菱形基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)及同步練習(xí)、含答案

................名師點(diǎn)撥..................

學(xué)科：數(shù)學(xué)

菱形

開始學(xué)習(xí)

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】

定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

定理1:四邊都相等的四邊形是菱形.

定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

1.菱形的性質(zhì)

（1）菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

（2）菱形的四條邊都相等；

（3）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;

（4）菱形是軸對(duì)稱圖形.

2.菱形的面積=底乂高=對(duì)角線乘積的一半.

A.重點(diǎn)、難點(diǎn)提示

1.理解并掌握菱形的概念，性質(zhì)和判別方法；（這是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，要掌握好）

2.經(jīng)歷探索菱形的性質(zhì)和判別條件的過(guò)程，在操作活動(dòng)和觀察、分析過(guò)程中發(fā)展學(xué)生

的主動(dòng)探究習(xí)慣和初步的審美意識(shí)，進(jìn)一步了解和體會(huì)說(shuō)理的基本方法；

3.了解菱形的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用和常用的判別條件；

4.體會(huì)特殊與一般的關(guān)系.

B.考點(diǎn)指要

菱形是特殊的平行四邊形，其性質(zhì)和判別方法是中考的重要內(nèi)容之一.

一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質(zhì).除具有立行四邊形的一切性質(zhì)

外，菱形還具有以下性質(zhì)：

①菱形的四條邊都相等；

②兩條對(duì)角線互相垂直平分；（出現(xiàn)了垂宜，常與勾股定理聯(lián)系在一起）

③每一條對(duì)角線都平分一組內(nèi)角.（出現(xiàn)了相等的角，常與角平分線聯(lián)系在一起）

菱形是軸對(duì)稱圖形，它的兩條對(duì)角線所在直線是它的兩條對(duì)稱軸.（不是對(duì)角線，而是

其所在直線，因?yàn)閷?duì)稱軸是直線，而對(duì)角線是線段）

菱形的判別方法：（學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的方法研究菱形）

①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

③四條邊都相等的四邊形是菱形.

【難題巧解點(diǎn)撥】

例h如圖4-24,在AABC中，ZBAC=90°，AD_LBC于D,CE平分NACB,交AD

于G,交AB于E,EF_LBC于F.求證：四邊形AEFG是菱形.

圖4?24

思路分析

由已知可知，圖中有平行線，就可證角相等、線段相等，因此，可先證四邊形AEFG

是平行四邊形，再證一組鄰邊相等.

證明：VZBAC=90°,EF1BC,CE平分NACB,

AAE=EF,ZCEA=ZCEF.

（這是略證，并不是完整的證明過(guò)程）

VAD1BC,EF±BC,

???EF〃AD,（垂直于同?條直線的兩條直線互相平行）

AZCEF=ZAGE,（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

ZCEA=ZAGE,

?'?AE=AG?

；.EF〃AG,且EF=AG,

???四邊形AEFG是平行四邊形.（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

又?.?AEtEF,

,平行四邊形AEFG是菱形.

例2：已知菱形的周長(zhǎng)為20cm,一條對(duì)角線長(zhǎng)為5cm,求菱形各個(gè)角的度數(shù).

已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm,對(duì)角線AC=5cm.求NADC、NABC、

/BCD、/DAB的度數(shù).

思路分析

利用菱形的四條邊相等，可求出各邊長(zhǎng)，從而得到等邊三角形，如圖4-25.

解：在菱形ABCD中，

VAB=BC=CD=DA,

又AB+BC+CD+DA=20cm,

?'.AB=BC=CD=DA=5cm,

又AC=5cm,

AAB=BC=AC,CD=DA=AC,

/.△ABC和4DAC都是等邊三角形，

（本題將邊之間的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系）

/.ZADC=ZABC=60°,ZBCD=ZDAB=120°.

例3：如圖4-26,在平行四邊形ABCD中，NBAE二NFAE,ZFBA=ZFBE.求證：四

邊形ABEF是菱形.

證法一：；AF〃BE,

AZFAE=ZAEB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

又YNBAE-NFAE,

.\ZBAE=ZAEB,

AAB=BE.（等角對(duì)等邊）

同理，AB=AF,BE=EF,

AAB=BE=EF=AF,

???四邊形ABEF是菱形.（四條邊都相等的四邊形是菱形）

證法二：VAF/7BE,

AZFAE=ZAEB,

XVZBAE=ZFAE,

AZBAE=ZAEB,AAB=BE.

XVZFBA=ZFBE,

AAO=OE,AE±FB,（等腰三角形三線合一）

同理，BO=OF,

???四邊形ABEF是菱形.（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形）

（你還有其他的證明方法嗎？不妨試一下）

例4：菱形的兩鄰角之比為1：2,邊長(zhǎng)為2,則菱形的面積為

思路分析

本題主要考查菱形的性質(zhì)和面積公式的應(yīng)用：

解法一:如圖4-27,

ZB：ZA=1：2,

AD

圖4-13

點(diǎn)悟：由NB=60°知，連接AC得等邊aABC與從而△ABEgZXADF,有AE二AF,

則4AEF為等邊三角形，再由外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求NCEF.

解：連接AC.V四邊形ABCD為菱形，

:.ZB=ZD=60°,AB=BC=CD=DA,

???AABC與4CDA為等邊三角形.

:.AB=AC,ZB=ZACD=ZBA>60°,

???ZEAF=G0°,???ZBAE=ZCAF.

:.AE=AF.

又?.?ZEAF=60°,

???Z\EAF為等邊三角形.

:.ZAEF=60°,

,/ZAEC=ZB+ZBAE=ZAEF+ZCEF,

???60°+18°=60°+ZCEF,

:.ZCEF=18°.

例2已知如圖4-14,在△ABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于D,CE平分NACB,交AD

于G,交AB于E,EF_LBC于F,求證：四邊形AEFG為菱形.

圖4-14

點(diǎn)悟:可先證四邊形AEFG為平行四邊形，再證鄰邊相等（或?qū)蔷€垂直）.

證明：VZBAC=90°,EF1BC,CE平分NBCA,

???AE=FE,ZAEC=ZFEC.

???EF±BC,AD±BC,AEF〃AD.

???NFEC:NAGE,/.ZAEC=ZAGE

AE=AG,EF^AG.

???四邊形AEFG為平行四邊形.

又???AE=AG.???四邊形AEFG為菱形.

點(diǎn)撥：此題還可以用判定菱形的另兩種方法來(lái)證.

例3已知如圖4-15,E為菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且AB=AE,AE交BD于0,且NDAE=2

ZBAE.求證：EB=0A

圖4-15

證明：:四邊形ABCD為菱形，

???ZABC=2ZABD,AD〃B1

:.ZDAE=ZAEB,

???AB=AE,???ZABC=ZAEB.

:.ZDAE=2ZABD.

???ZDAE=2ZBAE,

ZABD=ZBAE,/.0A=0B.

???ZB0E=ZABD+ZBAE,

:.ZB0E=2ZBAE.

:.ZBEA=ZB0E,???OB二BE,

:.AO=BE.

說(shuō)明：利用菱形性質(zhì)證題時(shí)，要靈活選用，選不同性質(zhì)，就會(huì)有不同思路.

例4已知菱形的一邊與兩條對(duì)角線構(gòu)成的兩角之比為5：4,求菱形的各內(nèi)角的度數(shù).

點(diǎn)悟：先作出菱形ABCD和對(duì)角線AC、BD（如圖4-16）.

圖4-16

解：???四邊形ABCD是菱形，

:.ACXBD,

:.Zl+Z2=90°,又丁Zl：Z2=4：5,

...Zl=40°,N2=50°,

???ZDCB=ZDAB=2Z2=100°,

故ZCBA=ZCDA=2Z1=8O°.

整周強(qiáng)化練習(xí)

【同步達(dá)綱練習(xí)一】

一、選擇題

1.已知菱形的一條對(duì)角線與邊長(zhǎng)相等，則菱形的鄰角度數(shù)分別為()

(A)45°,135°(B)60°,120°

(090°,90°(D)30°,150°

2.若菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)是另一條對(duì)角線的2倍，且此菱形的面積為S,則它的邊長(zhǎng)

為()

(A)VS(B)-VS(c)-j3S(D)-V5S

222

二、填空題

3.已知：菱形ABCD中，E、P是DC、CD上的點(diǎn)，且AE=EF=AF=AB,則NB=.

4.已知：菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為a、b,則此菱形周長(zhǎng)為,面積為.

5.菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是_______.

6.已知一個(gè)菱形的面積為86平方厘米，且兩條時(shí)角線的比為1：、行，則菱形的邊

長(zhǎng)為.

三、解答題

7.已知：0為口ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)，MN過(guò)0且垂直BD,分別交CD、AB于M、N.求

證：四邊形DMBM是菱形.

8.如圖4-17,已知菱形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)0,AC=16cm,BD=12cm,求菱形的高.

【同步達(dá)綱練習(xí)二】

1.在菱形ABCD中，若NADC=120°,則BD：AC等于()

A.6:2B.6:3C.1：2D.V3：l

2.已知菱形的周長(zhǎng)為40cm,兩對(duì)角線的長(zhǎng)度之比為3：4,則兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別為()

A.6cm?8cmB.女m,4cmC.12cm,16cmD.24cm,32cm

3.菱形的對(duì)角線具有()

A.互相平分且不垂直

B.互相平分且相等

C.互相平分且垂直

D.互相平分、垂直且相等

（掌握菱形對(duì)角線的性質(zhì)，注意不要增加性質(zhì)）

4.已知菱形的面積等于160cm②，高等于8cm,則菱形的周長(zhǎng)等于

5.已知菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6和8,那么它的邊長(zhǎng)是.

6.菱形的周長(zhǎng)是40cm,兩鄰角的比是1：2,則較短的對(duì)角線長(zhǎng)是cm.

7.如圖4-29,在4ABC中，ZBAC=90°,BD平分NABC,AG1BC,且BD、AG

相交于點(diǎn)E,DF_LBC于F.求證：四邊形AEFD是菱形.

8.如圖4-30,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與AD、BC、AC分別交

于點(diǎn)E、F、O.求證：四邊形AFCE是菱形.

圖4-30

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參考答案

【同步達(dá)綱練習(xí)一】

一、1.B；2.D；

二、3.80°；4.2而+從,；ab；

5.對(duì)角線互相垂直，各邊長(zhǎng)相等.

6.4厘米.

三、7,由已知MN為BD的垂直平分線，

有DM=BM,DN=BN,

又由△DOMg^BON,得DM=BN,

:.DM=BM=BN=DN.:.四邊形DNBM是菱形.

8.過(guò)點(diǎn)D作DHJLAB于H,則DH為菱形的一條高.

又???AC、BD互相垂直平分于0,

:.OA=，AB=8厘米，OB=LBD=6厘米.

22

由勾股定理，得

AB=^AO1+BO1=10（厘米）.

又???工48。”=，8。04,

22

—x10xDH=—x12x8.DH=9.6厘米.

22

【同步達(dá)綱練習(xí)二】

1.B；2.C；3.C；4.80cm；5.5；6.10；

7.證法一：在RlZXABD和RlZ\FBD中，

〈BD為NABC的平分線，/.ZABD=ZFBD,ZDAB=ZDFB=90°,

XVBD-BD,ARtAABD^RtAFBD

/.AD=DF,ZADE=ZEDF

又,；DF_LBC,