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廣西壯族自治區(qū)桂林市2025屆高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.記個(gè)兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間,設(shè)函數(shù),則不等式的解集為()A.2階區(qū)間 B.3階區(qū)間 C.4階區(qū)間 D.5階區(qū)間2.以下四個(gè)命題:①兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1;②在回歸分析中,可用相關(guān)指數(shù)的值判斷擬合效果,越小,模型的擬合效果越好;③若數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為4;④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù),其線性回歸方程,則“滿足線性回歸方程”是“,”的充要條件;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.13.已知為一條直線,為兩個(gè)不同的平面,則下列說法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則4.下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是()A. B. C. D.5.一個(gè)陶瓷圓盤的半徑為,中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形花紋,向盤中投入1000粒米后,發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒,據(jù)此估計(jì)圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1476.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長(zhǎng)為4的正三角形,俯視圖是由邊長(zhǎng)為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.7.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.8.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.9.已知是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),.若,則的解集是()A. B.C. D.10.已知集合,,則A. B.C. D.11.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,則實(shí)數(shù)a為()A. B.2 C. D.12.設(shè),滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是__.14.根據(jù)如圖所示的偽代碼,若輸入的的值為2,則輸出的的值為____________.15.已知數(shù)列遞增的等比數(shù)列,若,,則______.16.過動(dòng)點(diǎn)作圓:的切線,其中為切點(diǎn),若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則的最小值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)百年大計(jì),教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號(hào)召,不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度,為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長(zhǎng)班進(jìn)行專項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.(其中表示通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù),表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù))年份(屆)2014201520162017201841495557638296108106123(1)通過畫散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;(保留兩位有效數(shù)字)(2)若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人,預(yù)測(cè)2019年高考該??既嗣5娜藬?shù);(3)若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個(gè)人回校宣傳,在選取的5個(gè)人中再選取2人進(jìn)行演講,求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式:,參考數(shù)據(jù):,,,18.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當(dāng)時(shí),求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.19.(12分)在三棱柱中,,,,且.(1)求證:平面平面;(2)設(shè)二面角的大小為,求的值.20.(12分)直線與拋物線相交于,兩點(diǎn),且,若,到軸距離的乘積為.(1)求的方程;(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),當(dāng)面積最小時(shí),求直線的方程.21.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),).(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn),且恒成立,求滿足條件的的最小值(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
可判斷函數(shù)為奇函數(shù),先討論當(dāng)且時(shí)的導(dǎo)數(shù)情況,再畫出函數(shù)大致圖形,將所求區(qū)間端點(diǎn)值分別看作對(duì)應(yīng)常函數(shù),再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當(dāng)且時(shí),.令得.可得和的變化情況如下表:令,則原不等式變?yōu)?,由圖像知的解集為,再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成,所以解集為5階區(qū)間.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)自變量范圍,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題2、C【解析】
①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進(jìn)行判斷,
②根據(jù)相關(guān)指數(shù)的值的性質(zhì)進(jìn)行判斷,
③根據(jù)方差關(guān)系進(jìn)行判斷,
④根據(jù)點(diǎn)滿足回歸直線方程,但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn),而回歸直線必過樣本中心點(diǎn),可進(jìn)行判斷.【詳解】①若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,故①正確;
②用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯(cuò)誤;
③若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;
④因?yàn)辄c(diǎn)滿足回歸直線方程,但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn),即,不一定成立,而回歸直線必過樣本中心點(diǎn),所以當(dāng),時(shí),點(diǎn)必滿足線性回歸方程;因此“滿足線性回歸方程”是“,”必要不充分條件.故④錯(cuò)誤;
所以正確的命題有①③.
故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性,擬合性檢驗(yàn),兩個(gè)線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系,以及兩個(gè)變量的線性回歸方程,注意理解每一個(gè)量的定義,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】A.若,則或,故A錯(cuò)誤;B.若,則或故B錯(cuò)誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.4、C【解析】
首先求出函數(shù)的定義域,其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱,即可排除A、D,再根據(jù)時(shí)函數(shù)值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域?yàn)?,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,∵為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí),,∴B項(xiàng)不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力,一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng),屬于中檔題.5、B【解析】
結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型,屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體,前半部分是一個(gè)高為底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐,體積為故答案為A.點(diǎn)睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng);俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng),寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.7、A【解析】
投影即為,利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
利用函數(shù)奇偶性可求得在時(shí)的解析式和,進(jìn)而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù),.當(dāng)時(shí),,,為奇函數(shù),,由得:或;綜上所述:若,則的解集為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對(duì)稱區(qū)間的解析式;易錯(cuò)點(diǎn)是忽略奇函數(shù)在處有意義時(shí),的情況.10、D【解析】
因?yàn)?,,所以,,故選D.11、D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由實(shí)部為求得值.【詳解】解:在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,,即.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.12、D【解析】
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線:在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值.由得:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(shè)(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問題,是中檔題.14、【解析】
滿足條件執(zhí)行,否則執(zhí)行.【詳解】本題實(shí)質(zhì)是求分段函數(shù)在處的函數(shù)值,當(dāng)時(shí),.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查條件語(yǔ)句的應(yīng)用,此類題要做到讀懂算法語(yǔ)句,本題是一道容易題.15、【解析】
,建立方程組,且,求出,進(jìn)而求出的公比,即可求出結(jié)論.【詳解】數(shù)列遞增的等比數(shù)列,,,解得,所以的公比為,.
故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】解答:由圓的方程可得圓心C的坐標(biāo)為(2,2),半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7,|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得:4a+4b?7=0.∴a,b滿足的關(guān)系為:4a+4b?7=0.求|MN|的最小值,就是求|MO|的最小值.在直線4a+4b?7=0上取一點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小,由“垂線段最短”得,直線OM垂直直線4a+4b?7=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得:MN的最小值為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)117人;(3)分布列見解析,【解析】
(1)首先求得和,再代入公式即可列方程,由此求得關(guān)于的線性回歸方程;(2)根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式,計(jì)算可得人數(shù);(3)和被選中的人數(shù)分別為2和3,利用超幾何分布分布列的計(jì)算公式,計(jì)算出的分布列,并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題,所以線性回歸方程為(若第一問求出.)(2)當(dāng)時(shí),所以預(yù)測(cè)2019年高考該??既朊5娜藬?shù)約為117人(3)由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3,進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的所有可能取值為0,1,2,,的分布列為012【點(diǎn)睛】本小題主要考查平均數(shù)有關(guān)計(jì)算,考查回歸直線方程的計(jì)算,考查期望的計(jì)算,考查超幾何分布和數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo),代入,求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),,,則在的切線方程為;(2)證明:令,解得或,①當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴函數(shù)無極值;②當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴;③當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴,綜上,函數(shù)的極大值恒大于0.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)要證明平面平面,只需證明平面即可;(2)取的中點(diǎn)D,連接BD,以B為原點(diǎn),以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,分別計(jì)算平面的法向量為與平面的法向量為,利用夾角公式計(jì)算即可.【詳解】(1)在中,,所以,即.因?yàn)?,,,所?所以,即.又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)由題意知,四邊形為菱形,且,則為正三角形,取的中點(diǎn)D,連接BD,則.以B為原點(diǎn),以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量為,且,.由得取.由四邊形為菱形,得;又平面,所以;又,所以平面,所以平面的法向量為.所以.故.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題,在利用向量法時(shí),關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)要寫準(zhǔn)確,本題是一道中檔題.20、(1);(2)【解析】
(1)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),由距離之積為16,可得.利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算,將轉(zhuǎn)化為.再利用兩點(diǎn)均在拋物線上,即可求得p的值,從而求出拋物線的方程;(2)設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,由韋達(dá)定理發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點(diǎn),將面積用參數(shù)t表示,求出其最值,并得出此時(shí)的直線方程.【詳解】解:(1)由題設(shè),因?yàn)?,到軸的距離的積為,所以,又因?yàn)?,,,所以拋物線的方程為.(2)因?yàn)橹本€與拋物線兩個(gè)公共點(diǎn),所以的斜率不為,所以設(shè)聯(lián)立,得,即,,即直線恒過定點(diǎn),所以,當(dāng)時(shí),面積取得最小值,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,直線與拋物線相交的問題,其中垂直條件的轉(zhuǎn)化,直線過定點(diǎn)均為該題的關(guān)鍵,屬
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