【八年級上冊數(shù)學】全等模型專項訓練之一線三等角專題

第八上數(shù)學：全等模型專項訓練之一線三等角專題1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．2．如圖，△ABC中，若AB＝CB，AD＝CE，AE＝CF，若∠A＝40°，則∠DEF為（）A．40° B．60° C．70° D．80°3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠EDF＝48°，則∠A的度數(shù)為（）A．48 B．64° C．68° D．844．如圖，AD是△ABC的中線，CE⊥AD，BF⊥AD，點E、F為垂足，若EF＝6，∠1＝2∠2，則BC的長為（）A．6 B．8 C．10 D．125．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為線段BC上一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交線段AC于點E．下列結論：①∠DEC＝∠BDA；②若AD＝DE，則BD＝CE；③當DE⊥AC時，則D為BC中點；④當△ADE為等腰三角形時，∠BAD＝40°．其中正確的有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，則∠A的度數(shù)是度．（用含α的代數(shù)式表示）7．如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，邊AC繞點A沿逆時針方向旋轉90°得到AD，邊BC繞點B沿順時針方向旋轉90°得到BE，作DM⊥AB于點M，EN⊥AB于點N，若AB＝10，EN＝4，則DM＝．8．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠EDF＝50°，DE＝DF，BE＝5，CF＝2，則BC＝．9．如圖已知A、B、C在同一條直線上，且∠A＝∠C＝56°、AB＝CE、AD＝BC，那么∠BDE的角度是°．10．如圖，CA⊥AB于點A，AB＝4，AC＝2，射線BM⊥AB于點B，一動點D從點A出發(fā)以2個單位/秒的速度沿射線AB運動，E為射線BM上一動點，隨著點D的運動而運動，且始終保持ED＝BC，若點D運動t秒（t＞0），△EDB與△BCA全等，則t的值為．11．如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分別是BA，CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．下列結論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中結論正確的有．12．如圖，C是線段AB上的一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，則①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等邊三角形．其中，正確的有．13．已知：Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一點，DF⊥BC交AC于點H，且DF＝BC，F(xiàn)G⊥AC交BC于點E．求證：AB＝DE．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．15．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上．（1）若∠ADE＝∠B，求證：①∠BAD＝∠CDE；②BD＝CE；（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度數(shù)．16．如圖，∠ABC＝90°，F(xiàn)A⊥AB于點A，點D在直線AB上，AD＝BC，AF＝BD．（1）如圖1，若點D在線段AB上，判斷DF與DC的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（2）如圖2，若點D在線段AB的延長線上，其他條件不變，試判斷（1）中結論是否成立，并說明理由．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當∠BDA＝115°時，∠BAD＝°，∠DEC＝°；（2）當DC等于多少時，△ABD與△DCE全等？請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)．若不可以，請說明理由．18．在綜合實踐課上，老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展數(shù)學活動．已知，在等腰三角形紙片ABC中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如圖所示放置，頂點P在線段BA上滑動（點P不與A，B重合），三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點C，并與CB的夾角∠PCB＝α，斜邊PN交AC于點D．（1）特例感知當∠BPC＝110°時，α＝°，點P從B向A運動時，∠ADP逐漸變（填“大”或“小”）．（2）合作交流當AP等于多少時，△APD≌△BCP，請說明理由．（3）思維拓展在點P的滑動過程中，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出夾角α的大??；若不可以，請說明理由．19．已知：在△ABC中，AB＝AC，直線l過點A．（1）如圖1，∠BAC＝90°，分別過點B，C作直線l的垂線段BD，CE，垂足分別為D，E．①依題意補全圖1；②用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關系，并證明．（2）如圖2，當∠BAC≠90°時，設∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，點D，E在直線l上，直接用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關系為．20．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關系．21．在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關系是；（2）如圖2，當0＜α＜180時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應用：如圖3，當α＝120°時，點F為∠BAC平分線上的一點，且AB＝AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．22．如圖，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點C放置在水平直線MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，試回答下列問題：（1）若把三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉，當AB∥MN時，∠2＝度；（2）在三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉過程中，分別作AM⊥MN于M，BN⊥MN與N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC繞著點C按順時針方向繼續(xù)旋轉到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之間有什么關系？請說明理由．23．（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D，E．求證：DE＝BD+CE．（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD+CE是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，若S△AEG＝7，則S△AEI＝．

參考答案及解析1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【解題過程】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，∠BAD=∠CDE∠B=∠C∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3，故選：A．2．如圖，△ABC中，若AB＝CB，AD＝CE，AE＝CF，若∠A＝40°，則∠DEF為（）A．40° B．60° C．70° D．80°【解題過程】解：∵AB＝CB，∠A＝40°，∴∠A＝∠C＝40°，在△ADE和△CEF中，AD=CE∠A=∠C∴△ADE≌△CEF（SAS），∴∠ADE＝∠CEF，∵∠DEC＝∠A+∠ADE＝∠DEF+∠CEF，∴∠A＝∠DEF＝40°，故選：A．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠EDF＝48°，則∠A的度數(shù)為（）A．48 B．64° C．68° D．84【解題過程】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BED和△CDF中，BE=CD∠B=∠C∴△BED≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠BED，∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠CDF+∠EDF，∴∠EDF＝∠B＝48°，∴∠C＝∠B＝48°，∴∠A＝180°﹣48°﹣48°＝84°故選：D．4．如圖，AD是△ABC的中線，CE⊥AD，BF⊥AD，點E、F為垂足，若EF＝6，∠1＝2∠2，則BC的長為（）A．6 B．8 C．10 D．12【解題過程】解：∵∠1＝2∠2，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝60°，∴∠DCE＝30°，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DE＝DF，∵EF＝6，∴DE＝DF＝3，∴CD＝6，∴BC＝12，故選：D．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為線段BC上一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交線段AC于點E．下列結論：①∠DEC＝∠BDA；②若AD＝DE，則BD＝CE；③當DE⊥AC時，則D為BC中點；④當△ADE為等腰三角形時，∠BAD＝40°．其中正確的有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題過程】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴由三角形內(nèi)角和定理知：∠DEC＝∠BDA．故①正確；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①知：∠DEC＝∠BDA．∵AD＝DE．∴△ABD≌△DCE．∴BD＝CE，故②正確；③∵D為BC中點，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故③正確；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE為等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，當AE＝DE時，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，故④不正確．故選：C．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，則∠A的度數(shù)是（180°﹣2α）度．（用含α的代數(shù)式表示）【解題過程】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF和△CED中，BF=CD∠B=∠C∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠EDC＝∠DFB，∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°?1∵∠FDE＝α，∴∠A＝180°﹣2α，故答案為：（180°﹣2α）．7．如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，邊AC繞點A沿逆時針方向旋轉90°得到AD，邊BC繞點B沿順時針方向旋轉90°得到BE，作DM⊥AB于點M，EN⊥AB于點N，若AB＝10，EN＝4，則DM＝6．【解題過程】解：過點C作CF⊥AB于點F，如圖所示：∵邊AC繞點A沿逆時針方向旋轉90°得到AD，邊BC繞點B沿順時針方向旋轉90°得到BE，∴AD＝AC，BE＝BC，∵DM⊥AB于點M，EN⊥AB于點N，CF⊥AB于點F，∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°，∴∠D+∠DAM＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAF+∠DAM＝90°，∴∠D＝∠CAF，∴在△DAM和△ACF中，∠AMD=∠AFC∠D=∠CAF∴△DAM≌△ACF（AAS），∴DM＝AF．同理可證，△BFC≌△ENB（AAS），∴BF＝EN＝4，∵AB＝10，∴AF＝AB﹣BF＝10﹣4＝6，∴DM＝6．故答案為：6．8．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠EDF＝50°，DE＝DF，BE＝5，CF＝2，則BC＝7．【解題過程】解：∵∠B＝∠C＝∠EDF＝50°，∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∴∠FDC＝∠BED，∵DE＝DF，∴△BED≌△CDF（AAS），∴BD＝CF＝2，BE＝CD＝5，∴BC＝BD+CD＝2+5＝7，故答案為7．9．如圖已知A、B、C在同一條直線上，且∠A＝∠C＝56°、AB＝CE、AD＝BC，那么∠BDE的角度是62°．【解題過程】解：在△ADB和△CBE中，AB=CE∠A=∠C∴△ADB≌△CBE（SAS），∴∠1＝∠4，∠2＝∠6，DB＝BE，∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠2+∠3+∠4＝180°，∠A＝56°，∴∠3＝∠A＝56°，在△DBE中，∵DB＝BE，∴∠BDE＝∠5＝（180°﹣∠3）÷2＝62°，故答案為：62．10．如圖，CA⊥AB于點A，AB＝4，AC＝2，射線BM⊥AB于點B，一動點D從點A出發(fā)以2個單位/秒的速度沿射線AB運動，E為射線BM上一動點，隨著點D的運動而運動，且始終保持ED＝BC，若點D運動t秒（t＞0），△EDB與△BCA全等，則t的值為1或3或4．【解題過程】解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，∴∠CAB＝∠DBE＝90°，又∵ED＝BC，∴△EDB與△BCA全等，分情況討論：∵點D運動t秒（t＞0），當點D運動到點B時，可得2t＝4，解得t＝2，此時不能構成△BDE，故t≠2，①△ABC≌△BED，則BD＝AC，∵AB＝4，AC＝2，當0＜t＜2時，BD＝4﹣2t，∴4﹣2t＝2，解得t＝1，當t＞2時，BD＝2t﹣4，∴2t﹣4＝2，解得t＝3；②△ABC≌△BDE，則BD＝AB，當0＜t＜2時，4﹣2t＝4，解得t＝0（舍），當t＞2時，2t﹣4＝4，解得t＝4，綜上，滿足條件的t＝1或3或4，故答案為：1或3或4．11．如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分別是BA，CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．下列結論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中結論正確的有①③④．【解題過程】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠DEC，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN＝∠BAD，∵∠ADC+∠ADN＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯誤；∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，∴∠2＝∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2＝90°，∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，∴∠EAF+∠EDF=1∵AE⊥DE，∴∠3+∠4＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正確．故答案為：①③④12．如圖，C是線段AB上的一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，則①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等邊三角形．其中，正確的有①②④⑤．【解題過程】解：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，在△ACE和△DCB中，AC=DC∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正確；∠CBD＝∠AEC，∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠DBC，∴∠AOB＝180°﹣∠AEC﹣∠OAB＝120°，③錯誤；在△ACM和△DCN中，∠BDC=∠EACDC=AC∴△ACM≌△DCN（ASA），∴AM＝DN，④正確；∠AMC＝∠DNC，②正確；CM＝CN，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等邊三角形，⑤正確；故答案為：①②④⑤．13．已知：Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一點，DF⊥BC交AC于點H，且DF＝BC，F(xiàn)G⊥AC交BC于點E．求證：AB＝DE．【解題過程】證明：∵FG⊥AC，F(xiàn)D⊥BC，∴∠ABC＝∠FDE＝∠EGC＝90°，∴∠A+∠C＝90°＝∠C+∠GEC，∴∠A＝∠GEC，在△ABC和△EDF中，∠A=∠GEC∠ABC=∠FDE∴△ABC≌△EDF（AAS），∴AB＝DE．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．【解題過程】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，∠BDA=∠AEC∠BAD=∠ACE∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．15．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上．（1）若∠ADE＝∠B，求證：①∠BAD＝∠CDE；②BD＝CE；（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度數(shù)．【解題過程】（1）證明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，且∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE；②由①得：∠BAD＝∠CDE，在△ABD與△DCE中，∠B=∠CAB=DC∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；（2）解：在△ABD與△DCE中，AB=DC∠B=∠C∴△ABD≌△DCE（SAS），∴∠BAD＝∠CDE，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）∴∠ADE＝55°．16．如圖，∠ABC＝90°，F(xiàn)A⊥AB于點A，點D在直線AB上，AD＝BC，AF＝BD．（1）如圖1，若點D在線段AB上，判斷DF與DC的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（2）如圖2，若點D在線段AB的延長線上，其他條件不變，試判斷（1）中結論是否成立，并說明理由．【解題過程】解：（1）DF＝CD，CD⊥DF．理由：∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°，在△ADF和△BCD中，AF=DB∠DAF=∠CBD∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，∵∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，∴CD⊥DF．（2）成立，理由如下：∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°，在△ADF和△BCD中，AF=DB∠DAF=∠CBD∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，∵∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，∴CD⊥DF．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當∠BDA＝115°時，∠BAD＝25°，∠DEC＝115°；（2）當DC等于多少時，△ABD與△DCE全等？請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)．若不可以，請說明理由．【解題過程】解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠C＝∠40°，∠BDA＝115°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°．∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣25°＝115°，故答案為：25，115；（2）當DC＝2時，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，在△ABD和△DCE中，∠ADB=∠DEC∠B=∠C∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）可以；當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，∵∠BDA＝110°時，∴∠ADC＝70°，∵∠C＝40°，∴∠DAE＝70°，∴∠AED＝180°﹣70°﹣40°＝70°∴△ADE的形狀是等腰三角形；∵當∠BDA的度數(shù)為80°時，∴∠ADC＝100°，∵∠C＝40°，∴∠DAE＝40°，∴∠DAE＝∠ADE∴△ADE的形狀是等腰三角形．18．在綜合實踐課上，老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展數(shù)學活動．已知，在等腰三角形紙片ABC中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如圖所示放置，頂點P在線段BA上滑動（點P不與A，B重合），三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點C，并與CB的夾角∠PCB＝α，斜邊PN交AC于點D．（1）特例感知當∠BPC＝110°時，α＝40°，點P從B向A運動時，∠ADP逐漸變小（填“大”或“小”）．（2）合作交流當AP等于多少時，△APD≌△BCP，請說明理由．（3）思維拓展在點P的滑動過程中，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出夾角α的大小；若不可以，請說明理由．【解題過程】解：（1）當∠BPC＝110°時，α＝40°，點P從B向A運動時，∠ADP逐漸變?。碛扇缦拢骸逤A＝CB，∠ACB＝120°，∴∠B＝30°，∴α＝180°﹣110°﹣30°＝40°；故答案為：40，?。唬?）當AP＝5時，△ADP≌△BPC，理由如下：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，∴∠A＝∠B＝30°，∵∠APC是△BPC的一個外角，∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α，∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，∴∠α＝∠APD，∵AP＝BC＝5，在△ADP和△BPC中，∠A=∠BAP=BC∴△ADP≌△BPC（ASA）；（3）∵△PCD是等腰三角形，∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，①當PC＝PD時，∴∠PCD＝∠PDC=1∴∠α＝45°；②當PD＝CD時，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，∴α＝90°；③當PC＝CD時，△PCD是等腰三角形，∴∠CDP＝∠CPD＝30°，∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即120°﹣α＝120°，∴α＝0°，此時點P與點B重合，點D和A重合，∵點P不與A，B重合，∴α＝0°，舍去，綜合所述：當△PCD是等腰三角形時，α＝45°或90°．19．已知：在△ABC中，AB＝AC，直線l過點A．（1）如圖1，∠BAC＝90°，分別過點B，C作直線l的垂線段BD，CE，垂足分別為D，E．①依題意補全圖1；②用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關系，并證明．（2）如圖2，當∠BAC≠90°時，設∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，點D，E在直線l上，直接用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關系為DE＝BD+CE．【解題過程】解：（1）①依題意補全圖形如圖1所示．②用等式表示DE，BD，CE之間的數(shù)量關系為DE＝BD+CE．證明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直線l過點A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之間的數(shù)量關系為DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一個外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEA∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案為：DE＝BD+CE．20．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關系．【解題過程】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）當MN旋轉到題圖（3）的位置時，AD，DE，BE所滿足的等量關系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．21．在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關系是DE＝BD+CE；（2）如圖2，當0＜α＜180時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應用：如圖3，當α＝120°時，點F為∠BAC平分線上的一點，且AB＝AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【解題過程】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等邊三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等邊三角形，∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等邊三角形．22．如圖，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點C放置在水平直線M