專(zhuān)題25 三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)【考點(diǎn)精講】 帶解析

專(zhuān)題25三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)專(zhuān)題25三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)精講知識(shí)精講考點(diǎn)1：三角形的相關(guān)概念與計(jì)算1．三角形的邊角關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.（3）三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.2．三角形分類(lèi)（1）等邊三角形：三邊都相等的三角形.（2）等腰三角形：有兩條邊相等的三角形.（3）在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.【例1】（2021·遼寧）一副三角板如圖所示擺放，若，則的度數(shù)是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【答案】B【分析】由三角形的外角性質(zhì)得到∠3=∠4=35°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，∠A=90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，∴∠3=∠4=35°，∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，故選：B．【例2】（2021·湖南婁底市）是某三角形三邊的長(zhǎng)，則等于（）A． B． C．10 D．4【答案】D【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：是三角形的三邊，，解得：，，故選：D．方法技巧方法技巧三角形三邊關(guān)系“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的應(yīng)用（1）在實(shí)際應(yīng)用中，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說(shuō)明能組成三角形.（2）在實(shí)際應(yīng)用中，已知兩邊，則第三邊的取值范圍為：兩邊之差<第三邊<兩邊之和.（3）所有通過(guò)周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形.針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1．（2021·湖北）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)在上，其中，，，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)AB與EF交于點(diǎn)M，根據(jù)，得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)AB與EF交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，，∴，∴,∵,∴=，故選：A．．2．（2021·安徽）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中，，，AB與DF交于點(diǎn)M．若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】由圖可得∵，∴∴故選：C．3．（2020?紹興）長(zhǎng)度分別為2，3，3，4的四根細(xì)木棒首尾相連，圍成一個(gè)三角形（木棒允許連接，但不允許折斷），得到的三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】利用三角形的三邊關(guān)系列舉出所圍成三角形的不同情況，通過(guò)比較得到結(jié)論．【詳解】解：①長(zhǎng)度分別為5、3、4，能構(gòu)成三角形，且最長(zhǎng)邊為5；②長(zhǎng)度分別為2、6、4，不能構(gòu)成三角形；③長(zhǎng)度分別為2、7、3，不能構(gòu)成三角形；④長(zhǎng)度分別為6、3、3，不能構(gòu)成三角形；綜上所述，得到三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5．故選：B．考點(diǎn)2：三角形的角平分線(xiàn)，中線(xiàn)，高，中位線(xiàn)，內(nèi)心，外心（1）三角形的高：從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對(duì)的邊BC所在的直線(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn)，垂足為D，所得線(xiàn)段AD叫做△ABC的邊BC上的高。三角形三邊的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。（2）三角形的中線(xiàn)：連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D，所得線(xiàn)段AD叫做△ABC的邊BC上的中線(xiàn)。三角形三邊的中線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的重心。（3）三角形的角平分線(xiàn)：畫(huà)∠A的平分線(xiàn)AD，交∠A所對(duì)的邊BC于點(diǎn)D，所得線(xiàn)段AD叫做△ABC的角平分線(xiàn)。三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。【例3】如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線(xiàn)，AF是中線(xiàn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF【分析】根據(jù)三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高的概念判斷．【解答】解：∵AF是△ABC的中線(xiàn)，∴BF＝CF，A說(shuō)法正確，不符合題意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B說(shuō)法正確，不符合題意；∵AE是角平分線(xiàn)，∴∠BAE＝∠CAE，C說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D說(shuō)法正確，不符合題意；故選：C．針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，△ABC中，∠1＝∠2，G為AD中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且CF⊥AD于H，下列判斷，其中正確的個(gè)數(shù)是（）①BG是△ABD中邊AD上的中線(xiàn)；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分線(xiàn)，也是△ABE中∠BAE的角平分線(xiàn)；③CH既是△ACD中AD邊上的高線(xiàn)，也是△ACH中AH邊上的高線(xiàn)．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)三角形的高，中線(xiàn)，角平分線(xiàn)的定義可知．【解答】解：①G為AD中點(diǎn)，所以BG是△ABD邊AD上的中線(xiàn)，故正確；②因?yàn)椤?＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分線(xiàn)，AG是△ABE中∠BAE的角平分線(xiàn)，故錯(cuò)誤；③因?yàn)镃F⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD邊上的高線(xiàn)，也是△ACH中AH邊上的高線(xiàn)，故正確．故選：C．考點(diǎn)3：三角形的中位線(xiàn)定理1．三角形的中位線(xiàn):連接三角形兩邊的中點(diǎn)，所得線(xiàn)段叫做該三角形的中位線(xiàn).2．三角形中位線(xiàn)定理:三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半.【例4】（2020?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC的中點(diǎn)，S四邊形BCED＝15，則S△ABC＝（）A．30 B．25 C．22.5 D．20【分析】先根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，證得：DE∥BC，DE=12BC，進(jìn)而得出△ADE∽△【解析】∵D、E分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=12∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（DE∴S△ADE：S四邊形BCED＝1：3，即S△ADE：15＝1：3，∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故選：D．方法技巧方法技巧三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1．（2020?遼陽(yáng)）如圖，在△ABC中，M，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，連接ME并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．若BC＝4，則CD的長(zhǎng)為．【分析】依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，即可得到MN=12BC＝2，MN∥BC，依據(jù)△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD＝【解析】∵M(jìn)，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線(xiàn)，∴MN=12BC＝2，MN∥∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，∵點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD＝MN＝2．故答案為：2．考點(diǎn)4：多邊形的內(nèi)角和與外角和1．多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°.2．多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°.3．設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)為.【例5】（2021·江蘇揚(yáng)州市）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故選D．方法技巧方法技巧（1）多邊形的內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°;（2）多邊形的外角和：360°.針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1．（2020?廣東）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°,則該多邊形的邊數(shù)為?()A．4

B．5

C．6

D．7【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式(n-2)×180°，即可解答【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得(n-2)×180°=540°,解得n=5,故選B.故選：B．2．（2020?北京）正五邊形的外角和為（）A．180° B．360° C．540° D．720°【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°，即可求解．【解析】任意多邊形的外角和都是360°，故正五邊形的外角和的度數(shù)為360°．故選：B．3．（2021·浙江中考真題）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個(gè)如