專題2.3 線段垂直平分線的性質(zhì)和判定-重難點(diǎn)題型（學(xué)生版）八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（蘇科版）

專題2.3線段垂直平分線的性質(zhì)和判定-重難點(diǎn)題型【蘇科版】【知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段】【例1】（2021春?萊陽市期末）如圖，△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BF＝6，CF＝2，則AC的長(zhǎng)為．【變式1-1】（2020秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．△ABC的周長(zhǎng)為19，△ACE的周長(zhǎng)為13，則AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．12 D．16【變式1-2】（2021春?高新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，連接AE、AF，若△AEF的周長(zhǎng)為2，則BC的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．無法確定【變式1-3】（2021春?乾縣期末）如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點(diǎn)F、G兩點(diǎn)，連接BE、BG．若△BEG的周長(zhǎng)為16，GE＝1．則AC的長(zhǎng)為（）A．13 B．14 C．15 D．16【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】【例2】（2021?越秀區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接AD，AD將∠CAB分成兩個(gè)角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．75° C．80° D．85°【變式2-1】（2021春?建平縣期末）如圖，已知△ABC中，∠B＝50°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線MN分別交AB，BC于點(diǎn)M、N．若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則∠APC的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．120°【變式2-2】（2021?市南區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，若∠BOC＝100°，則這兩條垂直平分線相交所成銳角α的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．80°【變式2-3】（2021春?安國(guó)市期末）如圖，在△ABC中，I是三角形角平分線的交點(diǎn)，O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，則∠AIB的大小為（）A．160° B．140° C．130° D．125°【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用】【例3】（2020秋?甘井子區(qū)期末）如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動(dòng)信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建在（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【變式3-1】（2020秋?偃師市期末）元旦聯(lián)歡會(huì)上，同學(xué)們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學(xué)距離相等的位置放一個(gè)凳子，誰先搶到凳子誰獲勝．如果將A、B、C三名同學(xué)所在位置看作△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，那么凳子應(yīng)該放在△ABC的（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三邊上高的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【變式3-2】（2021春?寧陽縣期末）如圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)倉(cāng)，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉(cāng)的位置應(yīng)選在（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)【變式3-3】（2021春?惠來縣期末）《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于促進(jìn)農(nóng)民增加收入若干政策的意見》中提出“進(jìn)一步精簡(jiǎn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)機(jī)構(gòu)和財(cái)政供養(yǎng)人員，積極穩(wěn)妥地調(diào)整鄉(xiāng)鎮(zhèn)建制，有條件的可實(shí)行并村”．《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于積極發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)扎實(shí)推進(jìn)社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)的若干意見》中明確提出“治理農(nóng)村人居環(huán)境，搞好村莊治理規(guī)劃和試點(diǎn)，節(jié)約農(nóng)村建設(shè)用地”．以上兩個(gè)政策出臺(tái)后，山東陸陸續(xù)續(xù)開展了村莊合并某地興建的幸福小區(qū)的三個(gè)出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計(jì)劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個(gè)電動(dòng)車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個(gè)出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在（）A．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處 B．三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)處 C．三角形三條高線的交點(diǎn)處 D．三角形三條中線的交點(diǎn)處【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)綜合】【例4】（2021春?平頂山期中）如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點(diǎn)E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分線DN交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)N，DF⊥AC于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M．求證：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．【變式4-1】（2021春?高州市期末）如圖，在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，過點(diǎn)A作BC的平行線AF交CD于F，延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)E．求證：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．【變式4-2】（2021春?蓮湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，連接AE，BD垂直平分AE，垂足為F，交AC于點(diǎn)D，連接DE．（1）若△ABC的周長(zhǎng)為18，△DEC的周長(zhǎng)為6，求AB的長(zhǎng)．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度數(shù)．【變式4-3】（2020秋?澠池縣期末）在△ABC中，AB的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線l2交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，△ADE的周長(zhǎng)為6．（1）AD與BD的數(shù)量關(guān)系為．（2）求BC的長(zhǎng)．（3）分別連接OA，OB，OC，若△OBC的周長(zhǎng)為16，求OA的長(zhǎng)．【知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點(diǎn)需要找兩個(gè)）【題型5線段垂直平分線的判定】【例5】（2021秋?儀征市月考）如圖．AB＝AC，MB＝MC．求證：直線AM是線段BC的垂直平分線．【變式5-1】（2021?沭陽縣校級(jí)開學(xué)）如圖．△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)P、Q、R分別在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求證：點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．【變式5-2】（2021秋?博白縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【變式5-3】（2020秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于點(diǎn)M交BE于點(diǎn)G，AD平分∠MAC，交BC于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F．求證：線段BF垂直平分線段AD．【題型6線段垂直平分線的作法】【例6】（2020秋?盤龍區(qū)期末）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以相同的長(zhǎng)（大于12AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接CD．已知△CDE的面積比△CDB的面積小5，則△ADEA．5 B．4 C．3 D．2【變式6-1】（2021春?碑林區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠C＞∠B、請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AB上找一點(diǎn)P，使∠PCB＝∠B．（保留作圖痕跡，不寫作法．）【變式6-2】（2021?碑林區(qū)校級(jí)模擬）尺規(guī)作圖：如圖，已知△AB