專題13.8 軸對稱章末重難點(diǎn)突破（學(xué)生版）2022年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（人教版）

專題13.8軸對稱章末重難點(diǎn)突破【人教版】【考點(diǎn)1關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】【例1】（2021秋?禹州市期中）在平面直角坐標(biāo)系中，M（2a﹣b，a+5），N（2b﹣1，b﹣a）（1）若M、N關(guān)于x軸對稱，求a、b的值．（2）若M、N關(guān)于y軸對稱，求a、b的值．【變式1-1】（2021秋?潮州期末）若點(diǎn)P（2a﹣1，3）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為Q（3，b），則點(diǎn)M（a，b）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）【變式1-2】（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）小紅同學(xué)誤將點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)次序顛倒，寫成A（a，b），另一學(xué)生誤將點(diǎn)B的坐標(biāo)寫成關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，寫成B（﹣b，﹣a）；則A，B兩點(diǎn)原來的位置關(guān)系是（）A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．A和B重合 D．以上都不對【變式1-3】（2021秋?陽信縣期末）已知點(diǎn)P（﹣1﹣2a，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)和點(diǎn)Q（3，b）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)相同，則A（a，b）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣5） B．（1，5） C．（﹣1，5） D．（﹣1，﹣5）【考點(diǎn)2軸對稱的性質(zhì)與運(yùn)用】【例2】（2021春?青川縣期末）如圖，P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別畫出點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2．交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．若P1P2＝5cm，則△PMN的周長為．【變式2-1】（2021春?長春期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB外一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)R落在線段MN的延長線上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，則線段QR的長為．【變式2-2】（2021?延邊州二模）如圖，∠AOB＝40°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)C，D分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對稱點(diǎn)，連接CD分別交OA，OB于點(diǎn)E、F．則∠EPF＝．【變式2-3】（2021春?競秀區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)C和點(diǎn)P關(guān)于OA對稱，點(diǎn)P關(guān)于OB對稱點(diǎn)是D，連接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，則∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度數(shù)．（2）若CD＝4，則△PMN的周長為．【考點(diǎn)3軸對稱變換（作圖）】【例3】（2021秋?東城區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸，如果△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，4），△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形是△A1B1C1．（1）請?jiān)谟疫叺闹苯亲鴺?biāo)系中畫出△A1B1C1；（2）若△A1B1C1關(guān)于直線l的對稱圖形是△A2B2C2，請繼續(xù)在右邊直角的坐標(biāo)系中畫出△A2B2C2，并寫出它的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式3-1】（2021秋?德清縣期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1．（2）寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)．【變式3-2】（2021春?文圣區(qū)期末）已知：如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A1B1C1．（2）在直線MN上找點(diǎn)P，使|PB﹣PA|最大，在圖形上畫出點(diǎn)P的位置，并直接寫出|PB﹣PA|的最大值．【變式3-3】（2021春?五華區(qū)校級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的位置如圖所示．（1）頂點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)A'（，），頂點(diǎn)C先向右平移3個單位，再向下平移2個單位后的坐標(biāo)C'（，）；（2）將△ABC的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)分別乘﹣1得△DEF，請你直接畫出圖形；（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中有一點(diǎn)P，使得△ABC與△PBC全等，這樣的P點(diǎn)有個．（A點(diǎn)除外）【考點(diǎn)4設(shè)計(jì)軸對稱圖案】【例4】（2021春?撫州期末）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，將圖中的2個小正方形涂上陰影，若再從其余小正方形中任選一個也涂上陰影，使得整個陰影部分組成的圖形是軸對稱圖形，那么符合條件的小正方形共有（）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個【變式4-1】（2021?寧波模擬）請?jiān)谌鐖D四個3×3的正方形網(wǎng)格中，畫出與格點(diǎn)三角形（陰影部分）成軸對稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，并將所畫三角形涂上陰影．（注：所畫的四個圖不能重復(fù)）【變式4-2】（2021春?禪城區(qū)期末）觀察設(shè)計(jì)：（1）觀察如圖①、②中陰影部分構(gòu)成的圖案，請寫出這2個圖案都具有的2個共同特征；（2）借助后面的空白網(wǎng)格，請?jiān)O(shè)計(jì)2個新的圖案，使該圖案同時具有你在解答（1）中所寫出的2個共同特征．（注意：新圖案與已有的2個圖案不能重合）【變式4-3】（2021春?蘭州期末）如圖，是由4×4個大小完在一樣的小正方形組成的方格紙，其中有兩個小正方形是涂黑的，請?jiān)龠x擇三個小正方形并涂黑，使圖中涂黑的部分成為軸對稱圖形．并畫出它的一條對稱軸【考點(diǎn)5軸對稱變換（點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律）】【例5】（2021春?偃師市期末）如圖，彈性小球從點(diǎn)P（0，1）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動，每當(dāng)小球碰到正方形OABC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到正方形的邊時的點(diǎn)為P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的邊時的點(diǎn)為P2，…，第n次碰到正方形的邊時的點(diǎn)為Pn，則點(diǎn)P2020的坐標(biāo)是（）A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3）【變式5-1】（2021秋?長白縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對△ABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若原來點(diǎn)A的坐標(biāo)是（a，b），經(jīng)過第2019次變換后所得的點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（﹣a，b） B．（﹣a，﹣b） C．（a，﹣b） D．（a，b）【變式5-2】（2020?鹽城模擬）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A（1，1），B（3，1），規(guī)定把正方形ABCD“先沿x軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過2019次變換后，正方形ABCD的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣2018，﹣3） B．（﹣2018，3） C．（﹣2016，﹣3） D．（﹣2016，3）【變式5-3】（2021?九江模擬）如圖，已知平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），C（1.6，0.8）．若將平行四邊形先沿著y軸進(jìn)行第一次軸對稱變換，所得圖形再沿著x軸進(jìn)行第二次軸對稱變換，軸對稱變換的對稱軸遵循y軸、x軸、y軸、x軸…的規(guī)律進(jìn)行，則經(jīng)過第2018次變換后，平行四邊形頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（﹣0.4，1.2） B．（﹣0.4，﹣1.2） C．（1.2，﹣0.4） D．（﹣1.2，﹣0.4）【考點(diǎn)6軸對稱最短路徑問題】【例6】（2021?彭州市校級開學(xué)）如圖，∠AOB＝20°，點(diǎn)M、N分別是邊OA、OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是OB、OA上的動點(diǎn)，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時，則β﹣α的值為（）A．10o B．20o C．40o D．50o【變式6-1】（2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF分別交AB、AC邊于點(diǎn)E、F，點(diǎn)K為EF上一動點(diǎn)，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長度（）A．EF B．AB C．AC D．BC【變式6-2】（2021春?亭湖區(qū)校級期末）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）A．55° B．56° C．57° D．58°【變式6-3】（2021秋?播州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別是線段BD，BC上的動點(diǎn)，則CE+EF的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)7線段垂直平分線的應(yīng)用】【例7】（2021秋?饒平縣校級期中）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，l1與l2相交于點(diǎn)O，△ADE的周長為6cm．∠BAC＝110°（1）求BC的長及∠DAE的度數(shù)；（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為16cm，求OA的長．【變式7-1】（2021秋?博白縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【變式7-2】（2021秋?百色期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長．【變式7-3】（2021春?萍鄉(xiāng)期末）如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．【考點(diǎn)8等腰三角形的性質(zhì)綜合】【例8】（2021春?廣饒縣期末）如圖，△AA1B中，AB＝A1B，∠B＝20°，A2，A3，A4，A5，…An都在AA1的延長線上，B1，B2，B3，B4…分別在A1B，A2B1，A3B2，A4B3，…上，且滿足A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，A4B4＝A4A5，…，依此類推，∠B2019A2020A2019＝．【變式8-1】（2021秋?安陸市期末）如圖，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面內(nèi)一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條【變式8-2】（2021秋?黃陂區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分線于D，E為AC的中點(diǎn)，則圖中兩個陰影部分面積之差的最大值為（）A．1.5 B．3 C．4.5 D．9【變式8-3】（2021春?項(xiàng)城市校級期末）如圖①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）圖中有幾個等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？（3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．【考點(diǎn)9含30°直角三角形】【例9】（2021秋?新豐縣期中）如圖，已知△ABC和△CDE均為等邊三角形，且點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，連接AD、BE，交CE和AC分別于G、H點(diǎn)，連接GH．（1）請說出AD＝BE的理由；（2）試說出△BCH≌△ACG的理由；（3）試猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以說明．【變式9-1】（2021秋?新城區(qū)校級期中）如圖，下午2時一艘輪船從A處向正北方向航行，5時達(dá)到B處，繼續(xù)航行到達(dá)D處時發(fā)現(xiàn)，燈塔C恰好在正西方向，從A處、B處望燈塔C的角度分別是∠A＝30°，∠DBC＝60°，已知輪船的航行速度為24海里/時，求AD的長度．【變式9-2】（2021秋?五常市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F．若CD＝3AE，CF＝6，則AC的長為．【變式9-3】（2019秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥AB分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)E做EF⊥DE，交線段BC的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：CE＝CF；（2）若BD=13CE，AB＝8，求線段【考點(diǎn)10等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合】【例10】（2021秋?雨花區(qū)校級月考）已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④【變式10-1】（2021秋?五河縣期末）如圖，過等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）求證：PD＝DQ；（2）若△ABC的邊長為1，求DE的長．【變式10-2】（2021?煙臺）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．