（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+隨堂檢測03指對冪函數(shù)（教師版）

第第頁第03課指對冪函數(shù)考點(diǎn)01：指數(shù)冪的運(yùn)算【例1】（多選）下列判斷正確的有（

）A． B．（其中）C． D．（其中，）【答案】BCD【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)判斷A，根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)判斷B，C，D.【詳解】對于選項(xiàng)A，，A錯誤；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，B正確；對于選項(xiàng)C，，C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所以，D正確；故選：BCD.【變式1】計(jì)算：(1)；(2)已知：，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值；（2）在等式兩邊平方可得出，再利用平方關(guān)系可求得，代入計(jì)算可得出的值.【詳解】（1）解：原式.（2）解：因?yàn)?，則，所以，，所以，，可得，，因此，.考點(diǎn)02：對數(shù)的運(yùn)算【例2】已知，，則（

）A． B． C．25 D．5【答案】A【分析】由指對互換，表示出，代入原式即可.【詳解】由，.故選：A.【變式3】（多選）已知，，則（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】對A：，A正確；對B：，B錯誤；對C：，C正確；對D：，D正確.故選：ACD.考點(diǎn)03：指對冪函數(shù)的定義【例3】冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則函數(shù)解析式為_________．【答案】或【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)得到關(guān)于的不等式組，解得即可求出的值.【詳解】是冪函數(shù)，也是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，且為偶數(shù)，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：或【變式3】已知冪函數(shù)，其圖像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義，由求得m，再根據(jù)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)確定即可.【詳解】由冪函數(shù)知，得或.當(dāng)時(shí)，圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，∴.故答案為:考點(diǎn)04：定義域和值域【例4】下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)和分段函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案.【詳解】對于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，不符合題意；對于B：函數(shù)的定義域和值域都為，不符合題意；對于C：的定義域和值域都為，不符合題意；對于D：的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以值域?yàn)?，定義域和值域不相同，符合題意；故選：D．【變式4】已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】．【分析】分別求出和時(shí)的取值范圍，然后由值域可得集合的關(guān)系，從而得參數(shù)范圍．【詳解】時(shí)，且，即，因此時(shí)，的取值范圍應(yīng)包含，又時(shí)，，所以．故答案為：．【變式5】已知函數(shù)，，則其值域?yàn)開______．【答案】【分析】令，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】令，∵，∴，∴，，又關(guān)于對稱，開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，.考點(diǎn)05：圖象的問題【例5】已知，且，則函數(shù)與的圖象只可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件分析即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，且直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，且直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)在0到1之間，只有C符合，故選：C．【變式6】已知函數(shù)的大致圖象如下圖，則冪函數(shù)在第一象限的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象，求得參數(shù)范圍；再根據(jù)冪函數(shù)的圖象，即可容易判斷.【詳解】由的圖象可知，，所以，得，，所以，所以冪函數(shù)在第一象限的圖象可能為.故選：B.考點(diǎn)06：定點(diǎn)問題【例6】（多選）下列函數(shù)的圖象過定點(diǎn)的有（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】在每個(gè)選項(xiàng)中令，計(jì)算函數(shù)值，即可判斷答案.【詳解】根據(jù)題意，在每個(gè)選項(xiàng)中令，選項(xiàng)A中，，故函數(shù)圖象過點(diǎn)，A正確.選項(xiàng)B中，，故函數(shù)圖象不過定點(diǎn)，B錯誤.選項(xiàng)C中，，，故，故圖象不過定點(diǎn)，C錯誤.選項(xiàng)D中，，故函數(shù)圖象過點(diǎn)，D正確.故選：AD.【變式7】已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】B【詳解】函數(shù)中，令，解得，此時(shí)，所以函數(shù)y的圖象恒過定點(diǎn)，又點(diǎn)P在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，.故選：B.【變式8】函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為_________．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，求出點(diǎn)頂點(diǎn)，得到，再由，利用基本不等式即可求解.【詳解】令，可得，此時(shí)，所以函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A在直線上，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.綜上，的最小值為.故答案為：.考點(diǎn)07：比較大小【例7】設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)冪以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以?故選：A.【變式9】設(shè)，，，則（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題知，，，，所以.故選：A.【變式10】已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】易知，，，而，故，又因?yàn)?，，故，即，所以，故選：D.考點(diǎn)08：解不等式【例8】函數(shù)，，則的定義域是_________．【答案】【詳解】的定義域需要滿足，解得，故的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋嚎键c(diǎn)09：已知單調(diào)性求參數(shù)【例9】已知在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，求得的范圍，即得所求．【詳解】若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得，即，故答案為：．【變式11】若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合對數(shù)函數(shù)的定義域可直接列式求解.【詳解】令，則在上單調(diào)遞增，若在上是減函數(shù)，則在上是減函數(shù)且恒大于0，從而有，解得.故答案為：.【變式12】已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】或.【分析】將復(fù)合函數(shù)看做，，然后分和兩種情況討論內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】復(fù)合函數(shù)可以看做，，當(dāng)時(shí)，外函數(shù)單調(diào)遞增，所以內(nèi)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得；當(dāng)時(shí)，外函數(shù)單調(diào)遞減，所以內(nèi)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；綜上所述，或.故答案為：或.考點(diǎn)10：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例10】企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過凈化處理后才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過程中污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為（其中，k是正的常數(shù)）．如果在前10h消除了20%的污染物，則20h后廢氣中污染物的含量是未處理前的（

）A．40% B．50% C．64% D．81%【答案】C【分析】由，得污染物含量的初始值為，根據(jù)得，得，代入，即可求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，得，所以；當(dāng)時(shí)，.故選：C【變式13】基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率與，近似滿足.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，，據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加倍需要的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】B【分析】根據(jù)所給模型求得，令，求得，根據(jù)條件可得方程，然后解出即可．【詳解】把，代入，可得，，當(dāng)時(shí)，，則，兩邊取對數(shù)得，解得．故選：B.【變式14】現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過．一杯茶泡好后置于室內(nèi)，分鐘、分鐘后測得這杯茶的溫度分別為、，給出三個(gè)茶溫（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)生活常識，從這三個(gè)函數(shù)模型中選擇一個(gè)，模擬茶溫（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間（單位：分鐘）的關(guān)系，并依此計(jì)算該杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時(shí)間為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【答案】C【詳解】根據(jù)生活常識，茶溫一般不低于室溫，若選擇模型①或模型②，茶溫在一定時(shí)間后會低于室溫，不合乎題意，故選擇模型③較為合適，則，解得，此時(shí)，由可得.故選：C.指對冪函數(shù)隨堂檢測1.若的圖像如圖，（，是常數(shù)），則（

）

A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，，即可求出的取值范圍.【詳解】由圖可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，則，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，即，所以.故選：D2．（多選）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷A，C；根據(jù)根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算判斷B；根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的互化以及對數(shù)運(yùn)算可判斷D.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，若，則，故，C正確；對于D，若，則，則，D正確，故選：BCD3．已知函數(shù)（且）的圖像過定點(diǎn)，且角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意在中，且，當(dāng)時(shí)，，∴過定點(diǎn)，∵角的終邊過點(diǎn)∴由三角函數(shù)的定義可得，，，∴，故選：A4．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．是減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性可判斷AB，再由奇函數(shù)的定義判斷CD.【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意.函數(shù)在和上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：C.5．（多選）已知函數(shù),下列說法正確的是(

)A．若定義域?yàn)镽,則 B．若值域?yàn)镽,則C．若最小值為0,則 D．若最大值為2,則【答案】BCD【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析計(jì)算即可.【詳解】對于A，若函數(shù)定義域?yàn)镽,則恒成立,當(dāng)時(shí),恒成立,滿足題意,當(dāng)時(shí),則有,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為,故選項(xiàng)A錯誤；對于B，若函數(shù)值域?yàn)镽,則能取盡大于零的所有實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí),,不滿足題意，當(dāng)時(shí),則有,解得，所以若值域?yàn)镽,則,故選項(xiàng)B正確；對于C，若函數(shù)最小值為0,則有最小值1，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得,解得,故選項(xiàng)C正確;對于D，若函數(shù)最大值為2,則有最大值4,由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得,解得,故選項(xiàng)D正確.故選:BCD.6．已知集合