《工程力學(xué)》課件第11章

項(xiàng)目十一壓桿的穩(wěn)定性問題11.1任務(wù)引入

11.2解決任務(wù)的方法

11.3相關(guān)知識(shí)介紹

11.4知識(shí)拓展——壓桿穩(wěn)定實(shí)驗(yàn)

【教學(xué)提示】本項(xiàng)目介紹壓桿穩(wěn)定性、臨界力和臨界應(yīng)力的概念，細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉公式、中、小柔度桿臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式，并討論了壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解壓桿穩(wěn)定和壓桿失穩(wěn)的基本概念。掌握并學(xué)會(huì)應(yīng)用歐拉公式計(jì)算臨界力和臨界應(yīng)力，能應(yīng)用安全系數(shù)法對(duì)受壓直桿進(jìn)行穩(wěn)定性校核、確定允許載荷和選擇壓桿截面。

在工程實(shí)踐中，細(xì)長(zhǎng)壓桿是很常見的。如圖11-1所示內(nèi)燃機(jī)氣門閥的挺桿，在它推動(dòng)搖臂打開氣門時(shí)，就受壓力作用。又如圖11-2所示磨床液壓裝置的活塞桿，當(dāng)驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)向右移動(dòng)時(shí)，油缸活塞上的壓力和工作臺(tái)的阻力使活塞桿受壓。對(duì)于受壓桿件，除了必須具有足夠的強(qiáng)度和剛度外，還需要考慮穩(wěn)定性問題。

由于壓桿的失穩(wěn)是突然發(fā)生的，有時(shí)會(huì)引起整個(gè)機(jī)器或結(jié)構(gòu)的破壞，造成嚴(yán)重的后果，工程上就曾多次發(fā)生過因?yàn)閴簵U失穩(wěn)而釀成的重大事故，因此在設(shè)計(jì)受壓桿件時(shí)，必須保證壓桿有足夠的穩(wěn)定性。11.1任務(wù)引入

圖11-1內(nèi)燃機(jī)氣門閥

圖11-2磨床液壓裝置

解決壓桿穩(wěn)定問題的關(guān)鍵是理解壓桿穩(wěn)定的概念，確定壓桿的類型及失穩(wěn)時(shí)的臨界壓力、臨界應(yīng)力的計(jì)算，根據(jù)壓桿穩(wěn)定的設(shè)計(jì)條件校核、設(shè)計(jì)及確定許可載荷。11.2解決任務(wù)的方法

模塊一壓桿穩(wěn)定的概念

(一)壓桿失穩(wěn)的概念

構(gòu)件除了強(qiáng)度、剛度失效外，還可能發(fā)生穩(wěn)定失效。如圖11-1所示內(nèi)燃機(jī)氣門閥的挺桿和圖11-2所示磨床液壓裝置的活塞桿，受軸向壓力后，當(dāng)壓力超過一定數(shù)值時(shí)，壓桿會(huì)由原來的直線平衡形式突然變彎，致使結(jié)構(gòu)喪失承載能力。這種軸線不能維持原有直線平衡狀態(tài)的現(xiàn)象稱為壓桿喪失了穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱壓桿失穩(wěn)。工程中的柱、桁架中的壓桿、薄殼結(jié)構(gòu)及薄壁容器等，在有壓力存在時(shí)，都可能發(fā)生失穩(wěn)。11.3相關(guān)知識(shí)點(diǎn)介紹

由于構(gòu)件的失穩(wěn)往往是突然發(fā)生的，因而其危害性也較大。歷史上曾多次發(fā)生因構(gòu)件失穩(wěn)而引起的重大事故。如1907年加拿大勞倫斯河上，跨長(zhǎng)為548米的奎拜克大橋，因壓桿失穩(wěn)，導(dǎo)致整座大橋倒塌。近代這類事故仍時(shí)有發(fā)生。因此，穩(wěn)定問題在工程設(shè)計(jì)中占有重要地位。

(二)壓桿的受力與變形狀態(tài)

1.穩(wěn)定平衡

如圖11-3(b)所示，在軸向壓力F不大的情況下，給壓桿施以一個(gè)橫向的干擾力Q(它可以是陣風(fēng)的吹拂或物體的碰撞等因素)，壓桿會(huì)產(chǎn)生微小彎曲變形，但當(dāng)這種干擾力消失后，壓桿會(huì)經(jīng)過若干次振動(dòng)(減幅振動(dòng))后仍能回到原來的直線平衡狀態(tài)。這種狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡。

2.失穩(wěn)

將F加大到某一極限值Fcr后，再施以一個(gè)微小的干擾力Q，壓桿同樣會(huì)發(fā)生微小的彎曲變形，但撤掉Q后，桿件并不能恢復(fù)原來的直線形狀，而是處于如圖11-3(c)所示的一種微彎平衡狀態(tài)。因而在Fcr的作用下，桿件受干擾前的直線平衡狀態(tài)是一種不穩(wěn)定的臨界平衡狀態(tài)。桿件從穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，稱為失穩(wěn)，并將桿件處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)所受到的軸向壓力稱為臨界力，用Fcr表示。臨界力是壓桿失穩(wěn)前所受到的最大軸向壓力。

3.破壞

當(dāng)作用于桿件上的軸向壓力F超過Fcr時(shí)，如圖11-3(d)所示，桿件就會(huì)因彎曲變形的加劇而很快被折斷。這種狀態(tài)稱為破壞。

解決壓桿穩(wěn)定問題的關(guān)鍵是確定臨界力，以確保壓桿上的軸向壓力小于臨界力。

圖11-3壓桿穩(wěn)定性分析模塊二壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力

(一)細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力

1.壓桿臨界力的歐拉公式

瑞士著名的科學(xué)家歐拉在從事彈性曲線幾何形狀的理論研究中發(fā)現(xiàn)，細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的大小與它的抗彎剛度EI成正比，與它的長(zhǎng)度l的平方成反比，并且與它兩端的支承情況有關(guān)。他于1744年從理論上推導(dǎo)出了細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的計(jì)算公式，即歐拉公式：

(11-1)式中,μ稱為長(zhǎng)度因數(shù)；μl稱為相當(dāng)長(zhǎng)度，即把不同約束條件的壓桿折算成兩端鉸支壓桿后的長(zhǎng)度。表11-1列出了幾種常見桿端約束情況下壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)μ。

表11-1壓桿長(zhǎng)度系數(shù)表說明：(1)臨界力與壓桿的抗彎剛度EI成正比。對(duì)于具有兩條或兩條以上形心主軸的橫截面，則I＝Imin。就是說，壓桿在與Imin相應(yīng)的形心主軸垂直的方向容易失穩(wěn)。為此，壓桿的截面應(yīng)做成對(duì)各形心主軸的慣性矩均相近或相同的形狀，如外形為方形、圓形、圓環(huán)形等。

(2)臨界力與壓桿的長(zhǎng)度及長(zhǎng)度因數(shù)的平方成反比。說明桿件越長(zhǎng)越容易失穩(wěn)，桿端對(duì)抗彎的約束能力越弱的桿件越容易失穩(wěn)。

2.壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式

臨界應(yīng)力

cr是用壓桿的臨界力Fcr除以壓桿的橫截面面積A得到的，即

(11-2)

式中,

為橫截面的慣性半徑。對(duì)于常見的圓形和方形截面壓桿，其慣性半徑分別為

圓形截面

方形截面

3.柔度

令

，于是式(11-2)可寫成

(11-3)

式中,

稱為柔度或長(zhǎng)細(xì)比。

值越大，桿件越細(xì)長(zhǎng)，其臨界應(yīng)力

cr越小，桿越易失穩(wěn)；反之，

值越小，桿件越粗短，其臨界應(yīng)力

cr越大，桿越不易失穩(wěn)。所以柔度

是度量壓桿失穩(wěn)難易的重要參數(shù)。

4.歐拉公式的適用范圍

由于歐拉公式是在材料服從胡克定律條件下得出的，因此只有當(dāng)壓桿的臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限

p時(shí)才能成立，即

整理得

(11-4)

可見，只有當(dāng)壓桿的柔度

大于或等于極限值

時(shí)，歐拉公式才可使用。令

(11-5)

條件式(11-4)便可寫成

≥

p

(11-6)

式(11-6)就是歐拉公式的適用范圍。滿足

≥

p條件的桿件稱為細(xì)長(zhǎng)桿或大柔度桿。

式(11-4)表明，

p與材料的性能有關(guān)，材料不同，

p的數(shù)值也就不同。不同材料的

p可以查表11-2得到。

表11-2直線公式的常數(shù)a、b及柔度值

p、

s

(二)中、小柔度桿臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式

工程實(shí)際中的壓桿，其柔度往往小于

p，這類壓桿稱為中、小柔度桿。中、小柔度桿的臨界應(yīng)力不能再用歐拉公式來計(jì)算，通常采用建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的經(jīng)驗(yàn)公式，目前已有不少經(jīng)驗(yàn)公式，以直線公式比較簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便，其形式為

cr＝a－b

(11-7)

式中,a、b是由桿件材料決定的常數(shù)，其單位均為MPa。一些常用材料的a、b值見表11-2。

上述經(jīng)驗(yàn)公式也有一個(gè)適用范圍，當(dāng)壓桿的臨界應(yīng)力

cr大于材料破壞應(yīng)力

b時(shí)，壓桿就因強(qiáng)度不夠而發(fā)生破壞，不存在穩(wěn)定性問題，只需按壓縮強(qiáng)度計(jì)算。這樣，在應(yīng)用直線公式計(jì)算時(shí)，柔度

必然有一個(gè)最小界限值。對(duì)于塑性材料，破壞應(yīng)力

b，就是屈服極限

s。所以

cr＝a－b

≤

s (11-8)

整理得

令

(11-9)式中，

s為直線公式中柔度的最小界限值，是與屈服極限相應(yīng)的柔度值。

s與材料有關(guān)，其值可查表11-2。

通常把

s<

<

p的壓桿稱為中長(zhǎng)桿(或中柔度桿)，

≤

s的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿，此時(shí)壓桿屬?gòu)?qiáng)度問題，臨界應(yīng)力就是屈服極限或強(qiáng)度極限，即

cr＝

s或

b(三)臨界應(yīng)力總圖

壓桿的臨界應(yīng)力

cr與壓桿的柔度

有關(guān)，壓桿的類型可以根據(jù)其柔度分為以下三種：

(1)當(dāng)

≥

p時(shí)，為細(xì)長(zhǎng)桿或大柔度桿，其臨界應(yīng)力

cr≤

p，

cr用歐拉公式計(jì)算。

(2)當(dāng)

s<

<

p時(shí)，為中長(zhǎng)桿或中柔度桿，其臨界應(yīng)力

p<

cr<

s，

cr用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。

(3)當(dāng)

≤

s時(shí)，為短粗桿或小柔度桿，其臨界應(yīng)力

cr＝

s，

cr按強(qiáng)度問題計(jì)算。

上述分析表明，臨界應(yīng)力

cr是關(guān)于壓桿柔度

的一個(gè)分段函數(shù)。在不同

范圍內(nèi)，壓桿的臨界應(yīng)力與柔度

之間的變化關(guān)系曲線如圖11-4所示，稱為臨界應(yīng)力總圖。

綜上所述，計(jì)算壓桿臨界應(yīng)力時(shí)，首先應(yīng)計(jì)算出壓桿的柔度

，判斷壓桿的類型，根據(jù)壓桿的類型選擇相應(yīng)的公式。

圖11-4臨界應(yīng)力總圖

例11-1

如圖11-5所示，木柱長(zhǎng)l＝7m，橫截面是矩形，h＝200mm，b＝120mm。當(dāng)它在xz平面(最小剛度平面)內(nèi)彎曲時(shí)，兩端視為固定；當(dāng)它在xy平面(最大剛度平面)內(nèi)彎曲時(shí)，兩端視為鉸支。木材的彈性模量E＝10GPa，

p＝59。求臨界力和臨界應(yīng)力。

解

(1)判斷桿件易在哪個(gè)平面內(nèi)彎曲。

①求在xz平面內(nèi)彎曲時(shí)的柔度。

圖11-5木制桿件平面計(jì)算簡(jiǎn)圖

②求在xy平面內(nèi)彎曲時(shí)的柔度。

③比較判定。因?yàn)?/p>

z>

y

所以易在xy平面內(nèi)彎曲。

(2)判斷歐拉公式的適用范圍。因?yàn)?/p>

z>

p

所以為大柔度桿，用歐拉公式。

(3)求臨界力和臨界應(yīng)力。

Pcr＝

cr·A＝161kN

模塊三壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)

(一)穩(wěn)定性條件

對(duì)于實(shí)際工作中的壓桿，為了使其不喪失穩(wěn)定性，必須使作用于壓桿上的軸向壓力小于壓桿的臨界力，同時(shí)，還要考慮適當(dāng)?shù)陌踩珒?chǔ)備。因此壓桿的穩(wěn)定條件為

(11-10)

式中,F為壓桿的工作載荷；Fcr是壓桿的臨界載荷；nst是穩(wěn)定安全系數(shù)。nst的值在有關(guān)的設(shè)計(jì)規(guī)范中都有明確的規(guī)定，靜載下，其值一般為

鋼類nst＝1.8~3.0

鑄鐵nst＝4.5~5.5

木材nst＝2.8~3.2(二)壓桿的合理設(shè)計(jì)

壓桿穩(wěn)定設(shè)計(jì)計(jì)算包括穩(wěn)定性校核、壓桿截面的設(shè)計(jì)和壓桿的許可載荷設(shè)計(jì)。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，常常根據(jù)強(qiáng)度條件和結(jié)構(gòu)情況，初步確定壓桿的截面尺寸，然后再校核其穩(wěn)定性。一般都采用安全系數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算，即將式(11-10)改寫為

(11-11)

式中,n是壓桿的實(shí)際安全系數(shù)。例11-2

一螺旋千斤頂如圖11-6所示，其螺桿旋出的最大長(zhǎng)度l＝375mm，螺紋小徑d0＝40mm，最大起重量P＝80kN。材料為Q235鋼，規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)nst＝3。試校核螺桿的穩(wěn)定性。

解(1)計(jì)算柔度

。螺桿可簡(jiǎn)化為上端自由、下端固定的壓桿，長(zhǎng)度因數(shù)μ＝2，螺桿的慣性半徑為

圖11-6螺旋千斤頂

螺桿的柔度為

(2)計(jì)算臨界應(yīng)力。由表11-2查得Q235鋼的

p＝105,

s＝61.6，可知

s<

<

p，故為中長(zhǎng)桿，

cr用直線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。由表11-2查得a＝304MPa,b＝1.12MPa,根據(jù)式(11-7)可得

cr＝a－b

＝304－1.12×75＝220MPa

螺桿的工作應(yīng)力為

(3)校核螺桿的穩(wěn)定性。

所以此千斤頂螺桿滿足穩(wěn)定性要求。

例11-3

圖11-7所示鋼架結(jié)構(gòu)承受載荷F作用，試校核斜撐桿的穩(wěn)定性。已知載荷F＝12kN，其外徑D＝45mm，內(nèi)徑d＝36mm，穩(wěn)定安全系數(shù)nst＝2.5。斜撐桿材料是Q235鋼，彈性模量E＝210GPa，

p＝200MPa，

s＝235MPa。

解

(1)受力分析。以梁AC為研究對(duì)象，由靜力平衡方程可求得

∑MC＝0FGBsin45°·1－F·2＝0

圖11-7鋼架機(jī)構(gòu)平面計(jì)算簡(jiǎn)圖

(2)計(jì)算壓桿的柔度。

(3)判別壓桿的類型。由已知求得

查表11-2得a＝304MPa，b＝1.12MPa。求得

s<

<

p

故壓桿是中柔度桿，選用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界力。

(4)計(jì)算臨界應(yīng)力。

(5)穩(wěn)定性校核。

所以滿足穩(wěn)定要求。

1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

細(xì)長(zhǎng)桿受軸向壓縮時(shí)，載荷增加到某一臨界值Fcr時(shí)壓桿將喪失穩(wěn)定。構(gòu)件的失穩(wěn)可以引起工程結(jié)構(gòu)的屈曲破壞，故對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的構(gòu)件，必須考慮它的穩(wěn)定問題。本實(shí)驗(yàn)將觀察壓桿喪失穩(wěn)定的現(xiàn)象，同時(shí)用實(shí)驗(yàn)方法來確定壓桿的臨界載荷Fcr，并與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。11.4知識(shí)拓展——壓桿穩(wěn)定實(shí)驗(yàn)

2.實(shí)驗(yàn)原理

根據(jù)歐拉小撓度理論，對(duì)于兩端鉸支的大柔度桿(低碳鋼

≥

p＝100)，在軸向力作用下，壓桿保持直線平衡最大的載荷和保持曲線平衡最小的載荷即為臨界載荷Fcr。按照歐拉公式可得

當(dāng)F<Fcr時(shí)，壓桿保持直線形狀而處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。當(dāng)F＝Fcr時(shí)，壓桿處