專題10 因式分解的應(yīng)用 帶解析

2022-2023學(xué)年蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題10因式分解的應(yīng)用一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?江陰市期中）若一個(gè)正整數(shù)能表示成另兩個(gè)正整數(shù)的平方差，即x＝a2﹣b2（其中a、b、x為正整數(shù)），則稱這個(gè)正整數(shù)為完美數(shù)．下列各數(shù)中不是完美數(shù)的是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019解：設(shè)k是正整數(shù)，∴（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，∴除1以外，所有的奇數(shù)都是完美數(shù)，∴B，D選項(xiàng)都是完美數(shù)，不符合題意；∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，∴除4以外，所有能被4整除的偶數(shù)都是完美數(shù)，∴C選項(xiàng)是完美數(shù)，不符合題意，∵2022既不是奇數(shù)也不能被4整除，∴2022不是完美數(shù)，符合題意．故選：A．2．（2分）（2022春?濟(jì)南期末）已知a，b，c，d都是正數(shù)，如果M＝（a+b+c）（b+c+d），N＝（a+b+c+d）（b+c），那么M，N的大小關(guān)系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不確定解：設(shè)A＝a+b+c，B＝b+c，∵a，b，c，d都是正數(shù)，∴A＞B，則M＝（a+b+c）（b+c+d）＝A（B+d）＝AB+Ad，N＝（a+b+c+d）（b+c）＝（A+d）B＝AB+Bd，∴M﹣N＝AB+Ad﹣（AB+Bd）＝（A﹣B）d，而A＞B，∴（A﹣B）d＞0，∴M＞N．故選A．3．（2分）（2021秋?江油市期末）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2023＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2+x3﹣x2﹣2x+2023＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2023＝x﹣x2﹣2x+2023＝﹣x2﹣x+2023＝﹣（x2+x）+2023＝﹣1+2023＝2022．故選：C．4．（2分）（2021秋?綦江區(qū)期末）已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，a2+b2≠c2，是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），∴c2（a2﹣b2）﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0，∴（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，∴a2﹣b2＝0或c2﹣（a2+b2）＝0，∴a2＝b2或c2＝（a2+b2），∵a2+b2≠c2，∴a2＝b2，∴a＝b（舍去負(fù)值），∴△ABC為等腰三角形．故選：B．5．（2分）（2021春?渠縣校級(jí)期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，則多項(xiàng)式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（1999x+2000﹣1999x﹣2001）2+（1999x+2000﹣1999x﹣2002）2+（1999x+2001﹣1999x﹣2002）2＝1+4+1＝6．∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝6×＝3．故選：D．6．（2分）（2020秋?黔江區(qū)期末）248﹣1能被60到70之間的某兩個(gè)整數(shù)整除，則這兩個(gè)數(shù)是（）A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，故選：B．7．（2分）（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，則多項(xiàng)式a2b+ab2﹣a﹣b的值為（）A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣18解：∵a+b＝﹣3，ab＝7，∴a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）＝（7﹣1）×（﹣3）＝﹣18，故選：D．8．（2分）（2022秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末）當(dāng)m為自然數(shù)時(shí)，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪個(gè)數(shù)整除（）A．5 B．6 C．7 D．8解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5+3）（4m+5﹣3）＝（4m+8）（4m+2）＝8（m+2）（2m+1），∴（4m+5）2﹣9一定能被8整除；故選：D．9．（2分）（2022春?寧遠(yuǎn)縣月考）對(duì)于任何整數(shù)a，多項(xiàng)式（2a+5）2﹣5都能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被a整除解：（2a+5）2﹣5＝4a2+20a+25﹣5＝4a2+20a+20＝4（a2+5a+5），故選：B．10．（2分）（2022春?安鄉(xiāng)縣期中）現(xiàn)在生活中很多地方都需要安全又能記住的密碼，但很多人還是直接用生日來設(shè)計(jì)密碼，這存在極大的安全隱患．小涵的生日是12月3日，他想用剛學(xué)的因式分解來設(shè)計(jì)家中的電腦密碼．若對(duì)于多項(xiàng)式（x4﹣y4），因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若x＝10，y＝6，則（x﹣y）＝4，（x+y）＝16，（x2+y2）＝136，于是可將“416136”作為密碼．對(duì)于多項(xiàng)式9x3﹣xy2，小涵用自己的生日月份作為x的值，用生日日期作為y的值，則產(chǎn)生的密碼不可能是（）A．123933 B．339321 C．333912 D．391233解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x﹣y）（3x+y）；∵小涵用自己的生日月份作為x的值，用生日日期作為y的值，∴x＝12，y＝3，∴3x﹣y＝33，3x+y＝39，當(dāng)x（3x+y）（3x﹣y）時(shí)，產(chǎn)生的密碼為123933，為選項(xiàng)A；當(dāng)（3x﹣y）（3x+y）x時(shí)，產(chǎn)生的密碼為333912，為選項(xiàng)C；當(dāng)（3x+y）x（3x﹣y）時(shí)，產(chǎn)生的密碼為391233，為選項(xiàng)D；無法產(chǎn)生選項(xiàng)B．故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?興化市月考）若a+b＝3，ab＝﹣1，則代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值為﹣9．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，∵a+b＝3，ab＝﹣1，∴ab（a+b）2＝﹣1×32＝﹣9．故答案為：﹣9．12．（2分）（2022春?柯橋區(qū)期中）若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么就稱這個(gè)正整數(shù)為智慧數(shù)．如，52﹣32＝16，則16是一個(gè)智慧數(shù)，5和3稱為16的一對(duì)智慧分解數(shù)．則2019的智慧分解數(shù)有338和335，1010和1009．解：設(shè)2019＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．其中a，b是正整數(shù)，且a＞b．∵2019＝673×3＝2019×1，∴或．∴或．∴2019的智慧分解數(shù)有338和335及1010和1009．故答案為：338和335及1010和1009．13．（2分）（2022春?溫江區(qū)校級(jí)期中）如果3個(gè)數(shù)位相同的自然數(shù)m，n，k滿足：m+n＝k，且k各數(shù)位上的數(shù)字全部相同，則稱數(shù)m和數(shù)n是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”．例如：因?yàn)?5，63，88都是兩位數(shù)，且25+63＝88，則25和63是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”．再如：因?yàn)?52，514，666都是三位數(shù)，且152+514＝666，則152和514是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”．（1）87的“黃金搭檔數(shù)”是12；（2）已知兩位數(shù)s和兩位數(shù)t的十位數(shù)字相同，若s和t是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”，并且s與t的和能被7整除，則s的值38或39．解：（1）∵87+12＝99，87，12，99都是兩位數(shù)，∴87和12是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”；由上可知，87的“黃金搭檔數(shù)：12．故答案為：12．（2）∵s和t的是兩位數(shù)，s和t是一對(duì)“黃金搭檔數(shù)”，∴s和t的和也是兩位數(shù)且各位數(shù)上的數(shù)字全部相同，∵s與t的和能被7整除，∴s和t的和為77，∵s和t的十位數(shù)字相同，77＝38+39，∴s為38或39．故答案為：38或39．14．（2分）（2022春?包河區(qū)期中）若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足8a2+7c2＝16ab，9b2+4d2＝8cd，則a+b+c+d＝0．解：∵8a2+7c2＝16ab，9b2+4d2＝8cd，∴8a2﹣16ab+9b2+7c2﹣8cd+4d2＝0，8（a﹣b）2+b2+3c2+4（c﹣d）2＝0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a﹣b＝b＝c＝c﹣d＝0，∴a＝b＝c＝d＝0，∴a+b+c+d＝0．故答案為：0．15．（2分）（2021秋?仁壽縣期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于3．解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]＝×6＝3．故答案為：3．16．（2分）（2022春?洪澤區(qū)期中）一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為m、n的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16，面積為6，則m2n+mn2的值為48．解：∵一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為m、n的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16，面積為6，∴2（m+n）＝16，mn＝6，即m+n＝8，mn＝6，則原式＝mn（m+n）＝48，故答案為：4817．（2分）（2022春?東鄉(xiāng)區(qū)期中）計(jì)算：12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝2016．解：∵12﹣22﹣32+42＝4，52﹣62﹣72+82＝4，…，20132﹣20142﹣20152+20162＝4，將計(jì)算式依次分組，每4個(gè)數(shù)為一組，即n2﹣（n+1）2﹣（n+2）2+（n+3）2，＝﹣（n+1﹣n）（n+1+n）+（n+3+n+2）（n+3﹣n﹣2），＝﹣2n﹣1+2n+5，＝4，∴每組都等于4，∴12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝2016，故答案為：2016．18．（2分）（2021春?井研縣期末）定義：對(duì)于四位自然數(shù)m，若其千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為7，百位數(shù)字與十位數(shù)字之和也等于7，則稱這個(gè)四位自然數(shù)m為“七巧數(shù)”．例如：3254是“七巧數(shù)”，因?yàn)?+4＝7，2+5＝7，所以3254是“七巧數(shù)”；1456不是“七巧數(shù)”，因?yàn)?+6＝7，4+5≠7，所以1456不是“七巧數(shù)”．（1）若一個(gè)“七巧數(shù)”的千位數(shù)字為a，則其個(gè)位數(shù)字可以表示為7﹣a；（用含a的代數(shù)式表示）（2）若“七巧數(shù)”m的千位數(shù)字加上十位數(shù)字的和，是百位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字的差的3倍，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的“七巧數(shù)”2615或4523或6431．．解：（1）根據(jù)題中的新定義知：個(gè)位數(shù)為7﹣a，故答案為：7﹣a．（2）設(shè)千位數(shù)是a，百位數(shù)是b，則個(gè)位數(shù)是（7﹣a），十位數(shù)是（7﹣b），由題意得：a+7﹣b＝3（b﹣7+a），即：a+2b＝14，∵a是1﹣7之間的正整數(shù)，b是0﹣7之間的正整數(shù)，∴當(dāng)a＝2時(shí)，b＝6，a＝4時(shí)，b＝5，當(dāng)a＝6時(shí)，b＝4，所以m的值為：2615或4523或6431．19．（2分）（2022秋?萬(wàn)全區(qū)期末）已知x2﹣2x﹣1＝0，則3x2﹣6x＝3；則2x3﹣7x2+4x﹣2019＝﹣2022．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，2x2﹣4x＝2，∴3x2﹣6x＝3（x2﹣2x）＝3．2x3﹣7x2+4x﹣2019＝x（2x2﹣7x）+4x﹣2019＝x（2x2﹣4x﹣3x）+4x﹣2019＝x（2﹣3x）+4x﹣2019＝2x﹣3x2+4x﹣2019＝﹣3x2+6x﹣2019＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019＝﹣3×1﹣2019＝﹣2022．故答案為：3，﹣2022．20．（2分）（2021秋?龍鳳區(qū)期末）已知a，b，c是△ABC的三邊，b2+2ab＝c2+2ac，則△ABC的形狀是等腰三角形．解：b2+2ab＝c2+2ac，a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，（a+b）2＝（a+c）2，a+b＝a+c，b＝c，所以此三角形是等腰三角形，故答案為：等腰三角形．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?萊陽(yáng)市期中）如圖，將一塊邊長(zhǎng)為acm的正方形紙片的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為bcm（b＜）的小正方形．試用含a，b的代數(shù)式表示剩余部分的面積，并用分解因式法求當(dāng)a＝9.7cm，b＝0.15cm時(shí)，剩余部分的面積．解：剩余部分的面積是（a2﹣4b2）cm2．當(dāng)a＝9.7cm，b＝0.15cm時(shí)，剩余部分的面積＝a2﹣4b2，＝（a+2b）（a﹣2b）＝（9.7+2×0.15）×（9.7﹣2×0.15）＝10×9.4＝94（cm2）．22．（8分）（2022春?吳江區(qū)期中）小剛同學(xué)動(dòng)手剪了如圖①所示的正方形與長(zhǎng)方形紙片若干張．（1）他用1張1號(hào)、1張2號(hào)和2張3號(hào)卡片拼出一個(gè)新的圖形（如圖②）．根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系寫出一個(gè)你所熟悉的乘法公式，這個(gè)乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如果要拼成一個(gè)長(zhǎng)為（a+2b），寬為（a+b）的大長(zhǎng)方形，則需要2號(hào)卡片2張，3號(hào)卡片3張；（3）當(dāng)他拼成如圖③所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大長(zhǎng)方形的面積可以把多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式，其結(jié)果是（a+2b）（a+b）；（4）小剛又選取了2張1號(hào)卡片，3張2號(hào)卡片和7張3號(hào)卡片拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，則此長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為6a+8b．解：（1）這個(gè)乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由如圖③可得要拼成一個(gè)長(zhǎng)為（a+2b），寬為（a+b）的大長(zhǎng)方形，則需要2號(hào)卡片2張，3號(hào)卡片3張，故答案為：2，3；（3）由圖③可知矩形面積為（a+2b）?（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故答案為：（a+2b）（a+b）；（4）長(zhǎng)方形的面積為2a2+3b2+7ab＝（2a+b）（a+3b），∴周長(zhǎng)為：2[（2a+b）+（a+3b）]＝6a+8b，故答案為：6a+8b．23．（9分）（2022春?北海期末）一般地，我們把如a2﹣2ab+b2及a2﹣2ab+b2的多項(xiàng)式叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式：x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．再如：求代數(shù)式x2+4x﹣5的最小值．因?yàn)閤2+4x﹣5＝x2+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9且（x+2）2≥0所以，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣9．根據(jù)以上材料，回答下列問題：（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3）；（2）代數(shù)式x2+2x+3的最小值是2；（3）試說明：無論x、y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．解：（1）a2﹣2a﹣3＝（a2﹣2a+1）﹣4＝（a﹣1）2﹣22＝（a﹣1+2）（a﹣1﹣2）＝（a+1）（a﹣3）．故答案為：（a+1）（a﹣3）（2）∵x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．且（x+1）2≥0．∴（x+1）2+2≥2．∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2+2x+3有最小值，最小值是2．故答案為：2．（3）原式＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1．∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1．∴無論x、y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．24．（9分）（2022春?禪城區(qū)期末）[閱讀材料]“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法．比如：在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí)，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問題．[方法應(yīng)用]根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：（1）由圖2可得等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab；由圖3可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用圖3得到的結(jié)論，解決問題：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝155；（3）如圖4，若用其中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）長(zhǎng)方形（無空隙、無重疊地拼接），則x+y+z＝9；（4）如圖4，若有3張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，4張邊長(zhǎng)分別為ab的長(zhǎng)方形紙片，5張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)可以為a+2b．[方法拓展]（5）已知正數(shù)a，b，c和m，m，l滿足a+m＝b+n＝a+l＝k．試通過構(gòu)造邊長(zhǎng)為k的正方形，利用圖形面積來說明al+bm+cn＜k2．解：（1）由圖2知，∵大長(zhǎng)方形的面積＝（2a+b）（a+b），大長(zhǎng)方形的面積＝3個(gè)小正方形的面積+3個(gè)小長(zhǎng)方形的面積＝a2+a2+b2+3ab＝2a2+b2+3ab，∴（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab；由圖3知，∵大正方形的面積＝（a+b+c）2，大正方形的面積＝3個(gè)正方形的面積+2個(gè)小長(zhǎng)方形的面積+2個(gè)小長(zhǎng)方形的面積+2個(gè)小長(zhǎng)方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；故答案為：（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）∵由圖3得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc），＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc），把a(bǔ)+b+c＝15，ab+ac+bc＝35代入，a2+b2+c2＝152﹣2×35＝225﹣70＝155．故答案為：155．（3）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5ab+2b2，2a2+5ab+2b2可以看成2張邊長(zhǎng)為a的正方形，2張邊長(zhǎng)為b的正方形，5張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼成的大長(zhǎng)方形的面積，∴x＝2，y＝2，z＝5，∴x+y+z＝9．故答案為：9．（4）3張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片的面積為3a2，4張邊長(zhǎng)分別為ab的長(zhǎng)方形紙片的面積為4ab，5張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片的面積為5b2，要想從中取出若干張紙片拼成一個(gè)正方形（無空隙、無重疊地拼接），則選取的紙片的面積和必須構(gòu)成完全平方式，∴可以選取1張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片、2張邊長(zhǎng)分別為ab的長(zhǎng)方形紙片、1張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，此時(shí)圍成的正方形面積為a2+2ab+b2＝（a+b）2，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)＝a+b，也可以選取1張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片、4張邊長(zhǎng)分別為ab的長(zhǎng)方形紙片、4張邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，此時(shí)圍成的正方形面積為a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)＝a+2b，∴拼成的正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)為a+2b．故答案為：a+2b．（5）如圖，構(gòu)造了一個(gè)邊長(zhǎng)為k的正方形，AC＝CE＝EG＝AG＝k，在正方形的4個(gè)邊上分別截取AB＝a，CD＝b，EF＝c和HG＝c，∵a+m＝b+n＝c+l＝k，∴BC＝m，DE＝n，F(xiàn)G＝l，AH＝l，如圖構(gòu)造長(zhǎng)方形，∵3個(gè)長(zhǎng)方形的面積和為al+bm+cn，大正方形的面積為k2，∴al+bm+cn＜k2．25．（8分）（2022春?北碚區(qū)校級(jí)期末）對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0，如果十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和能被百位數(shù)字整除，則稱n為“樂數(shù)”．例如：417是“樂數(shù)”，因?yàn)?+7＝8，8能被4整除；536不是“樂數(shù)”，因?yàn)?+6＝9，9不能被5整除．（1）判斷351和317是否是“樂數(shù)”？請(qǐng)說明理由；（2）求出十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大5的所有“樂數(shù)”．解：（1）351是“樂數(shù)”，理由：因?yàn)?，5，1都不為0，且5+1＝6，6能被3整除；317不是“樂數(shù)”，理由：因?yàn)?+7＝8，8不能被3整除；（2）設(shè)個(gè)位數(shù)字為a，則十位數(shù)字為a+5（0＜a＜5的整數(shù)），a十a(chǎn)+5＝2a+5，當(dāng)a＝1時(shí)，2a+5＝7，∴7能被1，7整除，∴滿足條件的三位數(shù)有161（舍去），761，當(dāng)a＝2時(shí)，2a十5＝9，∴9能被1，3，9整除，∴滿足條件的三位數(shù)有172，372，972；當(dāng)a＝3時(shí)，2a+5＝11，∴11能被1整除，∴滿足條件的三位數(shù)有183，當(dāng)a＝4時(shí)，2a十5＝13，所以13能被1整除，滿足條件的三位數(shù)有194，故滿足條件的“樂