高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直理

專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直能力突破訓(xùn)練1.如圖,O為正方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是()A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C12.在三棱柱ABCA1B1C1中,D為該棱柱的九條棱中某條棱的中點(diǎn),若A1C∥平面BC1D,則D為()A.棱AB的中點(diǎn) B.棱A1B1的中點(diǎn)C.棱BC的中點(diǎn) D.棱AA1的中點(diǎn)3.(2022廣西南寧二模)在正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),H為AD的中點(diǎn),F,G分別為BC,CD上的點(diǎn),且CF=2FB,CG=2GD,將△ABD沿著BD折起得到空間四邊形A1BCD,則在翻折過程中,下列說(shuō)法正確的是()A.EF∥GH B.EF與GH相交C.EF與GH異面 D.EH與FG異面4.(2022全國(guó)乙,理7)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D5.已知正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持PE⊥AC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為.

6.在正三棱柱A1B1C1ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),BC=2BB1.設(shè)B1D∩BC1=F.求證:(1)A1C∥平面AB1D;(2)BC1⊥平面AB1D.7.如圖,AB為圓柱底面圓的一條直徑,AC為圓柱的一條母線,D為AB的中點(diǎn),AB=AC=4.(1)證明:BD⊥平面ACD;(2)求點(diǎn)A到平面BCD的距離.8.(2022廣西桂林、崇左、賀州3月模擬)在平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=2,過點(diǎn)A作CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AE=3,連接BE交AD于點(diǎn)F,如圖①,將△ADE沿AD折起,使得點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)P的位置,如圖②.圖①圖②(1)求證:AD⊥平面BFP;(2)若G為PB的中點(diǎn),H為CD的中點(diǎn),且平面ADP⊥平面ABCD,求三棱錐GBCH的體積.思維提升訓(xùn)練9.在正方形ABCD中,AB=4,點(diǎn)E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),將△AEF沿EF折起到△A'EF的位置,使得A'C=23.在平面A'BC內(nèi),過點(diǎn)B作BG∥平面A'EF交邊A'C于點(diǎn)G,則A'G=()A.33 B.233 C.310.如圖,正方形ABCD和梯形BDEF所在的平面互相垂直,EF∥BD,EF=12BD,AC與BD交于點(diǎn)O,G,H分別為線段AB,BF的中點(diǎn)(1)求證:AC⊥BF;(2)求證:GF∥平面ADE;(3)若DF⊥BF,求證:平面AHC⊥平面BGF.11.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點(diǎn),F為AE的中點(diǎn).現(xiàn)在沿AE將△ADE向上折起,在折起的圖形中解答下列問題:(1)在線段AB上是否存在一點(diǎn)K,使BC∥平面DFK?若存在,請(qǐng)證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求證:平面BDE⊥平面ADE.12.(2022廣西南寧二中模擬)如圖,在三棱柱ABCA'B'C'中,側(cè)棱AA'⊥底面ABC,AB=AC,BC=2AA',D,E分別為BC,BB'的中點(diǎn).(1)求證:DC'⊥平面ADE;(2)試探究三棱錐CAC'E的體積與三棱錐C'ADE的體積的比值是否為定值,若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.13.如圖,在四邊形ABCD中(如圖①),E是BC的中點(diǎn),DB=2,DC=1,BC=5,AB=AD=2.將△ABD(如圖①)沿直線BD折起,使二面角ABDC為60°(如圖②).圖①圖②(1)求證:AE⊥平面BDC;(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;(3)求點(diǎn)B到平面ACD的距離.

專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直能力突破訓(xùn)練1.D解析易知A1C1⊥平面BB1D1D.∵B1O?平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故選D.2.B解析如圖,當(dāng)D為棱A1B1的中點(diǎn)時(shí),取AB的中點(diǎn)E,連接A1E,CE.∵A1E∥BD,DC1∥EC,DC1∩BD=D,EC∩A1E=E,∴平面A1CE∥平面BC1D,又A1C?平面A1CE,則A1C∥平面BC1D.3.B解析連接EH,FG(圖略).由CF=2FB,CG=2GD,得FG∥BD,且FG=23BD由E為AB的中點(diǎn),H為AD的中點(diǎn),得EH∥BD,且EH=12BD所以EH∥FG,且EH≠FG,所以四邊形EFGH為梯形,所以EF與GH相交.故選B.4.A解析如圖,對(duì)于A,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC.在正方體ABCDA1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF?平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正確.對(duì)于B,連接AC1,易證AC1⊥平面A1BD.假設(shè)平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1?平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC?平面B1EF,EF?平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,顯然不成立,∴假設(shè)不成立,即平面B1EF與平面A1BD不垂直.故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,由題意知,直線AA1與B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC必相交.故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,連接AB1,CB1,易證平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF與平面AB1C相交,∴平面B1EF與平面A1C1D不平行.故D錯(cuò)誤.5.2+6解析如圖,取CD的中點(diǎn)F,SC的中點(diǎn)G,連接EF,EG設(shè)EF交AC于點(diǎn)H,連接GH,易知AC⊥EF.又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,∴AC⊥GH.又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.故點(diǎn)P的軌跡是△EFG,其周長(zhǎng)為26.證明(1)如圖,連接A1B,設(shè)A1B交AB1于點(diǎn)E,連接DE.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是A1B的中點(diǎn),∴DE∥A1C.∵A1C?平面AB1D,DE?平面AB1D,∴A1C∥平面AB1D.(2)∵△ABC是正三角形,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面B1BCC1,平面ABC∩平面B1BCC1=BC,AD?平面ABC,∴AD⊥平面B1BCC1.∵BC1?平面B1BCC1,∴AD⊥BC1.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),BC=2BB1,∴BD=22BB1∵BDBB1=CC1BC=22,∴∠BDB1=∠BC1C.∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90°.∴BC1⊥B1D.又B1D∩AD=D,∴BC1⊥平面AB1D.7.(1)證明因?yàn)锳B為圓柱底面圓的一條直徑,所以由圓的性質(zhì)可知BD⊥AD.由AC為圓柱的一條母線,可知AC⊥平面ABD,又因?yàn)橹本€BD在平面ABD內(nèi),所以AC⊥BD.因?yàn)锽D⊥AD,AC⊥BD,AC∩AD=A,AD,AC?平面ACD,所以BD⊥平面ACD.(2)解由BD⊥平面ACD,CD?平面ACD,所以BD⊥CD.因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),所以AD=BD.因?yàn)锳B=4,所以在Rt△ABD中,有AD=BD=22又因?yàn)锳C=4,所以在Rt△ACD中,CD=AC2+AD2=16+8=26,所以S△BCD=12BD·設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為d.VCABD=13×4×12×22×22=163,V由VCABD=VABCD,有433d=163故點(diǎn)A到平面BCD的距離為48.(1)證明折疊前,由已知得AE⊥AB,又AB=3,AE=3,∴∠AEB=60°,BE=23∵AE⊥CE,AE=3,AD=BC=2,∴∠EAD=30°.∴∠AFE=180°∠AEB∠EAD=90°,即BE⊥AD.∴折疊后,PF⊥AD,BF⊥AD.又PF∩BF=F,∴AD⊥平面BFP.(2)解由(1)知PF⊥AD,又平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,PF?平面ADP,∴PF⊥平面ABCD.由(1)得EF=12AE=32,∴又G為PB的中點(diǎn),∴點(diǎn)G到平面ABCD的距離為3∵H為CD的中點(diǎn),∴CH=12CD=12由題意可知點(diǎn)B到CD的距離為3,∴S△BCH=1∴VGBCH=1思維提升訓(xùn)練9.B解析連接AC,分別交BD,EF于點(diǎn)O,H(圖略).∵E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),∴EF∥BD,∴OHHC=13,BD∥平面A'EF.又∴平面BGD∥平面A'EF.平面A'CH分別與平面BGD、平面A'EF交于OG,HA',∴OG∥HA',∴A∴A'G=13A'C=10.證明(1)∵四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD.又平面ABCD⊥平面BDEF,平面ABCD∩平面BDEF=BD,∴AC⊥平面BDEF.∵BF?平面BDEF,∴AC⊥BF.(2)(方法一)如圖,取AD的中點(diǎn)M,連接ME,MG.在△ABD中,∵G,M分別為AB,AD的中點(diǎn),∴GM∥BD,且GM=12BD又EF∥BD,且EF=12BD,∴GM∥EF,且GM=EF.∴四邊形GMEF為平行四邊形.∴GF∥ME.∵M(jìn)E?平面ADE,GF?平面ADE,∴GF∥平面ADE(方法二)如圖,連接OF,OG,∵EF∥BD,且EF=12BD,∴EF∥OD,且EF=OD∴四邊形DOFE為平行四邊形.∴OF∥DE.∵DE?平面ADE,OF?平面ADE,∴OF∥平面ADE.∵O,G分別為BD,AB的中點(diǎn),∴OG∥AD.又OG?平面ADE,AD?平面ADE,∴OG∥平面ADE.∵OG∩OF=O,∴平面GOF∥平面ADE.∵GF?平面OGF,∴GF∥平面ADE.(3)如圖,連接OH,在△BDF中,∵O,H分別為BD,BF的中點(diǎn),∴OH∥DF.∵DF⊥BF,∴OH⊥BF.∵BF⊥AC,AC∩OH=O,AC?平面AHC,OH?平面AHC,∴BF⊥平面AHC.∵BF?平面BGF,∴平面AHC⊥平面BGF.11.(1)解線段AB上存在一點(diǎn)K,且當(dāng)AK=14AB時(shí),BC∥平面DFK證明如下:如圖,設(shè)H為AB的中點(diǎn),連接EH,則BC∥EH.又因?yàn)锳K=14AB,F為AE所以KF∥EH,所以KF∥BC.因?yàn)镵F?平面DFK,BC?平面DFK,所以BC∥平面DFK.(2)證明因?yàn)镕為AE的中點(diǎn),DA=DE=1,所以DF⊥AE.因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCE,所以DF⊥平面ABCE.因?yàn)锽E?平面ABCE,所以DF⊥BE.又因?yàn)樵谡燮鹎暗膱D形中E為CD的中點(diǎn),AB=2,BC=1,所以在折起后的圖形中AE=BE=2,從而AE2+BE2=4=AB2,所以AE⊥BE.因?yàn)锳E∩DF=F,所以BE⊥平面ADE.又因?yàn)锽E?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ADE.12.(1)證明在三棱柱ABCA'B'C'中,設(shè)AA'=BB'=CC'=a,則BC=2AA'=2a.又D,E分別為BC,BB'的中點(diǎn),所以CC'所以CC又AA'⊥平面ABC,AA'∥BB'∥CC',所以BB'⊥平面ABC,CC'⊥平面ABC,所以BB'⊥BC,CC'⊥BC,所以∠C'CD=∠DBE=90°,所以△C'CD∽△DBE,所以∠CC'D=∠BDE.又∠CC'D+∠CDC'=90°,所以∠BDE+∠CDC'=90°,所以∠C'DE=90°,即DC'⊥DE.因?yàn)镃C'⊥平面ABC,AD?平面ABC,所以CC'⊥AD.因?yàn)锳B=AC,D為BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC.又BC∩CC'=C,所以AD⊥平面BCC'B',所以AD⊥DC'.又DE∩AD=D,所以DC'⊥平面ADE.(2)解由(1)知AD⊥平面BCC'B',BB'=CC'=a,BC=2a,DC'⊥DE,CC'⊥BC,BB'⊥BC.又D,E分別為BC,BB'的中點(diǎn),所以CD=BD=22a,BE=12所以DC'=CC'2+CD2所以S△CC'E=12·a·2a=22a2,S△C'DE=12×62a所以三棱錐CAC'E的體積與三棱錐C'ADE的體積的比值為定值,此定值為413.(1)證明如圖,取BD的中點(diǎn)M,連接AM,ME.∵AB=AD=2,DB=2,∴AM⊥BD,AB⊥AD.∵DB=2,DC=1,BC=5滿足DB2+DC2=BC2,∴△BCD是以BC為斜邊的直角三角形,BD⊥DC.∵E是BC的中點(diǎn),∴ME為△BCD的中位線,ME12∴ME⊥BD,ME=12∴∠AME是二面角ABDC的平面角,∴∠AME=60°.∵AM⊥BD,ME⊥BD,且AM,ME是平面AME內(nèi)兩相交于點(diǎn)M的直線,∴BD⊥平面AEM.∵AE?平面AEM,∴BD⊥AE.∵△ABD為等腰直角三角形,∴AM=12BD=1.在△AEM∵AE2=AM2+ME22AM·ME·cos∠AME=1+142×1×12×∴AE=32,∴AE2+ME2=1=AM2∴AE⊥ME.∵BD∩ME=M,BD?平面BDC,ME?平面BDC,∴AE⊥平面BDC.(2)解如圖,取AD的中點(diǎn)N,連接MN,NE,DE,則MN是△ABD的中位線,∴MN∥AB.又ME∥CD,∴