩種不同形式不重疊的放在一個(gè)底面長(zhǎng)為m，寬為n的長(zhǎng)方形盒子底部（如圖2，3），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．設(shè)圖2中陰影部分圖形的周長(zhǎng)為，圖3中兩個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)的和為，(1)用含m，n的式子表示圖2陰影部分的周長(zhǎng)(2)若，求m，n滿足的關(guān)系？【變式訓(xùn)練】1.（2324七年級(jí)下·廣西賀州·期末）如圖，是某學(xué)校內(nèi)的一塊長(zhǎng)為30米，寬為15米的長(zhǎng)方形勞動(dòng)實(shí)踐基地，為了行走方便，學(xué)校決定請(qǐng)工人對(duì)三條都一樣寬的走道進(jìn)行硬化（陰影部分）．設(shè)走道的寬為x米．(1)求走道的全面積為_(kāi)_______；（試用含x的代數(shù)式表示并化簡(jiǎn)）(2)經(jīng)測(cè)量該走道的寬x為0.5米，求出該走道的總面積；(3)經(jīng)商議按25元/米的費(fèi)用支付給工人工錢(qián)，則學(xué)校要付給工人的費(fèi)用是多少元？2．（2324七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）為了鍛煉同學(xué)們的動(dòng)手操作能力，李老師要求同學(xué)們做了兩種型號(hào)長(zhǎng)方體紙盒，尺寸（單位：厘米）如下：長(zhǎng)寬高甲型紙盒ac乙型紙盒(1)做兩種型號(hào)紙盒各一個(gè)，共用料多少平方厘米？(2)已知都為正整數(shù)），萌萌發(fā)現(xiàn)做6個(gè)甲型紙盒的用料恰好與2個(gè)乙型紙盒的用料相等，求此時(shí)共用料最少為多少平方厘米？考點(diǎn)十二：已知式子的值，求代數(shù)式的值例題：（2324七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）若，則代數(shù)式的值是．【變式訓(xùn)練】1.（2324七年級(jí)上·江西贛州·期末）理解與思考：整體代換是數(shù)學(xué)的一種思想方法，例如：，則______；我們將作為一個(gè)整體代入，則原式．仿照上面的解題方法，完成下面的問(wèn)題：(1)若，則______；(2)如果，求的值；(3)若，，求的值．2．（2324七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）我們知道，，類似地，我們也可以將看成一個(gè)整體，則．整體思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．請(qǐng)根據(jù)上面的提示和范例，解決下面的題目：(1)把看成一個(gè)整體，求合并的結(jié)果；(2)已知，求的值；(3)已知，求的值．考點(diǎn)十三：與單項(xiàng)式有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題例題：（2324七年級(jí)上·山東濰坊·期末）觀察一列單項(xiàng)式：，，，，，…按此規(guī)律，第2024個(gè)單項(xiàng)式為．【變式訓(xùn)練】1.（2324七年級(jí)上·山東菏澤·期末）觀察下列單項(xiàng)式：，，，，，…，按此規(guī)律，這列單項(xiàng)式中的第9個(gè)為．2．（2324七年級(jí)上·湖南懷化·期末）觀察下列各式：，，，，…，，，…，根據(jù)你猜測(cè)的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出第2023個(gè)式子是，第（是正整數(shù)）個(gè)式子是．考點(diǎn)十四：與圖形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題例題：（2324七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）按如下方式擺放餐桌和椅子：(1)當(dāng)有5張桌子時(shí)，可以坐人；(2)某班恰好有50人，需要多少?gòu)埐妥?？【變式?xùn)練】1.（2324七年級(jí)下·安徽滁州·期末）如圖，是一幅平面鑲嵌圖案，它由相同的黑色正方形和白色等邊三角形排列而成，觀察圖案：第1個(gè)圖案有1個(gè)正方形，4個(gè)等邊三角形；第2個(gè)圖案有2個(gè)正方形，7個(gè)等邊三角形；第3個(gè)圖案有3個(gè)正方形，10個(gè)等邊三角形，以此類推…(1)第n個(gè)圖案有________個(gè)正方形，________個(gè)等邊三角形．(2)現(xiàn)有2024個(gè)等邊三角形，如按此規(guī)律鑲嵌圖案，要求等邊三角形剩余最少，則需要正方形多少個(gè)？2．（2324七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）用三角形和六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案．(1)第4個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)有個(gè)，六邊形的個(gè)數(shù)有個(gè)；(2)第n（n為正整數(shù)）個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)與六邊形的個(gè)數(shù)各有多少個(gè)？(3)第2024個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)與六邊形的個(gè)數(shù)各有多少個(gè)？(4)是否存在某個(gè)符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個(gè)三角形與30個(gè)六邊形？如果有，指出是第幾個(gè)圖案；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．考點(diǎn)十五：與數(shù)字有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題例題：（2324七年級(jí)下·安徽銅陵·期末）觀察下列等式：，①，②，③…(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出第⑩個(gè)等式；(2)根據(jù)上述等式的排列規(guī)律，猜想并寫(xiě)出第n個(gè)等式（n是正整數(shù)）．【變式訓(xùn)練】1.（2324八年級(jí)上·廣東湛江·期末）觀察下面的變形規(guī)律：，，，……，解答下面的問(wèn)題：(1)＝，＝．(2)若為正整數(shù)，猜想＝．(3)求值．2．（2324七年級(jí)上·四川成都·期末）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：．(2)用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：（n為正整數(shù)）；(3)求．真題感知一、單選題1．（2425七年級(jí)上·山東·期末）在式子，，，，中，代數(shù)式的個(gè)數(shù)有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．（2324七年級(jí)上·河北石家莊·期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．3．（2425七年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．a(chǎn)是代數(shù)式，1不是代數(shù)式B．表示a，b，的積的代數(shù)式為C．代數(shù)式的意義是：a與4的差除b的商D．是二項(xiàng)式，它的一次項(xiàng)系數(shù)是4．（2425七年級(jí)上·全國(guó)·期末）若多項(xiàng)式的值為3，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2425七年級(jí)上·安徽六安·期中）如圖，有三張正方形紙片，，，它們的邊長(zhǎng)分別為，，，將三張紙片按圖1、圖2兩種不同方式放置于同一個(gè)長(zhǎng)方形中，則圖1與圖2中的陰影部分周長(zhǎng)的差為（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2324七年級(jí)上·甘肅定西·期末）單項(xiàng)式的系數(shù)，次數(shù)是．7．（2425七年級(jí)上·全國(guó)·期末）若單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，則．8．（2425七年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖所示是一個(gè)長(zhǎng)方形，根據(jù)圖中尺寸大小用含x的代數(shù)式表示陰影部分的面積為．9．（2223七年級(jí)上·山東濱州·期末）觀察下列單項(xiàng)式：x，，，，，…考慮它們的系數(shù)和次數(shù)．請(qǐng)寫(xiě)出第8個(gè)：．10．（2425六年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，其中，化簡(jiǎn)：三、解答題11．（2324七年級(jí)上·湖北宜昌·期末）先化簡(jiǎn)，后求值：已知：，，求的值．12．（2223七年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期末）化簡(jiǎn)(1)(2)13．（2425七年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）已知整式和滿足：，．(1)求整式（用所含、的代數(shù)式表示）；(2)若的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值．14．（2425七年級(jí)上·廣東中山·期中）如圖，一個(gè)零件的橫截面是由長(zhǎng)方形、正方形、三角形及圓組成的圖形（長(zhǎng)度單位：）．(1)用式子表示圖中陰影部分的面積；(2)當(dāng)時(shí)，求陰影部分面積的值．（，結(jié)果保留整數(shù)）15．（2324七年級(jí)上·河北保定·期中）觀察下列各式：第1個(gè)式子：，第2個(gè)式子：，第3個(gè)式子：．…根據(jù)其規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)．(2)第n個(gè)式子為．