（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講+隨堂檢測11橢圓方程及其性質(zhì)（教師版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第第頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第11課橢圓方程及其性質(zhì)考點01橢圓的定義【例1】已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P是橢圓C上的動點，，，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓定義得，再利用基本不等式求解最值即可.【詳解】因為點P是橢圓上的動點，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.故選：A.【變式1-1】已知點滿足方程，點．若斜率為斜率為，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)題意分析可知點在以為焦點的橢圓上，結(jié)合橢圓方程運算求解.【詳解】設(shè)，則，可得，即點在以為焦點的橢圓上，且，所以點的軌跡為，整理得，由題意可知：，所以.故選：A.【變式1-2】已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上任意一點，為圓：上任意一點，則的最小值為.【答案】.【分析】根據(jù)三角形三邊之間的不等關(guān)系可得，再結(jié)合橢圓定義將化為，結(jié)合以及圖形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意知為橢圓上任意一點，為圓：上任意一點，故，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號，而,故的最小值為，故答案為：考點02橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（多選）如果方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍可以是（

）A．B．C．D．【答案】BC【詳解】焦點在x軸上，則標(biāo)準(zhǔn)方程中，解得或．又，，得，所以或．故選:BC．【變式2-1】已知m、n均為實數(shù)，方程表示橢圓，且該橢圓的焦距為4，則n的取值范圍是.【答案】【分析】由橢圓的定義可得，，，再分和兩種情況討論，結(jié)合橢圓的焦距即可得解.【詳解】由題意得，，，所以，①若，即時，則焦點在軸上，則，所以，代入，，，得，解得；②若，即時，則焦點在軸上，則，所以，代入，，，得，解得；綜上，n的取值范圍是.故答案為：.考點03橢圓的焦點三角形問題【例3】已知橢圓C：的左?右焦點分別是，，為橢圓C上一點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的周長為6B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為D．的外接圓的直徑為【答案】D【詳解】由題意知，，，，由橢圓的定義知，，，∴的周長為，即A正確；將代入橢圓方程得，解得，∴的面積為，即B正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，即，∴，即C正確；不妨取，則，，∴的面積為，即，，由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯誤，故選:D.

【變式3-1】（多選）若是橢圓上一點，，為其左右焦點，且不可能為鈍角，則實數(shù)的值可以是（

）A．2B．3C．4D．5【答案】CD【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可判斷為橢圓的短軸端點時，此時最大，即可列不等式求解.【詳解】由橢圓的性質(zhì)可得當(dāng)點為橢圓的短軸端點時，此時最大，若不可能為鈍角，當(dāng)點為橢圓的短軸斷點時，則，則，即，又焦點在軸上，解得，所以實數(shù)的值可以是4，5，故選：CD

【變式3-2】已知是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為．【答案】【分析】由向量的夾角公式可得，利用余弦定理、橢圓定義可得，再由三角形面積公式可得答案.【詳解】因為，，所以，若，因為，則可得，由余弦定理可得，所以，則.故答案為：.

考點04橢圓的簡單幾何性質(zhì)【例4】曲線與曲線的（

）.A．長軸長相等B．焦距相等C．離心率相等D．短軸長相等【答案】B【詳解】曲線是焦點在軸上的橢圓，則，長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率.曲線，由得，且，故曲線也是焦點在軸上的橢圓，，長軸長、離心率、短軸長均與有關(guān)，不一定與曲線的相同；而其焦距為，與曲線的焦距相同.故選：B.【變式4-1】設(shè)為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第二象限．若為等腰三角形，則點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】先根據(jù)方程求，由題意分析可得，列方程求解即可.【詳解】由題意可知：，設(shè)，因為為上一點且在第二象限，則，，又因為為等腰三角形，且，則，即，解得，所以點的坐標(biāo)為.故答案為：.考點05求橢圓離心率【例5】已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上位于第一象限的一點，且與軸平行，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點坐標(biāo)代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B

【變式5-1】如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于A，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（

）

A．B．C．D．【答案】C【詳解】設(shè)，易知，則，，又，所以.故選：C【變式5-2】已知橢圓的左?右焦點為，點在橢圓上，分別延長，交橢圓于點，且，則線段的長為，橢圓的離心率為.【答案】【詳解】根據(jù)，以及橢圓定義，得，設(shè)，則，根據(jù)，由勾股定理，得；在中，，在中，由余弦定理，得，所以，所以，在中，由勾股定理，得.，在中，由余弦定理，得，所以，離心率.故答案為：；

考點06求橢圓離心率的取值范圍【例6】已知圓與橢圓，若在橢圓上存在一點，使得由點所作的圓的兩條切線的夾角為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓上任意點(與上下頂點不重合)作圓的切線，且，根據(jù)題意問題化為保證時，進而得到關(guān)于橢圓參數(shù)的不等式，結(jié)合橢圓離心率范圍及求法確定離心率的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，圓與橢圓在上下頂點處相切，橢圓上任意點(與上下頂點不重合)作圓的切線，如下圖，

若且，要所作的圓的兩條切線的夾角最小，只需最大，所以，當(dāng)與左右頂點重合時，此時最??；靠近上下頂點時無限接近；在橢圓上存在一點，使得所作的圓的兩條切線的夾角為，所以，保證時，即，由題意及圖知：，故，而，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A考點07直線與橢圓的位置關(guān)系【例7】在橢圓上求一點，使點到直線的距離最大時，點的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)點在第三象限且橢圓在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出的值，利用平行線間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可知，當(dāng)點在第三象限且橢圓在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因為，解得，所以，橢圓在點處的切線方程為，因此，點到直線的距離的最大值為,聯(lián)立，可得點的坐標(biāo)為.故選：B.考點08橢圓的弦長問題【變式8】（多選）已知過點的直線與橢圓交于、兩點，則弦長可能是（

）A．1B．C．D．3【答案】BC【詳解】當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)過斜率存在的直線方程為：，聯(lián)立方程組消去，并整理得，易得，設(shè)，，則，，，，當(dāng)斜率不存在時，故．故選:BC．考點09橢圓的中點弦問題【例9】已知橢圓方程為，其右焦點為F（4，0），過點F的直線交橢圓與A，B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】設(shè)，利用點差法求解即可．【詳解】設(shè)，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯(lián)立解得．∴橢圓的方程為：．故選：C．【變式9-1】已知橢圓的長軸長為，且與軸的一個交點是，過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，且滿足，若M為直線AB上任意一點，O為坐標(biāo)原點，則的最小值為（

）A．1B．C．2D．【答案】B【分析】由題意可求得橢圓方程為，由，得點為線段的中點，然后利用點差法可求出直線的方程，則的最小值為點到直線的距離，再利用點到直線的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，則，，所以橢圓方程為，因為，所以在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓總有兩個交點，因為，所以點為線段的中點，設(shè)，則，，所以，所以，所以，即，所以，所以直線為，即，因為M為直線上任意一點，所以的最小值為點到直線的距離，故選：B考點10直線與橢圓的綜合問題【例10】已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求的方程；(2)過橢圓外一動點作橢圓的兩條切線，，斜率分別為，，若恒成立，證明：存在兩個定點，使得點到這兩定點的距離之和為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓經(jīng)過的點，聯(lián)立的方程即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)相切得判別式為0，進而得到，為關(guān)于的方程的兩根，利用韋達定理可得，進而得點在橢圓上運動，由橢圓的定義即可求解.【詳解】（1）設(shè)的半焦距為，則由離心率，得，所以，因為經(jīng)過點，所以，即，得，．所以的方程為．（2）設(shè)，直線的方程為，即，記，則的方程為，代入橢圓的方程，消去，得．因為直線，與橢圓相切，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以，為關(guān)于的方程的兩根，從而，整理可得，所以點在橢圓上運動，所以存在兩個定點，，使得，為定值．橢圓方程及其性質(zhì)隨堂檢測1.已知點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，，分別是橢圓的左、右焦點，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再利用橢圓的定義求出即得解.【詳解】因為,所以四邊形是平行四邊形.所以.由橢圓的定義得.所以.故選：C

2．若橢圓的弦被點平分，則所在直線的方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用點差法求出直線的斜率，再利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】若直線軸，則點、關(guān)于軸對稱，則直線的中點在軸，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)點、，則，所以，，兩式作差可得，即，即，可得直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.故選：B.3.已知是橢圓的左焦點，若過的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓相切的位置關(guān)系可構(gòu)造的齊次方程，結(jié)合橢圓關(guān)系可求得離心率.【詳解】由題意知：，則直線，即，與圓相切，，即，，，橢圓的離心率.故選：A.4.已知橢圓為橢圓的對稱中心，為橢圓的一個焦點，為橢圓上一點，軸，與橢圓的另一個交點為點為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，不妨設(shè)，因為點在橢圓上，所以，解得，所以，又因為為等腰直角三角形，所以,即，即，所以，解得或（舍），故選:B.5.橢圓上的一點到左焦點的距離為是的中點，則等于.【答案】3【分析】設(shè)橢圓的右焦點，則根據(jù)橢圓有定義可求出，再利用三角形的中位線定理可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點，連接，則由，知.又點為的中點，點為的中點，所以.故答案為：36.已知橢圓的一個焦點為，橢圓上存在點，使得，則橢圓的離心率取值范圍是．【答案】【詳解】依題意不妨設(shè)為橢圓的左焦點，則，設(shè)，